1) Xe S(z,ÿ), ÿ€ T(x,ỹ);
2.3 Sự tồn tại nghiệm
Cho D , K là các tập compact, Các ánh xạ đa trị S , T , P , F và G có tập giá trị khác rỗng như trên. Trước hết ta chứng minh định lí sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Định lí 2.2 . 1 G iả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) s là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii) T là nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = { ( x , y ) \ x e S ( x , y ) , y e T ( x , y ) } đ ó n g ;
(iii)p có nghịch ảnh mở và p ( x) Ç S ( x , y) với mọiX €D , y e K ]
(iv) Với bất kì điểm cố định (x,y) G D X к tồn tại z £ T(x,y) sao cho
0 e F (Y, Z, X , í), Ví e S (X,Y); (va) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vị,) Với bất kì điểm cố định ( x , y ) £ D x K tập { z e T ( x , y)|0 e F ( y , z , x , t ) , V t
e S(x,y)} lồi;
(vii) Với bất kì điểm cố dịnh T £ D tập В = {X eD \ 0 Ị G (Y,X,T) vớimột
vài Y E Q (X,T) } là mở trong D và G là ánh xạ Q-KKM thì bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát có nghiệm.
Chứng minh
Ta định nghĩa các ánh xạ H : D X К -» 2K, M : D -» 2D như sau:
H(x,y) = {z e T(x,y)|0 e F(y, z,x, í), Ví e S(z,ỉ/)} được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
38 8
M (X) = {í £ p(a;)|0 Ị G (Y,X,T) với một vài Y e Q (X,T)}, Vz G D Từ (iv) và (va) H (X, Y) là tập khác rỗng, lồi. Với mỗi (X , Y) € D X К, Н(Х, Y) đóng.
D o đ ó , v ớ i Z ß e H ( x , y ) , Z ß - > z t a p h ả i c h ỉ r a Z ß e T ( x , y ) v à 0 e J7 ,( y , Z ß , X , t ) với mọi í e 5(ж, ÿ). Vì T là nửa liên tục trên với giá trị đóng, F là đóng, do đó Z Ễ T (X,Y) và 0 € F (Y,Z,X,T) với mọi T € S (X,Y) . Dẫn đến г € H (X,Y) và H (X,Y) là tập đóng.
Bầy giờ ta chứng minh H là nửa liên tục trên. Giả sử Xß -» x,yß -> y,Zß e
H ( x ß , y ß ) , Z ß - > z , t a p h ả i c h ỉ r a z e H ( x , y ) .
Từ Z ß € H ( xß, yß) nghĩa là Z ß e т ( х р , У р),0 € F ( yß, Z ß , X ß , t ) với mọi t e S(xß,yß). Từ tính nửa liên tục trên của г với tập giá trị đóng, suy ra z £ т(х, у).
Do 5 có nghịch ảnh mở nên s nửa liên tục dưới, ta phải chỉ ra với mọi t € S ( x , y ) đ ề u t ồ n t ạ i t ß € S ( x ß , y ß ) s a o c h o t ß - » t . D o đ ó , 0 e F ( y ß , Z ß , X ß , t ß )
với mọi tß G S(xß,yß).
Từ (yß, Zß,Xß,tig) -» (y,x,z,t) và F là ánh xạ đa trị đóng suy ra 0 Ẽ
F ( y , z , x , t ) v ớ i m ọ i t £ S ( x , y ) , n g h ĩ a l à г G н ( х , у ) v à H l à đ ó n g . K ế t h ợ p v ớ i tính compact của к và tính đóng của H ta suy ra H là ánh xạ đa trị nửa liên t ụ c t r ê n .
Từ giả thiết A là tập đóng, tính đóng của F và nửa liên tục dưới của S ta cũng chỉ ra được tập { (X,Y) \X e S (X,Y) ,Y e H (X,Y) } đóng.
Theo (Va) và P có tập giá trị nghịch đảo mở, ta chỉ ra rằng
M-1(í) = {X G D| 0 Ị G (Y,X,T) với một vài Y E Q {X,T) n p-1(í)} là một tập mở.
