Bài tập áp dụng:

- Đối với đa thức f(x)có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ,

c. Bài tập áp dụng:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

1. x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 (Làm tương tự ví dụ 7.3) 2. (x2 + x)2− 2(x2 + x) − 15 ; (Làm tương tự ví dụ 7.2) 3. x2 + 2xy + y2− x − y − 12 ; (Làm tương tự ví dụ 7.3)

4. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) − 12 ; (Làm tương tự ví dụ 7.3).

2.2.8. Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.a. Phương pháp: a. Phương pháp:

Cách 1: Dựa vào kết luận:

- Nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì đa thức chứa một nhân tử là: (x - a) - Nếu đa thức f(x)có một nghiệm là qp thì đa thức chứa một nhân tử là(qx - p)

Dựa vào đó ta sẽ tách đa thức f(x) sao cho xuất hiện nhân tử (x - a) hoặc (qx - p).

Cách 2: Dựa vào định lý Bơ - du:

- Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a).

Vậy f(x) = (x - a).g(x) ⇒Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (x - a). - Đa thức f(x) có nghiệm là qp thì f(x) chia hết cho (qx - p).

Vậy f(x) = (qx - p).g(x) ⇒ Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (qx - p).

b. Ví dụ: Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – 4 thành nhân tử. Giải: Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x – 1) + 4(x – 1)(x +1) = (x – 1)(x2 + 4x + 4) =(x – 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) = ( x - 1)(x + 2)2. * Phân tích ví dụ: 25

- Đây là một phương pháp khó đối với học sinh vì để sử dụng được phương pháp này học sinh phải thành thạo cách tìm nghiệm và nhẩm nghiệm của đa thức. Vì vậy, ta chỉ giới thiệu phương pháp này đối với học sinh khá giỏi, khi đó giáo viên phải trang bị cho học sinh một số kiến thức và kĩ năng cơ bản để tìm được nghiệm của đa thức:

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức có một nghiệm là 1 (hay chứa nhân tử (x - 1))

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử (x + 1).

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng qp trong đó p là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hạng tử có bậc cao nhất.

Ví dụ 8.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a, x3 - 5x2 + 8x - 4 b, 5x3 - 5x2 + 3x + 13

Giải:

a, HD: Đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 có tổng các hệ số: 1 - 5 + 8 - 4 = 0

⇒ Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa nhân tử (x - 1). Ta có lời giải cho bài toán:

x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4 = (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4) = x2(x - 1) – 4(x - 1)2 = (x - 1)(x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 b, HD: Đa thức f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = 5 + 3

⇒ Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1). Ta có lời giải cho bài toán:

Cách 1: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = 5x3 + 5x2 – 10x2 – 10x + 13x + 13 = (5x3 + 5x2) – (10x2 + 10x) + (13x + 13) = 5x2(x + 1) – 10x(x + 1) + 13(x + 1) = (x + 1)(5x2 – 10x + 13).

Sau khi tìm được nghiệm của đa thức ta có thể sử dụng định lí Bơ- du để phân tích thành nhân tử.

Cách 2: Ta có: f(x) = ( x + 1).g(x)

Vậy: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13) Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13).

c. Bài tập áp dụng:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).

2.2.9. Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định.a. Phương pháp: a. Phương pháp:

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.

b.Ví dụ:

Ví dụ 9.1: (V í d ụ 36(3) - Nâng cao và phát triển toán 8 - tập 1 – Tr.45)

Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 thành nhân tử.

Giải:

Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên.

Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả:

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được:

6 12 12 14 3 a c ac b d ad bc bd + = −   + + =   + = −   =  Xét bd = 3 với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1. Hệ trên thành: 6 8 14 a c ac a bd + = −   =   + = −  2c = -14 + 6 = - 8 do đó c = - 4; a = - 2

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).

Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau:

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3

= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).

c. Bài tập áp dụng.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 − 7x3 + 14x2− 7x + 1 ; c) x4− 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.

2.2.10. Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng.a. Phương pháp: a. Phương pháp:

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.

b. Ví dụ:

Ví dụ 10.1: (V í d ụ 37(3) - Nâng cao và phát triển toán 8 - tập 1 – Tr.46)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Giải:

Nếu thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0

Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa (x – y) thì cũng chứa (y – z) và (z – x).

Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z

Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với ∀ x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)

2 = - 2k => k = - 1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)

= (x - y)(y - z)(x - z)

* Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử:

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

 Chú ý:

- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.

- Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.