Phân tích tĩnh và dao động tự do vỏ composite sandwich sử dụng lý thuyết layerwise bằng phần tử hữu hạn trơn cs min3

Trang 1

WUotl 634.9

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

ĐINH CÔNG DỰ

PHAN TICH TINH VA DAO DONG TU DO

VO COMPOSITE SANDWICH SU DUNG LY THUYET LAYERWISE BANG PHAN TU HUU HAN TRON CS-MIN3

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số ngành : 60580208 TRUONG DAI HOC Md TP.HCM THU VIEN| LUAN VAN THAC SY XAY DUNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thời Trung

Trang 2

GIÁY XÁC NHẬN

(V/v Hoàn thành luận văn)

Tôi là PGS.TS Nguyễn Thời Trung, trong vai trò hướng dẫn khoa học cho dé

tài nghiên cứu, xác nhận cho học viên và đề tài sau:

- - Học viên: Đỉnh Công Dự

- Lớp: CHXD02

- — Tên đề tài: “Phân tích tĩnh và dao động tự do vỏ composite sandwich sử dụng lý thuyết layerwise bằng phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3”

Nội dung xác nhận: Học viên Đinh Công Dự đã nghiên cứu và hoàn thành luận văn một cách nghiêm túc Luận văn đủ điêu kiện về nội dung và hình thức đê ra bảo vệ hội đông khoa học

Tp HCM, ngày 20 tháng 10 năm 2014

Người hướng dẫn

Trang 3

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của

PGS.TS Nguyễn Thời Trung

Ngoài trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác

Không có sản phẩm, nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận

văn này mà không được trích dẫn theo đúng quy định

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác

Tp HCM, ngày 30 tháng 09 năm 2014

Trang 4

-ii-

LOI CAM ON

Đầu tiên cho tôi xin gởi lời tri ân đến người thầy đáng kính PGS.TS Nguyễn

Thời Trung Ngay từ những ngày đầu tiếp xúc, tôi đã cảm nhận được sự đam mê nghiên cứu khoa học ở thầy Phải nói rằng tôi là một người may mắn khi gặp và được thầy hướng dẫn luận văn Làm luận văn này cũng là lần đầu tiên tôi bước chân

vào tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề mới, vì thế đã gặp không ít bỡ ngỡ, khó khăn Có ai đó đã nói rằng "cảm hứng chính là nhiên liệu của niềm đam mê" và thầy

là người luôn biết cách truyền cảm hứng đến người khác, điều đó giúp tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm đề tài này Ở thầy tôi không chỉ học cách học, cách nghiên

cứu mà còn nhiều điều khác nữa Với tôi, hai từ "cảm ơn" là không đủ để tôi tỏ lòng biết ơn đến người thầy hướng dẫn của mình

Bên cạnh đó, tôi cũng nhận được sự hỗ trợ của các bạn trong Viện Khoa Học Tính Toán, Trường đại học Tôn Đức Thắng Đặc biệt là bạn Đặng Trung Hậu,

người đã đồng hành cùng tôi từ điểm bắt đầu đến khi hoàn thành luận văn, xin cảm

ơn bạn rất nhiều Những ngày tháng cùng trao đổi, học tập với bạn là quãng thời gian thú vị nhất của tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi gởi lời cảm ơn đến các anh, các bạn thân yêu lớp CHXD02 Chúng ta đã

cùng bên nhau hơn một năm học tập, những buổi học nhóm, ôn luyện thi thật vui vẻ

và ý nghĩa Có lẽ tôi sẽ mãi nhớ về những điều đó

Tôi cũng gởi lời cảm ơn đầy yêu thương đến bạn gái của tôi đã luôn bên cạnh

chia sẻ, động viên tôi về công việc, những khó khăn cho đến thời điểm hiện tại

Cuối cùng, tôi cũng xin được dành luận văn này cho cha, mẹ, em gái của tôi vì

những sự “hy sinh thầm lặng” để tôi có được như ngày hôm nay Gia đình chính là

nguồn động lực to lớn nhất giúp tôi vượt qua những con đường đầy thử thách Tp HCM, ngày 30 tháng 9 năm 2014

Trang 5

- ill -

TOM TAT LUAN VAN TEN DE TAI:

“PHAN TICH TINH VA DAO ĐỘNG TỰ DO VO COMPOSITE SANDWICH SU DUNG LY THUYET LAYERWISE BANG PHAN TU HUU HAN TRON CS-MIN3”

Phương pháp CS-MIN3 là một phương pháp được hình thành từ sự kết hợp

giữa kỹ thuật trơn hóa trường biến dạng dựa trên phần tử (CS-FEM) và phần tử tam giác Mindlin ba nút (MIN3) Phương pháp được đề xuất nhằm cải thiện độ chính

xác, ổn định cho phần tử gốc MIN3 khi phân tích tĩnh và dao động tự do cho tắm Mindlin chịu uốn Luận văn này được thực hiện nhằm mở rộng ứng dụng của phương pháp CS-MIN3 cho phân tích tĩnh và dao động tự do cla vd composite sandwich bang cach kết hop thêm với lý thuyết layerwise Trong lý thuyết layerwise, điều kiện liên tục về chuyển vị tại mặt tiếp xúc của các lớp vỏ được thừa nhận và chuyền vị trong mỗi lớp vỏ được xem là độc lập Nhờ đó, lý thuyết này phản ánh chính xác hơn ứng xử của vỏ composite so với các lý thuyết khác Ngoài ra, để đơn giản trong tính toán, ứng xử của mỗi lớp vỏ trong luận văn được mô hình

bởi lý thuyết vỏ phẳng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Các kết quả số trong luận văn được thực hiện dựa trên phần mềm tính toán Matlab Sự én

Trang 6

-iv-

SUMMARY OF THESIS

TITLE OF THESIS:

“STATIC AND FREE VIBRATION COMPOSITE SANDWICH SHELL USING LAYERWISE THEORY BY SMOOTH FINITE ELEMENT METHOD CS-MIN3”

CS-MIN3 method is a method established from the combination between Cell- based Smoothed Finite Element Method (CS-FEM) and three-node Mindlin plate element (MIN3) The method is proposed to improve the accuracy and stability for origin element MIN3 when analyzing static and free vibration for bending Mindlind plate This thesis has been done to extend application of CS-MIN3 method by the addition with layerwise theory to analyze static and free vibration of composite sandwich shell In the layerwise theory, consecutive condition of displacement at the contact surface of each laminates together is acknowledged and displacement in each laminate is considered to be independent Therefore, this theory reflects more precisely behavior of composite sandwich compared to other theories Moreover, for simplicity in calculation, the behavior of each laminate in this thesis is modeled by flat shell theory basing on first order shear deformation theory (FSDT) Numerical results in the thesis are attained by programmed and calculated on Matlab software The stability and accuracy of this method is verified when comparing to numerical results which have been published on prestigious journals