Trước hết ta chỉ ra với mọi X e D,x ị coM(x). Ngược lại, giả sử tồn tại X € D s a o c h o X € c o M ( x ) , k h i đ ó t a c ó t h ể t ì m đ ư ợ c €
M ( x ) s a o c h o
n n
X = aịtị,aị > 0, ^2 = 1. Từ định nghĩa của M ta có 0 e G(y,x,tị) với một
1 = 1 i=1
vài Y £ Q (X, T Ị) với mọi I = 1 , n .
Mặt khác, do G là Q-KKM nên tồn tại một chỉ số J € {1, ...,n}sao cho
0 e G ( y , x , t j ) , V y e Q ( x , t j )
điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy X € D , x ệ c o M ( x ) . Từ bổ đề 2.1 suy ra, tồn tại (ãf, ỹ ) G D X к sao cho X £ S ( x , ỹ ) , ỹ e H ( x , ỹ ) và S ( x , ỹ ) n M ( x) = 0.
T ừ ỹ e H ( x , ỹ ) d ẫ n đ ế n ỹ e T ( x , ỹ ) v à 0 Ễ F ( ỹ , ỹ , x , t ) v ớ i m ọ i t e S ( x , ỹ ) . Do S(x,ỹ) nM(ĩ) = | với mọi t £ p(x) Ç S(x,ỹ),t Ệ M(x) điều này chỉ ra rằng
0 e G ( y , x , t ) , v t £ p ( x ) , y e Q ( x , t )
Định lí được chứng minh xong.
Nhận xét 2.2.2 Trong định lí 2.2.1 nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Với mọi T E D , G ( . , . ,T) là ánh xạ đa trị đóng;
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
40 0
(ii)Q là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất
thì tập В — {X € ö|0 Ị G (Y,X,T) với một vài У e Q (X,T) } là mở trong D .
Chứng minh
Tập А — {X Ễ D|0 Ễ G (Y,X,T) với mọi У Ễ Q (X,T) } . Cho XS S Ç . A , XS S
— > X , ta sẽ chỉ ra 0 G G (Y, XS S,T) với mọi Y £ Q (X S S,T) . Từ Q là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất nên với mọi Y € Q (X,T) , từ tính đóng của) suy га 0 Ễ
G (Y, XS S,T)
với mọi y e Q(xß,t). Do đó X e A và A là tập đóng. Do đó в là tập mở.
Định lí 2.2.3 Ta giả sử tất cả các giả thiết trong định lí 2.2.1 được thỏa mãn, v ớ i ( i ) , ( i i ) v à ( i i i ) đ ư ợ c t h a y b ở i
(i’) s là liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
(ii’) T là nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
( i i i ’ ) p l à n ử a l i ê n t ụ c d ư ớ i v à p ( x ) Ç S ( x , y ) , V x e D , y £ к thì bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát có nghiệm.
Chứng minh
Cho u là một cơ sở lân cận của gốc trong không gian X. Với mọi и ẼM t a đ ị n h n g h ĩ a á n h x ạ S u ■ D X к - > 2 ° , p ư : £ > - > ■ 2 ° v ớ i S ự ( x , у ) = ( S ( x , y ) + U ) r \
D,Pjj(x) = (P(x) + и) n D, X € D,y € K. Trước hết ta sẽ chứng minh pmở trong D với mọi t
e D. Lấy X e £>\Pỹ1(í). Khi đó tồn tại dãy {xa} e DXP^1^) s a o cho xa - » X . D ođ ó t ị p ( x a ) + u , t a s ẽ c h ỉ r a t ệ p ( x ) + u . đ ó t ị p ( x a ) + u , t a s ẽ c h ỉ r a t ệ p ( x ) + u .
G i ả s ử t € p ( x ) + u , k h i đ ó t ồ n t ạ i p e p ( x ) , и e и s a o c h o t = p + и s u y r a t — p = и € и . T ừ p l à nửa liên tục dưới và xa ->• X nên tồn tại một dãy
{ P a } sao cho P a € p ( xa) và Pa -> p. Do ãó t- Pa e x\u, từ x\u là đóng nên t- p £ x\u.
Điều này trái với t — p£ u, suy ra tị p(x) + u vậy X e D\p~1(t) và Pụ1^) là mở.Từ s là nửa liên tục dưới, tương tự như trên ta chứng minh được s^it) là tập mở.
