Cho F : D -» 2y là ánh xạ đa trị và С là nón trong Y . Trongcác chương sau của luận văn, ta cần tới các khái niệm sau:
Định nghĩa 1.3.14
1) F được gọi là C-ỉồi trên (dưới) trên D nếu với mọi Xi, X2 £ D, a £ [о, 1],
ta có
AF (X i) + (1 - A) F {X Ì) ç F (A X 1 + (1 - A)X2) + С (tương ứng, F (A X 1 + (1 - A)X2)
Ç AF (Xi) + (1 - A) F (X2) - C ) ;
2) F đ ư ợ c g ọ i l à C - l õ m t r ê n ( d ư ớ i ) t r ê n D n ế u — F l à C - l ồ i t r ê n ( d ư ớ i )
trên D . Từ đó ta suy ra : với mọi X i , X2£ D , А £ [ о , 1],ta có
aF(xi) + (1 — a)F(x2) ç F(ax1 + (1 — a)x2) — с
(tương ứng, F (A X 1 + (1 - À)X2) Ç AF (X 1) + (1 - A) F (X2) + С).
Định nghĩa 1.3.15 F là C -G I Ố N G N H Ư T Ự A L Ồ I T R Ê N (D Ư Ớ I) trên D nếu với mọi
Xi, X2 e D, а e [0,1] thì
được ký hiệu lần lượt như sau:
26 6
hoặc, F ( x 1) ç F ( a x 1 + (1 — a ) x2) + с
hoặc, F (X2) ç F (A X 1 + (1 — A)X2) + С
(tương ứng, hoặc, F (A X 1 + (1 - 0)0:2) Ç -^(^1) - С
hoặc, F (A X 1 + (1 — а)ж2) Ç F(a:2) — ơ).
T r o n g t r ư ờ n g h ợ p í 1 l à á n h x ạ đ ơ n t r ị , k h á i n i ệ m C - l ồ i t r ê n ( d ư ớ i ) ( h o ặ c , ơ-giống tựa lồi trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là ơ-lồi (hoặc, ơ-giống tựa l ồ i ) .
Các khái niệm ánh xạ C-lồi trên (dưới) hay C-giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng quát các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị. Có thể thấy rằng,
ánh xạ ơ-lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ ơ-giống tựa lồi trên (dưới) và n g ư ợ c l ạ i .
Ví dụ 1.3.16 Xét các ánh xạ F , G : R -» R2 xác định bởi
F ( x ) = ( x * , x ) v à G ( x ) = ( x , l — x ) .
V ớ i n ó n c = R +2, t a d ễ d à n g c h ỉ r a đ ư ợ c r ằ n g , F l à á n h x ạ c - g i ố n g n h ư t ự a lồi nhưng không là ơ-lồi và ánh xạ G là C — lồi nhưng không là C — giống như tựa lồi.
Định nghĩa 1.3.17 Cho F : D X D -> 2y là ánh xạ đa trị:
1) F được gọi là C -L Ồ I T R Ê N (D Ư Ớ I) T H E O Đ Ư Ờ N G C H É O đối với biến thứ hai
71
nếu với mọi tập hữu hạn { x i , . . . , xn} C D , x e c o ị x I , . . . , xn} , x = Ỵ 2 O í j X j , a j > i= 1 n 0, X} aj — 1; CÓ 3 = 1 n ' y ' c t j F ( x , X j ) C F ( x , x ) + c j= 1 n
( tương ứng, F(x,x) C ctjF(x, Xj) - C);
3=1
2) F đ ư ợ c g ọ i l à C - g i ố n g t ự a l ồ i t r ê n ( d ư ớ i ) t h e o đ ư ờ n g c h é o đ ố i v ớ i biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn {xi,xn} C D,x e co{xi,xn}, X = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n n
Ỵ 2 ajXj,aj > 0, Ỵ 2 aj —1, tồn tại chỉ số J e {1, ...,n}sao cho j = 1 j = 1
F ( x , X j ) c F ( x , X ) + c ,
( tương ứng, F(x,x) C F(x,xj) - c).
Ví dụ 1.3.18 Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
X với đối ngẫu X * , T : D —» X * là ánh xạ đơn trị. Ta dễ dàng chỉ ra rằng, ánh xạ đơn trị F : D X D ->■ R định nghĩa: F (X, T) =< T (X) , X - 1 >, X,T £ D , là R+
L Ồ I T R Ê N (D Ư Ớ I) T H E O Đ Ư Ờ N G C H É O và cũng là M_|_ G I Ố N G T Ự A L Ồ I T R Ê N
(D Ư Ớ I) T H E O Đ Ư Ờ N G C H É O đối với biến thứ hai.
Định nghĩa 1.3.19 Cho các ánh xạ đa trị F : к X D X D ->• 2Y,Q : ũ x D - > 2x. C h o С : К X D - » 2 y l à á n h x ạ n ó n đ a t r ị :
1) F được gọi là (Q,C)-giống như tựa lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với bất kì tập hữu hạn {xi,...,xn} Ç D,x £ co{xi,xn} tồn tại chỉ s ố j Ễ { 1, n } s a o c h o
F ( y , x , x j ) Ç F ( y , x , x ) + C ( y , x ) , v ớ i m ọ i y e Q ( x , x j ) ]