Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 156 HS lớp 8 thuộc 4 lớp của 2 trường THCS dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép rút ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học cơ sở Sương Nguyệt Anh – T.p Hồ Chí Minh (2 lớp)

- Trung học cơ sở - Trung học phổ thông Đinh Thiện Lý – T.p Hồ Chí Minh (2 lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.1.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 8 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₁^sh: Chiến lược “số học” 5 (3.2%) 5 (3.2%) S₁^ds_pt.tt: Chiến lược “Đại

số_PT_trực tiếp”

89 (57.1%) 3 (1.9%) 92 (59%)

S₁^ds_pt.gt: Chiến lược “Đại số_PT_gián tiếp”

7 (4.5%) 7 (4.5%)

S₁^ds_hpt: Chiến lược “Đại số_HPT”

12 (7.7%) 12 (7.7%)

khác

Không làm 21 (13.5%)

Tổng cộng: 125 (80.1%) 10 (6.4%) 156

• Nhận xét:

- Có 92/156 (59%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.tt và 12/156 (7.7%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_hpt. Trong cả 2 chiến lược trên HS đều chọn ẩn theo cách trực tiếp.

- Có 7/156 (4.5%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.gt. Trong chiến lược này HS chọn ẩn theo cách gián tiếp.

- Có 5/156 (3.2%) HS sử dụng chiến lược S1^sh. Ta có thể thấy vẫn còn HS giải bài toán theo phương pháp số học đã được tiếp thu ở lớp dưới, mặc dù hiện tại HS đã được tiếp thu cách giải bài toán theo phương pháp đại số.

Theo các số liệu thống kê trên cho thấy việc chọn ẩn theo cách trực tiếp được đa số HS thực hiện (104/156 (66.7%)). Trong khi đó số HS chọn ẩn theo cách gián tiếp được khá ít HS thực hiện (7/156 (4.5%)). Điều này cho ta thấy việc chọn ẩn là đại lượng cần tìm vẫn còn tồn tại khá rõ trong bài làm của HS.

Các số liệu trong bảng thống kê trên còn cho thấy rõ việc đặt điều kiện dương cho ẩn số được rất nhiều HS ưu tiên (125/156 (80.1%)), và có 10/156 (6.4%) HS không đặt điều kiện, ngoài ra không có trường hợp nào HS đặt điều kiện khác cho ẩn số. Điều này cho thấy HS luôn đặt điều kiện dương cho ẩn và quan niệm kết quả bài toán luôn dương vẫn tồn tại trong HS.

Như vậy, quy tắc R1và R3 đã có ở HS lớp 8.

Bài toán 2:Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau. Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.2.Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 8 Chiến lược quan sát được Điều kiện ẩn

là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₂^pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp” 9 (5.8%) 9 (5.8%) S₂^pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp” 42 (26.9%) 3 (1.9%) 45 (28.8%) S₂^hpt_4: Chiến lược “HPT_4 ẩn” 59 (37.9%) 5 (3.2%) 64 (41.1%) S₂^hpt_2: Chiến lược “HPT_2 ẩn” 3 (1.9%) 3 (1.9%)

S₂^nh: Chiến lược “đoán nghiệm_nhẩm nghiệm” 12 (7.7%) 12 (7.7%) S₂^kh: Các chiến lược khác 5 (3.2%) 5 (3.2%) Không làm bài 18 (11.5%) Tổng cộng 113 (72.5%) 25 (16%) 156 • Nhận xét: - Có 45/156 (28.8%) HS sử dụng chiến lược S2^pt_tt, có 64/156 (41.1%) HS sử dụng chiến lược S₂^hpt_4 và 3/156 (1.9%) HS sử dụng chiến lược S2^hpt_2. Trong các chiến lược trên, HS đều chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Việc đề bài yêu cầu tìm 4 đại lượng và phần HS sử dụng chiến lược S2^hpt_4(chọn 4 ẩn lần lượt là 4 đại lượng cần tìm) chiếm đa số (64/156). Điều này cho ta thấy sự tồn tại của quy tắc hành động: chọn ẩn là đại lượng cần tìm khá rõ ràng