T ậ p A ư = { ( x , Ị / ) e D X K \ x £ c l ( S ( x , y ) + u ) , y £ T ( x , y ) } l à t ậ p đ ó n g v ì ánh xạ cl(S + и) là đóng, D là tập compact, T là nửa liên tục trên với giá trị đóng.
Theo chứng minh của định lí 2.2.1 và bổ đề 2.1 chứng tỏ tồn tại (xự,ỹư) e
D X К sao cho XƯ e C LSU{X U,Y U)I Y U € Н(ХИ, УИ) vàSU(XƯ, YƯ) n M {X) = 0, nghĩa là
X u € c l S u i x u ^ u ) , ^ e H i x u ^ ỹ ụ )
và
0 e với mọi í e s ^ u ^ ÿ j j )
0 e G { ỹ u , X Ị j , t ) với mọi t e P ( x u ) và ỹ{/ e Q ( xư, t)
Do tính compact của .D, if, không giảm tổng quát, giả sử Xj/ hội tụ tới X và
ỸƯ hội tụ tới Ỹ như tính giảm của И. Từ tính đóng của S và nửa liên tụctrên
của T với tập giá trị đóng ta có X Ç. S(x,ỹ) và ỹ € T(x,ỹ).
Tuy nhiên, Ỹ Ụ £ H (X U,Ỹ U) với H (X,Y) = {Z £ T (X,Y)|0 e F (Y,Z,X,T) với mọi T e S (X,Y) , VX £ D ,Y £ К . Theo chứng minh của định lí 2.2.1, H là ánh xạ đa trị đóng thì Ỹ £ H (X,Ỹ) . Điều này dẫn đến 0 £ F (Ỹ,Ỹ,X,T) ,V T £ S (X,Ỹ) .
Từ tính bất kì của T e P(X) . Tập
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
42 2
В — { x £ D | 0 ị G ( y , x , t ) , v ớ i m ộ t v à i у € Q ( y , t ) }
là tập mở trong D, cũng như tập
А = { ж G D | 0 e G ( y , X , t ) , V y e Q ( y , t ) }
là tập đóng trong D. Do Xjj e A và Xu hội tụ về X nên X e A. Điềunày chỉ ra
rằng 0 e G (Y,X,T) với mọi T e P(X) ,Y e Q (X, T) .
Định lí được chứng minh
Nhận xét 2.2.4 Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi T E D , G ( . , . ,T) là ánh xạ đa trị đóng;
(ii) Q là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất với tập giá trị compact t h ì t ậ p В = { x £ D | 0 ị G ( y , x , t ) , v ớ i m ọ i у £ Q ( y , t ) } l à m ở t r o n g D . Chứng minh
Tập Ả = {X £ -D|0 e G (Y, X , T) , với một vài Y e Q (Y, í)}. Giả sử XS S E A|ij -) X .
Ta sẽ chỉ ra với mỗi S S tồn tại DS S € Q (X S S,T) sao cho 0 e G (Y S S, XS S,T) . Với Q
là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất với tập giá trị compact, nên tồn tại một dãycon
{Y Ạ } của {Y Ạ} và một điểm Y E Q (X,T) sao cho Y Ạ -> Y. Do tính đóng
của ) dẫn đến 0 € G(y,x,t) suy ra X e A và A đóng nên в mở.
