CHUYÊN ĐỀ: SỐ HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Giải phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó. 2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên. Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là: Phương pháp dùng tính chất chia hết Phương pháp xét số dư từng vế Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp dùng tính chất của số chính phương Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
CHUYÊN ĐỀ: SỐ HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình nghiệm nguyên Giải phương trình f(x, y, z, ) = chứa ẩn x, y, z, với nghiệm nguyên tìm tất số nguyên (x, y, z, ) thỏa mãn phương trình Một số lưu ý giải phương trình nghiệm nguyên Khi giải phương trình nghiệm ngun cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm ngun là: �Phương pháp dùng tính chất chia hết �Phương pháp xét số dư vế �Phương pháp sử dụng bất đẳng thức �Phương pháp dùng tính chất số phương �Phương pháp lùi vơ hạn, ngun tắc cực hạn B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT Dạng 1: Phát tính chia hết ẩn Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình 2x 13y 156 (1) Hướng dẫn giải Ta có 13yM13 156M13 nên 2xM13 � xM13 (vì (2,13) = 1) Đặt x 13k (k �Z) thay vào (1) ta được: y 2k 12 � x 13k (k �Z) �y 2k 12 Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên 23x 53y 109 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: � Hướng dẫn giải 109 53y 23(4 2y) 17 7y 17 7y 4 2y 23 23 23 17 7y Ta phải biến đổi tiếp phân số để cho hệ số biến y 23 Ta có x Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số bội thích hợp 23 17 7y 17 7y 46 46 7(9 y) 46 7(9 y) 2 23 23 23 23 7(9 y) 9 y �Z , (7,23) = Từ x 2 2y , Để x �Z � 23 23 Đặt y 23t (t �Z) � y 23t �x 23t (t �Z) �y 53t 16 Vậy nghiệm ngun phương trình là: � Bài tốn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 5y2 74 Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: 6x 5y 74 � 6 x 4 5 10 y 2 2 Từ (2) suy 6 x 4 M5 , mặt khác 6,5 1� x 4 M5 � x 5t 4 t �N 2 Thay x2 5t vào (2) ta có: 30t 5 10 y � y 10 6t � t � � 5t � 2 � t ,t �N �� Ta có: x 0,y � � Suy ra: t � 0;1 10t 5 � �t � Với t = khơng thỏa mãn u cầu tốn �x2 �x �3 �� Với t = ta có: � Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = y �2 �y � Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2) Dạng 2: Phương pháp đưa phương trình ước số * Cơ sở phương pháp: Ta tìm cách đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên Thực chất biến đổi phương trình dạng: A(x;y).B(x;y) c A(x;y),B(x;y) biểu thức nguyên, c số nguyên Xét trường hợp A(x;y),B(x;y) theo ước c * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x 3y 2xy 11 Hướng dẫn giải 15 5x 3y 2xy 11 � x(5 2y) (5 2y) 11 2 � � 7 2x � 2y � x � � 2y 5 � 2y 5 2x 3 2 � 2� (*) (2x + 3) (2y - 5) ước số nên ta có: 2x + -1 -7 2y - -7 -1 x -1 -2 -5 y -1 Vập phương trình có nguyện ngun (x, y) = (-1, 6); (-2, -1); (2, 3); (-5, 2) Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 2xy 3y 5x Hướng dẫn giải x2 2xy 3y 5x � x2 x(2y 5) (2y 5)2 (2y 5)2 3y 4 2 � 2y � 4y2 20y 25 12y 28 � 2y � 4y2 8y �� x � x � � � � � � � 2 � 2y � 4(y 1)2 � 2y � 7 �� x 0� � x � � (y 1) � � � � 2x 2y 5 � 2 7 � 2x 2y 5 4 y 1 7 4 � 2x 2y 2y 2 2x 2y 2y 2 7 � 2x 4y 7 2x 3 7 (*) (y 1)2 Vì x, y nguyên nên từ PT(*) ta có trường hợp sau: �2x 4y � x 2 �� �2x 7 �y 3 1) � �2x 4y 7 � x �� �2x �y 2) � �2x 4y 1 � x �� �2x �y � 2x 4y � x1 �� 2x 1 � �y 3 3) � 4) � Vậy nghiệm nguyên (x; y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) 2 1 Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình x 12x y Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với : x2 12x y2 � x 6 y2 36 � x y 6 x y 6 36 Suy (x + y + 6) (x – y + 6) ước 36 Kết ta tìm nghiệm nguyên 0,0 ; 12,0 ; 16,8 ; 16, 8 ; 4,8 ; 4, 8 Dạng 3: Phương pháp tách giá trị nguyên * Cơ sở phương pháp: Trong nhiều