Việc vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học
khái niệm theo con đường quy nạp có nhiều điểm tương đồng và huy động
Ví dụ 2.1: Dạy học khái niệm Hình chóp và hình tứ diện ([4], tr.51) theo con đường quy nạp.
Bước 1. Gợi động cơ
GV cho HS xem xét một số mô hình sau:
a, b, c,
Hình 2.1
GV yêu cầu HS quan sát, phân tích trả lời các câu hỏi sau:
? Từ các mô hình 2.1a, 2.1b, 2.1c, hãy chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của các hình đó?
! Mong muốn HS sẽ tìm được các dấu hiệu đặc trưng sau:
+ Đối với hình 2.1a có một đỉnh không nằm trong mặt phẳng chứa 3 đỉnh còn lại. Có 3 miền tam giác có chung một đỉnh. Các đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng tạo thành một đa giác. Các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
+ Đối với hình 2.1b có một đỉnh không nằm trong mặt phẳng chứa 4 đỉnh còn lại. Có 4 miền tam giác có chung một đỉnh. Các đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng tạo thành một đa giác. Các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
+ Đối với hình 2.1c có một đỉnh không nằm trong mặt phẳng chứa 5 đỉnh còn lại. Có 5 miền tam giác có chung một đỉnh. Các đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng tạo thành một đa giác. Các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
Làm như vậy, GV đã đưa HS vào tình huống gợi vấn đề: “Dường như có một nhóm hình nào đó có đặc điểm chung, phải chăng là đối tượng ta cần xem xét?”. HS mong muốn được phát hiện khái niệm đó.
Bước 2: Hình thành khái niệm
? Từ các dấu hiệu đặc trưng đó, hãy phát biểu định nghĩa tổng quát của hình chóp?
! “Hình tạo bởi n miền tam giác SA A , SA A ,1 2 2 3 K, SA An 1 và miền đa giác A A1 2KAn được gọi là hình chóp SA A1 2KAn.”
Ở bước này, HS rút ra định nghĩa khái niệm hình chóp những dấu hiệu đặc trưng trong các trường hợp cụ thể trên cơ sở phân tích và tổng hợp.
Bước 3: Phát biểu khái niệm
Hình tạo bởi n miền tam giác SA A , SA A ,1 2 2 3 K, SA An 1 và miền đa giác A A1 2KAn được gọi là hình chóp SA A1 2KAn.
Ta gọi S là đỉnh và đa giác A A1 2KAn là mặt đáy. Các tam giác SA A , 1 2
2 3 n 1
SA A , K, SA A được gọi là các mặt bên; các đoạn SA , SA ,1 2 K, SAn là
các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, …
Ở bước này, GV đã thực hiện bước trình bày giải pháp: tổ chức cho HS giải quyết vấn đề bằng cách cho HS đưa ra định nghĩa hình chóp dựa trên những đặc trưng đã tìm được theo cách hiểu của bản thân.
Bước 4: Củng cố khái niệm
GV cho HS tiến hành hoạt động ngôn ngữ.
? Phát biểu định nghĩa hình chóp?
GV cho HS tiến hành hoạt động đặc biệt hóa.
Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.
GV cho HS tiến hành hoạt động nhận dạng và thể hiện.
? Vẽ một hình chóp tứ giác?
? Cho hình tứ diện ABCD. Có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D? Nêu các đỉnh, các cạnh của hình tứ diện? Các cạnh đối diện? Các đỉnh đối diện với các mặt?
! Mong muốn HS trả lời:
+ Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. + Các đỉnh là A, B, C, D.
+ Các cạnh là AB, AC, AD, BC, CD, BD.
+ Các cặp cạnh đối diện là (AB, CD); (AC, BD); (AD, BC).
+ Các đỉnh đối diện với các mặt là (A, (BCD)); (B, (ACD));
(C, (ABD)); (D, (ABC)).
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động tương thích nhất định gắn liền với nội dung mà ở đó GV có thể khai thác để tổ chức quá trình dạy học một cách hiệu quả. Chính vì vậy, việc sử dụng con đường nào để tiếp cận khái niệm phụ thuộc nhiều vào nội dung của bài học. Đối với những khái niệm có thể bổ sung vào nội hàm của nó một số đặc điểm để được khái niệm
mới thì việc vận dụng con đường suy diễn sẽ phù hợp hơn và sẽ tiết kiệm
được thời gian hơn. Đồng thời sẽ giúp HS tập dượt tự học qua sách vở, tài liệu, … Tuy nhiên, để HS có thể hoạt động tích cực được thì GV cần đặt ra nhiều câu hỏi gợi mở, có dụng ý sư phạm.
Dưới đây chúng tôi đưa ra hai ví dụ dạy học tiếp cận khái niệm nội dung quan hệ song song và quan hệ vuông góc theo con đường suy diễn.
Bước 1: Gợi động cơ
Cho hình tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. (Hình 2.2)
? Nhận xét gì về mối liên hệ giữa các cặp đường thẳng (BC, BD), (MN, CD), (AB, CD)?
! BC, BD cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau (có một điểm chung).
