Chương 2 Bàitoán tựa cânbằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng
2.2 Một số bàitoán liên quan
Mục này ta sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng
2.2.1 B à i t o á n t ự a c â n b ằ n g v ô
h ư â n g t ổ n g q u á t C h o X , Y l à c á c k h ô n g gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D с X, к с y là các tập con khác rỗng, s : DxK -> 2d;T : DxK -> 2K\Pị : D -> 2D,i = 1,2; g : DxD -> 2K.R(M+) là tập số thực (số thực không âm) và <ĩ>j : к X D X D R, i = 1, 2 là hàm thỏa m ã n Ф i ( y , X , x ) — 0 , i — 1 , 2 v ớ i m ọ i у e K , x € D . B à i t o á n t ì m ( x , ỹ ) e D X к s a o cho: 1) ж € S (X,Ỹ) ,Ỹ e T(ĩ,ỹ); 2) Ф1 (ÿ,ж,í) > 0, Ví e S(x,ỹ),x e Pi(x)\
3) ф2(у,х, í) > 0,Ví e -P2(z) và 2/ G Q(ãf,í).
2.2.2 Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát Cho X X z - > ж
là dạng song tuyến tính. Bài toán tìm (X,Ỹ) € D X К sao cho 1) { ỹ , t - x ) > 0, Ví e S ( x , ỹ ) , x £ P i ( x ) ]
2) (Y,T - X) > 0, Ví e P2(ж) v à ỉ / Ễ Q(z, í).
Đặt F(y, X, í) = (Y,T — X) — K+, Bài toán trở thành, tìm (X, Ỹ) e D X К sao cho 1) O e F ( ỹ , x , t ) , v t e S ( x , ỹ ) , x e P i { x ) ;
2) 0 € F ( y , x , t ) , v t £ p2( x ) ; v à y £ Q ( x , t ) .
2.2.3 Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng trên tổng quát Cho
X , Y , D , K , S , T , P ị , i = 1,2 và Q như trên, с : к X D -» 2y,
G i , H i : к X D X D -» 2y. Bài t o á n t ì m ( x , ỹ ) £ D X К s a o c h o
1) Gi(ỹ,x,í) ç Hi(ÿ,x,x) + C(ÿ,z),z e Pi(ĩ),Ví G S' (ж, ỹ)
2) G2( y , x , t) С н2( у , х , х ) + C(ÿ,z), Ví е Р2( х ) , У у £ Q ( x , t)
Định nghĩa Mị-, к X D ^ 2х] Fị: к X £) X £) 2y,i = 1,2 như sau:
M ị ( y , x ) = { i e D \ G ( y , x , t ) Ç H ị ( y , x , x ) + C ( y , x ) } , ( y , x ) e к X D . và F ị ( y , x , t )= t — M ị ( y , x ) , ( y , x , t ) £ К X D X D . thì 1) 0 Ễ F i ( ỹ , x , t ) , x £ P \ ( x ) v ớ i m ọ i t e S ( x , ỹ ) - , 2) 0 G F2( y , x , t ) , v ớ i m ọ i t e P ì i x ) v à y e Q ( x , t ) .
2.2.4 Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát Cho D , K , Y , s , T , P ị , i =
1,2 và Q như trên. Ánh xạ nón с : к X D -» 2v,Gị : к X D X D ->• 2r. Bài toán tìm
(x,ỹ) £ D X К sao cho
1) GI(Ỹ,X,T) Ç C (Ỹ,X) ,X e Pi(õ),Ví e £(x,ỹ);
được ký hiệu lần lượt như sau:
34 4
2) G2(Y,X,T) Ç C (Y,X) với mọi í G -P2OẼ) và y G Q (X,T) .