4. Các dàn lọc đa kênh (Multi-channel Filter Banks)
4.3.1. Biến đổi fourier thời gian ngắn trong miền thời gian rời rạc
Biến đổi Fourier thời gian ngắn hoặc biến đổi Gabor là một công cụ rất phổ biến để phân tích tín hiệu bất tĩnh. Giả sử một hàm cửa sổ HPR [n] với một biến đổi z tương ứng Hpr (z). Hàm cửa sổ này là một bộ lọc thông thấp nguyên mẫu với một băng thông 2 π / N, mà sau đó được điều chế đồng đều trên phổ tần số sử dụng năng lượng liên tiếp của gốc thứ N của sự hiệp nhất
(2.37) Hoặc:
(2.38) Có nghĩa là, nếu Hpr (eiω) là một bộ lọc thông thấp xoay quanh ω = 0, sau đó Hi(eiω) n là một bộ lọc thông dải xoay quanh ω = (i2π) / N. Lưu ý rằng các cửa sổ nguyên mẫu thường là thực, nhưng các bộ lọc thông dải rất phức tạp. Trong biến đổi Fourier thời gian ngắn, các cửa sổ được tăng lên M mẫu tại một thời điểm, tương ứng với lấy mẫu xuống hệ số M của dàn lọc tương ứng. Dàn lọc này diễn giải phân tích biến đổi Fourier trong ngắn thời gian được mô tả trong hình 3.11. Tổng hợp biến đổi Fourier ngắn thời gian được thực hiện tương tự với một dàn lọc tổng hợp được điều chế. Thông thường, M được chọn nhỏ hơn N (ví dụ, N / 2), và sau đó, nó rõ ràng là mô hình lấy mẫu trên hoặc một dàn lọc lấy mẫu không tới hạn. Bây giờ chúng ta xem xét những gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lấy mẫu tới hạn như một ngân hàng bộ lọc, có nghĩa là, lấy mẫu xuống hệ số N.Tính toán một lấy mẫu tới hạn biến đổi Fourier thời gian ngắn rời rạc (hoặc Gabor) , nơi mà các hàm cửa sổ được đưa ra bởi các bộ lọc nguyên mẫu.
Hình 2.11 Một dàn lọc lấy mẫu không tới hạn, nó có N nhánh theo sau là các bộ lấy mẫu hệ số M (N> M). Khi các bộ lọc là phiên bản được điều chế, sau đó triển khai này là một phiên bản thời gian rời rạc của biến đổi Fourier
thời gian ngắn.
Không có căn cứ hỗ trợ hữu hạn với các bộ lọc như trong (2.37) .
Chứng minh:
Chứng minh gồm phân tích ma trận nhiều pha Hp (z). Ghi lọc nguyên mẫu Hpr(z) về thành phần nhiều pha của nó.
Trong đó Hpr j(z) là thành phần đa pha thứ j của Hpr (z) Rõ dàng, sau (2.21) và (2.37)
Do đó, ma trận nhiều pha Hp(z) có lối vào: Sau đó, Hp(z) có thể là nhân tố như:
(2.39) Trong đó . Cho FIR tái thiết hoàn hảo, yếu tố quyết định của Hp(z) có thể là một trễ (bởi định lý 2.1). Bây giờ,
Trong đó c là một số phức bằng det(F). vì vậy, để tái thiết FIR hoàn hảo, Hpr j(z) phải có dạng , do đó, bộ lọc nguyên mẫu có hệ số khác không chính xác bằng N. Đối với giải pháp trực giao, hệ số của phải là hằng số đơn vị tiêu chuẩn.
Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta giảm bớt yêu cầu của FIR? Ví dụ người ta có thể chọn các nguyên mẫu sau đây:
(2.40) Trong đó Pi(z) là các bộ lọc thông tất (allpass filter). Tích nhân 3.4.15 vẫn giữ nguyên, với Hpr i(z) = Pi(z) và khi , Hp(z) là cặp đơn nhất. trong khi cặp đơn
nhất này đưa cho một dàn lọc điều chế trực giao, nó là IIR (hoặc là phân tích, hoặc là tổng hợp sẽ không là nhân quả) và chất lượng của dàn lọc trong (2.40) có thể được chứng minh.