Hình 2.2
MN, CD cùng nằm trong một mặt phẳng và song song với nhau (không có điểm chung).
AB, CD không cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau (không có điểm chung).
Ở bước này, GV đã đưa HS vào tình huống gợi vấn đề “Hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp trên có vị trí tương đối như thế nào với nhau?”. Từ đó, HS có mong muốn tìm hiểu.
Bước 2: Hình thành khái niệm
? Trong một mặt phẳng, ta đã biết khái niệm hai đường thẳng song song. Em có thể nêu định nghĩa khái niệm đó trong không gian?
! Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
GV nói rằng hai đường thẳng AB và CD đang xét là hai đường thẳng chéo nhau.
? Vậy hai đường thẳng a và b bất kì trong không gian được gọi là chéo nhau khi nào?
? Hai đường thẳng a và b bất kì trong không gian được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Ở bước này, GV tổ chức cho HS tìm ra con đường giải quyết vấn đề bằng cách tự phát biểu định nghĩa khái niệm theo cách hiểu của mình. Điều này giúp HS tự tin hơn vào bản thân.
Bước 3: Phát biểu định nghĩa khái niệm
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng.
a, b, c,
Hình 2.3
+ a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M. + a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau. + a trùng b.
Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
Khi đó ta nói a và b chéo nhau.
Ở bước này, GV tổ chức, hướng dẫn HS giải quyết vấn đề bằng việc phát biểu chính xác định nghĩa khái niệm hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau.
Bước 4: Củng cố khái niệm
? Trong Hình 2.2, hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau còn lại? ! Hai cặp đường thẳng chéo nhau còn lại là (AC, BD) và (AD, BC).
? Chỉ ra ví dụ trong thực tế về hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau?
Ở bước này, GV đã thực hiện việc kiểm tra, đánh giá quá trình giải quyết vấn đề. Tổ chức cho HS vận dụng khái niệm vào tình huống cụ thể và tình huống thực tế thông qua hai hoạt động nhận dạng và thể hiện.
Ví dụ 2.3: Tiếp cận khái niệm Góc giữa hai đường thẳng ([4], tr.95) bằng con đường suy diễn.
Bước 1: Gợi động cơ
Cho hình lập phương ABCD.A B C D′ ′ ′ ′. (Hình 2.5) ? Nhận xét gì về các cặp đường thẳng (AB, BC); (B C , B D );′ ′ ′ ′ (AC, BD)? ! Các cặp đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng. ? Tính độ lớn góc của các cặp đường thẳng đó? ! (AB, BC) 90 ; (B C , B D ) 45 ;= 0 ′ ′ ′ ′ = 0 0 (AC, BD) 45= . Hình 2.5 ? Nhận xét gì về hai đường thẳng AC và B D′ ′?
! Hai đường thẳng này không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Có thể tổng quát góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian được không?
Làm như vậy, GV đã thực hiện bước đưa HS vào tình huống gợi vấn đề: Góc giữa hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng là góc như thế nào? Từ đó gợi đến câu hỏi tổng quát “góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian”. HS mong muốn được GV hướng dẫn tìm hiểu khái niệm này.
Bước 2: Hình thành khái niệm
? Nhận xét về hai đường thẳng BD và B D′ ′?
! Hai đường thẳng này song song với nhau.
? Góc giữa hai đường thẳng AC và B D′ ′ chính là góc giữa hai đường
thẳng AC và BD. Em có thể đưa ra định nghĩa khái niệm góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian?
! Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa đường
thẳng a và đường thẳng b′ song song với đường thẳng b và cắt đường thẳng a.
? Có thể tổng quát hơn nữa?
! Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai
đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b)
Làm như vậy, GV đã tổ chức HS tự hình thành khái niệm theo cách hiểu của bản thân.
Bước 3: Phát biểu khái niệm
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b
Hình 2.6
Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 .0
Ở bước này, GV chính xác hóa khái niệm mà HS đã hình thành trước đó và yêu cầu HS phát biểu chính xác khái niệm trong SGK.
Bước 4: Củng cố khái niệm
GV cho HS thực hiện hoạt động ngôn ngữ.
? Nhắc lại khái niệm?
GV cho HS thực hiện hoạt động nhận dạng và thể hiện.
Trong Hình 2.5, hãy:
? Tính độ lớn góc giữa đường thẳng A B′ ′ với hai đường thẳng A C′ ′ và CD? ! (A B , A C ) 45 ; (A B , CD) 0′ ′ ′ ′ = 0 ′ ′ = 0.
? Chỉ ra các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương mà tạo với
đường thẳng BC một góc 45 ?0
! AC, A C , BD, B D , AC, A C , BC , AD , B C, A D′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ .
GV cho HS thực hiện hoạt động hệ thống hóa khái niệm, xét mối liên hệ giữa khái niệm mới và khái niệm đã học.
Câu hỏi: Nếu ur và vr lần lượt là hai véctơ chỉ phương của đường thẳng a và b. Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b có mối liên hệ với góc giữa hai véc tơ ur và vr như thế nào?
! Nếu ( )u, vr r = α thì:
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 00 ≤ α ≤900
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 1800 − α nếu 900 < α ≤1800.