Trang 7

MUC LUC

LỜI CAM ĐOAN - vaidssoxanesnasantosesdesanennsese session s#hsesviwiasucvonensateies i TIE CAMO ca sccsccscnecscncsncsveeennocoeennssesesnssnvsviexsbssansctessvenconmcesnsnssvenaserannssesstnbsibanes ii TÓM TẮT LUẬN VĂN . -°-s<s<csseessesseseessessee iii MUC LUC . -5° eeeetevrreetrragtEE4000087340 0 1731m0 01003109eP v DANH MỤC CÁC HÌNH VE ssscsessccsscscstsscsesccenssncseneysansernse viii DANH MUC CAC BANG BIEU sssssssssssssssssssseesssnecesssccsnnecsenseessnsosesssecs xi MOT SO KY HIEU VIET TẮTT s<s+es°++++eteertxetettrrasrrre xii CHU ONG 1: TONG QUAN isessssssssssssssssscsscscossessecsncesssnssscsncensenesscencencenees wl 1.1 Dat Var 1117 11., 1

LLL GiGi ti chưng .á-eeiiieeoieeeissreeree-xeealesSEBES8300080112904 1

1.1.2 Xác định vấn đề nghiên cứu -¿©22©++2+t++xtzrtterrtrrretriee 2

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước -+-++t+ererererer 4 1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước -.- - - ++-++*s+sseteerereereree A 1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước . - - «++=+=+++e+*++t+erere+ 5

1.3 Tính cấp thiết và ý nghĩa khoa học của luận văn -. - 6

1.4Nội dung phương hướng nghiên CỨU -+©+++++>+t+ttettrererererre 6 1.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - -+- +-+5++s+++t+eetereertererrerrrree 7

1.6 Cầu trúc luận VĂN c2 set x2xes1eLrrtsesecEESE2100602/46/012 100006013503006 8 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYÉT ¬—-

2.1 Dạng yếu cho vé composite sandwich str dung ly thuyết layerwise 9

2.1.1 lý thuyết vỏ phẩng e -cees secuisensesLieEu10,1016/4433)4L4trroJe 9 J5] Ty HmYếtLWT EOÔỔI ác co ŸaeonicteePeea- 10

2.1.3 M6 hình hoá vật liệu composite theo ly thuyết Reissner-Mindlin 13 2.1.4 Năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của vỏ . - 16 2.1.5 Dạng yếu của phương trình cân bang tinh va d6éng cho vé composite

GAT WICH) -<scenesecseacccoacersoserenesvererexoxsvsecnsnsesneseanaesjoeeessosecsaovesny casunccestesererennaracs 17

Trang 8

-vi-

2.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của vỏ trong hệ toạ độ OXYZ

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MIN3 CHO VO COMPOSITE SANDWICH THEO LY THUYET LAYERWISE 21

3.1 Thành lập công thức phần tử hữu hạn cho vỏ composite theo lý thuyết layerwise trên miền tam giác bết KÌ, c0 12211212 x42 c3 cha kécS464364023949052401/42%0 21

3.2 Thành lập công thức phần tử hữu hạn cho vỏ composite theo lý thuyết

layerwise khi sử dụng phần tử MIN3 -c ccrrerrrrtrrrrrrrrrrrrrrirr 29 3.2.1 Thành lập thành phan bién dang cắt theo phần tử MIN3 30 3.2.2 Thành lập ma trận Bí), Bí), Bí), BÍ” (1, 2, 3) cho phần tử MIN3 35 3.3 Phương trình tính toán -¿++++++++t2tYYYvrrrttttetrrrrrrrrrrrrrrriee 36

3.4 Khử suy biến trong phương trình tính toán . -+++++++t+r++ 39

3.5 Phương pháp làm tron phần tử MIN3 dựa trên miền con (CS-MIN3) .40

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG SÓ 46

4_1 Phần tích Catt BOG acscscactsvsearveerscevesesescoreerezcxeeoneeaheesnsasnassvasnnsucssnnvennnaceensuseners 47

4.2.1 Ví dụ 1: Khảo sát chuyển vị khi thay đổi bán kính cong vỏ cầu

(0°/90°/0°) chịu tác dụng tải tĩnh tập trung hoặc phân bố đều 47 4.2.2 Ví dụ 2: Khảo sát chuyển vị vỏ hypar (0/90/00) chịu tải phân bố đều XÃ j/jÍƠ , _.' visi snassStcseeneses 51

4.2 Phân tích dao động tự do - - +55 +++s+eseeereerrrerrererrrrirrrie 54

4.2.1 Ví dụ 3: Xác định tần số dao động riêng khi thay đổi bán kính cong của vỏ cầu (00/902/0”) e‹ 0100221161222 00g cgr.rrerrae00812100201400020283170.1411E 54

4.2.2 Ví dụ 4: Xác định tần số dao động riêng khi thay đổi bán kính cong

của VO try (0°/90°/0°) o.ssssosssscsssassssescsssessesccnsnscosossscssnsecsscsneceecssnnssssensnnsseensnessess 55 4.2.3 Ví dụ 5: Xác định tần số dao động riêng v6 hybar (0°/90°/0") khi chiu

ràng buộc với các loại điêu kiện biên khác nhau -: -++-++ -* 58 4.2.4 Ví dụ 6: Xác định tần số dao động riêng vỏ trụ (Ø° /—øØ° /Ø°) khi thay

Trang 9

- Vii -

Trang 10

- Vili -

DANH MUC CAC HINH VE

Hình 1.1: Một số hình ảnh trong thực tiễn sử dụng dạng kết cấu vỏ composite Hình 2.1: xấp xỉ miền cong trong phần tử vỏ phang

Hình 2.2: Phần tử vỏ phẳng

Hình 2.3: a) Quy ước dấu trong mặt phẳng 0xz, b) Quy ước dấu trong mặt phẳng 0yz Hình 2.4: Mô hình chuyên vị của mỗi lớp vỏ composite sandwich theo LWT Hình 2.5: Lớp composite trong hệ toạ độ địa phương

Hình 2.6: Chuyển đổi hệ toạ độ cho phần tử tam giác

Hình 3.1: Phần tử tam giác ba nút trong hệ tọa độ địa phương Hình 3.2: Phần tử tam giác trong miền tham chiếu

Hình 3.3: Toạ độ tự nhiên và toạ độ vật lý cho phần tử tam giác ba nut MIN3

Hình 3.4: Cấu hình nút ban đầu (không chịu ràng buộc cắt) và cầu hình nút lúc sau

(đã chịu ràng buộc cắt) trong phần tử tam MIN3 [5]

Hình 3.5: Ba tam giác con (A,, A;, A;) được tạo từ phần tử tam giác trong phương

phap CS-MIN3

Hình 4.1: Mô hình vỏ cầu (spherical shell

Hình 4.2a: Độ võng không thứ nguyên tại tâm của vỏ cầu (02/90/0) chịu tải phân bồ đều, ứng với các tỷ số R⁄4 khác nhau

Hình 4.2b: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của độ võng vỏ cầu

(0°/90°/0°) chịu tải phân bố đều so với lời giải của J.L Mantari và cộng sự [26]

Hình 4.3a: Độ võng không thứ nguyên của vỏ cầu (0/90/0) chịu tải tập trung, tương ứng với các tỷ số ⁄a khác nhau

Hình 4.3b: Sự hội tụ nghiệm và sai số (%)độ võng vỏ cầu (0/90/0) chịu tải tập trung

so với lời giải của J.L Mantari và cộng sự [26] Hình 4.4: V6 hybar (hybar shell)

Hình 4.5: Ty lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới của độ võng vỏ hybar (09/90/00)

Trang 11

«1X =

Hình 4.6a: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của tần số dao động tự do đầu tiên vỏ cầu (09/90/09) so với lời giải của J.L Mantiri và cộng sự [26]