Ta sử dụng nhận xét 2.2.4 và chứng minh tương tự định lí 2.2.1 và 2.2.3 ta có kết quả phù hợp với bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Định lí 2.2.5 G iả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở; (ii)T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng
và tập A = { { x , y ) \ x £ S ( x , y ) , y e T ( x , y ) } đóng;
(iii) P là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và P(X) Ç S (X,Y) , VX € D ,Y € К ; (iv)Với mỗi điểm cố định (X,Y) E D X K , tồn tại z e T (X,Y) sao cho 0 e F (Y,
Z, X , í), Ví e S (X,Y) - ,
(va) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vị,) Với mỗi điểm cố định (y,x) e к xD tập {z e T(x,y)\0 e F(y,z,x,t),Vt e
5 ( х , у ) } l ồ i ;
(vi) Q là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất, với mỗi điểm cố định T e D , G ( . ,T) là ánh xạ đa trị đóng và G là Q-KKM
Thì tồn tại ( x , ỹ ) € D X к sao cho:
X e S ( x , ỹ ) ] ỹ e T ( x , ỹ ) ]
0 e F ( ỹ , ỹ , x , t ) với mọi t £ S ( x , ỹ ) ' ,
0 e G (Y,X,T) với mọi T e P(X) với một vài Y € Q (X,T) ,
Định lí 2.2 . 6 G iả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii)T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng v à t ậ p A = { ( x , y ) \ x £ S ( x , y ) , y e T ( x , y ) }
đ ó n g ;
(iii) P là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và P(X) ç S (X,Y) , VX G D ,Y G К ;
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
44 4
(iv)Với mỗi điểm cố định (X,Y) e D X K , tồn tại Z e T (X,Y) sao cho 0 Ị
F (Y,Z,X,T) ,V T e S (X,Y); (va) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vị,) Với mỗi điểm cố định ( y , x ) e к x D tập { z E T ( x , y ) |0 ị F ( y , z , x , t ) , v t E S ( x , y ) } lồi;
(vi) Với điểm cố định tùy ý T e D tập В = {X £ D|0 Ệ G (Y,X,T) , với một vài У € Q (X,Y) } là tập mở trong D và G là Q-KKM T h ì t ồ n t ạ i ( x , ỹ ) e D X к s a o c h o : X e S ( x , ỹ ) ] ỹ e T ( x , ỹ ) \ 0 ị F ( ỹ , ỹ , x , t ) với mọi t £ S ( x , ỹ ) - , 0 e G ( y , x , t ) với mọi t G p ( x ) , y e Q ( x , t ) , Chứng minh
Xét ánh xạ đa trị T : к X к X D X D 2y được xác định như sau
F ( y , z , x , t ) = Y \ F ( y , z , x , t)
Theo (va) T là đóng và định lí 2.2.1. Định lí được chứng minh
ở mục sau ta nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp và bài toán bao hàm thức tựa biến phân hỗn hợp. Các bài toán này có thể áp dụng bổ đề 2 . 1 chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán kể trên. Trong phần sau ta giả sử Q là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và các ánh xạ đa t r ị F , G : К X D X D 2y.
Hệ quả 2.2.7 Cho S , T , P, Q giống như định lí 2.2.3. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) С : D 2ylà một ánh xạ nón với tập giá trị khác rỗng, lồi,đóng sao
cho với mỗi XG D ánhxạ đa trị с : D ->• 2y được xác định bởi с = Y\(—intC(x))
là ánh xạ đa trị đóng;
(ii) F là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi, compact;
(iiia) với mỗi điểm cố định (X,Y) € D X К tồn tại Z € T (X,Y) sao cho
F ( z , x , t) ^ —i n t c ( x) với mọi í G S ( x , y);
(iiĨỊ,) Với mọi (z,í) € -ơ X D , F ( . ,X,T) : íí 2y là (—ơ(x)) - giống như tựa lồi trên;
(iva) Với mọi T G D , G ( . ,T) là ánh xạ đa trị đóng, và G có tập giá trị khác
rỗng, lồi, compact G (Y,X,X) Ị —I N T C Ị X) với mọi (X,Y) e D X K ;
(ivj) G là ( Q , C) - lồi dưới theo đường chéo (hoặc ( Q , C) - giống như lồi dưới theo đường chéo) theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x,ỹ) € D X к sao cho:
X e S ( x , ỹ ) ] ỹ e T ( x , ỹ ) - ,
F ( ỹ , x , t ) — i n t c ( x ) v ớ i m ọ i t G S ( x , ỹ ) ' ,
G ( y , x , t ) ^ — i n t c ( x ) v ớ i m ọ i t G p ( x ) , y G Q ( x , t ) .
Chứng minh
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
46 6
Ta định nghĩa các ánh x ạ â a . t r ị M : D X к ^ 2K, F : к X к X D X D ^ 2Z, N : К X D ^ 2K v ầ G : К X D X D ^ 2X như sau: M ( x , y ) — { z G T ( x , y ) \ F ( z , x , t ) ^ — i n t C ( x ) , V t Ễ 5 ( ж , ỉ / ) } , a : , í Ễ Ö ; F ( y , z , x , t ) = z — M ( x , y ) , ( y , z , x , t ) € к X к X D X D ' j N(y,x) = {í G £)|ơ(y,x,í) ^ — intc(x)}, X G £),í G X; G ( y , x , t ) = t — N ( y , x ) , ( y , x , t ) € Ä" X D X £).
