Lý Thuyết siêu đối xứng

Lý thuyết siêu đối xứng là hướng mở rộng không tầm thường đối xứng không - thời gian trong thuyết tương đối hẹp. Vật lý hạt cơ bản gắn liền với việc phân loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bất biến của tác dụng S. Nếu xét đến giới hạn SM, chúng ta đã biết có hai loại đối xứng cơ bản sau:

• Đối xứng không - thời gian (còn gọi là đối xứng ngoài): ví dụ các phép biến đổi Poincare, Biến đổi Lorentz tác dụng trực tiếp lên tọa

độ không - thời gian của hệ vật lý. Chính đối xứng này phân loại các hạt theo khối lượng và spin.

• Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phần trường xếp trong cùng một đa tuyến:

Φ^a(x) −→ M^a_bΦ^b(x). (1.44) Trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, M_b^a là biểu diễn của toán tử đối xứng. Đối xứng trong phân loại hạt theo tương tác, theo các số lượng tử như điện tích, màu...

Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngoài (đối xứng Lorentz) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩnSU(3)_C⊗SU(2)_L⊗

U(1)_Y ) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngoài đều giao hoán với mọi vi tử của nhóm đối xứng trong. Người ta gọi đây là cách mở rộng tầm thường nhóm đối xứng ngoài.

Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng không tầm thường nhóm đối xứng ngoài bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới bao gồm các vi tử Lorentz và các vi tử mới không giao hoán với ít nhất một các vi tử Lorentz. Người ta chia ra được các vi tử này là các vi tử phản giao hoán có các tính chất sau:

1. Không giao hoán với phép quay.

[Q, M^µν] 6= 0. (1.45) Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz không sơ đẳng và có spin khác không. Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau. Cụ thể hơn Qⁱ biến đổi

fermion thành boson và ngược lại.

Q| f ermion > = | boson >,

Q| boson > = | f ermion >, (1.46)

do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson và fermion bằng nhau. Các fermion và boson biến đổi qua lại lẫn nhau dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyến gọi là siêu đa tuyến. Siêu đối xứng thống nhất hai thành phần có đặc điểm thống kê spin khác nhau.

2. Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian.

[Q, E] = [Q, P] = 0. (1.47) 3. Phản giao hoán tử {Q, Q⁺} là toán tử năng lượng E và xung lượng P.

Q, Q⁺ = αE +βP. (1.48)

Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệ với xung lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với năng lượng.

X

Q

Q, Q⁺ ∝ E. (1.49)

Do các tính chất trên nên toán tử Q có tính chất của spinor. Trong siêu đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặc spinor Weyl. Tuy nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn. Trong kí hiệu hai thành phần, spinor Majorana bốn chiều có dạng:

Q= Q_α ¯ Qα˙ , α = 1,2; α˙ = ˙1, ˙2. (1.50)

Đại số siêu đối xứng tổng quát có dạng như sau: [Qα, Pµ] = Q^¯α˙, Pµ = 0, [Q_α, M_µν] = (¯σ_µν)_β^α˙_˙Q^¯β˙, (1.51) {Q_α, Q_β} = n ¯ Q_α˙,Q^¯_β˙ o = 0, n Q_α,Q^¯_β˙ o = 2(σ^µ)_αβ˙P_µ. (1.52) Trong đó σ^µ = (1, σi),σ^¯µ = (1,−σi). Đại số trên chứa cả hai loại giao hoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi làđại số Lie phân bậc (graded Lie algebra). Chú ý rằng Qⁱ có thể mang chỉ số i = 1,2, ...N của nhóm đối xứng trong. Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng. Trong phần này ta chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1. Từ điều kiện giao hoán tử (1.51), ta thấy đối xứng ngoài (đại số Poincare) và đối xứng trongQ, Q^¯

kết hợp một cách không tầm thường. 1.4.2 Đại số Poincare và các spinor

Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không - thời gian trong lý thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các toạ độ không - thời gian x^µ như sau:

x^µ 7→x^0µ = Λ^µ_νx^ν +a^µ. (1.53) Trong đó Λ^µ_ν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thỏa mãn điều kiện tensor metric η_µν = diag(1,−1,−1,−1) bất biến, cụ thể:

Λ^TηΛ= η.

Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz nói trên hợp thành nhóm Lorentz không đồng nhất. Nhóm này có một nhóm con đặc biệt liên kết

(connected) với phần tử đơn vị và có định thức bằng 1, gọi là nhóm Lorentz trực giao thời gian riêng (orthochronous) SO(3,1)^↑ . Tất cả các nhóm con còn lại có thể được xây dựng bằng cách lấy tích trực tiếp của nhóm con này với ít nhất một trong hai phép biến đổi: nghịch đảo thời gian T hoặc nghịch đảo không gian P (parity). Do vậy người ta chỉ xét đến nhóm Lorentz này. Nhóm Poincare có các vi tử kí hiệu M^µν và P^σ

thỏa mãn đại số:

[P^µ, P^ν] = 0,

[M^µν, P^σ] = i(P^µη^νσ −P^νη^µσ). (1.54) Các vi tử M^µν của nhóm Lorentz có thể mô tả các vi tử quay J_i và các boost Lorentz theo các liên hệ :

J_i = _ijkM_jk; K_i = M_0i, i, j, k = 1,2,3, (1.55) Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh ba trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng. Cụ thể biến đổi Lorentz của hạt spin J cho bởi:

|J >→ e^i(Jaθa+Kbωb)|J > . (1.56) Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (không có tính hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lập thỏa mãn đại số SU(2). Cụ thể người ta đặt:

La = ¹

2^{(Ja+ iKa), Na =} 1

Khi đó từ đại số Poincare của các vi tử M^µν người ta tìm được các liên hệ giao hoán tử :

[J_a, J_b] = i_abcJ_c, [J_a, K_b] = 0, [K_a, K_b] = i_abcK_c,

[L_a, L_b] = i_abcL_c, [N_a, N_b] = i_abcN_c, [L_a, N_b] = 0. (1.58) Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x⁰, ~x) → (x⁰,−~x) cho kết quả

J_a → J_a, K_a → −K_a, dẫn đến L_a ↔ N_a. Các kết quả trên cũng cho thấy sự tương ứng SO(3,1)^↑ w SU(2)⊕SU(2), đồng thời spin J của hạt mô tả theo các spin của 2 nhóm SU(2) thành phần: J^~ = j^~₁ + j^~₂. Như vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưng bởi hai bán số nguyên (j1, j2) đặc trưng cho các biểu diễn của hai đại số SU(2) ở trên. Biểu diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên 2j. Hai biểu diễn spinor đơn giản nhất là (0,¹₂) và (¹₂,0) tương ứng với các trạng thái hai hạt thành phần , ψ_L - Weyl trái và ψ_R - Weyl phải. Hai trạng thái này vì vậy biến đổi khác nhau dưới phép biến đổi Lorentz. Cụ thể, biểu diễn (¹₂,0) tương ứng với L_a = ¹₂σ_a và N_a = 0 ( hay J_a = ¹₂σ_a, K_a = −i

2σ_a) cho biến đổi Lorentz của ψ_L:

ψ_L → e^(iσa2 θa+^σb₂ωb)ψ_L.

Trong khi đó biểu diễn (0,¹₂) có L_a = 0, N_a = ^σa

2 (J_a = ^σa

2 , K_a = ₂ⁱσ_a) thì:

ψ_R → e^(iσa2 θa−^σb₂ωb)ψ_R.

Nhận xét: Các spinor này biến đổi khác nhau dưới tác dụng của các boost Lorentz. Các biểu diễn tương ứng biến đổi qua lại lẫn nhau qua một phép biến đổi chẵn lẻ. Do vậy nếu định nghĩa χ_α là spinor weyl trái người ta thu được spinor weyl phải thông qua phép liên hợp chẵn lẻ, ký

hiệu χ^†_α˙ ≡(χ_α)^†.

Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ số không chấm trên (α, β, ....) chỉ được ký hiệu cho weyl trái còn các chỉ số có chấm trên ( ˙α,β....^˙ ) chỉ được dùng cho weyl phải.

Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính là biểu diễn Dirac quen thuộc.

Ψ_D(x) = ψ_α χ^†β^˙ ≡(ψ_L ψ_R)^T ≡ (ψ₁, ψ₂, χ⁺¹, χ⁺²)^T.

Sự nâng hạ chỉ số spinor weyl thông qua các tensor phản xứng bất biến đối với nhóm SU(2)C: ^αβ = ^α˙β˙ =   0 1 −1 0   = −_αβ = −_α˙β˙.

Trong phần này ta chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theo các trường spinor hai thanh phần.

1.4.3 Siêu không gian và siêu trường

Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trườngΦ(^ˆ X)¹ thỏa mãn các điều kiện:

- Là hàm của các tọa độ X trong siêu không gian (superspace). - Biến đổi theo nhóm siêu Poincare.

Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian minkowsky thông thường các tọa độ Grassmann phản giao hoán. Các biến Grassmann có liên quan tới các tọa độ mở rộng xuất hiện trong siêu không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm siêu Poincare bằng cách mở rộng không tầm thường nhóm Poincare. Cụ

thể bộ hai vi tử fermion Q_α, Q⁺_α˙ được thêm vào nhóm Poincare, với vai trò tương tự như các vi tửP^µ trong các tọa độ thông thường. Tương ứng trong siêu không gian có thêm các tọa độ Grassmann θ^α, θ^¯α˙. Hệ tọa độ siêu không gian được ký hiệu là X = (x^µ, θ^α,θ^¯α˙). Các hàm biểu diễn siêu trường mới đều phụ thuộc tất cả các biến trênΦb ≡ Φ(b X) = Φ(b x^µ, θ^α,θ^¯α˙). Các siêu trường vô hướng tổng quát Sb(x^µ, θ,θ^¯) được khai triển các biến Grassmann θ_α, θ^¯_α˙ như sau:

b

S(x^µ, θ,θ^¯) = ϕ(x) +θψ(x) + ¯θχ⁺(x) + (θθ)M(x) + (¯θθ^¯)N(x) + (θσ^µθ^¯)V_µ(x) + (θθ)(¯θλ^¯(x))

+ (¯θθ^¯)(θρ(x)) + (θθ)(¯θθ^¯)D(x). (1.59) Như đã nhận xét ở trên, người ta xét Sb(x^µ, θα,θ^¯α˙) liên quan tới hai phép biến đổi:

- Biến đổi theo qui tắc biến đổi toán tử trường đối với nhóm Poincare.

b

S(x^µ, θ_α,θ^¯_α˙) → e^{−i (Q+¯Q¯)} S eb ^i(Q+¯Q¯).

- Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong không gian hàm,

b

S(x^µ, θ_α,θ^¯_α˙) →e^i(Q+¯Q¯)Sb= Sb(x−ic(σ^µθ) +ic^∗(θσ^µ¯), θ +,θ^¯+ ¯),

trong đó là tham số, Q là biểu diễn của Q_α, c là hằng số phức liên hệ với phép tịnh tiến.

x → x−ic(σ^µθ) +ic^∗(θσ^µ¯).

So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của x^µ, θ_α, θ^¯_α˙ cho ta kết quả: Qα = −i ^∂ ∂θ_α −c(σ^µ)_αβ˙_θ¯β^˙ ∂ ∂xµ = −i∂_α−c(σ^µ)_αβ˙_θ¯β^˙∂_µ, Q+ ˙ α = i∂_α˙ +c^∗θ^β(σ^µ)_βα˙∂_µ, Pµ = −i∂_µ.