- Có 113/156 (72.5%) HS đặt điều kiện dương cho ẩn số và 25/156 (16%) HS không đặt điều kiện cho ẩn số, ngoài ra không có HS nào đặt điều kiện khác cho ẩn. Điều này cho thấy việc HS đặt điều kiện dương cho ẩn đã có từ lớp 8

- Có 32/156 (20.5%) bài làm có đáp án đúng, trong đó có 9/156 (5.8%) bài được HS sử dụng chiến lược “đoán nghiệm_nhẩm nghiệm”. Qua đây ta thấy được rằng việc thực hiện theo các bước giải được trình bày trong SGK được HS tiếp thu. Tuy nhiên, việc chuyển đổi từ ngôn ngữ từ bài toán số học sang bài toán đại số của học học sinh còn gặp nhiều khó khăn, nhất là bước chuyển đổi các số liệu đã cho của đề bài để lập ra một PT (hay HPT). Chính điều này đã cho thấy rằng phần bài học và phần bài tập được trình bày trong SGK chưa cung cấp đủ yếu tố để giúp HS hình thành thuật toán lập PT.

 Như vậy, quy tắc R1 đã tồn tại, đồng thời giả thuyết H2 cũng đã được kiểm chứng ở HS lớp 8.

3.3.2 Các bài toán dành cho HS lớp 9

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 184 HS lớp 9 thuộc 5 lớp của 2 trường THCS dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép rút ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học cơ sở Thị Trấn Tân Châu – Tây Ninh (3 lớp)

- Trung học cơ sở - Trung học phổ thông Đinh Thiện Lý – T.p Hồ Chí Minh (2 lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.3.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 9 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₁^sh: Chiến lược “số học” 3 (1.6%) 3 (1.6%) S₁^ds_pt.tt: Chiến lược “Đại

số_PT_trực tiếp”

70 (38%) 3 (1.6%) 4 (2.2%) 77 (41.8%)

S₁^ds_pt.gt: Chiến lược “Đại số_PT_gián tiếp”

2 (1.1%) 2 (1.1%)

S₁^ds_hpt: Chiến lược “Đại số_HPT” 79 (43%) 1 (0.5%) 5 (2.7%) 85 (46.2%) S₁^kh: Các Chiến lược khác 6 (3.3%) 6 (3.3%) Không làm bài 11 (6%) Tổng cộng: 155 (84.3%) 4 (2.1%) 14 (7.6%) 184 • Nhận xét:

- Có 77/184 (41.8%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.tt. Trong đó: có 6/184 (3.3%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 85/184 (46.2%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_hpt. Trong đó: có 8/184 (4.3%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 77/184 (41.8%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.tt và 85/184 (46.2%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_hpt. Ở cả hai chiến lược trên HS đều chọn ẩn trực tiếp. Do đó, có đến 162/184 (88%) HS chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Điều này cho ta thấy quy tắc R1 vẫn tồn tại ở HS lớp 9.

- Có 173/184 HS làm bài. Trong đó có tới 155/184 (84.3%) HS đặt điều kiện cho ẩn là số dương và chỉ có 4/184 (2.1%), còn lại 14/184 (7.6%) HS không đặt điều kiện dương cho ẩn số (có trường hợp lúc đầu HS cũng đặt điều kiện dương cho ẩn số nhưng khi giải ra kết quả bài toán thì HS đã thay đổi điều kiện lại thành ẩn là số thực hoặc xóa điều kiện đi). Có thể nói, việc đặt điều kiện cho ẩn số đã làm cho HS quan niệm rằng kết quả bài toán luôn dương nên đã dẫn đến việc đa số HS không tìm ra đáp án đúng của bài toán. Từ đây ta thấy vẫn tồn tại quy tắc hành động R3 ở HS lớp 9.

 Như vậy quy tắc R1và R3 đã được kiểm chứng ở HS lớp 9.