Rất dễ để chỉ ra rằng điều kiện (iv) trong định lí 2.2.3 được suy ra trực
tiếp từ (iiia).
Giả sử rằng Xß -» x,yạ -» y,Zß £ M(xß,Uß), Zß -> z ta sẽ chỉ ra rằng
z eM ( x , y ) . Từ Z ß e M ( xß, yß) ta có Z ß e T ( x ß , yß) , F ( z ß , X ß , t ) - i n t C ( xß) với
mọi t e S(xß,yß). Do s là nửa liên tục dưới và Xß -» x,yß -> y với mọi t e S(x,y),
nên tồn tại e S(xß,yß) sao cho tß -» ị. Do đó F(zß,Xß,tß)—intC(xß) với mọi T S S €
S (X S S,Y S S) . Điều này chứng tỏ rằng
(1) F(zß,Xß,tß)n C(xß) Ỷ 0;
Do T là nửa liên tục trên với tập giá trị đóng, suy ra Z e T (X,Y) .
Với mỗi ß tồn tại Uß € F(zß,Xß,tß) n C(xß). Theo giả thiết F là đóng với t ậ p g i á t r ị c o m p a c t , t a s ẽ c h ỉ r a r ằ n g t ồ n t ạ i и e F ( z , x , t ) v à m ộ t d ã y c o n h ộ i t ụ {uß } của dãy
{uß},Uß -» и. Từ Uß e C(xß ) và с là đóng, nên и e Ỡ(x). Do đó иe F{z,x,t)
П Õ(x) = F(z,x,t) n (y\ — intc(x)) suy ra F{z,x,t) ^ —intc(x).
Do đó Z ẽ M (X.Y) và M là ánh xạ đa trị đóng nên F đóng. Cho
A = { z E T ( x , y)|0 e F ( y , z , x , t) với mọi t E S ( x , y ) }
= {zễ T (X, Y) \ F (Z, X , T) ^ —I N TC (X) vớimọi TỄ 5(:z,i/)}. Lấy Z1, Z2 tùy ý thuộc A . Ta có Z I , Z2 € T (X,Y) và
F ( z i , x , t ) ^ — i n t C ( x )
F ( z2, x , t ) —i n t c ị x)
Do T (X,Y) là lồi nên Л^ 1 + (1 — A)z2 e T (X,Y) . Giả sử tồn tại Ло e [0,1] sao cho
F(X0Zi + (1 - Ả0)z2) Ç -intc(x).
Do F là ( - C (X) ) - giống như tựa lồi trên, ta sẽ chỉ ra rằng
F (Z I,X,T) Ç _F(À().Z1 + (1 — Ao)^) —C (X) —I N TC (X)
hoặc
F ( z2, x , t ) Ç F ( Ằ0Z I + (1 - Ằ o ) z2) - C ( x ) Ç -i n t C ( x )
điều này là mâu thuẫn. Do đó F (Ao-Zi + (1 — Ao)^) Q —I N TC (X) với mọi А e [о, 1]. D o đ ó A z i + ( 1 - A ) Z2 e A , s u y r a A l ồ i .
Tiếp theo ta sẽ chứng minh G thỏa mãn điều kiện (vi) của định lí 2.2.3.
Tập
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
48 8
в — { х е D|0 е G ( y , x , t) với mọi у е Q(:r,í)}
= {ì £ D \ G ( y , x , t ) ^ —i n t c ( x) với mọi 1/ G Q(z,ỉ/)}. Ta sẽ chỉ ra s là tập đóng. Giả sử rằng XS S € B , XS S -» ж, ta chỉ ra
G ( y , X ß , t ) ị - i n t C ( xß) , V y G <2(0:0, t).