tốn phương trình nghiệm ngun ta tách phương trình ban đầu thành phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm nghiệm, đa số toán sử dụng phương pháp thường rút ẩn (có bậc nhất) theo ẩn cịn lại * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số nguyên x y thoả mãn phương trình: x2 xy 2y x Hướng dẫn giải Nhận xét: phương trình ẩn y có bậc nên rút y theo x 2 Ta có: x xy 2y x � y x 2 x x * Với x = thì: * � (vơ lý) Với x �2 ta có: * � y x2 x 3 x 1 x x x Để y nguyên 3M x 2 Vậy (x – 2) ước đó: x 2 � 3,1,1, 3 � x � 1,1,3,5 Vậy phương trình có nghiệm: (x, y) = (3; - 1) ; (5; -5); (1; -5); (-1; - 1) Bài tốn Tìm số ngun dương x, y cho 6x 5y 18 2xy (1) Hướng dẫn giải Ta có: x � 2x 5y 18 10y 36 � 2x 2y 2y 66 5 2y 2y 66 33 � 2x 5 2y 3 y Như x muốn nguyên dương (3 – y) phải ước – 33 Hay 3 y� 33;11;3;1;1;3;11;33 Lại y �1� 3 y �2 � y� 33;11;3;1;1 Ta có bảng sau: 3-y -1 -3 -11 -33 y 14 36 x 19 - 14 Thử lại ta cặp thỏa mãn (19, 4); (8, 6); (4, 14); (3, 36) Bài toán Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x x y 1 x2 2y2 xy Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: 2y x x y 1 x 2y xy � 2y x 1 x x 1 y x 1 1 Nhận thấy x = khơng nghiệm phương trình (1) Chia vế (1) cho (x – 1) ta được: 2y2 x y PT có nghiệm x, y nguyên, suy 2 x1 � x nguyên nên x 1� 1; 1 � � x x1 � Thay x = x = vào phương trình để ý đến y nguyên ta y = Vập phương trình cho có nghiệm (2; 1) (0; 1) II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẴN LẺ CỦA ẨN HOẶC XÉT SỐ DƯ TỪNG VẾ * Cơ sở phương pháp: Chúng ta dựa vào tính chẵn lẻ ẩn xét số dư hai vế phương trình nghiệm ngun với số ngun dùng lập luận để giải tốn * Ví dụ minh họa: Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ Bài tốn Tìm x, y ngun tố thoả mãn y2 2x2 Hướng dẫn giải 2 2 Ta có y 2x 1� y 2x 1� y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + ⇔ x2 = k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = Vậy nghiệm phương trình (x, y) = (2, 3) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2x 5y 1 x y x2 x 105 Hướng dẫn giải Ta có: 2x 5y 1 y x x 105 Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn, x y x x x y x x 1 x lẻ có x(x + 1) chẵn, y chẵn ⇒ x lẻ ⇒ x = ⇒ x = Thay x = vào phương trình ta (5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0⇒ y = y = 26 ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình Vậy nghiệm phương trình (x, y) = (0, 4) Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ xét số dư vế Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: 9x y2 y Hướng dẫn giải Ta có: 9x y y � 9x y y 1 Ta thấy vế trái phương trình số chia cho dư nên y y 1 chia cho dư Do y 3k y 3k k �Z Khi đó: 9x 3k 1 3k 2 � 9x 9k 9k � x k k 1 Thử lại: x k k 1 , y 3k thỏa mãn phương trình cho Vậy nghiệm phương trình x,y k k 1 ,3k 1 với k �Z Bài toán Tìm x, y số tự nhiên thoả mãn x2 3y 3026 Hướng dẫn giải 2 Xét y � x 3026 � x 3025 Mà x ∈ N ⇒ x = 55 Xét y > ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho dư � x y chia cho dư mà 3026 chia cho dư (loại) Vậy phương trình có nghiệm (x,y) = (55,0) Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình x2 5y2 27 Hướng dẫn giải Do x số nguyên nên ta biểu diễn x dạng: x 5k x 5k �1 x 5k �2 với k �Z - Xét x = 5k x2 5y2 27 � 5k 5y2 27 � 5 5k2 y2 27 Điều vơ lý vế trái chia hết cho với k y ngun cịn vế phải khơng chia hết cho - Xét x 5k �1 x2 5y2 27 ۱ 5k 1 5y2 27 ۱ 25k2 10k 1 5y2 27 ۱ 5k2 2k y2 23 Điều vơ lý vế trái chia hết cho với k y ngun cịn vế phải khơng chia hết cho - Xét x 5k �2 x2 5y2 27 ۱ 5k 2 5y2 27 ۱ 25k2 10k 1 5y2 27 ۱ 5k2 4k y2 23 Điều vơ lý vế trái chia hết cho với k y nguyên vế phải khơng chia hết cho Vậy phương trình cho vô nghiệm III PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển * Cơ sở phương pháp: Trong nhiều toán ta thường sử dụng bất đẳng thức để chứng minh vế khơng nhỏ (hoặc khơng lớn hơn) vế cịn