Bài toán 2:Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau. Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.4.Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 9 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₂^pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp” 2 (1.1%) 2 (1.1%) S₂^pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp” 22 (12%) 22 (12%) S₂^hpt_4: Chiến lược “HPT_4 ẩn” 73 (39.7%) 11 (6%) 84 (45.7%) S₂^hpt_2: Chiến lược “HPT_2 ẩn” 3 (1.6%) 3 (1.6%)

S₂^nh: Chiến lược “đoán nghiệm_nhẩm nghiệm”

S₂^kh: Các chiến lược khác 1 (0.5%) 7 (3.8%) 8 (4.3%) Không làm bài 31 (16.8%) Tổng cộng 114 (62%) 39 (21.2%) 184 • Nhận xét:

- Có 2/184 (1.1%) HS sử dụng chiến lược S2^pt_gtvà đều tìm ra đáp án đúng.

- Có 22/184 (12%) HS sử dụng chiến lược S₂^pt_tt, trong đó có 5/184 (2.7%) bài làm tìm ra được đáp án đúng.

- Có 84/184 (45.7%) HS sử dụng chiến lược S2^hpt_4, trong đó chỉ có 11/184 (6%) bài làm tìm ra được đáp án đúng.

- Có 34/184 (18.5%) HS sử dụng chiến lược S2

nh, trong đó có đến 15/184 (8.2%) bài tìm ra được đáp án đúng.

- Có 31/184 (16.8%) HS không làm bài.

Dựa vào kết quả trên, ta thấy rằng có 109/184 (59.2%) HS chọn ẩn theo cách trực tiếp và chỉ có 10/184 (5.4%) HS chọn ẩn theo cách gián tiếp. Điều này cho thấy tồn tại việc chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong cách làm bài của HS.

Bên cạnh đó, có 119/184 (64.7%) HS thực hiện bài làm theo các bước giải bài toán bằng cách lập PT (HPT) được trình bày trong SGK. Tuy nhiên, chỉ có 18/184 (9.8%) HS tìm ra được đáp án đúng của bài toán, mà nguyên nhân chính ở đây không phải do việc đặt điều kiện của bài toán mà là HS không biết cách biến đổi để tạo ra một PT có thể giải để tìm ra đáp án đúng của bài toán. Do đó, ta có thể thấy được thuật toán lập PT chưa thực sự hình thành trong HS.

 Như vậy, giả thuyết H2 và quy tắc R1 của giả thuyết H1 đã được kiểm chứng ở HS lớp 9.

Bài toán 3:Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng đường dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chữa nên Nam phải đi đường khác dài hơn quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn vận tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian đã hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

Bảng 3.5.Thống kê các lời giải bài toán 3 của HS lớp 9 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₃^pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp” 140 (76.1%) 140 (76.1%) S₃^pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp” 7 (3.8%) 7 (3.8%) S₃^hpt_tt: Chiến lược “HPT_trực tiếp” 23 (12.5%) 5 (2.7%) 28 (15.2%) S₃^hpt_gt: Chiến lược “HPT_gián tiếp” Không làm bài 9 (4.9%) Tổng cộng 170 (92.4%) 5 (2.7%) 184 • Nhận xét:

- Có 140/184 (76.1%) HS sử dụng chiến lược S3^pt_tt. Trong đó: chỉ có 5/184 (2.7%) bài làm tìm đúng đáp án. Trong chiến lược này đa số bài làm của HS điều tìm được kết quả của bài toán, thế nhưng khi kết luận HS đã không quan tâm đến thực tế cuộc sống mà chỉ cho rằng kết quả tìm được là số dương đã thỏa điều kiện của ẩn nên đã dẫn đến việc chọn sai đáp án.

- Có 175/184 (95.1%) HS làm bài nhưng chỉ có 7/184 (3.8%) HS chọn ẩn theo cách gián tiếp, còn lại điều chọn ẩn theo cách trực tiếp. Điều này cho ta thấy rõ việc chọn ẩn theo cách trực tiếp vẫn được tồn tại trong đa số HS. Mặc khác, tất cả các bài làm của HS đều đặt điều kiện cho ẩn là số dương (x > 0).

 Như vậy, dựa vào kết quả thực nghiệm trên cho thấy quy tắc R1 và R2 của giả thuyết H1 cũng như sai lầm M1 đã được kiểm chứng ở HS lớp 9.

