Ở các chủ đề trên đã nêu một số khái niệm cũng như phương thức giãn nhị phân và co nhị phân các đối tượng trên một ảnh. Sau đây là hai khái niệm cũng rất quan trọng trong phép toán hình thái, đó là phép mở ảnh (Openning) và phép đóng ảnh (Closing). Phép mở ảnh và phép đóng ảnh là hai phép toán được mở rộng từ hai phép toán hình thái cơ bản là phép co nhị phân và phép giãn nhị phân. Phép mở ảnh thường làm trơn biên của đối tượng trong ảnh, như loại bỏ phần nhô ra có kích thước nhỏ. Phép đóng ảnh cũng tương tự làm trơn biên của đối tượng trong ảnh nhưng ngược với phép mở. Phép toán này thường làm hợp nhất các đoạn gẫy hẹp, loại bỏ các lỗ hổng nhỏ và làm đầy các khe hở trong chu tuyến.
2.1.3.1. Phép mở ảnh
Bài toán đặt ra là làm thế nào để có thể làm trơn biên của đối tượng loại bỏ những điểm nhô thừa có kích thước nhỏ không cần thiết. Từ đó,
ta đặt ra giải pháp như sau: sử dụng phép co nhị phân, lược bỏ các điểm ảnh bên gần phía ngoài bề mặt đối tượng, chỉ giữ lại các phần tử cơ bản cấu hình lên hình dạng của đối tượng. Từ các phần tử sau khi co nhị phân ta sử dụng phép giãn nhị phân để tác động lên đối tượng. Cuối cùng ta sẽ có đối tượng mới từ các phần tử cơ bản đó, đối tượng này sẽ đáp ứng được yêu cầu bài toán đặt ra.
Như vậy, để thực hiện được phép mở ảnh ta phải trải qua hai giai đoạn là co ảnh và giãn ảnh. Đầu tiên sử dụng phép co và phần tử cấu trúc có kích thước tương ứng để tác động lên đối tượng trong ảnh đúng theo yêu cầu. Tương tự với phép giãn nhị phân ta sẽ thu được kết quả.
Với tập hợp A là đối tượng trong hình ảnh và B là phần tử cấu trúc, () là ký hiệu của phép mở ảnh giữa tập hợp A và phần tử cấu trúc B, phép mở ảnh được xác định bởi công thức:
A B
A ( Ө B) B (0.22)
Hình 2.14. Quá trình thực hiện phép mở ảnh
Trên phương diện ý nghĩa hình học, giả sử ta có phần tử cấu trúc B dạng một hình tròn, khi đó biên của tập hợp AB gồm quỹ tích các điểm thuộc biên của phần tử cấu trúc B, khi B tịnh tiến trên đường biên tập hợp A, và cách biên của tập hợp A khoảng cách xa nhất (Hình 2.15), hình 2.15a là đối tượng ban đầu, hình 2.15c là đối tượng sau khi thực hiện phép mở ảnh. Tất cả các hướng góc ngoài đều được làm trơn, trong khi những góc hướng vào trong đều không bị ảnh hưởng. Những chỗ nhọn nhỏ thừa nhô ra sẽ bị lược bỏ.
Từ luận điểm này ta có công thức. A B x x B B A (0.23)
Hình 2.15. Phép mở ảnh trên phương diện ý nghĩa hình học.
Khu vực tô đậm là đối tượng mới sau khi thực hiện phép toán, khu vực trong viền nét đứt là đối tượng cũ trước khi thực hiện phép toán.
2.1.3.2. Phép đóng ảnh
Tương tự như phép mở ảnh, nhưng quá trình thực hiện phép đóng ảnh có xu hướng ngược lại, với mục đích là đầy những chỗ thiếu hụt của đối tượng trên ảnh dựa vào các phần tử cơ bản ban đầu.
Với tập hợp A là đối tượng trong ảnh, B là phần tử cấu trúc. () là ký hiệu của phép đóng ảnh. Khi phép đóng ảnh của tập hợp A bởi phần tử cấu trúc B, kí hiệu (AB), xác định bởi:
) ( )
(AB AB Ө B (0.24)
Cho một hình ảnh nhị phân, với đối tượng trong ảnh có những khu vực bị đứt gãy, không liền mạch. Để khắc phục hiện tượng này ta áp dụng phép đóng ảnh, với A là đối tượng ban đầu, B là phần tử cấu trúc có kích thước 3x3 (hình 2.16a). Khi áp dụng phép đóng ảnh, đầu tiên đối tượng này sẽ được mở rộng bằng phép giãn nhị phân theo phần tử cấu trúc B. Lúc này những khu vực thiếu hụt sẽ được bù lên, và khu vực đứt sẽ được nối lại (Hình 2.16b).
Sau đó áp dụng phép co nhị phân để đưa đối tượng về trạng thái ban đầu (hình 2.16c).
Hình 2.16. Quá trình thực hiện phép đóng ảnh
Trên phương diện ý nghĩa hình học tương tự như phép mở ảnh, ngoại trừ việc phần tử cấu trúc trong phép đóng ảnh này có cách thức thực hiện đối nghịch với phép mở ảnh.
Cho một đối tượng trong ảnh tương tự như đối tượng ở (hình 2.15). Khi thực hiện phép đóng ảnh thì hình tròn (phần tử cấu trúc) có xu hướng quét bên ngoài đường biên của đối tượng (hình 2.17).
Hình 2.17. Minh họa phép đóng ảnh trên phương diện ý nghĩa hình học Quan sát trên hình vẽ ta có thể thấy các góc hướng vào của đối tượng được làm trơn, các góc hướng ra thì không có tác động gì. Độ lõm do phần tử cấu trúc tạo ra ở bên trái đối tượng nhỏ hơn bên phải, vì thế kích thước phần tử cấu trúc cũng rất quan trọng độ trơn của góc.
Một điểm w được coi là phần tử của ((AB)) khi và chỉ khi BzAØ, với mọi wBz khi Bz tịnh tiến.
Như trong quan hệ giữa phép giãn nhị phân và phép co nhị phân. Phần bù của phép đóng giữa hai tập hợp là phép mở giữa phép bù và phép phản xạ của hai tập hợp tức là: c c c B A B A ) ( ) ( ^ (0.25) 2.1.3.3. Các tính chất của phép mở ảnh và phép đóng ảnh * Tính chất 1: Đối với phép mở ảnh ta có: a) AB A b) CD thì CDDB c) (AB)B AB * Tính chất 2: Đối với phép đóng ảnh a) A AB b) Nếu CD thì CBDB c) (AB)BAB d) AB khi và chỉ khi BzAØ
Các tính chất trên giải thích các kết quả nhận được khi phép toán mở và đóng ảnh được sử dụng để xây dựng lọc phép toán hình thái. Ví dụ, xét cấu trúc lọc của phép mở ảnh. Khi đó tính chất (1a) chỉ ra kết quả sẽ là tập hợp con của tập hợp ban đầu. Tính chất (1b) nghĩa là tính đơn điệu được bảo toàn. Tính chất (1c) cho thấy phép toán mở ảnh chỉ được sử dụng không hơn 1 lần, những lần sau kết quả vẫn giữ nguyên, tương tự các tính chất cũng được suy ra đối với phép đóng ảnh.