lại Muốn cho phương trình có nghiệm dấu bất đẳng thức phải xảy nghiệm phương trình Một số bất đẳng thức Cổ điển thường sử dụng như: Bất đẳng thức Cauchy (tên quốc tế AM – GM) Nếu a1 ,a2 ,a3 , ,an số thực khơng âm thì: a1 a2 a3 an � a1.a2.a3 .an n Đẳng thức xảy a1 a2 a3 an Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai số thực a1 ,a2 ,a3 , ,an b ,b ,b , ,b ta có n a a a a b b 2 3 n 2 b32 b2n � a1b2 a2b2 a3b3 an bn Đẳng thức xảy tồn số thực k k �0 cho kbi với i = 1, 2, 3,…, n * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: x x2 y2 4x2y Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x2 �2x Dấu “=” xảy x = x y �2xy Dấu “=” xảy x = y 2 2 2 Do x, y dương nên nhân vế bất đẳng thức ta x 1 x y �4x y Dấu xảy x = y = Bài tốn Giải phương trình nghiệm ngun dương sau: x6 z3 15x2z 3x2y2z y2 1 Hướng dẫn giải Ta có: 1 � x6 z3 y2 5 15x2z 3x2y2z � x6 z3 y2 5 3x2z y2 5 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x6 z3 y2 5 �3x2z y2 5 Dấu “=” xảy x2 y2 z 2 Từ x y x y x y giải nghiệm (x, y, z) = (3, 2, 9) Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên sau x y 1 3 x2 y2 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1 1 1 x2 y2 1 � x y 1 1 Dấu “=” xảy x y � x y Vậy nguyệm nguyên phương trình (x, y) = (1, 1) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 xy y2 x2y2 Hướng dẫn giải Với x �2 y �2 ta có: AM GM �x2 y2 �4x2 2 2 2 2 x y x y x y x y x2 y2 xy x2 y2 xy �2 2 � �x y �4y Vậy x �2 y �2 Nếu x = -2 x = phương trình khơng có nghiệm ngun Thử x = -1, 1, ta thấy phương trình có nghiệm (0;0), (1; - 1), (-1; 1) Dạng 2: Sắp xếp thứ tự ẩn * Cơ sở phương pháp: Khi phương trình đối xứng với ẩn x, y, z , , ta thường giả sử x �y �z � để giới hạn miền nghiệm phương trình bắt đầu tìm từ nghiệm bé trở * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2xyz x y z Hướng dẫn giải x � y � z 2xyz x y z �3z Giả sử Ta có: Chia vế cho z dương ta 2xy �3�xy xy Do x = y = Thay vào phương trình ban đầu ta được: 2z = z + hay z = Vậy nghiệm phương trình cho (x, y, z) = (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1) 1 Bài tốn Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x y z Hướng dẫn giải Do x, y, z có vai trị nên ta giả sử: x �y �z 1 x x 1;2;3 x Z Khi đó: ���� x y z x Với x = phương trình cho vô nghiệm 1 1 1 1 � y Mặt khác y �x � y � 2,3,4 Với x = ta có: 1 y z y +) y = phương trình vơ nghiệm +) y = z = +) y = z = � y Mặt khác y �x � y � z Với x = ta có: y z y Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2, 3, 6); (2, 4, 4); (3, 3, 3) Dạng 3: Chỉ nghiệm nguyên * Cơ sở phương pháp: Chúng ta xét khoảng giá trị ẩn thể dạng: vài số nghiệm phương trình, chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: 3x 4x 5x Hướng dẫn giải x x �3 � �4 � Chia hai vế phương trình cho ta được: � � � � �5 � �5 � x Thử thấy x = không nghiệm phương trình Với x = VT = VP = thỏa mãn toán x x x x 2 �3 � �3 � �4 � �4 � �3 � �4 � �3 � �4 � Với x �3 � � � � � ��� � � � � � � � � � � �5 � �5 � �5 � �5 � �5 � �5 � �5 � �5 � Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: 2x 3x 35 Hướng dẫn giải Thử thấy x = 0; x = 1; x = không thỏa mãn 2x 3x 35 Với x = 23 33 35 (đúng) Với x ≥ 23 33 35 Vậy x = nghiệm phương trình IV PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG Dạng 1: Dùng tính chất chia hết số phương * Cơ sở phương pháp: - Số phương khơng thể có chữ tận 2, 3, 7, 8; - Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p - Số phương chia cho có số dư 1; - Số phương chia có số dư 1; - Số phương chia cho có số dư 0, * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x y y 1 Hướng dẫn giải Ta có: 9x y y 1 � 36x 20 4y2 4y � 36x 21 4y2 4y � 3 12x 7 2y 1 Số phương chia hết chia hết cho 9, ta lại có 12x + khơng chia hết 3(12x + 7) không chia hết cho Do phương trình vơ nghiệm Cách khác: 9x y y 1 � y2 y 9x 1 4 9x 5 36x 21 3 12x 7 Ta