Hình 4.7: Mô hinh v6 tru (cylindrical shells)

Hình 4.8a: Tần số dao động tự do đầu tiên không thứ nguyên của vỏ trụ (09/00/0)

ứng với các tỷ số 8⁄4 khác nhau

Hình 4.8b: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của vỏ trụ (09/90/0 so

với lời giải của Fazzolari và cộng sự [27]

Hình 4.9: Hình dang 6 mode dao dong ty do v6 tru (0°/90°/0°) chịu điều kiện biên

tua don

Hình 4.10a: So sánh giá tri 5 tần số dao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên) của

v6 tru (0°/ 0° 0°) tựa đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (C§-MIN3), R-FSDT [32], LD444 [27]

Hình 4.10b: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của 5 tần số dao động riêng đầu tiên của vỏ trụ (0/02/0°) so với lời giải của M.S Qatu [32]

Hình 4.11a: So sánh giá trị 5 tần số dao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên) của vỏ trụ (159/15/15) tựa đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT

[32], LD444 [27]

Hình 4.11b: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của 5 tần số dao động riêng đầu tiên của vỏ trụ (15/15/15) so với lời giải của M.S Qatu [32]

Hình 4.12a: So sánh giá trị 5 tần số dao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên) của vỏ trụ (30°/30°/30°) tựa đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT

[32], LD444 [27]

Hình 4.12b: Tỷ lệ khác biệt (%) theo độ mịn lưới phần tử của 5 tần số dao động riêng đầu tiên của vỏ tru (30°/30°/30°) so voi lời giải của M.S Qatu [32]

Hình 4.13a: So sánh giá trị 5 tần số dao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên) của

v6 tru (45°/45°/45°) tua đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT [32] LD444 [27]

Trang 12

Hình 4.14a: So sánh giá trị 5 tần số đao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên) của v6 tru (60°/60°/60°) tua đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT

[32], LD444 [27] | |

vỏ trụ (75°/75°/75°) tựa đơn giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT [32] LD444 [27]

vé tru (90°/90°/90°) tua don giữa 3 phương pháp LWT-FSDT (CS-MIN3), R-FSDT [32] LD444 [27]

Trang 13

-XỈ-

DANH MUC CAC BANG BIEU

Bang 1: Gid tri độ võng không thứ nguyên w* tại tâm của vỏ cầu (09/90/0) chịu tải phân bố đều và sự khác biệt tương ứng khi so sánh các kết quả tham khảo với

trường hợp LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bảng 2: Giá trị độ võng không thứ nguyên w* tại tâm của vỏ cầu (0°/90°/0°) chiu tai

tập trung và sự khác biệt tương ứng khi so sánh các kết quả tham khảo với trường

hợp LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bảng 3: Kết quả so sánh sự khác biệt (%) của phương pháp Allman [24] và Knight [23] với nghiệm tham khảo [26, 29]

Bảng 4: Giá trị độ võng không thứ nguyên w* tại tâm vỏ hybar (0°/90°/0°) chịu tải phân bố đều và sự khác biệt tương ứng khi so sánh kết quả tham khảo với trường hợp LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bảng 5: Kết quả sự khác biệt (%) của phương pháp Allman [24] va Knight [23] so với nghiệm tham khảo [30]

Bảng 6: Tần số dao động riêng đầu tiên không thứ nguyên w*cua vo cầu

(0°/90°/0°) tựa đơn và sự khác biệt tương ứng khi so sánh các kết quả tham khảo với trường hợp LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bảng 7: Tần số dao động không thứ nguyên đầu tiên @* của vỏ trụ (0°/90°/0°) tua đơn và sự khác biệt tương ứng khi so sánh các kết quả tham khảo với trường hợp

LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bang 8: Tan số dao động riêng đầu tiên không thứ nguyên w*cta vỏ hybar

(09/90/0) chịu các loại điều kiện biên khác nhau và sự khác biệt tương ứng khi so sánh các kết quả tham khảo với LWT-FSDT (CS-MIN3)-20x20

Bảng 9: Kết quả 5 mode dao động riêng đầu tiên không thứ nguyên @* của vỏ trụ (Ø° /—ø° /ø°) chịu điều kiện biên gối tựa đơn và sự khác biệt tương ứng khi so sánh

Trang 14

Chir viét tat FEM CS-FEM MIN3 CS-MIN3 ESL CLT LWT FSDT HSDT - Xli- MOT SO KY HIEU VIET TAT Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp PTHH trơn dựa trên phần tử Phần tử tắm Minlin ba nút

Phần tử tắm Minlin ba nút được làm trơn

Lý thuyết sử dụng lớp tương đương

Lý thuyết tắm cổ điển

Lý thuyết Layerwise

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Chỉ sô trên và chỉ sô dưới (in (sx ( y) On On (), (3 ( - ():” (), (), (ý

Các đại lượng của mỗi phần tử vỏ trong hệ tọa độ tự nhiên

Các đại lượng của mỗi phần vỏ trong hệ tọa độ tổng thé

Các đại lượng liên quan đến lớp thứ ¡ Các đại lượng liên quan biến dạng màng

Các đại lượng liên quan biến dạng màng của lớp thứ ¡ Các đại lượng liên quan biến dạng uốn

Các đại lượng liên quan biến dạng uốn của lớp thứ ¡ Các đại lượng liên quan biến dạng cắt

Các đại lượng liên quan biến dạng cắt của lớp thứ ¡

Các đại lượng liên quan đến mỗi phần tử

Trang 15

- XỈI -

Miễn giới hạn bài toán

Phần tử tam giác con được rời rạc từ miên bài tốn © Ký hiệu các đại lượng vô hướng xXIZ X,Y,Z On nữ) z# E.,E, G„,G;,G;; Uy Us, Ty, A Ps Oi K A @ Tọa độ tổng thé

Tọa độ địa phương của vỏ

Tọa độ địa phương trong miền hình vuông đơn vị

Chiều dày của lớp thứ ¡

Cao độ của lớp thứ

Mô-đun đàn hồi theo hướng x' và y`

Mô-đun trượt trong các mặt x -y ÿ -Z, x ~Z

Hệ số Poisson

Năng lượng biến dạng đàn hồi của vỏ Động năng của vỏ

Diện tích của phần tử tam giác ©, Mật độ khối của vật liệu lớp thứ ¡ Hệ số độ cứng của vật liệu

Hệ số hiệu chỉnh cắt

Hướng cosin chỉ phương

Tân sô riêng của bài toán động học Ma tran va vec-to e u sh e tự, (7) © sh

Trường chuyển vị của mỗi phan tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương

Trường chuyên vị của mỗi phần tử vỏ trong hệ tọa độ tổng thé

Trường biến dạng đàn hồi của vỏ ở lớp thứ ¡

Trang 16

Q° m2? Ri) Bl) B„,; Bị, B° ~ K” - XIV - Ma trận trận vật liệu của lớp thứ ¡ Biến dạng màng, uốn, cắt Ma trận ứng suất của vỏ

