Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa

Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin: Giáo trình tối ưu hóa

Tr ng i h c Nông nghi p I PGS TS NGUY N H I THANH T i u hóa Giáo trình cho ngành Tin h c Cơng ngh thông tin Nhà xu t b n Bách khoa – Hà N i Mã s : 920 U NG I BÀI TOÁN T I U T NG QUÁT VÀ 3.1 Quy trình tính tốn phát bi u thu t toán 3.2 C s c a ph ng pháp n hình i ng u BÀI TỐN V N T I 4.1 Phát bi u toán v n t i 4.2 Các tính ch t c a toán v n t i 4.3 Ph ng pháp phân ph i gi i toán v n t i 4.4 Ph ng pháp th v gi i toán v n t i 4.5 C s c a ph ng pháp phân ph i ph ng pháp th v BÀI T P CH NG III CH NG IV QUY HO CH NGUYÊN PH NG PHÁP C T GOMORY GI I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUN 1.1 Phát bi u tốn quy ho ch n tính nguyên 1.2 Minh h a ph ng pháp Gomory b ng th 1.3 Gi i tốn quy ho ch n tính ngun b ng b ng 1.4 Khung thu t toán c t Gomory NG D NG 7 BÀI TOÁN T I U T NG QUÁT VÀ PHÂN LO I 1.1 Bài toán t i u t ng quát 1.2 Phân lo i toán t i u NG D NG BÀI TOÁN T I U GI I QUY 2.1 Ph ng pháp mơ hình hóa tốn h 2.2 M t s ng d ng c a toán t i CH NG II PH NG PHÁP N HÌNH GI QUY HO CH TUY N TÍNH T CÁC V N c u I BÀI TOÁN TH C T 9 10 16 MƠ HÌNH QUY HO CH TUY N TÍNH 1.1 Phát bi u mơ hình 1.2 Ph ng pháp th 16 16 17 PH 19 19 23 NG PHÁP N HÌNH 2.1 Tìm hi u quy trình tính tốn 2.2 Khung thu t tốn n hình C S TỐN H C C A PH NG PHÁP N HÌNH 3.1 Phát bi u tốn quy ho ch n tính d ng t c 3.2 Công th c s gia hàm m c tiêu 3.3 Tiêu chu n t i u 3.4 Thu t tốn n hình cho tốn quy ho ch n tính d ng t c 23 23 25 26 27 B SUNG THÊM V PH NG PHÁP N HÌNH 4.1 a tốn quy ho ch n tính v d ng t c 4.2 Ph ng pháp n hình m r ng 4.3 Ph ng pháp n hình hai pha 4.4 Ph ng pháp n hình c i biên BÀI T P CH NG II CH NG III BÀI TOÁN I NG U VÀ M T S NG D NG 29 29 31 33 35 41 44 PHÁT BI U BÀI TOÁN I NG U 1.1 Phát bi u toán 1.2 Ý ngh a c a toán i ng u 1.3 Quy t c vi t toán i ng u 1.4 Các tính ch t ý ngh a kinh t c a c p toán 44 44 45 46 48 i ng u CH NG MINH M T S TÍNH CH T C A C P BÀI TOÁN 2.1 nh lý i ng u y u 2.2 nh lý i ng u m nh 2.3 nh lý l ch bù THU T TỐN N HÌNH I NG U I NG U 130 / BKHN M CL C M CH 2006 / CBX / 01 PH NG PHÁP NHÁNH C N LAND – DOIG GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUYÊN 2.1 Minh h a ph ng pháp nhánh c n b ng th 2.2 N i dung c b n c a ph ng pháp nhánh c n 2.3 Khung thu t toán nhánh c n Land – Doig GI I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUYÊN B NG QUY HO CH NG 3.1 Bài tốn ng i du l ch 3.2 Quy trình tính toán t ng quát 3.3 Áp d ng quy ho ch ng gi i toán quy ho ch n tính ngun 3.4 Bài tốn túi 3.5 H p nh t hóa ràng bu c c a tốn quy ho ch n tính ngun BÀI T P CH NG IV CH NG V M T S PH NG PHÁP QUY HO CH PHI TUY N CÁC KHÁI NI M C B N C A BÀI TOÁN T I U PHI TUY N 1.1 Phát bi u toán t i u phi n 1.2 Phân lo i toán t i u phi n tồn c c 1.3 Bài tốn quy ho ch l i 1.4 Hàm nhi u bi n kh vi c p m t c p hai M T S PH NG PHÁP GI I BÀI TỐN QUY HO CH PHI TUY N KHƠNG RÀNG BU C 2.1 Ph ng pháp ng d c nh t 2.2 Ph ng pháp Newton 2.3 Ph ng pháp h ng liên h p THI T L P I U KI N T I U KUHN – TUCKER CHO CÁC BÀI TỐN QUY HO CH PHI TUY N CĨ RÀNG BU C 3.1 Hàm Lagrange 3.2 Thi t l p i u ki n Kuhn – Tucker M T S PH NG PHÁP GI I QUY HO CH TỒN PH NG 4.1 Bài tốn