a, f(x,y, t l) b, f(x,y,t 0)
2.5. Nội suy tam giác
Đây là phép nội suy hai tam giác ttong hệ tọa độ Barycentric.
Hình 2.6: Phép nội suy tam giác Giả sử có hai tam giác và muốn nội suy hai tam giác này cho nhau. Một cách đơn giản nhất là sử dụng kỹ thuật ánh xạ dựa trên hệ tọa độ Barycentric được minh họa ttên hình 2.6.
Trước tiên, định nghĩa một ánh xạ T cho các đỉnh của tam giác: T(A)= D, T(B) = E, T(C) = F. Với các điểm còn lại sẽ ánh xạ chúng theo tọa độ Barycentric (ЛрЛг.Лз) nghĩa là:
Р = \ * А + \ * В + ^ * С (2.9)
Trong đó: Ất >0 và Ẳị+A^+Ãị =1
Một điểm Q là ánh xạ của p qua T được tính toán như sau:
Q = T ( P ) = T ( ị * A + ^ * B + Â3*c)
= Ấ1* T ( A ) + A2* T ( B ) + A3* T ( C ) (2.10) ^ ẮL* D + Ằ2* E + ẮÌ* F
Như vậy, việc tìm được điểm nội suy dựa vào hệ tọa độ Barycentric, hệ tọa độ Barycentric được mô tả cụ thể như sau:
Hệ tọa độ Barycentric (tọa độ trọng tâm)
Trong toán học, tọa độ Barycentric là tọa độ được xác định bởi các đỉnh của một tam giác, tọa độ Barycentric là một hình thức tọa độ đồng nhất.
Gọi jCpjt2,...,xnlà đỉnh của một đa giác đồng phẳng trong một không
gian vectơ A. Nếu đối với một số điểm p ừong không gian vectơ A thì có: +a2
+... + an)p = a1xl +a2x2 +... + anxn, trong đó các hệ số là những
tọa độ trọng tâm (Barycentric) của p đối với jCpjt2,...,xn. Khi tọa độ không phải
là điểm duy nhất, điểm p ừong đa giác lồi x1,x2,...,xn là các đỉnh của đa giác đó. Nếu tưởng tượng a v a 2 ,...,a n gán cho đỉnh của hình khối thì tâm của khối hình là điểm p. Trong tam giác tọa độ Barycentric còn được gọi là tọa độ khu vực (vùng). Bỏi vì các tọa độ của p đối vói tam giác ABC là tỷ lệ thuận vói
khu vực PBC, PCA và PAB. Tọa độ vùng và tọa độ tam tuyến tính được sử
dụng cho mục đích tương tự trong hình học. Tọa độ vùng rất có ích ttong những ứng dụng kỹ thuật liên quan đến những miền con tam giác.
Trước tiên xét một tam giác được xác định bởi các đỉnh v15v2,v3 bất kỳ
điểm r nào nằm trên tam giác này đều có thể được viết như tổng trọng lượng
của ba ẩìrft\\r = Ảlvl+Ả1 v2 +Ẵivĩ. Trong đó 4,4,,/Ị, là các tọa độ vùng (còn
thường sử dụng ký hiệu (a,J3,ỵ)\Ẳ í +Ẳ 1 +Ằ 3 =1 có nghĩa là: /ìg =1-^-^). Lấy tích phân hàm / (r):
11 - Ã ,
jf(r)dr = 2Aj j f{Ẳivx+Ằ1v1+{\-Ằỉ-Ẳ1)vĩ)dẰiẰ1 (2.11)
T 0 0
Phương trình trên có dạng của một hàm nội suy tuyến tính. Nhưng tọa
độ vùng Barycentric cho phép thực hiện một phép nội suy tuyến tính những điểm trong hình tam giác nếu những giá tìị của hàm được biết tại đỉnh.
Chuyển đổi toa đô Đề các thành toa đô Barycentric |/ • • • • • /
Cho một điểm r bên trong hình tam giác, nó cũng có tọa độ
Barycentric là Ậ./ỊỊ./ỊỊ tại điểm r này. Có thể viết tọa độ Barycentric của
điểm r có tọa độ Đề các (x, y) được tạo thành từ 3 đỉnh Ti,r2,r3 như sau:
X = ĂiX ị + Ẳ1X2+ ẲiXĩ
Thay ^ =1-Ậ - vào phương trình:
X — ẪịXị + Ẳ2X2 + ịỉ Ảị
y = Ằiy1 +^J2 +(1-4- Ả2) y3
Sắp xếp lại:
(2.16) (2.17)
Sử dụng phép biến đối tuyến tính có thể viết ngắn gọn như sau: T.Ă = r-r 3
Trong đó Ấ là véc tơ của tọa độ Barycentric, r là véc tơ của tích Đe các,
T là ma trận được xác định như sau:
xl-x3 x2-x3
yi-y3 y2-y3
Bây giờ lấy ma ttận nghịch đảo của ma trận T có T 1 có thể viết ngắn
gọn:
(2.18) Việc tìm tọa độ Barycentric có thể xác định bằng việc tìm ma ttận nghịch đảo của ma trận T.
Nội suy trên một ỉưói có cấu trúc hình tam giác
Tọa độ Barycentric cung cấp cách để nội suy một hàm trên một lưới hoặc mắt lưới không có cấu trúc, miễn là giá trị của hàm được biết ở tất cả các đỉnh của lưới này.
Trong đó: vx, Vy là tốc độ theo phương nằm ngang và phương thẳng
(2.12
)
(2.1 4)
Để nội suy hàm f tại điểm r, chúng ta duyệt qua từng phần của tam giác sau đó chuyển đổi r thành tọa độ Barycentric của tam giác đó.
Nếu 0</lj <1 Vi = 1,2,3 thì điểm nằm trong tam giác hoặc bên cạnh nó.
Bây giờ chúng ta nội suy giá trị của f(r) = Ằ l f(r 1 )+Ằ 2 f(r 2 )+Ă } f(r 3 ). Việc nội
suy tuyến tính này được tự động vói \ +/Ị, =1.