Siêu không gian và siêu trường

Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trườngΦ(^ˆ X)¹ thỏa mãn các điều kiện:

- Là hàm của các tọa độ X trong siêu không gian (superspace). - Biến đổi theo nhóm siêu Poincare.

Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian minkowsky thông thường các tọa độ Grassmann phản giao hoán. Các biến Grassmann có liên quan tới các tọa độ mở rộng xuất hiện trong siêu không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm siêu Poincare bằng cách mở rộng không tầm thường nhóm Poincare. Cụ

thể bộ hai vi tử fermion Q_α, Q⁺_α˙ được thêm vào nhóm Poincare, với vai trò tương tự như các vi tửP^µ trong các tọa độ thông thường. Tương ứng trong siêu không gian có thêm các tọa độ Grassmann θ^α, θ^¯α˙. Hệ tọa độ siêu không gian được ký hiệu là X = (x^µ, θ^α,θ^¯α˙). Các hàm biểu diễn siêu trường mới đều phụ thuộc tất cả các biến trênΦb ≡ Φ(b X) = Φ(b x^µ, θ^α,θ^¯α˙). Các siêu trường vô hướng tổng quát Sb(x^µ, θ,θ^¯) được khai triển các biến Grassmann θ_α, θ^¯_α˙ như sau:

b

S(x^µ, θ,θ^¯) = ϕ(x) +θψ(x) + ¯θχ⁺(x) + (θθ)M(x) + (¯θθ^¯)N(x) + (θσ^µθ^¯)V_µ(x) + (θθ)(¯θλ^¯(x))

+ (¯θθ^¯)(θρ(x)) + (θθ)(¯θθ^¯)D(x). (1.59) Như đã nhận xét ở trên, người ta xét Sb(x^µ, θα,θ^¯α˙) liên quan tới hai phép biến đổi:

- Biến đổi theo qui tắc biến đổi toán tử trường đối với nhóm Poincare.

b

S(x^µ, θ_α,θ^¯_α˙) → e^{−i (Q+¯Q¯)} S eb ^i(Q+¯Q¯).

- Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong không gian hàm,

b

S(x^µ, θ_α,θ^¯_α˙) →e^i(Q+¯Q¯)Sb= Sb(x−ic(σ^µθ) +ic^∗(θσ^µ¯), θ +,θ^¯+ ¯),

trong đó là tham số, Q là biểu diễn của Q_α, c là hằng số phức liên hệ với phép tịnh tiến.

x → x−ic(σ^µθ) +ic^∗(θσ^µ¯).

So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của x^µ, θ_α, θ^¯_α˙ cho ta kết quả: Qα = −i ^∂ ∂θ_α −c(σ^µ)_αβ˙_θ¯β^˙ ∂ ∂xµ = −i∂_α−c(σ^µ)_αβ˙_θ¯β^˙∂_µ, Q+ ˙ α = i∂_α˙ +c^∗θ^β(σ^µ)_βα˙∂_µ, Pµ = −i∂_µ.

Đại lượng c được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử

n

Qα, Q_β˙

o

= 2(σ^µ)_αβ˙Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai vế hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của , ta được liên hệ giao hoán tử của Sb với Q_α:

i [S, Qb + ¯Q^¯] = i(Q+ ¯Q^¯)Sb = δS.b (1.60) Biết được biểu thức cụ thể của Qα, Q^¯α˙ và Pµ, người ta thu được các biến phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong Sb. Trong đó người ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần.

δD = ⁱ

2^∂µ(σ

µλ⁺−ρσ^µ¯).

Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrangian siêu đối xứng.

Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản có trong nhiều tài liệu chuẩn hiện nay.

Siêu trường vô hướng tổng quát Sb không phải là biểu diễn tối giản của siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:

1. siêu trường chiral Φb thỏa mãn : D^¯α˙Φ = 0.b

2. Siêu trường phản chiral _Φb¯ _{thỏa mãn điều kiện:} Dα_{Φ = 0.}b¯ 3. Siêu trường vector (siêu trường thực) Vb thỏa mãn: Vb⁺ = Vb.

4. Siêu trường tuyến tính Lb thỏa mãn điều kiện DDLb = 0 và Lb⁺ = Lb. Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý có trong SM.

Siêu trường chiral

Siêu trường chiral Φb thỏa mãn điều kiện D^¯α˙Φ = 0. Đây còn gọi là siêub

trường chiral phân cực trái (left - handed), là siêu trường chứa các spinor phân cực trái, với biểu thức có dạng:

b Φ(x^µ, θ^α,θ^¯α˙) = ϕ(x) +√ 2[θψ(x)] + (θθ)F(x) +i(θσ^µθ^¯)∂_µϕ(x) − √ⁱ 2^{(θθ)[∂µψ(x)σ} µθ]− ¹ 4^(θθ)(¯θ ¯ θ)∂_µ∂^µϕ(x). (1.61) Siêu trường chiral có một số đặc điểm quan trọng :

- δF là một số hạng vi phân toàn phần δF = i√

2¯σ¯^µ∂_µψ.

- Tích của các siêu trường chiral cũng là một siêu trường chiral. Tổng quát, bất kì hàm holomorphic f(Φ)b của siêu trường chiral Φb cũng thỏa mãn điều kiện chiral.

- Nếu Φb là siêu trường chiral thì Φ =^¯ Φb⁺ là siêu trường phản chiral. - Φb⁺Φb và (Φb⁺ + Φ)b là các siêu trường thực nhưng không phải là chiral hay phản chiral.