quy ho ch tồn ph ng 4.2 Phát bi u i u ki n Kuhn – Tucker cho tốn quy ho ch tồn ph ng 53 54 54 56 57 57 61 62 62 66 68 72 74 78 81 81 81 82 84 86 87 87 88 88 90 90 91 93 95 100 103 105 105 105 106 107 108 109 109 111 113 116 116 117 120 120 121 4.3 Ph ng pháp Wolfe gi i toán quy ho ch toàn ph ng 4.4 Gi i tốn quy ho ch tồn ph ng b ng toán bù 121 123 QUY HO CH TÁCH VÀ QUY HO CH HÌNH H C 5.1 Quy ho ch tách 5.2 Quy ho ch hình h c BÀI T P CH NG V CH NG VI M T S V N C S C A LÝ THUY T QUY HO CH L I VÀ QUY HO CH PHI TUY N T P H P L I 1.1 Bao l i 1.2 Bao óng mi n c a t p l i 1.3 Siêu ph ng tách siêu ph ng t a c a t p l i 1.4 Nón l i nón i c c NG D NG GI I TÍCH L I VÀO BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH 2.1 i m c c biên h ng c c biên 2.2 Bi u di n t p l i a di n qua i m c c biên h ng c c biên 2.3 i u ki n t i u ph ng pháp n hình gi i tốn quy ho ch n tính CÁC TÍNH CH T C A HÀM L I 3.1 Các nh ngh a tính ch t c b n 3.2 D i vi phân c a hàm l i 3.3 Hàm l i kh vi 3.4 C c i c c ti u c a hàm l i CÁC I U KI N T I U FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 4.1 Bài toán t i u khơng ràng bu c 4.2 Bài tốn t i u có ràng bu c 4.3 i u ki n t i u Fritz – John 4.4 i u ki n t i u Kuhn – Tucker M T S PH NG PHÁP H NG CH P NH N GI I BÀI TOÁN QUY HO CH PHI TUY N 5.1 Ph ng pháp h ng ch p nh n 5.2 Thu t toán Frank – Wolfe gi i tốn quy ho ch l i có mi n ràng bu c t p l i a di n 5.3 Ph ng pháp gradient rút g n 5.4 Ph ng pháp n hình l i Zangwill GI I THI U PH NG PHÁP I M TRONG GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH 6.1 Bài toán ellipsoid x p x 6.2 M t s thu t toán i m BÀI T P CH NG VI TÀI LI U THAM KH O M 126 126 129 133 u T i u hóa, c kh i ngu n nh m t ngành c a Tốn h c, có r t nhi u ng d ng hi u qu r ng rãi quy ho ch tài nguyên, thi t k ch t o máy, i u n t ng, qu n tr kinh doanh, ki n trúc ô th , công ngh thông tin, vi c t o nên h h tr quy t nh qu n lý phát tri n h th ng l n Chính v y, l nh v c c a T i u hóa ngày tr nên a d ng, mang nhi u tên g i khác nh Quy ho ch toán h c, i u n t i u, V n trù h c, Lý thuy t trị ch i… Hi n nay, mơn h c T i u hóa c a vào gi ng d y nhi u ch ng trình t o i h c cho ngành khoa h c c b n, k thu t – công ngh , kinh t – qu n lý, sinh h c – nông nghi p, xã h i – nhân v n, sinh thái – môi tr ng … v i th i l ng thông th ng t ba cho t i sáu h c trình i v i sinh viên ngành Tin h c, Công ngh thông tin Tốn – Tin ng d ng, mơn h c T i u hóa m t mơn h c c s khơng th thi u Giáo trình “T i u hóa” c biên so n v i m c ích cung c p cho sinh viên n m th hai ngành Tin h c c a Khoa Công ngh thông tin, Tr ng i h c Nông nghi p I, m t s ki n th c c b n v l nh v c quan tr ng c a T i u hóa Qua giáo trình này, sinh viên c n n m c c s lý thuy t m t m c nh t nh, n m ch c thu t toán t i u c b n áp d ng vi c xây d ng ph n m m t i u tính tốn gi i tốn kinh t , công ngh , k thu t qu n lý Ch ng I gi i thi u t ng quan ng n g n toán t i u t ng quát phân lo i toán t i u c b n, c ng nh gi i thi u m t s ví d mơ hình t i u phát sinh th c t Ph n u trình bày v Quy ho ch n tính bao g m ch ng II, III IV Ph n nh n m nh vào vi c trình bày ph ng pháp thu t toán c i n c a Quy ho ch n tính, nh ph ng pháp n hình (bao g m c ph ng pháp hai pha ph ng pháp n hình