có chia hết cho không chia hết không số phương khơng tồn y ngun Vậy phương trình vơ nghiệm Dạng 2: Biến đổi phương trình dạng a1 A12 a2 A22 an An2 k , Ai (i 1, , n) đa thức hệ số nguyên, số nguyên dương, k số tự nhiên * Cơ sở phương pháp: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ (a b)2 , đưa phương trình dạng Sau dựa vào tính chất , Ai để phân tích thành k a1k12 a2 k22 an kn2 (với ki ��), dẫn đến giải hệ phương trình �A12 k12 �2 �A2 k2 � � 2 � �An kn * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 y2 x y Hướng dẫn giải Ta có: x2 y2 x y � 4x2 4y2 4x 4y 32 � 4x2 4x 4y2 4y 34 � 2x 1 2y 1 34 2 2 � 2x 2y 32 52 Ta thấy 34 có dạng phân tích thành hai số phương 32 52 � � 2x 1 32 � � � �2x � � � � � 2y 1 52 � 2y � � � � Do đó: � � � � �2x 2x 1 52 �� � � � � � � � � 2y 1 �2y � � Giải ta nghiệm (x, y) = (2, 3); (-1, -2); (-2; -1); (3, 2) Bài tốn Giải phương trình nghiệm nguyên x2 4xy 5y2 2(x y) Hướng dẫn giải 2 Ta có x 4xy 5y 2(x y) � x 4xy 5y2 2x 2y � x2 2x(2y 1) (2y 1)2 (2y 1)2 5y2 2y � (x 2y 1)2 y2 2y � (x 2y 1)2 (y 1)2 2(*) Xét phương trình (*) ta có: x 2y 1 �0 x,y � y 1 �2 2 Mà x nguyên nên y 1 � 0,1 * Với y 1 x 2y 1 (loại) 2 �y � y2 �� y 1 � y0 � * Với y 1 1� � �x � x �� x 1 � x � - y = � x 4 1 1� � �x � x �� x 1 1 � x � - y = � x 1 1� � Vậy phương trình cho có nghiệm: x,y 6,2 ; 4,2 ; 2,0 ; 0,0 Dạng 3: Xét số phương liên tiếp * Cơ sở phương pháp: Phương pháp dựa nhận xét sau: Không tồn n �Z thỏa mãn: a2 n2 a 1 với a�Z Nếu a2 n2 a 2 với a,n �Z n = a + Tương tự với lũy thừa bậc 3 Nếu x x 1 x n y y 1 y n x a x a 1 x a n Thì y y 1 y n x i x i 1 x i n với i � 1,2, ,a 1 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: 1 x x2 x3 y3 1 Hướng dẫn giải Ta có: 2 � 1� � 11� 19 x x 1 � x � 0; 5x2 11x 5� x � 0 � 2� � 10 � 20 Nên 1 x x x3 x2 x 1 x x2 x3 1 x x2 x3 5x2 11x Do đó: x3 y3 x 2 � y3 x 1 3 �x x � Kết hợp với (1) ta có: x 1 1 x x x � x x 1 � � Nghiệm phương trình là: (0;1) (-1;0) 3 Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 2y 3y Hướng dẫn giải 2 � x y3 2y2 3y 3 Ta có: y2 �0;5y2 nên y 2y2 3y 5y2 y3 2y2 3y � y 2y2 3y y Do đó: y 1 x3 � y 1 � x3 y3 x3 y 1 3 Nếu x3 y3 kết hợp với (3) ta có: 2y2 3y � y 1� x 1 2 Nếu x3 y 1 Phối hợp với (3) ta có y2 � y , lúc x = Vậy nghiệm phương trình cho (-1; -1) (1; 0) Dạng 4: Sử dụng điều kiện số phương * Cơ sở phương pháp: Với phương trình nghiệm nguyên có dạng f x,y viết dạng phương trình bậc ẩn chẳng hạn ẩn x, điều kiện �0 để phương trình có nghiệm ngun phải số phương Vận dụng điều ta giải tốn Chú ý: số phương điều kiện cần chưa đủ để phương trình có nghiệm ngun, sau tìm giá trị cần thử lại vào phương trình ban đầu * Ví dụ minh họa: Bài tốn Giải phương trình nghiệm ngun 3x2 y2 4xy 4x 2y Hướng dẫn giải 2 Ta có: 3x y 4xy 4x 2y � y2 2 2x 1 y 3x2 4x 1 Coi phương trình (1) phương trình ẩn y tham số x ta có: ' 2x 1 3x2 4x 4x2 4x 1 3x2 4x x2 Để phương trình có nguyện ngun ' phải số phương hay ' x2 n2 với n �N x n x n giải ta x = x = -2 Với x = y = Với x = -2 y = -5 Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (2, 3) ; (-2, -5) 2 2 Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên x y xy x 2y 1 Hướng dẫn giải 2 Phương trình cho viết lại: x 2 y xy x 2 Do x nguyên nên x 2 �0 coi phương trình (2) phương trình ẩn y tham số x ta có: x2 4x2 x2 x2 4x2 Để phương trình có nguyện ngun phải số phương -Xét x = từ (1) suy y = -Xét x �0 4x 7 phải số phương 4x2 m2 với m số nguyên, ta có 2x m 2x m ta tìm x = x = -2 Với x = thay vào (2) ta được: y y � y � 1; 2 Với x = -2 thay vào (2) ta được: y y � y � 1;2 Nghiệm nguyên phương trình (x, y) = (2, 1); (2, -2); (-2, -1); (-2, 2) V PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn * Cơ sở phương pháp: Dùng để chứng minh phương trình f(x, y, z, ) ngồi nghiệm tầm thường x = y = z = khơng cịn nghiệm khác Phương pháp diễn giải sau: Giải sử x0 ,y0 ,z0 , nghiệm phương trình f(x, y, z, ), nhờ phép biến đổi suy luận ta tìm nghiệm khác x1 ,y1 ,z1 , cho nghiệm có quan hệ với nghiệm ban đầu tỷ số k Ví dụ x0 kx1 ,y0 ky1 ,z0 kz1 ; Rồi từ x2 ,y2 ,z2 , có quan hệ với x1,y1,z1, tỷ số k Ví dụ x1 kx2 ,y1 ky2 ,z1 kz Quá trình dẫn đến x0 ,y0 ,z0 , chia hết cho ks vớ s số tự nhiên tùy ý, điều xảy x = y = z = Chúng ta đến ví dụ cụ thể sau: * Ví dụ minh họa: Bài tốn Giải phương trình nghiệm ngun sau x2 y2 3z2 Hướng dẫn giải Gọi x0 ,y0 ,z0 nghiệm phương trình Xét (mod 3) ta chứng minh x0 ,y0 chia hết cho Thật rõ ràng vế phải chia hết cho suy x02 y02 M3 Ta có x02 �0;1 mod 3 ;y02 �0;1 mod 3 x02 y02 M3 � x02 M3,y02 M3 � x0 M3, y0 M3 2 Đặt x0 3x1 ; y0 y1 vào rút gọn ta 3 x1 y1 z0 � z0 M3 � z0 3z1 x ,y 0 2 Thế z0 3z1 vào 3 x1 y1 z0 rút gọn ta được: x12 y12 z12 Do ,z0 nghiệm phương trình x1 ,y1 ,z1 nghiệm phương trình Tiếp tục suy luận dẫn đến x0 ,y0 ,z0 M3k điều xảy x0 y0 z0 Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (0, 0, 0) Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình: x3 y z (1) Hướng dẫn giải Giả sử x0 , y0 , z0 nghiệm nguyên phương trình x0 M3 đặt x0 3x1 thay x0 x1 vào (1) ta được: x13 y03 z03 � y0 M3 đặt y0 y1 � z0 M3, đó: x13 27 y13 3z03 � 3x13 y13 z03 � z0 M đặt z0 3z1 đó: x13 y13 z13 �x y z � Vậy � , , �cũng nghiệm phương trình �3 3 � �x y z � Quá trình tiếp tục được: � k0 , k0 , 0k �là nghiệm nguyên (1) với k �3 3 � điều xảy x0 y0 z0 Vậy ( 0, 0, ) nghiệm phương trình cho Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn * Cơ sở phương pháp: Về hình thức phương pháp khác với phương pháp lùi vơ hạn ý tưởng sử dụng nhau, chứng minh phương trình ngồi nghiệm tầm thường khơng cịn nghiệm khác Phương pháp bắt đầu việc giả sử x0 ,y0 ,z0 , nghiệm phương trình f(x, y, z, ) với điều kiện buộc với x0 ,y0 ,z0 , Ví dụ x0 nhỏ x0 y0 z0 nhỏ Bằng phép biến đổi số học ta tìm nghiệm khác x1,y1,z1, trái với điều kiện buộc Ví dụ tìm x0 ,y0 ,z0 , với x0 nhỏ ta lại tìm x ,y ,z , thỏa 1 mãn x1 x0 từ dẫn tới phương trình cho có nghiệm x0 y0 z0 * Ví dụ minh họa: 4 4 Bài tốn Giải phương trình nghiệm nguyên sau 8x 4y 2z t 1 Hướng dẫn giải Giải sử x0 ,y0 ,z0 nghiệm phương trình với điều kiện x0 nhỏ Từ phương trình (1) suy t số chẵn Đặt t 2t1 vào phương trình (1) rút gọn ta được: 4x04 2y04 z04 8t14 rõ ràng z0 chẵn Đặt z0 2z1 � 2x04 y04 8z14 4t14 � y0 chẵn Đặt y0 2y1 � x04 8y14 4z14 2t14 � x0 chẵn 4 4 Đặt x0 2x1 � 8x1 4y1 2z1 t1 � x1;y1;z1;t1 nghiệm phương trình dễ thấy x1 x0 (vô lý) ta chọn x0 nhỏ Do phương trình có nghiệm x,y,z,t 0,0,0,0 C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình xy x y Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x x 2009 y Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y z xy xz 10 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x xy y x Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x y )( x y ) ( x y )3 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên x3 y xy Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5( x y z ) xyz Bài 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình a) x x x x y ; b) x x x y Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên x y 48 Bài 10: Tìm số tự nhiên lẻ n để 26n 17 số phương Bài 11: Tìm số nguyên x, y, z cho x y z 2012 �x 13 y z Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình � 2 13 x y t � Bài 13: Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 y z Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y z xy yz z 4 Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình x 1 y z 48 xyz Bài 16: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình �x z �2 �y t 16 �xt yz 12 � Bài 17: Tìm nghiệm phương trình: x3 y3 x2y xy2 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2 (1) Bài 19: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x2 y y2 x x y 1 Bài 20: Tìm tất số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: x y 617 1 Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x y p p số nguyên tố 1 1 Bài 22: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 6xy Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình 6x 15 10z Bài 24: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 y2 z2 1999 1 Bài 25: Tìm nghiệm dương phương trình x y 50 Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên: y x x x x Bài 27: Giải phương trình tập số nguyên x2015 y(y 1)(y 2)(y 3) Bài 28: Tìm số tự nhiên x số nguyên y cho 2x y2 Bài 29: Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 1 2 3 4 11879 Bài 30: Tìm tất cặp (x, y, z) số nguyên thỏa mãn hệ phương trình: x x � x y z �3 3 �x y z x x y � � x y z 1 2x2 xy x 2z � Bài 31: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn đẳng thức: � 2 Bài 32: Tìm số thực a để nghiệm phương trình sau số nguyên: x2 ax a 2 1 Bài 33: Tìm số nguyên dương x y thoả mãn phương trình: x 4y2 28 17 x4 y4 238y2 833 Bài 34: Tìm tất cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x.x2 9y2 6y 16 2 Bài 35: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y x y 3 xy Bài 36: Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn x y x y 6 Bài 37: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 y2 xy Bài 38: Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 1 4y2 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x2 y2 5x2y2 60 37xy Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên y3 2x x x 1 1 2 Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên x 2y 2xy 4x 8y 1 Bài 42: Tìm x, y nguyên cho x y 18 Bài 43: Tìm số nguyên x y thoả mãn phương trình 9x y2 y Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2015(x2 y2 ) 2014(2xy 1) 25 Bài 45: Tìm nghiệm phương trình: x3 y3 x2y xy2 Bài 46: 1) Tìm tất số nguyên tố p số nguyên dương x,y thỏa mãn �p 2x(x 2) �2 �p 2y(y 2) 2) Tìm tất số nguyên dương n cho tồn số nguyên dương x, y, z thoả mãn x3 y3 z3 nx2y2z2 �x y z �x y z Bài 47: Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình: � Bài 48: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 2y(x y) 2(x 1) Bài 49: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x4 x2 y2 y 20 Bài 50: a) Chứng minh không tồn số nguyên (x, y, z) thỏa mãn x4 y4 7z4 b) Tìm tất nguyện nguyên thỏa mãn đẳng thức x 1 x 1 y3 4 Bài 51: Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x y 41 xy Bài 52: Tính tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x 2019 y 2019 y1346 y 673 Bài 53: Cho phương trình x3 y z 9!(1) với x; y; z ẩn 9! Là tích số nguyên dương liên tiếp từ đến a) Chứng minh có số nguyên x; y; z thỏa mãn (1) x, y , z chia hết cho b) Chứng minh không tồn số nguyên x, y , z thỏa mãn (1) Bài 54: Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 xy x y Bài 55: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời: x y z xz 4( x z ) 396 x y 3z Bài 56: Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn điều kiện x y xy 3x Bài 57:Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x xy y x 3 Bài 58: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 16 x y 15 xy 371 Bài 59: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x y Bài 60: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 xy y2 2x 3y Bài 61: Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn đẳng thức x2y2 x2 6y2 2xy Bài 62: Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn y xy 3x 2 Bài 63: Tìm tất số nguyên a; b thỏa mãn a b a b 4 Bài 64: Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn y y x x3 x x Bài 65: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x xy x y Bài 66: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình xy2 (y 45)2 2xy x 220y 2024 Bài 67: Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 n2x n (ẩn số x ) có nghiệm số nguyên x2 y2 85 Bài 