Lý thuyết đồng d−
3.3 Vành Zm các lớp thặng d− môđu nm
Tr−ớc tiên ta định nghĩa vị nhóm, vị nhóm giao hoán, nhóm giao hoán (cộng hoặc nhân), vành, vành giao hoán, miền nguyên và tr−ờng. Xét tập th−ơng Zm = {a | a ∈ Z} các lớp thặng d− môđun m. Để biến tập này thành một vành ta định nghĩa
a+b = a+b,
a.b = ab,∀a, b ∈ Z.
Mệnh đề 3.10. Xét tập th−ơng Zm các lớp thặng d− môđun m.
(i) Với phép cộng Zm trở thành một nhóm giao hoán.
(ii) Với phép nhân Zm trở thành một vị nhóm giao hoán.
(iii) Với phép cộng và nhân Zm là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Định nghĩa 3.11. Zm đ−ợc gọi là vành các lớp thặng d− theo môđun m.
Lớp a ∈ Zm đ−ợc gọi là lớp khả nghịch nếu có b ∈ Zm để a.b = 1.
Định lý 3.12. Lớp a ∈ Zm là khả nghịch nếu và chỉ nếu ucln(a, m) = 1.
Chứng minh: Giả thiết lớp a ∈ Zm là khả nghịch. Khi dó có b ∈ Zm để a.b = 1 hay ab = 1. Nh− vậy ab ≡ 1(modm), tức là có x ∈ Z để ab+ mx = 1. Theo Hệ quả 1.14 ta có ucln(a, m) = ucln(a, m) = 1. Ng−ợc lại, giả sử ucln(a, m) = ucln(a, m) = 1. Theo Hệ quả 1.14 có b, x ∈ Z để ab+mx = 1. Vậy a.b = ab = 1 và ta có lớp a ∈ Zm là khả nghịch.
Ký hiệu Z∗m là tập tất cả các phần tử khả nghịch của Zm.
Định lý 3.13. Z∗m là một nhóm giao hoán.
Chứng minh: Tr−ớc tiên ta chỉ ra Z∗m đóng kín đối với phép nhân. Giả sử lớp a, b ∈ Z∗m. Theo Định lý 3.12 có ucln(a, m) = 1,ucln(b, m) = 1. Do đó ucln(ab, m) = 1. Điều này chứng tỏ a.b ∈ Z∗m hay Z∗m đóng kín đối với phép nhân. Hơn nữa, phép nhân các lớp thặng d− thoả mãn luật kết hợp và 1∈ Z∗m. Do đó Z∗m là một vị nhóm.
Ta chỉ ra, nếu lớp a ∈ Z∗m thì lớp a có nghịch đảo cũng thuộc Z∗m. Thật vậy, vì a ∈ Z∗m nên có b ∈ Zm để a.b = 1. Hiển nhiên b ∈ Z∗m và b là nghịch đảo của a. Tóm lại Z∗m là một nhóm giao hoán. Nhóm này giao hoán, vì phép nhân là giao hoán.
Chú ý 3.14. Khi m = p là số nguyên tố, thì mọi phần tử khác không đều khả nghịch. Do đó Zp là một tr−ờng và Z∗p có p− 1 phần tử hay
ϕ(p) = p−1.