Siêu trường phản chiral

Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta khai triển cụ thể của siêu trường antichiral như sau:

b¯ Φ(x^µ, θ^α,θ^¯α˙) = ϕ⁺(x) +√ 2[¯θψ^¯(x)] + (¯θθ^¯)F⁺(x)−i(θσ^µθ^¯)∂_µϕ⁺(x) + √ⁱ 2^(¯θ ¯ θ)[θσ^µ∂_µψ^¯(x)]− ¹ 4^(θθ)(¯θ ¯ θ)∂_µ∂^µϕ⁺(x). (1.62) Siêu trường vector

Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhấtVb(x, θ,θ^¯) =Vb⁺(x, θ,θ^¯). Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với 8 bậc fermion

độc lập. Người ta chứng minh được siêu trường này có thể viết ở dạng gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần không có ý nghĩa vật lý. Siêu trường vector viết trong dạng này được gọi là siêu trường vector viết theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởi biểu thức:

b V_{W Z}(x, θ,θ^¯) = (θσ^µθ^¯)V_µ(x) + (θθ)[¯θλ^¯(x)] + (¯θθ^¯)[θλ(x)] + ¹ 2^(θθ)(¯θ ¯ θ)D(x). (1.63) Thông thường ta chỉ xét vector chuẩn này.

Một số đặc điểm của siêu trường vector:

1. Gồm các thành phần vật lý: V_µ tương ứng với bậc tự do boson ví dụ: hạt vật lý (γ, W^±, Z, gluon); λ và λ^¯ tương ứng các bậc tự do fermion (các gaugino). D là trường khuyết thiếu, không phải trường vật lý được định nghĩa sau.

2. Các lũy thừa của Vb_{W Z} xác định như sau:

b

V_{W Z}² = ¹

2^(θθ)(¯θ ¯

θ)V^µV_µ, Vb_{W Z}ⁿ⁺² = 0 ∀n∈ N. (1.64) Tiếp theo để xây dựng số hạng động năng cho các trường vector, người ta phải tìm cách xây dựng siêu trường cường độ trường cho SUSY. Cụ thể ta xét hai trường hợp: nhóm Abel và non - Abel.

Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán

Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộng định nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường. Cụ thể, khi chưa siêu đối xứng hóa, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo :

cho cường độ trường giao hoán. Trong trường hợp siêu đối xứng, định nghĩa cho cường độ siêu trường là:

Wα ≡ −¹

4^{( ¯}DD¯)DV .b (1.66) Cường độ siêu trường này thỏa mãn cả hai điều kiện chiral và bất biến theo phép biến đổi chuẩn mở rộng.

Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tương ứng) theo hệ biến (y, θ,θ^¯), trong đó y^µ = x^µ+ iθσµθ^¯, ta được :

W_α(y, θ) =λ_α(y)+θ_αD(y)+(σ^µνθ)_αF_µν(y)−i(θθ)(σ^µ)_αβ˙∂_µλ^¯β˙(y), (1.67) trong đó ta kí hiệu: σ^µν ≡ ⁱ 4^(σ µ ¯ σ^ν −σ^νσ¯^µ)_α^β. (1.68) Cường độ siêu trường chuẩn không giao hoán

Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, số bậc tự do của nhóm tương ứng với số vi tử T^a của nhóm. Để khai thác kết quả có được từ nhóm chuẩn giao hoán, người ta dùng định nghĩa:

b

Λ = Λb_aT^a, Vb = Vb_aT^a, T^a, T^b = if^abcT^c, (1.69) trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu không chú thích gì thêm.

Tương tự như nhóm chuẩn giao hoán ta cần (Φb⁺e^2qVb

b

Φ) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn mở rộng Φb →e^iqΛb

b

Φ, nhưng do đặc tính không giao hoán của Λb và Vb trong trường hợp này làm cho Vb không biến đổi như trường hợp nhóm chuẩn giao hoán. Dựa vào định nghĩa cường độ trường

F_µν, trong trường hợp của lý thuyết không siêu đối xứng Yang Mills, biến đổi thành U F_µνU⁻¹ dưới các phép biến đổi unitary, người ta định nghĩa được đại lượng:

W_α ≡ − ¹

8q^{( ¯}DD¯)(e^−2qVbDαe^2qVb), (1.70) thỏa mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự như g trong SU(2)_L). Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứng khai triển được theo các trường thành phần như sau:

W_α = −¹ 4^{( ¯}DD¯)Dα[V^α(y, θ,θ^¯) +if^abcV^b(y, θ,θ^¯)V^c(y, θ,θ^¯)] = λ^a_α(y) +θ_αD^α(y) + (σ^µνθ)_αF_µν^a (y)−i(θθ)(σ^µ)_αβ˙D_µ^¯λ^αβ˙(y). (1.71) Với F_µν^a ≡ ∂_µV_ν^a−∂_νV_µ^a +qf^abcV_µ^bV_ν^c, D_µ^¯λ^a ≡ ∂_µλ^¯a +qf^abcV_µ^bλ^¯c. (1.72) Như vậy, với trình bày như trên ta đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việc xây dựng Lagrangian bất biến siêu đối xứng. Phần tiếp theo sẽ tóm tắt một số quy tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổng quát thỏa mãn điều kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn và tái chuẩn hóa được.