Y) G DX К-
4.2Cânbằng Nash trong trò chơi không hợp tác Cho Xị , ie I ,Y là các
không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, I là tập hữu hạn các chỉ số (số lượng n g ư ờ i c h ơ i ) , c c Y l à n ó n n h ọ n l ồ i . V ớ i m ỗ i i e I , D ị c X ị l à t ậ p k h á c r ỗ n g ( t ậ p người chỉ huy của người chơi thứ I) . Đặt
D = Ỵ [ D ị .
i— 1
Với mỗi I £ I ánh xạ đa trị S Ị : D ->■ 2DI,J = 1,2 là ràng buộc của người chơi thứ I.
Hàm số /j : D -» Y là hàm tổn thất của người chơi thứ I. Hàm này phụ thuộc vào người chỉ huy toàn bộ trò chơi. Với X — (XỊ)I EJ € D . Ta ký hiệu
s* = (xj ) j € i \ { i } -
ta có x ~ i e s \ và - f i ( x) ị -(C\{0}), Vÿj e s ? ( x ) , i e I .
Ta đặt
G ( x , t ) = J 2 { f i (x i, t i ) - /i(z)); M{x) = {t &D\G(x,t) ị -(ơ\{0})}
F ( x , t ) = t — M ( x ) , (t , x ) € D X D .
Nếu X € S ^ - ỢC) = П S ị ( x) sao cho 0 € F (X,T) với mọi T Ị e SỊ(X) ,I € I .Ta có
x Ị e S } và G ( x , t ) ị - ( C \ {0}),VyỂ G s * ( x ) , i e I .
Khi đó ta có
ĩị G s l ( x ) , \ / i = 1,
/i(z\íi) - /i(ã) ị -(ơ\{0}).
Í= 1
Lần lượt thay T — (XI, T Ị) € £j20ẽ), ta suy ra
/г(яМг) Ị F I(X) - (C\{0}), với mọi T Ị e 5?(ĩ).
Do đó X = (Xị)i£i là điểm cân bằng Pareto của trò chơi Nash. Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các kết quả của bài báo MI X E D G E N E R A L I Z E D Q U A S I-E Q U I L I B R I U M P R O B L E M S và ứng dụng của nó.
Cụ thể luận văn trình bày các vấn đề sau:
Các kiến thức cơ bản cần dùng cho bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng
quát.
Các điều kiện đủ để bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm.
Tám bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát
Minty tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng trên tổng quát; Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát; Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II; Quan hệ biến phân hỗn hợp và Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng.
Hai ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát là Bài toán điều khiển tối ưu và Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắn, xong do khản năng kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy, Cô giáo và bạn đọc.
H à N ộ i , t h á n g 1 2 n ă m 2 0 1 Ậ
Tác giả
Trần Huy Mạnh Tài liêu tham khảo
[A]Tài liệu Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), MỘ T S Ố V Ấ N Đ Ề T R O N G L Ý T H U Y Ế T T Ố I Ư U Đ A T R Ị. NXB Giáo dục.
[2] Hoàng Tụy (2005), HÀ M T H Ự C & G I Ả I T Í C H H À M, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Đông Yên (2007), GI Ả I T Í C H Đ A T R Ị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[4] Truong Thi Thuy Duong - Nguyen Xuan Tan (2011), "On the existence of
s o l u t i o n s t o g e n e r a l i z e d q u a s i - e q u i l i b r i u m p r o b l e m s " , J . GL O B A L
OP T I M. 5 2 (2012), no. 4, 711-728.
[5] Truong Thi Thuy Duong (2012), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J . GL O B A L OP T I M. 56 (2013), no. 2, 647-667.
[6] Nguyen Xuan Tan (1985), "Quasi-variational inequa lities in topological linear locally convex Hausdorff space", MA T H. NA C H R I C H T E N, 122, 231-245.
[7] Aubin,J.P., Cellina, A. (1994),"Differential Inclusion", SP R I N G E R VE R L A G, BE R L I N, GE M A N Y.