Ma trận khối lượng của lớp vỏ thir i

Ma trận toán tử đạo hàm riêng Cosin chỉ phương trong hệ trục Óxy

Định thức Jacobi

Ma trận hàm dạng tuyến tính tại nút thứ 7 Vec-tơ của độ võng

Ma trận độ cứng tông thé Ma trận khối lượng tông thé

Vec-to chuyén vị tại nút thứ 7 của phần tử trong hệ tọa độ oxyz

Vec-tơ chuyển vị tại nút thứ 7 của phần tử trong hệ tọa độ OXYZ

Vec-tơ tải tác dụng tại các nút

Ma trận hàm dạng tương ứng với nút thứ 7

Ma trận vật liệu của biến dạng cắt sau khi hiệu chỉnh Vec-tơ chuyển vị nút tại điểm trọng tâm

Ma trận biến dạng uốn tương ứng tam giác con thứ ¿ của lớp thir i Ma trận biến dạng cắt tương ứng tam giác con thứ của lớp thu 7 Ma trận biến dạng màng tương ứng tam giác con thir i cua lớp thir i

Ham tron dang Heaviside

Trang 17

CHUONG 1: TONG QUAN

1.1 Dat van đề

1.1.1 Giới thiệu chung

Vật liệu composite là một vật liệu tổ hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau nhằm tạo ra vật liệu mới có đặc tính tốt hơn từng thành phần vật liệu ban đầu Một

số ưu điểm của vật liệu composite có thể kể đến như: khả năng chịu tải cao, mô đun

đàn hồi lớn, có khối lượng riêng nhỏ, v.v Ngày nay vật liệu composite đã được áp dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực kĩ thuật khác nhau như các ngành: công nghiệp điện tử, hàng không vũ trụ, xây dựng, quân sự, y tế, v.v và kể cả trong vật dụng đời sống hằng ngày

Hình 1.1: Một số hình ảnh trong thực tiễn sử dụng dạng kết cấu vỏ composite Composite cấu trúc là loại bán thành phẩm dạng tắm nhiều lớp liên tục được tạo

thành bằng cách kết hợp các vật liệu composite đồng nhất theo những phương án

Trang 18

-~9-

sợi, phương của sợi quyết định tính chất dị hướng của vật liệu, có thể điều chỉnh được tính dị hướng này theo ý muốn để chế tạo được vật liệu cũng như phương án công nghệ phù hợp với yêu cầu Có hai dạng composite cấu trúc thường dùng: dạng nhiều lớp và panel sandwich Trong đó, sandwich như là một trường hợp đặc biệt

của cấu trúc nhiều lớp Một composite sandwich điển hình được xây dựng từ hai

mặt tắm mỏng ngăn cách bởi một lõi dày nhưng thường nhẹ hơn

Ngày nay với sự tiến bộ của nhân loại đòi hỏi chúng ta phải giải quyết những bài toán ngày càng phức tạp hơn trong khoa học, kỹ thuật Một trong số đó là các bài

toán liên quan đến kết cấu vỏ, đặc biệt là kết cấu vỏ được làm từ các loại vật liệu

mới như: vỏ composite, vỏ có cơ tính thay đổi, vỏ áp điện, v.v Vỏ là vật thể có phần không gian nằm kẹp giữa hai mặt cong mà kích thước của hai mặt cong lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách giữa chúng Tập hợp những điểm cách đều hai mặt cong này tạo thành mặt trung hòa của vỏ Khoảng cách h giữa hai mặt cong được gọi là độ dày của vỏ Dạng hình học của vỏ được xác định bởi mặt trung hòa

và độ dày của nó tại mỗi điểm trên mặt trung hòa Đề đơn giản ta chỉ xét vỏ có độ

dày là hằng số Có hai loại vỏ khác nhau là vỏ dày và vỏ mỏng Vỏ mỏng là khi tỷ số giữa h và bán kính cong nhỏ nhất của mặt trung bình xế = ngược lại là vỏ day (Ventsel & Krauthammer, 2001)

Kết cấu vỏ trong xây dựng thường được sử dụng làm kết cấu mái, kết cấu bao

che, bồn chứa, v.v Vì những yêu cầu về vượt nhịp, kiến trúc hình dáng uốn lượn

phong phú mà vẫn đảm bảo khả năng chịu lực cao, độ bền, độ ổn định cũng như giảm trọng lượng bản thân nên kết cấu vỏ composite là giải pháp sử dụng phổ biến

1.1.2 Xác định vấn đề nghiên cứu

Trong phân tích ứng xử của kết cấu tắm, vỏ composite, một số lý thuyết kết hợp với mô phỏng số được đề xuất, phổ biến hơn cả là lý thuyết sử sụng lớp tương duong (Equivalent Single Layer - ESL) va ly thuyét layerwise (LWT) [1, 3] Theo lý thuyết ESL, các lớp của composite được xấp xỉ thành một lớp với đặc trưng cơ học bằng trung bình của đặc trưng cơ học trong từng lớp, còn lý thuyết LWT lại

phân tích riêng biệt ứng xử của mỗi lớp nhưng vẫn chịu điều kiện liên tục về chuyển

Trang 19

« 3s

duoc cai thién dang ké khi kết hợp các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao nhưng không thể xây dựng mô hình ESL tổng quát có hiệu quả bằng nhau cho các composite có lớp đối xứng và không đối xứng [1] Và kết quả khảo sát của tác giả trên đã chỉ ra: “bước tiếp theo để tăng độ chính xác của các mô hình tắm, vỏ nhiều lớp nhằm vượt qua giới hạn của mô hình lớp tương đương là cần phải xem xét từng lớp riêng biệt

trong phân tích” [1] Từ những nhận định trên ta thấy, lý thuyết LWT sẽ phản ánh

chính xác hơn ứng xử vật liệu composite

Về cơ bản, cả hai lý thuyết ESL và LWT đều có thể được xây dựng dựa trên lý

thuyết tắm cổ điển (Classical Lamination Theory - CLT) hoặc lý thuyết biến dạng

cắt bậc nhất (First Order Second Deformation Theory - FSDT) hoặc lý thuyết biến

dạng cắt bậc cao (Higher order Shear Deformation Theory - HSDT) [2] Lý thuyết CLT thừa nhận rằng, trước và sau biến dạng, đường pháp tuyến của mặt trung hòa tấm vẫn thắng và vuông góc với mặt trung hòa của tấm Nói cách khác, lý thuyết này bỏ qua ảnh hưởng của các thành phần biến dạng cắt đến ứng xử của tắm Trong khi đó, cả lý thuyết FSDT và HSDT đều cho rằng, ứng xử của tắm chịu ảnh hưởng

của những thành phần biến dạng này Như vậy, lý thuyết CLT không thích hợp trong việc phân tích ứng xử cho kết cấu vỏ có bẻ dày lớn Với lý thuyết HSDT, biến

dạng cắt được xem là hàm bậc cao, phụ thuộc vào tọa độ theo chiều dày của tắm, do đó quá trình thành lập công thức dựa trên lý thuyết này sẽ trở nên phức tạp Vì vậy, LWT sẽ là phù hợp hơn cả khi kết hợp với lý thuyết FSDT nên được đề xuất sử dụng trong luận văn này