68: Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x y 13 n2 a b � Bài 69: Tìm số ngun khơng âm a, b, n thỏa mãn: �3 n a b2 � Bài 70: Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2020(x2 y2 ) 2019(2xy 1) Bài 71: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình x y x y Bài 72: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y 1 x y Bài 73: Giải phương trình nghiệm nguyên 4y2 199 x2 2x Bài 74: Tìm tất cặp số nguyên dương ( x;y) thỏa mãn: xy x y x y2 30 Bài 75: Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 1 x 1 y x x 65 Bài 76: Tìm tất cặp số nguyên dương (m;n) thỏa mãn phương trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19 Bài 77: Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn ( x x 1)( y xy ) 3x Bài 78: Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y x y y x y Bài 79: Tìm x, y thỏa mãn: x y x.y Bài 80: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 xy y2 x2y2 Bài 81: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y2 xy2 Bài 82: Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2 18y2 2z2 3y2z2 18x 27 2 Bài 83: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y x y x y x 1 Bài 84: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 2xy 243y x Bài 84: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 y2 y Bài 85: Giải phương trình nghiệm nguyên y2 1 x2 4x Bài 86: Tìm số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 3a 5 a Bài 87: Tìm tất cặp x;y nguyên thỏa mãn x2y2 x 2 2y 2 2xy x 2y 4 2 Bài 88: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 4y4 6y2 1 x Bài 89: Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y 1 x 1 y 6xy y 2 x y 2 x 1 y 1 Bài 89: Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn: x 2018 y4 6y3 11y2 6y Bài 90:Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 5y 62 (y 2)x2 (y2 6y 8)x Bài 91: Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 2x2 2y2 3x 6y 5xy Bài 92: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x 16y 24 9x2 16x 32 Bài 93: Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình x y x 2y x y Bài 94: Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x x x 1 Bài 95: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x 171 y2 Bài 96: Tìm nghiệm nguyên x;y phương trình: 54x3 y3 2 Bài 97: Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 5 x xy y 7 x 2y Bài 98: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn: x 1 x x 4y y 1 Bài 99: Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 2x yzz4 Bài 100: Tìm x,y,z �N thỏa mãn x y z ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ FERMATS ĐỂ CHỨNG MINH CHIA HẾT I Lý thuyết: Định lý Fermat nhỏ Cho a số nguyên dương p số nguyên tố Khi ta p p 1 ln có a �a mod p Đặc biệt (a, p) =1thì a �1 mod p Chứng minh: Giả sử gcd(a, p) = Xét số nguyên a, 2a, …, (p – 1).a mà số dư chia cho p đôi phân biệt (nếu khơng thì, với ia �ja mod p p i j a � p i j � i j ) Do a. 2a p 1 a a p1.1.2 p 1 �1.2 p 1 mod p Vì gcd(p, (p-1)!) = nên ta suy điều phải chứng minh p 1 * Hệ quả: Nếu p số nguyên tố a không bội p a �1 mod p II Bài tập vận dụng: Bài Chứng minh với n � N : a) 22 3.23n M7 ; b) 22 2.125n 1 5.102n M11 Hướng dẫn giải a) Theo Định lý Fermat nhỏ , số nguyên tố nên 26 �1 (mod 7) Ta có �1 (mod 3) � 4n �1 (mod 3) � 2.4n �2 (mod 6) Nghĩa 22n + = 2(22)n = 4n �2 (mod 6) � 22n + = 6k + , (k � N) Mặt khác 23n = (23)n = 8n �1 (mod 7) � 23n �3 (mod 7) Do 22 3.23n �26k + + �22 (26)k + �22.1 + � (mod 7) b) Do 11 số nguyên tố nên 210 �1 (mod 11) Ta có 16 �1 (mod 5) � 16n �1 (mod 5) � 2.16n �2 (mod 10) Nghĩa 24n + = 2(24)n = 2.16n �2 (mod 10) � 24n + = 10k + 2, (k � N) Mặt khác 12 �1 (mod 11) � 125n + �1 (mod 11) � 125n + �2 (mod 11); Do 102 �1 (mod 11) � 102n �1 (mod 11) � 5.102n �5 (mod 11) Vì 22 2.125n 1 5.102n �210k + + + �22 + � (mod 11) Bài Cho a1 ; a2 ; ; a2016 2016 số nguyên dương Chứng minh điều