Phép biến đổi Fourier và những hạn chế
Trong xử lý tín hiệu, phép biến đổi Fourier (FT, Fourier Transform) là một công cụ toán học quan trọng vì nó là cầu nối cho việc biểu diễn tín hiệu giữa miền không gian và miền tần số; việc biểu diễn tín hiệu trong miền tần số đôi khi có lợi hơn là việc biểu diễn trong miền không gian (Hình 1.3).
Hình 1.3. Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) và biến đổi ngược của nó, X(f), được xác định bởi biểu thức sau:
(1.15)
(1.16)
Mặc dù có nhiều hiệu quả trong trong phân tích các tín hiệu tuần hoàn và các phép chập tín hiệu, phép biến đổi Fourier còn có hạn chế do thông tin về thời gian đã bị biến mất khi biến đổi sang miền tần số. Với nhiều tín hiệu có chứa các thông số động (ví dụ: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của các sự kiện), phân tích Fourier không thích hợp để phát hiện chúng.
đổi Fourier thời gian ngắn (STFT. Short Time Fourier Transform) cho từng đoạn nhỏ của tín hiệu (cửa sổ). Ý tưởng này là sự cục bộ của biến đổi Fourier, sử dụng hàm cửa số xấp xỉ trung tâm nơi định vị. Tín hiệu nguyên thủy được phân thành từng đoạn bằng cách nhân với một hàm cửa số, sau đó thực hiện biến đổi Fourier (Hình 1.4). Nhược điểm chính của phép biến đổi này là khi kích thước cửa sổ được chọn thì tất cả các tần số được phân tích với cùng độ phân giải thời gian và tần số. Do vậy, khi phân tích tín hiệu nhiều thành phần tần số hoặc thời gian, phép biến đổi này chỉ cho độ phân giải tương đối về tần số tốt với các tín hiệu có thời gian tồn tại ngắn. Nói một cách khác, phép biến đổi này bị khống chế bởi nguyên lý bất định Heisengber (không thể xác định chính xác cùng một lúc cả vị trí lẫn vận tốc của một hạt) cho các thành phần tần số cao và tần số thấp trong tín hiệu.
Hình 1.4. Biến đổi Fourier thời gian ngắn
Phép biến đổi wavelet
Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiều thành phần thời gian và tần số, phép dời đơn giản trong biến đổi Fourier thời gian ngắn đã được thay thế bằng phép dời và đổi thang độ (shifts and scales). Điều này dẫn đến sự ra đời của phép biến đổi wavelets (Hình 1.5) [23].
Hình 1.5. Biến đổi wavelet
Phân tích wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần số cao. Vậy phân tích wavelet không dùng một miền thời gian - tần số, mà là miền thời gian - tỷ lệ (Hình 1.5).
Định nghĩa wavelet
Wavelets là dạng các sóng nhỏ có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung bình bằng 0. So với sóng sin thì sóng sin không có khoảng thời gian giới hạn – kéo dài từ âm vô cùng đến dương vô cùng. Trong khi sóng sin trơn tru và có thể dự đoán, wavelet lại bất thường và bất đối xứng (Hình 1.7).
Hình 1.7. Sóng sin và wavelet
Phân tích wavelet là phép chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị và tỷ lệ (co dãn) của một hàm đơn hay gọi là hàm mẹ wavelet. Vì vậy, tín hiệu với thay đổi nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn là với một sóng sin trơn. Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các wavelet.
Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT)
Bằng cách lấy thang tỉ lệ (scaling) và dịch chuyển một hàm thời gian, ψ(t) gọi wavelet mẹ hay wavelet cơ sở, ta được một họ wavelet:
(1.17) Trong đó:
A: thông số thang tỉ lệ chỉ sự co giãn của wavelet
B: thông số dịch chuyển chỉ vị trí thời gian của wavelet.
Dạng sóng tổng quát của các wavelet trong cùng họ được bảo toàn trong mọi co giãn và tịnh tiến.
Biến đổi wavelet liên tục (CWT) của một hàm thời gian (tín hiệu) x(t) được định nghĩa như sau:
(1.18) Trong đó: * chỉ liên hiệp phức
(.) chỉ tích nội
Biến đổi wavelet Wx(a,b) diễn tả sự tương quan giữa tín hiệu x(t) và waveleta,b(t). Biến đổi thuận ở trên là phân tích, ngược lại là tổng hợp để phục hồi tín hiệu thời gian.
Hình 1.8 và 1.9 biểu diễn hàm ψ(t) của các họ biến đổi wavelet liên tục: Symlets và Mexican Hat
Hình 1.9. Hàm ψ(t) của biến đổi Mexican Hat
Biến đổi wavelet liên tục đã được ứng dụng thành công trong phép định lượng hỗn hợp đa thành phần [6, 13, 28, 25].
Biến đổi wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform - DWT)
Biến đổi wavelet liên tục chứa nhiều trùng lắp và đòi hỏi việc tính toán công phu. Cả hai trở ngại trên được giải quyết đồng thời bằng cách rời rạc hóa thông số a, b:
Trong đó m, n là số nguyên. Họ wavelet ở phương trình (1.18) trở thành:
(1.19)
Thông dụng nhất là rời rạc hóa dạng bát phân (octave) hay lũy thừa của 2 (dyadic) với a0= 2, b0 = 1:
(1.20) Tập wavelet trên trực giao khi:
cho tất cả m, n, k, l nguyên, và δ là ký hiệu Kronecker.
Với sự chọn lựa thông số a, b như trên ta có biến đổi wavelet rời rạc (DWT) có các hệ số wavelet là
(1.22) Việc tổng hợp sẽ cho lại tín hiệu thời gian:
(1.23) Hình 1.10. biểu diễn ψ(t) của biến đổi wavelet rời rạc Haar
Hình 1.10. Hàm ψ(t) của biến đổi Haar
Biến đổi wavelet rời rạc cũng đã được ứng dụng thành công trong phép định lượng hỗn hợp đa thành phần [14, 23, 28].
CHƯƠNG 2
ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU