Lý thuyết đồng d−
3.2 Tính chất của đồng d− thức
Một số tính chất sau đây của đồng d− thức là hiển nhiên. Các số trong các tính chất sau đều là nguyên.
(i) Nếu ai ≡ bi(modm), i = 1, . . . , n, thì ni=1ai ≡ ni=1bi(modm). (ii) Nếu a ≡ b+c(modm) thì a−c ≡ b(modm).
(iii) Nếu a ≡ b(modm) thì a+hm≡ b(modm).
(iv) Nếu ai ≡ bi(modm), i = 1, . . . , n, thì ni=1ai ≡ ni=1bi(modm). (v) Nếu a ≡ b(modm) thì ah ≡ bh(modm).
(vi) Nếuai ≡ bi(modm), i = 1, . . . , n,vàx ≡ y(modm)thìni=1aixi ≡
n
(vii) Nếu a ≡ b(modm), d∈ uc(a, b),ucln(m, d) = 1 thì a
d ≡ b
d(modm). (viii) Nếu a ≡ b(modm) thì ah ≡ bh(modmh). (ix) Nếu a ≡ b(modm), d ∈ uc(a, b, m) thì a
d ≡ b
d(mod m
d ). (x) Nếu a ≡ b(modm) thì ucln(a, m) = ucln(b, m).
Từ tính chất (x), ta thấy các số của cùng một lớp thặng d− theo môđun m có cùng −ớc chung lớn nhất với m. Do đó ta định nghĩa
ucln(a, m) = ucln(b, m),∀ b ∈ a.
Khi ucln(a, m) = 1 thì lớp a đ−ợc gọi là lớp nguyên tố với môđun m.
Định nghĩa 3.7. Nếu từ mỗi lớp thặng d− nguyên tố với môđun m ta lấy ra một đại diện, thì tập hợp các đại diện đó đ−ợc gọi là một hệ thặng d− thu gọn theo môđun m.
Thông th−ờng ta chọn hệ thặng d− thu gọn theo môđun m từ hệ thặng d− đầy đủ không âm bé nhất {0,1, . . . , m−1}. Ký hiệu qua ϕ(m) là số các số a ∈ {0,1, . . . , m−1} với ucln(a, m) = 1. Khi đó số các phần tử của một hệ thu gọn theo môđun m là ϕ(m).
Thí dụ 3.8. (i) Hệ thặng d− thu gọn theo môđun 14 là {1,3,5,9,11,13}
và ϕ(14) = 6.
(ii) Hệ thặng d− thu gọn theo môđun 18 là {1,5,7,11,13,17}, ϕ(18) = 6.
Định lý 3.9. Nếu ucln(a, m) = 1 và x chạy khắp một hệ thặng d− thu gọn theo môđun m thì ax cũng chạy khắp một hệ thặng d− thu gọn theo môđun m.
Chứng minh: Nếu x1, x2 nguyên và ax1 ≡ ax2(modm) thì a(x1 −x2) ≡
0(modm). Do ucln(a, m) = 1 nên x1 ≡ x2(modm). Điều này chứng tỏ khi x chạy qua các lớp t−ơng đ−ơng khác nhau thì ax cũng chạy qua các lớp t−ơng đ−ơng khác nhau. Vậy ϕ(m) giá trị của x cho ϕ(m) giá trị của ax và các giá trị này không đồng d− với nhau theo môđun m. Vì
ucln(a, m) = 1 và ucln(x, m) = 1 nên ucln(ax, m) = 1. Điều này chứng tỏ ϕ(m) giá trị của ax lập thành một hệ thặng d− thu gọn theo môđun m.