kiện cần đủ để a15 a 52 a 35 a 52016 M30 a1 a2 a2016 M30 Hướng dẫn giải Theo định lý Fermat nhỏ , 2; 3; số nguyên tố a số nguyên dương ta có : a2 �a (mod 2) � a4 = (a2)2 �a2 �a (mod 2) � a5 �a (mod 2) a3 �a (mod 3) � a5 = a3 a2 �a.a2 �a3 �a (mod 3) a5 �a (mod 5) n 1 n 1 n 1 n 1 Theo tính chất hai số đồng dư với theo nhiều mơđun chúng đồng dư với theo mơ đun BCNN mơđun Do đó: a5 �a (mod 2.3.5) hay a5 �a (mod 30) � a5 – a �0 (mod 30) 5 5 Nghĩa a1 a a a 2016 – a1 a2 a2016 �0 (mod 30) Vậy a1 a2 a2016 M30 � a15 a 52 a 35 a 52016 M30 Bài Cho A = 22 19 với n � N* Chứng minh A hợp số Hướng dẫn giải Theo định lý Fermat nhỏ, 11 số nguyên tố nên ta có 210 �1 (mod 11) � 210n �1 (mod 11) � 210n + = 210n �2 (mod 22) � 210n + = 22k + (k � N) Do 23 số nguyên tố ta có 222 �1 (mod 23) � 22 222k 2 4.222k �4 (mod 23) � 22 19 �4 + 19 �0 (mod 23) Tức A M23 Mà A > 23, n �1 nên A hợp số Bài Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p 1Mp Hướng dẫn giải p � Theo định lý Fermat nhỏ ta có 2 (mod p) nên 2p �– (mod p) ta có �0 (mod p) � p = Mặt khác p = 23 + = �0 (mod 3) Vậy p = số cần tìm Bài Chứng minh với số nguyên tố p tồn vô số số có dạng 2n n chia hết cho p, (n �N) Hướng dẫn giải n * Nếu p = – n M2, n = 2k (k�N ) * Nếu p � (2 ; p) = nên theo định lý Fermat bé ta có : 2p-1 �1 (mod p) � 2p-1 – �0 (mod p) � 2 p 1 – �0 (mod p) Hay 2 p1 – Mp (k�N ; k �2) Mặt khác (p – 1)2k �(– 1)2k �1 (mod p) 10 n 1 10 n 1 10 n 1 2k 2k p 1 k � � 1� Mp p 1 1� � � � – (p – 1) = � 4 44 43 2k � 2 p 1 2k 2k Mp Mp Vậy tồn vô số số tự nhiên n có dạng n = (p – 1)2k, ( k�N ; k �2) cho 2n – n M p Bài Cho số nguyên a không chia hết cho Chứng minh rằng: a 1 a 15a 1 M 35 Hướng dẫn giải Đặt A a 1 a 15a 1 Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta có: a �1 mod5 a �1 mod a không chia hết cho 4 Vì a �1 mod5 � a 1M5 � AM5 2 Lại có: A a 15a 15a �a 15 15a �0 mod � A M7 Vậy AM5.7 35 (vì (5, 7) = 1) Bài 7: Cho p, q hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh pq 1 q p1 chia hết cho pq Hướng dẫn giải 4 Áp dụng dụng định lí Fermat nhỏ ta có p p Mq � p p Vì p, q số nguyên tố nên gcd(p,q)=1 q 1 Từ (1) suy p 1 Mq q q 1 1 Mq (do q nguyên tố) (1) (2) q 1 p 1 Từ (2) suy p q 1 Mq (3) q 1 p 1 Vì p, q có vai trị nên p q 1 Mp (4) Mà gcd(p,q)=1 nên từ (3) (4) suy p q 1 Mpq Bài : Cho p số nguyên tố khác khác Chứng minh dãy 9, 99, 999, 9999, … Có vơ số số hạng chia hết cho p Hướng dẫn giải Do p số nguyên tố khác khác nên gcd(p,10)=1 (1) Vì p số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: (2) 10p 10 Mp � 10. 10p1 1 Mp q 1 p 1 1 Mp Từ (1) (2) suy 10 p 1 10p 1 1 mod p n p 1 �1 mod p � 10n p 1 1 Mp với n nguyên Do với n nguyên dương 10 dương n p 1 99 123 Từ suy tồn vơ số số hạng dãy 9, 99, 999, Mặt khác 10 n p 1 9999, … chia hết cho p III Bài tập tự luyện: Bài Chứng minh với số tự nhiên n 23 32 2007 chia hết cho 22 Bài Cho a, b �Z ; a, b Chứng minh : a 2b3 không chia hết cho 19 Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho chia hết 2n Bài Tìm tất số nguyên tố p cho p �0 mod p n 1 n 1 Bài Cho p số nguyên tố Chứng minh xy yx Mp với số tự nhiên a, b Bài Cho x, y số nguyên dương Chứng minh x y chia hết cho x y chia hết cho Bài Cho a số nguyên dương Chứng minh thừa số nguyên tố lớn a có dạng 4m + p p ... với n nguyên Do với n nguyên dương 10 dương n p 1 99 123 Từ suy tồn vô số số hạng dãy 9, 99 , 99 9, Mặt khác 10 n p 1 99 99, … chia hết cho p III Bài tập tự luyện: Bài Chứng minh với... gcd(p,q)=1 nên từ (3) (4) suy p q 1 Mpq Bài : Cho p số nguyên tố khác khác Chứng minh dãy 9, 99 , 99 9, 99 99, … Có vơ số số hạng chia hết cho p Hướng dẫn giải Do p số nguyên tố khác khác nên gcd(p,10)=1... 3x 16y 24 9x2 16x 32 Bài 93 : Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình x y x 2y x y Bài 94 : Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x x x 1 Bài 95 : Tìm nghiệm nguyên