Việc phân tích ứng xử của tắm, vỏ dựa trên lý thuyết FSDT thường gặp hiện tượng “shear locking” [1, 2, 4, 5] Đã có nhiều phương pháp số được đề xuất để

khắc phục hiện tượng này, một trong số đó là phần tử tam giác Mindlin ba nút

(MIN) [5] Tuy nhiên, phần tử này vẫn còn một số hạn chế như tốc độ hội tụ chậm,

độ chính xác và ổn định chưa cao Để khắc phục những nhược điểm trên, phần tử MIN3 đã được đề xuất kết hợp với kỹ thuật trơn hóa trường biến dạng của phần tử

phẳng hai chiều (CS-FEM) để tạo ra phần tử mới CS-MIN3 [6] Và do hiệu ứng làm mềm hóa ma trận độ cứng của kĩ thuật làm trơn, nghiệm của phần tử tắm CS-MIN3

Trang 20

tim MIN3 Các đặc tính nổi bật này của CS-MIN3 đã được minh họa trong các công trình công bố gần day [6, 7, 8]

1⁄2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Mô hình hóa tắm sandwich lần đầu tiên được đề xuất bởi Hoff vào năm 1950 [1]

Dựa trên cơ sở đó Schmit Jr và Monforton đã thành lập một trong những công thức

phần tử hữu hạn phi tuyến đầu tiên cho tắm sandwich trong năm 1970 [9] Năm

1972, Dong và Tso đã trình bày mô hình phân tích cho vỏ composite [10]

Lý thuyết LWT lần đầu được sử dụng dé phân tích cho tắm composite bởi Mau năm 1973 [11] Trong những năm gần đây, có nhiều công trình nghiên cứu mô phỏng phân tích ứng xử của kết cấu v6 composite Theo Mohammad S Qatu, Ebrahim Asadi, Wenchao Wang, tir nim 2000 - 2010 có hơn 200 bài báo đã được

công bố [3] Một số công trình tiêu biểu sử dụng lý thuyết LWT trong phân tích kết

cấu vỏ composite có thể liệt kê như sau:

Sammuel Kingde Kassegne (1992) [12], trong luận văn tiến sĩ, đã sử dụng lý thuyết LWT được đề xuất bởi Reddy đề mô hình rời rạc độ cứng từng lớp composite trong phân tích ứng suất, dao động tự do, sự mắt ổn định cho kết cấu vỏ cong

MR Eslami, M Shariyat, M Shakeri (1998) [13], đã phát triển lý thuyết LWT để phân tích sự mất ổn định động và sau mắt ổn định của vỏ composite nhiều lớp hình

trụ tròn

M.H.Yas1, M.Shakeri, M.Heshmati và S.Mohammadi (2011) [14], đã phát triển mô

hình phần tử hữu hạn theo lý thuyết LWT để phân tích vật liệu chức năng (FGM) vỏ

hình trụ có chiều dài hữu hạn dưới tác dụng của tải động Đóng góp chính của phương pháp này là việc phát triển một mô hình theo LWT riêng biệt dành cho vỏ

day (FGM) hinh tru

M Yaqoob Yasin, S Kapuria (2013) [15], dé mo rong phần tử tứ giác 4 nút cho tấm nhiều lớp dựa trên lý thuyết LWT và đã áp dụng để phân tích cho vỏ nhiều lớp có độ cong nhỏ Kết quả của phần tử mới là rất tốt và được minh họa qua kết quả phân tích tĩnh và dao động tự đo so với các phương pháp đàn hồi 3D và phân tích

Trang 21

Francesco Tornabene, Nicholas Fantuzzi, Erasmo Viola (2013) [16], đã phân tích dao động tự do của vỏ nhiều lớp cong theo 2 phương và tam str dung ly thuyét ESL bậc cao và lý thuyết LWT Trường chuyển vị của lý thuyết LWT lúc này được xây dựng dựa trên mô phỏng của Carrera (CUF), bao gồm cả việc kéo dài và xét hiệu img zigzac

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Bài toán phân tích cơ học vật liệu composite ở nước ta cũng được giới nghiên cứu đã và đang rất quan tâm Việc nghiên cứu tắm và vỏ composite đã phát triển trong những năm cuối thé ki XX, tuy vay số lượng công trình về kết cấu vỏ công bố ở trong nước cũng còn hạn chế Từ năm 1998 cho đến nay, một số công trình tiêu

biểu về phân tích kết cấu vỏ composite có thể kể đến như:

Nguyễn Minh Tuấn (1998) [17], trong luận văn tiến sĩ, đã xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn cho vỏ trụ composite nhiều lớp với hai bài tốn khơng xét và xét đến biến dạng trượt ngang Tác giả đã viết chương trình tính trên nền lập trình VISUAL BASIC Trong nghiên cứu này, tác giả còn nghiên cứu các ảnh hưởng của trật tự xếp lớp, góc đặt cốt đến trạng thái ứng xuất — bién dang cho vỏ trụ

Phan Anh Tuan (2003) [18], trong luận văn tiến sĩ, đã xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn nhằm tính toán ồn định các dạng khác nhau của vỏ composite tron xoay Trong nghiên cứu này, tác giả đã so sánh các kết quả thí nghiệm từ thực nghiệm với các tính tốn mơ phỏng trên máy tính

Đỗ Vũ Long (2007) [19], trong đề tài khoa học, đã xây dựng phương trình chuyển động vỏ phẳng, dùng phương pháp hàm ứng suất và Bubnov - Galerkin để phân tích ổn định vỏ phẳng composite không gân Tác giả đã trình bày các phương trình xác định đường cong tải - độ võng, phân tích động lực vỏ phẳng cho các phương trình dao động tuyến tính và phi tuyến tính của vỏ Ngoài ra, tác giả cũng

đã thiết lập hệ phương trình vi phân cấp hai tuyến tính và phi tuyến xác định chuyển

VỊ của vỏ

Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa và Đỗ Tiến Dũng (2010) [20], đã áp dụng phần

Trang 22

-FSDT Trong nghiên cứu này, các tác giả đã lập trình phân tích ứng xử các bài toán vỏ composite có hai độ cong chịu uốn và so sánh kết quả với các bài báo khác

Hoàng Văn Tùng (2011) [2I], trong luận văn tiến sĩ, đã dùng phương pháp giải

tích kết hợp thuật toán giải lặp để phân tích độ ổn định của tắm và vỏ composite

(FGM) Với bài toán vỏ, tác giả đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ tròn, vỏ

cầu bằng lý thuyết vỏ phẳng cổ điển - CLT và kế đến tính không thoải bằng lý thuyết vỏ cải tiến

Nguyễn Mạnh Cường và Trần Ích Thịnh (2012) [22], đã phân tích dao động của vỏ trụ composite chứa chất lỏng bằng phương pháp phần tử liên tục

13 Tính cấp thiết và ý nghĩa khoa học của luận văn

Việc áp dụng lý thuyết LWT trong phân tích ứng xử tắm composite nhiều lớp đã nhận được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới trong suốt thời gian qua Hiệu quả của phương pháp này đã được kiểm chứng [1, 2] Tuy nhiên, đối với

kết cấu vỏ thì chỉ mới được thực hiện trong một vài năm gần đây [12-16]

