mặt phẳng tọa độ Oxy.
2.2. Dạng 2: Tính và áp dụngChú ý: Chú ý:
i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*Vậy in∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N*
; ; Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta cĩ i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 Ví dụ 2: Tính số phức sau: a) z = (1+i)15 b) z = Giải:
a) Ta cĩ: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
b) Ta cĩ:
⇒ . Vậy =i16 +(-i)8 = 2
Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:
Giải:
Vậy phần thực là và phần ảo là
Bài tập tự luyện
z =
Bài 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: .
Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z =
2.3. Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: ta sẽ sử dụng Dạng đại số của z là với
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b ) ta cĩ:
Vậy z= 2-i
Ví dụ 2: Tính mơ đun của số phức z biết rằng: Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta cĩ
Suy ra mơ đun:
Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: và .
Giải
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.
Giải
Đặt z= x+ yi (x,y ) Theo bài ra ta cĩ
Số phức
w là một số ảo khi và chỉ khi Vậy
Ví dụ 5: Tìm tất cả các số phức z biết Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b ) ta cĩ:
Vậy z=0;
Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta cĩ và Yêu cầu bài tốn thỏa mãn khi và chỉ khi
Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ) và ta cĩ Vậy hoặc Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn và là số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y ) Khi đĩ,
Từ (1) và (2) ta cĩ x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = 1 – 2i
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn: và .
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn và .
Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
Bài 6. Tìm số phức z thoả mãn và z2 là số thuần ảo.
Bài 7. Giải phương trình:
a) . b)
Bài 8. Tìm số phức z biết
Bài 9. Tìm số phức z biết: và cĩ phần ảo bằng 1.
Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn: và .
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn .
2.4. Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z. Trong dạng này, ta gặp các bài tốn biểu diễn hình học của số phức hay cịn gọi là tìm tập Trong dạng này, ta gặp các bài tốn biểu diễn hình học của số phức hay cịn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đĩ số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đĩ (thường là hệ thức liên quan đến mơđun của số phức). Khi đĩ ta giải bài tốn này như sau:
Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi đĩ số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đĩ suy ra tập hợp điểm M.
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm
M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) z− +1 i =2 b) 2+ = −z 1 i c) z− + +4i z 4i =10
Giải:
Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)