c i biên d ng ma tr n ngh ch o), ph ng pháp n hình i ng u, ph ng pháp th v gi i toán v n t i, ph ng pháp c t Gomory nhánh c n Land – Doig c ng nh ph ng pháp quy ho ch ng gi i tốn quy ho ch n tính nguyên Ph n sau c a giáo trình bao g m hai ch ng v Quy ho ch phi n Ch ng V trình bày m t s ph ng pháp thu t toán t i u phi n khơng có ràng bu c có ràng bu c, bao g m ph ng pháp ng d c nh t, ph ng pháp Newton, ph ng pháp h ng liên h p, ph ng pháp gi i quy ho ch tồn ph ng thơng d ng, ph ng pháp quy ho ch tách quy ho ch hình h c Ch ng VI gi i thi u v c s lý thuy t c a quy ho ch l i quy ho ch phi n Ph n gi i thi u v m t l p ph ng pháp i m gi i tốn quy ho ch n tính cu i giáo trình mang tính ch t tham kh o, có th dành cho sinh viên nghiên c u theo nhóm th o lu n Vi c ch ng minh m t s nh lý khó nên sinh viên t nghiên c u, khơng có tính b t bu c Khi biên so n, chúng tơi ln có m t nguy n v ng vi c trình bày ph ng pháp t i u c p t i giáo trình c ng ph i áp ng c “tiêu chu n t i u”, sinh viên ph i hi u c làm c Chính v y, ph ng pháp ln c trình bày m t cách c th thơng qua ví d m u t d t i khó, mà nh ng ví d có th c s d ng nhi u l n ti t ki m th i gian M t s tài li u ng i h c có th tham kh o thêm v Quy ho ch n tính là: Nguy n c Ngh a, T i u hóa, Nxb Giáo d c, 2002; Phan Qu c Khánh – Tr n Hu N ng, Quy ho ch n tính, Nxb Giáo d c, 2003 V Quy ho ch phi n có th c thêm m t s ch ng liên quan sách tham kh o sau: Bazaraa M.S, Shetty C.M, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990; Horst R, Hoàng T y, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; Bùi Th Tâm – Tr n V Thi u, Các ph ng pháp t i u hóa, Nxb Giao thông v n t i, 1998 Ng i c c ng có th s d ng Internet tìm ki m t p chí tài li u liên quan 136 136 136 138 139 144 145 145 148 150 152 152 153 155 158 162 162 164 166 166 170 170 172 172 174 177 177 181 183 186 i m x = (x1, x2, , xn) D Rn c g i ph ng án kh thi (hay ph ng án ch p nh n c ho c ph ng án, n u nói v n t t) c a toán t i u: Max (Min) f(x), v i x D Rn Mi n D c g i mi n ràng bu c Các to thành ph n c a i m x c g i bi n quy t nh, x c ng c g i véc t quy t nh Ch Xét toán c c ng I Bài toán t i u t ng quát ng d ng 1.1 Bài toán t i u t ng quát T i u hóa m t nh ng l nh v c kinh i n c a tốn h c có nh h ng n h u h t l nh v c khoa h c – công ngh kinh t – xã h i Trong th c t , vi c tìm gi i pháp t i u cho m t v n ó chi m m t vai trị h t s c quan tr ng Ph ng án t i u ph ng án h p lý nh t, t t nh t, ti t ki m chi phí, tài nguyên, ngu n l c mà l i cho hi u qu cao D [ 2, 2, 1,8] Rn i m x* = x1 , x , , xn Rn c R1 cho f(x) = x3 – 3x + D th y, m i ph ng án t i u toàn c c c ng ph ng án t i u a ph ng, ó m t ph ng án t i u a ph ng không nh t thi t ph ng án t i u toàn c c Trên hình I.1, i m x = ch ph ng án t i u a ph ng xét tốn c c ti u hố Ví d Xét toán t i u sau: Max f (x) 8x 6x , v i i u ki n ràng bu c Max x Bài toán t i u có d ng c c i hố c gi i nh sau: Cho f’(x) = 3x – = 0, ta có i m t i h n x = –1 x = +1 Xét giá tr hàm s f(x) t i i m t i h n v a tìm c t i giá tr x = –2,2 x = 1,8 (các i m u mút c a o n [–2,2, 1,8]), ta có f(–2,2) = –3,048 , f(– 1) = 3, f(1) = –1, f(1,8) = 1,432 V y giá tr x c n tìm x = –1 K t qu c a toán c minh ho hình I.1 x 60; 2x1 + 4x2 48, x1 0, x2 0} 1.2 