Do tính nửa liên tục dưới của Q dẫn đến với mọi Y e Q (X,T) tồn tại US S e
Q (X S S,T) sao cho 2 / 0 -> ỉ/. Do đó G (Y S S, XS S,T) —I N TC (X S S) với mọi г/£ €
Q (X S S,T) . Điều này chứng tỏ
(2) G { yß, X ß , t ) n C ( xß) Ф 0 ;
T ừ ( 2 ) s u y r a t ồ n t ạ i U ß £
G ( y ß , x ß , t ) n c ( x ß ) . T ừ g i ả t h i ế t G ( . , . , t ) l à đ ó n g với giá compact, ta sẽ chỉ ra tồn tại и e G(y, X, t) vàdãy
con {Uß } Ç {Uß}, Uß -> и
từ Uß e C(xß ),c là đóng, điều này dẫn đến и e Ỡ(x) hơn nữa, и e G(y,x,t) n
C ( x ) = G ( y , x , t ) П ( Y \ — i n t c ( x ) ) . D ẫ n đ ế n t a c ó G ( y , x , t ) — i n t C ( x ) , s u y r a X e В và В là tập đóng.
n
Cho {ti,...,tn} là một dãy con hữu hạn, tùy ý của D và X — <Xitiì&i >
г — 1
n
0; s ai = 1- Ta giả sử rằng, 0 ị Ỡ(y,x,tị) với mọi у £ Q(x,tị) với i = ĩ,...,n. i — 1
Nghĩa là, G (Y,X,T Ị) Ç -I N TC (X) với I = 1 Nếu G là (Q , C) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ ba, ta sẽ chỉ ra tồn tại một chỉ số j € { 1 , n } s a o c h o
G ( y , x , x ) Ç G ( y , x , t j ) — C { x ) Ç — i n t C ( x ) , V y £ Q ( x , t j ) .
Nếu G là ( Q , C ) - lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ ba thì ta cũng chỉ ra được G (Y,X,X) Ç —I N TC (X) điều này mâu thuẫn với (iva). Do đó, tồn tại J G {l,...,n} sao cho 0 e Õ (Y,X,T J) với mọi Y e Q (X,T J) . Do đó G là ánh xạ Q - KKM
Từ định lí 2.2.3 suy ra tồn tại ( x , ỹ ) € D X к sao cho
X e S(x,ỹ)]ỹ e T(x,ỹ);
0 e F ( ỹ , ỹ , x , t ) , w e S ( x , ỹ ) ;
0 e Ỡ ( y , x , t ) v ớ i m ọ i t G p ( x ) , y e Q ( x , t ) .
Điều này có nghĩa là
ĩ e S ( x , ỹ ) ] ỹ e T ( x , ỹ ) - ,
F ( ỹ , x , t ) ^ — i n t C ( x ) , V t G S ( x , ỹ ) ]
G ( y , x , t) ^ — i n t C ( x ) , V t e p ( x ) , y € Q ( x , t ) .
Trong phần tiếp theo ta xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng
v é c t ơ l ý t ư ở n g d ư ớ i .
Hệ quả 2.2.8 Cho S , T , P, Q thỏa mãn các điều kiện như trong định lí 2.2.3. Giả sử rằng
(i) С : D 2y là ánh xạ đa trị nón đóng với tập giá trị khác rỗng, lồi,
đóng;
(ii) F là ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact;
(iiia) Với bất kì điểm cố định (X,Y) E D X К tồn tại Z e T (X,Y) sao cho
F (Z,X,T) n C (X) Ф 0;
(iiÌỊ,) Với mọi (X,T) e D X D , F ( . ,X,T) : К -» 2Y là (—C (X) ) - lồi trên;
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
50 0
(iva) Với mọi T £ D , G ( . ,T) là một ánh xạ đa trị đóng và G có tập giá trị
k h á c r ỗ n g l ồ i c o m p a c t , G ( y , x , x ) П C ( x ) Ỷ 0 yớ i m ọ i ( x , y ) e D X K \
(ìvị,) G là( Q , C ) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo, theo biến thứ ba
Thì tồn tại (X, Ỹ) G D X К sao cho
X e S ( x , ỹ ) \ ỹ € T ( x , ỹ ) ; F ( ỹ , x , t ) п С ( х ) Ф 0,Ví e S ( x , ỹ ) - G ( y , X , t) n C ( x ) Ỷ 0; Ví e P i x ) , y G Q ( x , t ) . Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ M : D X к 2K, F : к X к X D X D 2Z , N : К X D ^ 2D v à . G : К X D X D ^ 2X như sau: M ( x , y ) = { z e T ( x , y ) \ F ( z , x , t ) n C ( x ) Ф 0 , V í e S ( x , y ) } , ( x , y ) ç . D X К - F(y, z,x,t) = z — M(x,y), (y, z,x,t) e К X К X D X D\
N (Y,X) = {ÍỄ D|G(ỉ/,a:,í) n С(ж) Ф Ц,Х € D,ỉ/ e Ä-;
G ( y , x , t) = t — N ( y , x ) , ( y , x , t ) G if X £) X £).
