Lý thuyết đồng d−
3.1 Quan hệ đồng d−, hệ thặng d−
Định nghĩa 3.1. Cho số nguyên d−ơng m. Hai số nguyên a và b đ−ợc gọi là đồng d− theo môđun m nếu hiệu a−b chia hết cho m. Nếu a đồng d− với b theo môđun m thì ta viết a ≡ b(modm) và gọi đó là một đồng d− thức.
Tính chất sau đây của đồng d− thức là hiển nhiên.
Mệnh đề 3.2. Cho số nguyên d−ơng m. Ta có:
(i) a ≡ b(modm) ↔a = b+ mt, t ∈ Z,↔a−b chia hết cho m.
(ii) Quan hệ đồng d− theo môđun m là một quan hệ t−ơng đ−ơng trong tập Z.
Do quan hệ đồng d− là một quan hệ t−ơng đ−ơng nên các phần tử thuộc tập Z sẽ đ−ợc phân ra thành các lớp t−ơng đ−ơng. Ký hiệu Z/≡ bởi Zm.
Định nghĩa 3.3. Các lớp t−ơng đ−ơng theo quan hệ đồng d− theo môđun m đ−ợc gọi là các lớp thặng d− theo môđun m.
Mệnh đề 3.4. Số các lớp thặng d− theo môđun m bằng m.
Chứng minh: Mỗi lớp thặng d− theo môđun m chứa một và chỉ một trong các số d− 0,1, . . . , m −1 thu đ−ợc khi chia các số nguyên cho m. Vậy số các lớp thặng d− theo môđun m bằng m.
Ký hiệu lớp thặng d− chứa số nguyên a là a. Đó là tập a = {a+mt | t∈ Z}.
Mỗi số của một lớp thặng d− gọi là một thặng d−. Số r ∈ a,0 r < m, đ−ợc gọi là một thặng d− không âm bé nhất của lớp a.
Định nghĩa 3.5. Nếu từ mỗi lớp thặng d− theo môđun m ta lấy ra một đại diện, thì tập hợp các đại diện đó đ−ợc gọi là một hệ thặng d− đầy đủ theo môđun m.
Nếu từ mỗi lớp thặng d− theo môđun m ta lấy ra một đại diện không âm bé nhất, thì tập hợp các đại diện đó đ−ợc gọi là một hệ thặng d− đầy đủ không âm bé nhất theo môđun m.
Trong Zm thì hệ thặng d− đầy đủ không âm bé nhất theo môđun m là
{0,1, . . . , m−1}, còn hệ thặng d− đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất theo môđun m là {−m−1 2 ,−m−1 2 + 1, . . . , m−1 2 } khi m lẻ, {−m 2,−m 2 + 1, . . . , m 2 −1} khi m chẵn, {−m 2 + 1,−m 2 + 2, . . . , m 2 } khi m chẵn.
Định lý 3.6. Cho a, b là những số nguyên tuỳ ý. Nếu ucln(a, m) = 1 và
x chạy khắp một hệ thặng d− đầy đủ theo môđun m thì ax+b cũng chạy khắp một hệ thặng d− đầy đủ theo môđun m.
Chứng minh: Nếu x1, x2 nguyên và ax1+b ≡ ax2+b(modm) thìa(x1−
x2) ≡ 0(modm). Do ucln(a, m) = 1 nên x1 ≡ x2(modm). Điều này chứng tỏ khi x chạy qua các lớp t−ơng đ−ơng khác nhau thì ax+b cũng chạy qua các lớp t−ơng đ−ơng khác nhau. Vậy, nếu ucln(a, m) = 1 và x chạy khắp một hệ thặng d− theo môđun m thì ax+b cũng chạy khắp một hệ thặng d− theo môđun m.