Đại lượng c được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử

n

Qα, Q_β˙

o

= 2(σ^µ)_αβ˙Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai vế hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của , ta được liên hệ giao hoán tử của Sb với Q_α:

i [S, Qb + ¯Q^¯] = i(Q+ ¯Q^¯)Sb = δS.b (1.60) Biết được biểu thức cụ thể của Qα, Q^¯α˙ và Pµ, người ta thu được các biến phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong Sb. Trong đó người ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần.

δD = ⁱ

2^∂µ(σ

µλ⁺−ρσ^µ¯).

Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrangian siêu đối xứng.

Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản có trong nhiều tài liệu chuẩn hiện nay.

Siêu trường vô hướng tổng quát Sb không phải là biểu diễn tối giản của siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:

1. siêu trường chiral Φb thỏa mãn : D^¯α˙Φ = 0.b

2. Siêu trường phản chiral _Φb¯ _{thỏa mãn điều kiện:} Dα_{Φ = 0.}b¯ 3. Siêu trường vector (siêu trường thực) Vb thỏa mãn: Vb⁺ = Vb.

4. Siêu trường tuyến tính Lb thỏa mãn điều kiện DDLb = 0 và Lb⁺ = Lb. Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý có trong SM.

Siêu trường chiral

Siêu trường chiral Φb thỏa mãn điều kiện D^¯α˙Φ = 0. Đây còn gọi là siêub

trường chiral phân cực trái (left - handed), là siêu trường chứa các spinor phân cực trái, với biểu thức có dạng:

b Φ(x^µ, θ^α,θ^¯α˙) = ϕ(x) +√ 2[θψ(x)] + (θθ)F(x) +i(θσ^µθ^¯)∂_µϕ(x) − √ⁱ 2^{(θθ)[∂µψ(x)σ} µθ]− ¹ 4^(θθ)(¯θ ¯ θ)∂_µ∂^µϕ(x). (1.61) Siêu trường chiral có một số đặc điểm quan trọng :

- δF là một số hạng vi phân toàn phần δF = i√

2¯σ¯^µ∂_µψ.

- Tích của các siêu trường chiral cũng là một siêu trường chiral. Tổng quát, bất kì hàm holomorphic f(Φ)b của siêu trường chiral Φb cũng thỏa mãn điều kiện chiral.

- Nếu Φb là siêu trường chiral thì Φ =^¯ Φb⁺ là siêu trường phản chiral. - Φb⁺Φb và (Φb⁺ + Φ)b là các siêu trường thực nhưng không phải là chiral hay phản chiral.

Siêu trường phản chiral

Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta khai triển cụ thể của siêu trường antichiral như sau:

b¯ Φ(x^µ, θ^α,θ^¯α˙) = ϕ⁺(x) +√ 2[¯θψ^¯(x)] + (¯θθ^¯)F⁺(x)−i(θσ^µθ^¯)∂_µϕ⁺(x) + √ⁱ 2^(¯θ ¯ θ)[θσ^µ∂_µψ^¯(x)]− ¹ 4^(θθ)(¯θ ¯ θ)∂_µ∂^µϕ⁺(x). (1.62) Siêu trường vector

Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhấtVb(x, θ,θ^¯) =Vb⁺(x, θ,θ^¯). Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với 8 bậc fermion

độc lập. Người ta chứng minh được siêu trường này có thể viết ở dạng gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần không có ý nghĩa vật lý. Siêu trường vector viết trong dạng này được gọi là siêu trường vector viết theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởi biểu thức:

b V_{W Z}(x, θ,θ^¯) = (θσ^µθ^¯)V_µ(x) + (θθ)[¯θλ^¯(x)] + (¯θθ^¯)[θλ(x)] + ¹ 2^(θθ)(¯θ ¯ θ)D(x). (1.63) Thông thường ta chỉ xét vector chuẩn này.

Một số đặc điểm của siêu trường vector:

1. Gồm các thành phần vật lý: V_µ tương ứng với bậc tự do boson ví dụ: hạt vật lý (γ, W^±, Z, gluon); λ và λ^¯ tương ứng các bậc tự do fermion (các gaugino). D là trường khuyết thiếu, không phải trường vật lý được định nghĩa sau.