Trong nước, các nghiên cứu về phân tích ứng xử kết cấu vỏ composite cũng đã đạt được một số kết quả đáng kể Dù vậy, các phương pháp được nghiên cứu cho bài toán này chủ yếu được thực hiện bằng các phương pháp giải tích hoặc bán giải tích hoặc phương pháp số dựa trên lý thuyết ESL Trong khi ứng dụng vật liệu này vẫn còn nhiều tiềm năng, việc nghiên cứu ứng xử cơ học vỏ composite theo ly thuyét LWT cần được quan tâm nhiều hơn Dựa trên tổng quan tài liệu vừa trình bày, việc sử dụng lý thuyết LWT trong trong nước ta nhằm phân tích ứng xử cho

kết cấu vỏ composite vẫn chưa được xem xét Do đó, luận này được thực hiện với

mục đích bổ sung vào khoảng trống nghiên cứu được đề cập

Luận văn đã áp dụng lý thuyết LWT kết hợp với lý thuyết FSDT và phần tử làm

trơn CS-MIN83 để phân tích ứng xử cơ học của kết cấu vo composite Kết quả của luận văn đạt được sẽ góp phần cung cấp thêm một sự lựa chọn về phương pháp số nhằm phân tích ứng xử của kết cầu vỏ composite sandwich

1.4 Nội dung phương hướng nghiên cứu

Trang 23

i

suy bién (degenerated shell) dua trên lý thuyét vat thé ran ba chiéu va (3) ly thuyét

vỏ phẳng (flat shell) Trong ba lý thuyết trên, lý thuyết vỏ phẳng là đơn giản và

thích hợp hơn cả khi kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn Theo lý thuyết này,

mỗi phần tử vỏ là sự kết hợp giữa phần tử uốn tắm và phẳẩn tử màng tương ứng Khi

đó, việc xây dựng mô hình cho kết cấu vỏ được thực hiện thông qua kết cấu tắm thông thường Vì vậy, việc mô hình ứng xử của vỏ thông qua lý thuyết vỏ phẳng sẽ

được thực hiện dễ dàng

Ngoài ra, vỏ là một cấu trúc xác định trong không gian ba chiều Để mô hình đầy đủ ứng xử của vỏ, ta cần sáu bậc tự do (ba chuyền vị và ba góc xoay) Tuy nhiên, như đã đề cập ở trên, mô hình ứng xử của vỏ phắng được xây dựng thông qua phần tử tắm với chỉ năm bậc tự do (ba chuyển vị và hai góc xoay lần lượt quay quanh truc Ox va Oy) Nhu vay, ta cần bổ sung thêm một bậc tự do góc xoay quay quanh

truc Oz dé ứng xử của vỏ được xác định đầy đủ Điều đó dẫn đến hiện tượng suy

biến trong ma trận độ cứng tổng thê của vỏ Nhằm tránh hiện tượng suy biến này, đã

có nhiều biện pháp được đưa ra Ví dụ như, Knight [23] đã đề nghị một ma trận độ

cứng đặc biệt có giá trị rất nhỏ đóng góp vào năng lượng bién dang hay Allman [24] đã đề nghị thêm bậc tự do xoay ảo trong mặt phẳng để làm tăng bậc tự do cho mô hình ứng xử của vỏ hay Bathe [25] đã đề nghị cộng thêm vào ma trận độ cứng phần tử một ma trận độ cứng ảo cho bậc tự do xoay trong mặt phẳng Trong 3 giải pháp trên, phương pháp khử suy biến bang phan tử Allman có tính hiệu quả hơn cả và do đó sẽ được sử dụng trong luận văn

Như đã đề cập ở phẩn trên, dé phân tích ứng xử tĩnh và dao động tự do của vỏ

composite sandwich, ludn van st dung phan tir CS-MIN3 va lap trình tính toán trực tiép bang phan mềm Matlab Các kết quả số có được trong luận văn này sẽ được so sánh với các kết quả số đã công bố trước đây nhằm đánh giá độ chính xác cũng như sự ổn định nghiệm của phương pháp hiện tại so với các phương pháp khác

1.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trang 24

`

Phạm vi nghiên cứu bao gồm: (1) ứng xử vỏ composite là đàn hồi tuyến tính; (2) liên kết giữa các lớp composite được xem là hoàn hảo; (3) vỏ composite sandwich

(3 lớp)

Chú ý rằng: việc mở rộng các công thức và mô hình tính toán cho vỏ composife có số lớp nhiều hơn 3 cũng được thực hiện với cách tương tự

16 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc luận văn được trình bày như sau

Phần liệt kê danh sách các kí hiệu, hình vẽ và bảng biểu sử dụng trong luận văn

Chương l: Giới thiệu tổng quan về bài toán vỏ composite sandwich, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học luận văn

Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết tính tốn vỏ, các cơng thức về năng lượng biến đạng và động năng cho kết cấu vỏ composite sandwich

Chương 3: Trình bày các công thức tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp MIN3 va phương pháp CS-MIN3

Chương 4: Trình bày các bài toán ví dụ số phân tích tĩnh và dao dộng tự do cho vỏ composite sandwich So sánh kết quả các ví dụ số với kết quả trong các tài liệu tham khảo

Chương 5: Trình bày kết luận từ kết quả đạt được trong luận văn và kiến nghị

hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo và phần phụ lục trình bày tóm gọn các đoạn mã lập trình Matlab

Trang 25

-9- CHUONG 2: CO SO LY THUYET 2.1 Dạng yếu cho vỏ composite sandwich sir dung ly thuyét layerwise 2.1.1 Lý thuyết vỏ phẳng

Vỏ Trụ Lưới thô Lưới mịn

Hình 2.1: xấp xỉ miền cong trong phần tử vỏ phẳng

Theo lý thuyết vỏ phẳng, vỏ được rời rạc thành tập hợp các miền con đa giác

phẳng Trên mỗi miền con này, phần tử màng kết hợp với phan tử uốn tắm được sử

dụng để mô hình ứng xử cho vỏ

Hình 2.2: Phần tử vỏ phẳng

Vì những ưu điểm như đã đề cập trong phần 1.1.2 ở luận văn này, phần tử uốn tắm được xây dựng dựa trên lý thuyết Reissner-Mindlin Lý thuyết này thừa nhận

rằng: sau khi biến dạng, các đường pháp tuyến của mặt trung hòa tắm vẫn còn thắng

nhưng chúng không còn vuông góc với mặt phẳng trung hòa nữa Các góc vuông đó

bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt

Đồng thời, chiều dày của tắm không thay đổi trong suốt quá trình biến dạng của

A x ~ ^ˆ A x rg LẠ ck Ow,

Trang 26

-10- ow z ` A > Ke a + A A 8„ =—+ổ,, e =0 Do đó, trường chuyên vị của mỗi phân tử tâm trong hệ tọa “Oy d6 Oxyz theo ly thuyết tắm Reissner - Mindlin được mô tả đầy đủ bởi véc tơ chuyển vị gôm năm thành phân up =[¿„vụ, Wụ, , 8, ÏÏ (2.1)

Hình 2.3: a) Quy ước dấu trong mặt phẳng 0xz, b) Quy ước dấu trong mặt phẳng 0yz

với zạ„ vạ lần lượt là chuyển vị ngang theo phương x và y trong mặt phẳng trung

hoà của tắm; w„ là độ võng theo phương z; £,, 8, lần lượt là các góc xoay của đường pháp tuyến tại mặt mặt trung hòa tam quanh truc Oy va Ox

Để thuận lợi hơn cho việc thành lập công thức của vỏ sau này, ta thêm thành phần /, là góc xoay quay quanh trục Óz Như vậy, trường chuyển vị của mỗi phần tử vỏ được mô tả bởi véc tơ chuyển vị có sáu thành phần là

