•
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1. • Dựa vào đồ thị, phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt
Ví dụ 3. Cho hàm số cĩ đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải
a) HS tự trình bày.b) b)
• Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt.
• Xét phương trình:
Cĩ
Ví dụ 4.Cho hàm số .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số gĩc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số gĩc là k, cĩ phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
cĩ ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 cĩ hai
nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đĩ B,C cĩ hồnh độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
Gọi với là hai nghiệm của phương trình: . Cịn .
Ta cĩ:
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: Vậy theo giả thiết:
Ví dụ 5. Cho hàm số Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C):
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác -1.
. Chứng tỏ với mọi m d luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
Gọi . Với: là hai nghiệm của phương trình (1)
Ta cĩ .
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
Theo giả thiết: Vậy:
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Ví dụ 6. Cho hàm số (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC cĩ diện tích bằng 4. (Điểm B, C cĩ hồnh độ khác khơng ; M(1;3) ).
Giải
Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình:
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), cịn hai điểm B,C cĩ hồnh độ là hai nghiệm
của phương trình: - Ta cĩ
-Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d. h là khoảng cách từ M đến d thì:
- Theo giả thiết: S = 4
Kết luận: với m thỏa mãn: (chọn).
Ví dụ 7. Cho hàm số . Xác định để đồ thị cắt trục Ox tại
4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox cĩ diện tích phần phía trên trục Ox
bằng diện tích phần phía dưới trục Ox.
Giải
phân biệt
(2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt
Hai nghiệm của (2) là , do nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là: Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài tốn nhận Oy làm trục
đối xứng. Khi đĩ đồ thị cĩ dạng như hình bên. Bài tốn thỏa mãn
. KL: thỏa mãn yêu cầu
Ví dụ 8. Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm để đường thẳng
cắt tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho
Giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
Đặt , ta cĩ phương trình
Với điều kiện trên phương trình (*) cĩ hai nghiệm dương . Theo Vi-et ta cĩ, Từ Đặt Theo đề
Vậy điều kiện phải tìm là .
Ví dụ 9. Cho hàm số cĩ đồ thị là . Định để đồ thị cắt
trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng.
Giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: (1)
Đặt thì (1) trở thành: .
Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải cĩ 2 nghiệm dương phân biệt
(*)
Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đĩ hồnh độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là:
Vậy
Ví dụ 10. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2.
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng :
⇔ ⇔
Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
⇔ ⇔
Bài tập đề nghị.
Bài 1. (Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) cĩ hồnh độ dươngb) cĩ hồnh độ lớn hơn 2