2. Các lũy thừa của Vb_{W Z} xác định như sau:

b

V_{W Z}² = ¹

2^(θθ)(¯θ ¯

θ)V^µV_µ, Vb_{W Z}ⁿ⁺² = 0 ∀n∈ N. (1.64) Tiếp theo để xây dựng số hạng động năng cho các trường vector, người ta phải tìm cách xây dựng siêu trường cường độ trường cho SUSY. Cụ thể ta xét hai trường hợp: nhóm Abel và non - Abel.

Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán

Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộng định nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường. Cụ thể, khi chưa siêu đối xứng hóa, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo :

cho cường độ trường giao hoán. Trong trường hợp siêu đối xứng, định nghĩa cho cường độ siêu trường là:

Wα ≡ −¹

4^{( ¯}DD¯)DV .b (1.66) Cường độ siêu trường này thỏa mãn cả hai điều kiện chiral và bất biến theo phép biến đổi chuẩn mở rộng.

Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tương ứng) theo hệ biến (y, θ,θ^¯), trong đó y^µ = x^µ+ iθσµθ^¯, ta được :

W_α(y, θ) =λ_α(y)+θ_αD(y)+(σ^µνθ)_αF_µν(y)−i(θθ)(σ^µ)_αβ˙∂_µλ^¯β˙(y), (1.67) trong đó ta kí hiệu: σ^µν ≡ ⁱ 4^(σ µ ¯ σ^ν −σ^νσ¯^µ)_α^β. (1.68) Cường độ siêu trường chuẩn không giao hoán

Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, số bậc tự do của nhóm tương ứng với số vi tử T^a của nhóm. Để khai thác kết quả có được từ nhóm chuẩn giao hoán, người ta dùng định nghĩa:

b

Λ = Λb_aT^a, Vb = Vb_aT^a, T^a, T^b = if^abcT^c, (1.69) trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu không chú thích gì thêm.

Tương tự như nhóm chuẩn giao hoán ta cần (Φb⁺e^2qVb

b

Φ) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn mở rộng Φb →e^iqΛb

b

Φ, nhưng do đặc tính không giao hoán của Λb và Vb trong trường hợp này làm cho Vb không biến đổi như trường hợp nhóm chuẩn giao hoán. Dựa vào định nghĩa cường độ trường

F_µν, trong trường hợp của lý thuyết không siêu đối xứng Yang Mills, biến đổi thành U F_µνU⁻¹ dưới các phép biến đổi unitary, người ta định nghĩa được đại lượng:

W_α ≡ − ¹

8q^{( ¯}DD¯)(e^−2qVbDαe^2qVb), (1.70) thỏa mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự như g trong SU(2)_L). Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứng khai triển được theo các trường thành phần như sau:

W_α = −¹ 4^{( ¯}DD¯)Dα[V^α(y, θ,θ^¯) +if^abcV^b(y, θ,θ^¯)V^c(y, θ,θ^¯)] = λ^a_α(y) +θ_αD^α(y) + (σ^µνθ)_αF_µν^a (y)−i(θθ)(σ^µ)_αβ˙D_µ^¯λ^αβ˙(y). (1.71) Với F_µν^a ≡ ∂_µV_ν^a−∂_νV_µ^a +qf^abcV_µ^bV_ν^c, D_µ^¯λ^a ≡ ∂_µλ^¯a +qf^abcV_µ^bλ^¯c. (1.72) Như vậy, với trình bày như trên ta đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việc xây dựng Lagrangian bất biến siêu đối xứng. Phần tiếp theo sẽ tóm tắt một số quy tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổng quát thỏa mãn điều kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn và tái chuẩn hóa được.

1.4.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứngTa xét lần lượt các trường hợp: siêu trường chiral, siêu trường vector Ta xét lần lượt các trường hợp: siêu trường chiral, siêu trường vector và cường độ siêu trường.

Lagrangian cho siêu trường chiral

Để tìm L(Φ) sao cho δL là một vi phân toàn phần dưới tác dụng của