Us, =[#¿; vụ, wạ, , 8,8.) (2.2)

2.1.2 Lý thuyết LWT- FSDT

Trường chuyển vị cho vỏ composite sử dụng lý thuyết LWT dựa trên lý thuyết FSDT được xây dựng với hai giả định: (1) ứng xử mỗi lớp được mô hình bởi lý

Trang 27

= lie LB TT SS 8 Oe ge HÃ| - ———— ——-—- i ian ad ¥ ————————————— i - > x veal ht} -7 4 - fe - = es eo | | Hình 2.4: Mô hình chuyên vị của mỗi lớp vỏ composite sandwich theo LWT Theo lý thuyết FSDT, trường chuyên vị cho mỗi lớp vỏ composite được cho bởi công thức [2]: u” =u,(x,y)+2BO Lớp 2: v? =y,(x,y)+ z8 (2.3) ” = wo(x,y) h® p® ® <u, (x,y)— = BO - fe +z0 g0 po Lép 1: v =v,(x,y) = —g@ = Bo +z0 g0 (2.4) w°” = wạ(x, y) = =, (x, y) fo 6s 9 +: gO go Rie = v(x, y+ —g®+ i 9 +29 (2.5) w°® = Wo (x, y)

với zạ, vạ,wạ là chuyển vị tại mặt trung hoà lần lượt theo 3 phương x, y ,z của lớp

Trang 28

m 1D

Từ mối quan hệ chuyển vị - biến dạng, trường biến dạng của lớp thứ ¡ được biểu

Lần lượt thế công thức (2.3), (2.4), (2.5) vào công thức (2.6), ta có trường biến

Trang 29

« 136 Tương tự cho lớp 2 0 i @ — Oly MH 9 ax dy Gy ox LM 9 9 (2.11) £, =U (2.12) ô ô ô ô , a -|2 By ah 0 aye tag 0 | (2.13) ôw ôw : :2=|l0 00 0 29, ø@ Ê%, | : Ze 8; = B, (2.14) 2.14 Tương tự cho lớp 3 Tau, dv duo av eg =| 2% Mo 9 S42 9 0 (2.15) lô = ay Cy x i 2 ô n® 7] < pe 2 go ơx 2 c8 a £ go —— Bo hn ô Cy * 2Ø cổ) = 0 (2.16) ae 2 g@_ AO 2 se h® 0 B02) ô hỄ se 2 oy 2y" 20” & 2°” 0 ss 0 = rô ô ô ô : © =| 5 By a 0 at ae 0 | (2.17) = aw aw T gÖ) = 00 0 0 + (3) mash | 218 5 =] es Boo B, (2.18)

2.1.3 Mô hình hoá vật liệu composite theo ly thuyết Reissner-Mindlin

Xét hệ tọa độ địa phương cho tắm trực hướng lớp thứ ¡ (=1, 2, 3) như Hình 2.5,

mặt trung hòa của tấm nằm trên mặt phẳng Óx”' và trục Óx” của hệ cùng phương với hướng sợi Khi đó, công thức liên hệ giữa các thành phần ứng suất và biến dạng

Trang 30

Hình 2.5: Lớp composite trong hệ toạ độ địa phương

trong đó các thành phần @„ là hệ số độ cứng của vật liệu, được tính theo công thức

_ hq- Uy3D33)

A : 0 — E,(D; +0 +3) : O _ È,qd-0Ð), vy =F; > 12 > 2 » —

Qu A A vo, &E,

Oj4 = Gaz 3 O55 = Gy33 Dos =Gins A=1—V%2V2) — V23¥32 — Mi3¥51 — 2V 93213

với E,, E, lần lượt là mô-đun dan hdi theo huéng x’ vay’; G,., G,;, G„; lần lượt là

mô-đun trượt trong các mặt x -y, y -z, x -Z; 0„ là hệ số Poisson

Trong hệ tọa độ toàn cục Óxyz, hướng sợi của lớp tắm thứ ¿ tạo với trục Óx góc œ bất kỳ Do đó, mối quan hệ ứng suất-biến dạng được biểu diễn bởi công thức @ _ @ @ Ox Or, 0 Orn 0 0 Ex Ow On Du On 0 0 fy øœ°=|lơ„| =|Ø, Ø„ Ø„ 0 0||z„| =9”? (2.20) CG 0 0 0 055 On co

về 0 0 0 Or; On, Ey

Trang 31

= 15-

~ (i) (i)

(5, | =7" [Ø„j T (2.21)

trong đó T là ma trận chuyên đổi tọa độ, được xác định như sau

cos (2) sin’ (a) cos(a)sin(@) 0 0

sin’ (a) cos’(@) —cos(@)sin(@) 0 0

T=|-2cos(z)sin(œ) 2cos(a)sin(a) cos*(a)-sin’*(a) 0 0 (2.22)

0 0 0 cos(z) —sin(a@)

0 0 0 sinœ) cos(@)

Các thành phần nội lực được xác định bằng cách tính tích phân các thành phần

ứng suất theo chiều dày tắm

Lực màng, mômen uôn và mômen xoăn được tính theo công thức x x 3.4 xx {IN} (M=‡M, My t= Dd Jie ll zee N, M,| ~™ |e, (2.23) Thành phần lực cắt được xác định bởi io) Etec ¬ Từ các cơng thức (2.23), (2.24), ta khai triển và có thê viết gọn lại dưới dạng N (i) AB O Œ) 8 (i) M| =iB D 0| |g, (2.25) Q 0 0 A,| le §

với 2 =e) , ef =e) +e va cdc ma tran A, B, D, A; lân lượt được gọi là các

ma tran độ cứng màng, màng - uôn - cat, uốn, cắt, và được biêu diễn chi tiết dưới

dạng

A, Ayn Aig 7 B, By Be " D, Dy Đụ a

A® = A, Ay 4| > B = By, By B„ | › D” = D, Dy Dye | ›

Trang 32

= 16- 1⁄ vA 1 A) = | (Ø/)dz B2= | (Ø/)z4, Diy = | (Ø2 (,k=1,2,6) M M ' 1⁄ ASQ = | x(Ø0)đz (J,k=4 5) (2.27) M

với là hệ số hiệu chỉnh cắt và được chọn bằng 5/6

2.1.4 Năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của vỏ Năng lượng biến dạng đàn hồi của vỏ được xác định như sau e = e (i) Us => 5;) (2.28) i=] Từ các công thức (2.6) - (2.20), năng lượng biến dạng hay còn gọi là thế năng of eo SÃ? ie Rae 4 ` Ễ biên dạng đàn hôi (U;,) của mỗi lớp vỏ trong phân tử được tính như sau (0;) = Ile (z2) ø ø//dQ =2 ÍÍs s0) Q(e °)dQ (2.29) Q Thay công thức (2.6) vào công thức (2.29) ta được ` ee ¬—>

Trang 33

mh v=[¿ ý wÏ (2.33) Thế công thức (2.33) vào công thức (2.32), ta được - 1 “ 1 (i) z\(Ð J°ø ' _1 3 l2 J2 ÌÝ (7) =2 Nt ỷ w]) "là dV = 5 Jal vow ]) dv (2.34) w

