Cho Σ, V là các không gian Hilbert và a : ΣΣ Ñ R, b : ΣV Ñ R
là các dạng song tuyến tính liên tục. Đặt
Z tσ P Σ| bpσ, vq 0, @v P V u. (2.1.12) Giả sử ap., .q là Z - elliptic, tức là tồn tại hằng số α ¡ 0 sao cho
apσ, σq ¥ α}σ}2
Σ, @σ P Z. (2.1.13)
Hơn nữa, giả sử tồn tại hằng số β ¡ 0 sao cho
sup τPΣ
bpτ, vq }τ}Σ
¥ β}v}V, @v P V. (2.1.14) Khi đó, nếu κ P Σ và l P V thì tồn tại duy nhất cặp pσ, uq P Σ V sao cho
apσ, τq bpτ, uq pκ, τq, @τ P Σ (2.1.15) bpσ, vq pl, vq, @v P V. (2.1.16) Chứng minh.
+ Sự tồn tại:
Định nghĩa A : Σ Ñ Σ, B : Σ Ñ V bởi
pAσ, τq apσ, τq, τ P Σ
pBσ, vq bpσ, vq, v P V.
Rõ ràng A và B xác định và là các toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, (2.1.15) – (2.1.16) tương đương với hệ
Aσ Bu κ (2.1.17)
Bσ l (2.1.18)
trong đó B : V Ñ Σ là toán tử liên hợp của B. Lúc này, theo (2.1.14) suy ra
}Bv} ¥ β}v}, v P V. (2.1.19) Như vậy, B có miền giá trị đóng và là song ánh, vì B toán tử tuyến tính liên tục nên suy ra B là ánh xạ lên. Chọn σ1 P Σ sao cho Bσ1 l. Theo Định lý Lax – Milgram (Định lý 2.1.3), ta có D!σ0 P Z sao cho
apσ0, τq pκ, τq apσ1, τq, @τ P Z (2.1.20) tức làAσ0 κAσ1 khi hạn chế trênZ. MàZ Ker B nênBσ0 0. Do đó nếuσ σ0 σ1 thì ta có Bσ l. Ngoài ra, theo (2.1.20),κAσ P ZK - phần bù trực giao của Z trong Σ. Nhưng ta biết rằng
Range B pKer BqK ZK.
Vì vậy Du P V sao cho Bu κAσ. Như vậy pu, σq thỏa mãn (2.1.17) – (2.1.18) hay tương đương với (2.1.15) – (2.1.16). Điều này chứng tỏ sự tồn tại của σ và u.
+ Tính duy nhất: Giả sử pσ1, u1q và pσ2, u2q là hai nghiệm. Đặt rσ σ1 σ2, ur u1 u2. Khi đó aprσ, τq bpτ,urq 0, @τ P Σ (2.1.21) bprσ, vq 0, @v P V. (2.1.22) Đặt τ rσ trong (2.1.21) và sử dụng (2.1.22) ta nhận được aprσ,σrq 0, rσ P Z.
Từ đó, theo (2.1.13) suy ra rσ 0. Khi đó, từ (2.1.21) ta nhận được Bur 0 và theo (2.1.19) suy ra ur 0.
Do đó σ1 σ2, u1 u2.
Nhận xét 2.1.3. i, Điều kiện (2.1.14) được gọi là điều kiện Babuˇska – Brezzi, hay còn gọi là điều kiện inf – sup.
ii, Nếu dạng song tuyến tính ap., .q là đối xứng thì ta xét bài toán tối ưu hóa có ràng buộc: Tìm σ P Z sao cho Bτ l và
Jpσq min BτlJpτq, trong đó Jpτq 1 2apτ, τq pκ, τq. Khi đó xét hàm Lagrange " 1 2apτ, τq pκ, τq * tbpτ, vq pl, vqu
và tìm một điểm yên ngựa. Hệ các điều kiện tương ứng chính là hệ (2.1.15) – (2.1.16). Có một cách nhìn khác về hệ này xuất phát từ lý thuyết đàn hồi. Phương trình (2.1.15) có thể được xem như là một quy
luật cấu thành (chẳng hạn, mối liên hệ giữa ứng suấtσ và độ dịch chuyển u do biến dạng; ví dụ: Định luật Hooke). Phương trình (2.1.16) tương ứng với phương trình cân bằng.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});