Đầu tiên ta sẽ chỉ ra F là đóng. Giả sử rằng XS S -> X,Y S S -» Y, ZS S e
M (X S S,Y S S) , ZS S -> г ta sẽ chỉ ra rằng z e M (X,Y) . Từ 2Í0 e M (X S S,Y S S) ta có Za €
T (XS S,YS S) , và
F ( zß, X ß , t) n С(^) ỹỂ 0, Ví e S { x p , y p ) .
Do 5 là nửa liên tục dưới suy ra với mọi t € S(x,y), nên tồn tại tß € S(xß,yß) s a o c h o t ß - > t . D o đ ó
(3) F ( zß, X ß , t ß ) n C ( xß) Ф 0, v t ß e S ( xß, yß) - ,
Do Г là nửa liên tục trên với tập giá trị đóng, suy ra Z € T (X, Y) . Với mỗi
S S
tồn tại VS S e F (Z S S,X S S,T S S)N C(X S S) . Theo giả thiết F là đóng với tập giá trị compact và С là đóng, dẫn đến tồn tại V e F (Z, X , T) n C (X) vài) Ễ F (Z, X , T) n
C (X) Ф 0, từ Z € M (X.Y) và M là ánh xạ đa trị đóng nên F đóng.
Từ điều kiện (iii0) suy ra F thỏa mãn điều kiện (iv) của định lí 2.2.3
Cho A = { z e T ( x , y)|0 e F ( y , z , x , t ) } = { z £ T ( x , y ) \ F ( z , x , t)пC ( x ) Ф
0, Ví e S(x, y)}. Lấy Z\, Z2 tùy ý thuộc j4, ta có Ỉ1,Z2 Ễ т(х, y) và
(4) F ( z i , x , t ) n C { x ) Ф 0,
(5)
Do T (X,Y) là lồi nên XZ I + (1 — A)Z2 e T (X,Y) với mọi Л e [0,1]. từ (4) và
(5) suy ra,tồn tại и1 e F(zi,x, t) n C(x), U2 Ễ F(z2,x, t) n C(x), ta có
(6) Aui +(1 - A)u2 e A(F(2:i,:r,í) n C(:e)) + (1 - X)(F(z2, X , t) nC(x)),
Ç ( X F ( z i , x , t ) + (1 - A) F ( z2, x , t ) ) n C ( x))
Do F là (—C (X) ) - lồi trên có được với Z nên
(7) X F ( z i , x , t ) + (1 - X ) F ( z2, x , t) Ç F ( X z i + (1 - Ằ ) z2, x , t ) - C ( x ) . TỪ (6) VÀ (7) SUY RA
Aiti + (1 - A)u2 e (^(Azi + (1 - A)z2,x,t) — C(x)) n C(x).
Do đó
{ F ( Ằ Z I + (1 - Л) z2, x , t ) - C ( x ) ) n C ( x ) Ỷ 0-
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
52 2
Điều đóchỉra rằng, F ( \Z\ + (1 - \ ) Z2, X , T) n C (X) Ỷ 0. Suy ra \Z\ + (1 - X ) Z2 € A . Vậy A là tập lồi. Tiếp theo tập В = { x £ D | 0 € Ỡ ( y , x , t ) , v ớ i m ọ i у e = { x e D \ G ( y , x , t ) n C ( x ) Ỷ 0 5 v ớ i m ọ i у £ Q ( x , t ) } . T a s ẽ c h ỉ r a в l à t ậ p đ ó n g . G i ả s ử X ß € в , X ß - » X t a c ó G ( y , x ß , t ) n c ( x ß ) ф 0 với mọi У e Q (X S S,T) . Do tính nửa liên tục dưới của Q ( . ,T) dẫn đến với mọi У e Q (X,T) đều tồn tại Y Ạ € Q (X S S,T) sao cho Y Ạ
-» Y. Do đó G (Y, XS S,T) n C (X S S) Ỷ 0,Vy e Q (X S S,T) . Do Q ( . ,T) nửa liên tục dưới, dẫn đến với mọi У £ Q (X,T) tồn tại YS S € Q {X S S,T) sao cho DS S -» У. Do đó
G (Y S S,X S S,T)N C(X S S) Ỷ 0 với mọi VYS S € Q (X S S,T) D o t í n h đ ó n g c ủ a G ( . , . , t ) v ớ i t ậ p g i á t r ị c o m p a c t v à с l à đ ó n g . Đ i ề u n à y
dẫn đến G (Y,X,T) n C (X) Ỷ 0- Do đó В là tập đóng.
Do G là ánh xạ đa trị có tính chất Q - K K M , nên tập {íi,...,ín} là
n n
một tập con hữu hạn của D và X = Ỵ^aịti,aị > 0, Ỵ2 OLị = 1. Ngược lại, ta
i = 1 i = 1
giả sử rằng 0 ậ G ( y , x , t i) với mọi y e Q ( x , t ị ) , i = 1 Điều này cho thấy
G (Y, X, T Ị) n C (X) = 0, Y Y G Q (X,T Ị) ,I = 1 ,N. Do G là (Q , С) - giống như tựa lồi
dưới theo đường chéo theo biến thứ ba, chứng tỏ tồn tại j € {1, sao cho G ( y , x , x) ç G ( y , x ,
t j ) - C ( x ) , 4 y e Q ( x , t j ) .
Giả sử ( ■ G ( y , x , t j ) - С ( x ) п C ( x ) ) Ф 0 , V ỉ / € Q ( x , t j ) t h ì t ồ n t ạ i a € G ( y , x , t j ) , c , c ' € C ( x ) s a o c h o a — c = c ' . Đ i ề u n à y d ẫ n đ ế n a = c + c ' v à G ( y , x , t j ) r \ C ( x ) = 0 , V y e Q ( x , t j ) . Đ i ề u n à y t r ạ i v ớ i g i ả t h i ế t G ( y , X , t ị ) r \ C ( x ) = 0, Vi = 1 , n . Chứng tỏ (ơ(ỉ/, X, tj) — С(x)nC(x)) = 0 và G(y, X, x)nC(x)) = 0. điều này vô lí. Do đó, tồn tại j e {l,...,n} sao cho 0 e G(y,x,tj) với mọi у e
Q(x,tj) v à Ỡ l à á n h x ạ đ a t r ị Q - K K M .
T ừ định lí 2.2.3 suy ra, tồn tại (X, Ỹ) £ D X К sao cho
X e S ( x , ỹ ) ] ỹ e T ( î , ÿ ) ; F (Ỹ,X,T) П ơ(ĩ) Ф 0,Ví e
G(2/, í) n ơ(ĩ) Ỷ 0, Ví € p(x),y e í).
Hệ quả 2.2.9 Cho T, P; <5 giống như trong hệ quả 2.2.7. Giả sử rằng
(i) С : D -> 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và
I N TC (X) Ф 0. Với mỗi X e D , С : D ->• 2y được xác định bởi Ỡ (X) = Y \ — I N TC (X) l à á n h x ạ đ a t r ị n ử a l i ê n t ụ c t r ê n ;
(ii)F là ánh xạ đa trị ( - C ) - liên tục dưới với tập giá trị khác rỗng lồi
c o m p a c t ;
(iiia) Với mỗi điểm cố định (x,y) e D X K, tồn tại г € T(x,y) sao cho F ( z , x , t ) n — i n t c ( x ) = 0 , V í G S { x , y ) \
được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
54 4
(iiĨỊ,) Với mỗi điểm cố định (X,T) e D X D , F ( . ,X,T) là (—C (X) ) - giống như tựa lồi dưới;
(iva) Với mỗi điểm cố định T € D , G ( . , . ,T) là ánh xạ đa trị (-Ơ) - liên tục dưới, G có tập giá trị khác rỗng lồi compact và G (Y, X , X) П-I N T C(X) = 0, V(x,