Tương ứng với mỗi lớp vỏ, ta thay các công thức (2.3) - (2.5) vào (2.34), khi đó

động năng của mỗi lớp vỏ sẽ được viết đưới dạng ma trận

(rs)? =5 f{(as) J m (ws)? av V 235)

trong dé (us , là véc tơ chuyển vị tại lớp thứ ¡ (xem công thức (2.2)): us „ là sh sh

đạo hàm theo thời gian của véc tơ chuyền vị tại lớp thứ ¡ và m° là ma trận khối lượng của lớp vỏ thứ ¡, được biểu diễn đưới dạng m0 0 m 0 0 m 0 0 m 0 0 m 0 0 m0 0 m 0 0 m0 0m 0 0 0 0 0 ee (2.36) soo co €© © ©& với (ø,)'” là mật độ khối của vật liệu lớp thứ i va cdc thanh phan m? (j= 1, 2, 3) được xác định bởi n_ £ () 4 (i) / 2(_ m= Ỉ (p,) dz; mj? = Ỉ z(p,) dz; ms? = Ỉ z”(p,) dz (2.37) 2.1.5 Dạng yếu của phương trình cân bằng tĩnh và động cho vỏ composife sandwich

Phương trình cân bằng tĩnh học được xác định bởi

Trang 34

-18-

v6i b la luc tac dung Ién vé va ut, là véc to chuyén vi tng quát

Phương trình cân bằng động học cho bài toán phân tích dao động tự do được xác

3 ¬ 3 a:

[2(e2) WeQans PH (sus) MOE, PdO = 0 (2.39)

Q i=l Q i=l

2.2 Chuyến đổi hệ trục toạ độ

Vỏ là một cấu trúc ba chiều và được xác định trong một hệ tọa độ bắt kỳ Ta giả

sử rằng, phần tử vỏ phẳng đang xét được biểu diễn trong hệ tọa độ toàn cuc OXYZ Tuy nhiên, như trình bày trong phần 1.4, phần tử vỏ phẳng được xây dựng thông qua phần tử tắm và được xác định hoàn toàn trên mặt phẳng Oxy trong hé toa d6 dia

phương Oxyz Do đó, ta cần xây dựng một ma trận chuyển đổi giữa hệ tọa độ toàn

cục OXYZ và hệ tọa độ địa phuong Oxyz để phân tích ứng xử của vỏ

2.6

Hình 2.6: Chuyên đổi hệ toạ độ cho phần tử tam giác

Trang 35

= 19 - X,T—X, 1 V.=—| Vị ~; (2.40) N h Zy —Z;

Tương tự cho véc tơ đi qua 2 điểm ¡, /, ta cũng có hướng cosin cho tọa độ địa phương được xác định bởi trục y có dạng Xy—#; V„ =| y —~}; (2.41) Zy —Z, Gọi V, là véc tơ cùng phương với ØZ và được xác định bằng tích hữu hướng của 2 véc tơ V và V„ V=V xŸ; (2.42) Véc tơ V là véc tơ cùng phương OY và được xác định bằng tích hữu hướng của 2 véc tơ V và V V, =V.xV, (2.43)

Khi đó, hướng cosin chỉ phương À,, À,„, 2 cua ba truc Ox, Oy, Oz duge xac dinh bang cách chuân hoá các véc tơ VN, và V_

TY ; l, củ yi? Ý ; ` Lt (2.44)

voi 1, 1,, L 1a d6 dai cia cac véc to V,,V,, V.- x? “y?

Ma tran chuyển từ hệ tọa độ tổng thé OXYZ sang hệ tọa độ địa phương Óxyz, khi

đó có dạng

Ane IS (a), @.),„| (2.45)

Như vậy mối liên hệ giữa hệ toạ độ OXYZ và hệ toa độ Oxyz sé la

[+z]= [#⁄Ì (2.46)

Gọi u2„ là véc tơ trường chuyên vị của mỗi phân tử vỏ được mô tả trong hệ toạ độ tổng thể OXYZ bởi véc tơ có sáu thành phần là

Trang 36

« 2)

Khi đó, mối liên hệ giữa véc tơ chuyên vị u2„ trong hệ tọa độ địa phương Óxyz và

u$„ trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ được biểu điễn bởi uộ, = Tie „ (2.48) trong đó nà oO T=| 5s „ (2.49) 0 2h» 2.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của vỏ trong hé toa độ OXYZ

Theo công thức (2.29), khi chuyển qua hệ toa dd OXYZ, nang lượng biến dạng cho mỗi lớp composite sẽ xác định như sau

Trang 37

`

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHAP PHAN TU HUU HAN TRON

CS-MIN3 CHO VO COMPOSITE SANDWICH THEO LY

THUYET LAYERWISE

miền con, như vậy O=|JO, với Q,nQ,=S, ix j Nghiệm bài toán khi đó

Ne

được xấp xỉ trên tồn miền thơng qua nghiệm tại các nút phần tử Như đã trình bày

trong phần 2.1.1, kết cầu vỏ phẳng sẽ được rời rạc thành tập hợp các phần tử tam

giác ba nút Với việc phân tích kết cấu vỏ composite sandwich sử dụng lý thuyết

LWT, mỗi nút của phần tử vỏ phẳng tam giác sẽ có 12 bậc tự do Khi thành lập

cơng thức tính tốn, trường chuyển vị cho mỗi phần tử vỏ phẳng trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ sẽ được xác định thông qua phần tử tương ứng trong hệ toạ độ địa phương Oxyz và ma trận cosin chỉ phương tương ứng

3.1 Thành lập công thức phần tử hữu hạn cho vỏ composite theo lý thuyết layerwise trên miền tam giác bất kì

Gọi dí,, là véc tơ chuyền vị tông quát nút thứ 7 của u2, có dạng T “ (1) (1) (1) (2) (2) (2) (3) (3) (3) Gian =| 4% Yr Wa Pri đà Py Py Pa Px By 8à | (3.1) 1” 3 2 1 x lp oO

Hình 3.1: Phần tử tam giác ba nút trong hệ tọa độ địa phương

khi đó, bậc tự do tại mỗi nút trong hệ tọa độ địa phương Oxy được xắp xỉ tuyến tính

Trang 38

3 uy, = Nịu + N,u, + N3u; = SN ty Izl 3 v, = N,v, + N,v, + N,v, = YN iol 3 w, = Nw, + N,w; + N;w; = LNW: (3.2) pon N, Bo +N,8 +N, a4 )=Š MB pe fo, N,Bo +N,B +N, = => Mỹ g0 a = N, BS + N, BS + Nfs; = Š`N,ø0 I= hay viết dưới dạng ma trận, ta được N0 000000000 0 l[ u,, | 0N, 000 00 00 0 0 0} ¥,, 00N,0 000 00 0 0 0) w, 0 0 0N,0 000000 0Ø; 0 0 0 0X,0 00000 0Ø; 0 000 0 w,0 0000 0Ø; -ÈN, đu 00000 0MN0 000 0| vo 0000000N, 0 0 0 04 gs 0000000 0N, 0 0 04 sf 00000000 0N, 0 0) £6? 000000000 0N, 0 | £? 0 00000000 0 0 Ni Bi

trong đó ø„, v„,w„, Ø8) đụ „đả lần lượt là chuyển vị và góc xoay tại các nút thứ

Trang 39

-23-

Tir méi quan hé trén, thế công thức (3.3) vào công thức từ (2.7) - (2.18), với mỗi