CHƯƠNG 2: KỸ THUẬT TRẢI PHỔ
2.2.3. Đa thức nguyờn thuỷ.
Một chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai tuyến tớnh với chu kỳ N= 2m-1 với m là số đơn vị nhớ trong mạch hay bậc của đa thức tạo mó được gọi là chuỗi cơ số hai cú chiều dài cực đại hay chuỗi m.
Đa thức tạo mó của chuỗi m được gọi là đa thức nguyờn thuỷ. Định nghĩa toỏn học của đa thức nguyờn thuỷ là :
Đa thức g(x) được gọi là đa thức nguyờn thuỷ bậc m nếu số nguyờn nhỏ nhất n = 2m-1, mà đối với số này xn+1 chia hết cho đa thức g(x).
Lấy vớ dụ trường hợp g(x) = x5+x4+x3+x+1 là một đa thức nguyờn thuỷ bậc
m=5 vỡ số nguyờn n nhỏ nhất mà xn+1 chia hết cho đa thức g(x) là n =25-1=31.
Số đa thức nguyờn thuỷ bậc m được tớnh bằng : 1
m ϕ(2m
-1) Trong đú : ϕ( )n là hàm Euler xỏc định bởi :
( )n ϕ =n / 1 (1 ) p n − p
∏
(2.42) Với p/n kớ hiệu ‘tất cả cỏc ước số nguyờn tố của n’. Hàm Euler ϕ( )n bằng sốcỏc số nguyờn dương nhỏ hơn n và là cỏc số nguyờn tố so với n .Chẳng hạn : (15)
(31)
ϕ =31.(1-311 )= 30
Và ta thấy rằng ϕ( )p = p-1 cho mọi số nguyờn tố p≥1 vỡ tất cả cỏc số dương
nhỏ hơn p phải là số nguyờn tố so với nú. Chỳng ta cũng thấy rằng cỏc số dương n
và m là cỏc số nguyờn tố tương đối so với nhau nếu và chỉ nếu ước số chung lớn nhất của m và n bằng 1.
Vỡ khụng phải đa thức nào cũng là đa thức nguyờn thuỷ chớnh vỡ vậy việc tỡm đa thức nguyờn thuỷ được thực hiện bằng cỏch chọn thử. Nhiều đa thức nguyờn thuỷ được cụng bố ở một số cỏc tài liệu. Dưới đõy là một số cỏc đa thức nguyờn thuỷ cơ số hai cho bậc m = 3,4,5,6 ( với trỡnh tự cỏc hệ số :g0g1…gm−1gm) cỏc đa thức nguyờn thuỷ cú bậc lớn hơn cú thể được tỡm thấy ở tài liệu tham khảo phần phụ lục ở cuối luận văn này.
3m= m=5 m= m=5 1011 100101 110111 1101 101001 111011 101111 111101 4 m= m=6 10011 1000011 1100111 11001 1011011 1101101 1100001 1110011
Chỳng ta đặc biệt chỳ ý đến cỏc đa thức tạo mó cú dạng g(x)= xm+xk+1 với 1〈 〈k m, cỏc đa thức này chỉ cú ba thành phần khỏc khụng và chỳng được gọi là tam
thức. Cỏc bộ tạo mó tam thức cú tốc độ cao vỡ chỳng chỉ cần một mạch hoặc loại trừ ( XOR) ở mạch hồi tiếp của thanh ghi dịch tuyến tớnh, khụng phụ thuộc vào bậc m
vỡ thế chỳng đỏng được quan tõm trong thực tiễn.
Đa thức nguyờn thuỷ là đa thức tối giản, nghĩa là ta khụng thể phõn tớch nú thành cỏc đa thức thừa số cú số mũ thấp hơn nhưng ngược lại thỡ khụng đỳng. Một đa thức tạo mó khụng nguyờn thuỷ cú thể cho một chuỗi m cú chu kỡ nhỏ hơn 2m-1.
