Ph−ơng trình đồng d−
5.1 Ph−ơng trình đồng d− một ẩn
Cho m >1 là số nguyên d−ơng. Xét đa thức với các hệ số nguyên f(x) = a0xn+a1xn−1 + ã ã ã+ an−1x+an, ai ∈ Z.
Ký hiệu a cho phần tử thuộc Zm với a làm đại diện. Không làm mất tính chất tổng quát, ta chỉ cần chọn a ∈ {−m+ 1,−m+ 2, . . . , m−2, m−1}
làm phần tử đại diện cho a và thay cho việc viết a ta viết đơn giản là a.
Định nghĩa 5.1. Ph−ơng trình dạng
a0xn+a1xn−1 +ã ã ã+an−1x+an ≡ 0(modm), a0 = 0,(1)
đ−ợc gọi là ph−ơng trình đồng d− bậcn. Việc tìm tất cả các giá trị nguyên của x thoả mãn (1) đ−ợc gọi là giải ph−ơng trình.
Định nghĩa 5.2. Cho ph−ơng trình đồng d− f(x) ≡ 0(modm). Số α ∈ Z đ−ợc gọi là nghiệm đúng của ph−ơng trình nếu f(α) ≡0(modm).
Bổ đề 5.3. Nếu f(x) = a0xn + a1xn−1 + ã ã ã + an ≡ 0(modm), a0 = 0,
có nghiệm x0 thì nó cũng nhận tất cả các y thuộc lớp x0 làm nghiệm.
Chứng minh: Ta có y −x0 ≡ 0(modm),∀y ∈ x0. Vì f(x0) ≡ 0(modm)
nên f(y) ≡ f(y) −f(x0) ≡ (y −x0)h(y, x0) ≡ 0(modm).
Do Bổ đề này mà ta coi lớp x0 là một nghiệm của ph−ơng trình (1).
Định nghĩa 5.4. Cho ph−ơng trình đồng d− f(x) ≡ 0(modm) và số α ∈
Z là một nghiệm đúng của ph−ơng trình. Khi đó α đ−ợc gọi là nghiệm
của ph−ơng trình.
Do Zm chỉ có m lớp thặng d− nên số nghiệm của ph−ơng trình (1) là số các phần tử trong một hệ thặng d− đầy đủ theo môđun m hay trong hệ
{0,1, . . . , m−1} thoả mãn nó. Chú ý rằng, nếu m nhỏ ta chỉ cần thử lần l−ợt các phần tử thuộc {0,1, . . . , m −1} để tìm nghiệm; còn đối với m quá lớn thì số phép thử rất nhiều. Chẳng hạn, khi giải ph−ơng trình đồng d− 2x(2x+ 1)(2x+ 2) ≡ 0(mod 8), ta chỉ cần thử tất cả 0,1, . . . ,7. Tất cả đều thoả mãn ph−ơng trình. Vậy mọi α ∈ Z đều là nghiệm.
Định nghĩa 5.5. Hai ph−ơng trình đồng d− đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu chúng có cùng những nghiệm.
Một số phếp biến đổi t−ơng đ−ơng.
(i) f(x) ≡0(modm) ⇐⇒f(x) +maxj ≡ 0(modm). (ii) Nếu d ∈ uc(a0, . . . , an) và ucln(d, m) = 1 thì
f(x) ≡0(modm) ⇔ a0
d x n
+ . . .+ an
d ≡0(modm). (iii) Nếu d ∈ uc(a0, . . . , an, m) và d > 0 thì
f(x) ≡ 0(modm) ↔ a0
d x
n +. . .+ an
d ≡ 0(modm
d).
Ta thấy mọi ph−ơng trình đồng d− bậc nhất đều có thể đ−a đ−ợc về dạng t−ơng đ−ơng là ax ≡b(modm), a≡ 0(modm).