3.3.3 Các bài toán dành cho HS lớp 10

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 196 HS lớp 10 thuộc 5 lớp của 2 trường THPT dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép rút ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học phổ thông Hoàng Văn Thụ – Tây Ninh (3 lớp) - Trung học phổ thông Nguyễn Văn Trỗi – Nha Trang (2 lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7 quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.6.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 10 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₁^sh: Chiến lược “số học” S₁^ds_pt.tt: Chiến lược “Đại số_PT_trực tiếp” 4 (2.1%) 3 (1.5%) 7 (3.6%)

S₁^ds_pt.gt: Chiến lược “Đại số_PT_gián tiếp” S₁^ds_hpt: Chiến lược “Đại số_HPT” 133 (67.8%) 42 (21.4%) 175 (89.2%) S₁^kh: Các Chiến lược khác 5 (2.6%) 5 (2.6%) Không làm bài 9 (4.6%) Tổng cộng: 142 (72.5%) 45 (22.9%) 196 • Nhận xét:

- Có 7/196 (3.6%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.tt. Trong đó:

+ Có 3/196 (1.5%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 175/196 (89.2%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_hpt. Trong đó: + Có 73/196 (37.2%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 7/196 (3.6%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_pt.tt và 175/196 (89.2%) HS sử dụng chiến lược S1^ds_hpt. Ở cả hai chiến lược trên HS đều chọn ẩn trực tiếp. Do đó, có đến 182/196 (92.8%) HS chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Điều này cho ta thấy quy tắc R1 vẫn tiếp tục tồn tại ở HS lớp 10.

- Có 187/196 HS làm bài. Trong đó có tới 142/196 (72.5%) HS đặt điều kiện cho ẩn là số dương. Còn lại 45/196 (22.9%) HS không đặt điều kiện cho ẩn (có trường hợp lúc đầu HS cũng đặt điều kiện dương cho ẩn số nhưng khi giải ra kết quả bài toán thì HS đã thay đổi điều kiện ẩn là số thực hoặc xóa điều kiện dương đi). Có thể nói, việc đặt điều kiện cho ẩn số đã làm cho HS quan niệm rằng kết quả bài toán luôn dương nên đã dẫn đến việc đa số HS không tìm ra đáp án đúng của bài toán. Từ đây ta thấy sai lầm M1 và quy tắc hành động R3 vẫn còn tồn tại ở HS 10.

Bài toán 2:Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau. Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.7.Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 10 Chiến lược quan sát

được Điều kiện ẩn là số dương Điều kiện khác Không đặt điều kiện Tổng cộng S₂^pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp” 5 (2.6%) 3 (1.5%) 8 (4.1%) S₂^pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp” 2 (1%) 2 (1%) S₂^hpt_4: Chiến lược “HPT_4 ẩn” 93 (47.4%) 71 (36.2%) 164 (83.7%) S₂^hpt_2: Chiến lược “HPT_2 ẩn”

S₂^nh: Chiến lược “đoán nghiệm_nhẩm nghiệm” 5 (2.6%) 5 (2.6%) S₂^kh: Các chiến lược khác 2(1%) 1 (0.5%) 3 (1.5%) Không làm bài 14 (7.1%) Tổng cộng 102 (52%) 80 (40.8%) 196 • Nhận xét:

- Có 8/196 (4.1%) HS sử dụng chiến lược S2^pt_gtvà đều tìm ra đáp án đúng.

- Có 164/196 (83.7%) HS sử dụng chiến lược S2^hpt_4, trong đó chỉ có 79/196 (40.3%) bài làm tìm ra đáp án đúng.

- Có 3/196 (1.5%) HS sử dụng chiến lược S2^nh và không có đáp án đúng.

- Có 14/196 (7.1%) HS không làm bài.

Dựa vào kết quả trên, ta thấy rằng có 166/196 (84.7%) HS chọn ẩn theo cách trực tiếp và chỉ có 8/196 (4.1%) HS chọn ẩn theo cách gián tiếp. Điều này cho thấy tồn tại việc chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong cách làm bài của HS.

Bên cạnh đó, có 177/196(90.3%) HS thực hiện bài làm theo các bước GBTBCLPT (HPT) được trình bày trong SGK. Trong đó có 92/196 (45.4%) HS tìm ra được đáp án đúng của bài toán, và nguyên nhân của việc có ít HS tìm được đáp án đúng là do HS không đưa được các dữ liệu của bài toán về dạng PT