Phân lo i toán t i u 1,18 – Bài toán quy ho ch c chia ng, – Bài toán quy ho ch a m c tiêu, – Bài toán quy ho ch ng u nhiên / m –1 –3,048 Hình I.1 R2: 4x1 + 2x2 – Bài tốn t i u phi n hay cịn g i toán quy ho ch phi n (BTQHPT), bao g m c toán quy ho ch l i (BTQHL) tốn quy ho ch tồn ph ng (BTQHTP), – Bài toán t i u r i r c, toán t i u nguyên h n h p nguyên 1,432 –1 D = { (x1, x2) Bài tốn t i u ây cịn c g i toán quy ho ch n tính Ng i ta ã ch ng minh c r ng m i ph ng án t i u a ph ng c a toán quy ho ch n tính c ng ng th i ph ng án t i u toàn c c Các tốn t i u, c ng cịn c g i toán quy ho ch toán h c, thành l p sau: – Bài toán quy ho ch n tính (BTQHTT), y –2,2 D i v i toán c c ti u hoá Min f(x), v i x D Rn, i m x* Rn c g i i m t i u (hay ph ng án t i u) toàn c c n u x* D f(x*) f(x), x D i m x Rn cg i i m t i u (hay ph ng án t i u) a ph ng n u x D t n t i m t lân c n N nh c a i m x cho f( x ) f(x), x N D Bài toán t i u t ng quát phân lo i Ví d Tìm x i hố: Max f(x), v i x g i i m t i u (hay ph ng án t i u) toàn c c n u x* D f(x*) f(x), x D i m x Rn c g i i m t i u (hay ph ng án t i u) a ph ng n u x D t n t i m t lân c nN nh c a i m x cho f( x ) f(x), x N D th hàm f(x) Cho hàm s f: D Rn R Bài toán t i u t ng quát có d ng: Max (Min) f(x), v i x D Rn Nh v y, c n tìm i m x = (x1, x2, , xn) D Rn cho hàm m c tiêu f(x) t c giá tr l n nh t i v i toán Max – c c i hoá (giá tr bé nh t i v i toán Min – c c ti u hoá) Các ph ng pháp toán h c gi i l p toán t i u t ng quát nh nêu ây cg i ph ng pháp t i u toán h c (hay ph ng pháp quy ho ch toán h c) Trong giáo trình này, tr c h t nghiên c u ph ng pháp gi i BTQHTT, bao g m c BTQHTT nguyên h n h p nguyên Sau ó, s xem xét ph ng pháp gi i m t s d ng c bi t c a BTQHPT Các ph ng pháp c xem xét ch y u v khía c nh th t c tính tốn thơng qua ví d n gi n, nh m giúp cho sinh viên ngành Tin h c, Công ngh thông tin h c giáo trình vào n m h c th hai có th làm quen v i t l p trình tính tốn Ph n cu i c a giáo trình s c p t i m t s c s lý thuy t c a gi i tích l i quy ho ch phi n, v n có tính ch t n n t ng u hóa i v i nh ng sinh viên quan tâm có h ng d ng toán t i u gi i quy t v n 2.1 Ph ng ti p t c nghiên c u l nh v c T i th c t ng pháp mơ hình hố tốn h c Nhi u v n phát sinh th c t có th gi i c b ng cách áp d ng ph ng pháp t i u toán h c Tuy nhiên, i m m u ch t ây t toán th c t c n xây d ng c m t mơ hình t i u thích h p d a vào d ng tốn t i u ã bi t Sau ó c n áp d ng ph ng pháp t i u tốn h c quy trình tính tốn thích h p tìm l i gi i cho mơ hình ã t Các b c c n thi t ti n hành áp d ng ph ng pháp mơ hình hố tốn h c có th c phát bi u m t cách khái quát nh sau: – Tr c h t ph i kh o sát toán th c t phát hi n v n c n gi i quy t – Phát bi u i u ki n ràng bu c m c tiêu c a toán d i d ng nh tính Sau ó l a ch n bi n quy t nh / n s xây d ng mơ hình nh l ng cịn g i mơ hình tốn h c – Thu th p d li u l a ch n ph ng pháp tốn h c thích h p gi i quy t mơ hình Trong tr ng h p mơ hình tốn h c mơ hình t i u, c n l a ch n ph ng pháp t i u thích h p gi i mơ hình – Xác nh quy trình gi i / thu t tốn Có th gi i mơ hình b ng cách tính tốn thơng th ng gi y i v i mơ hình l n, bao g m nhi u bi n nhi u i u ki n ràng bu c c n ti n hành l p trình gi i mơ hình máy tính tìm ph ng án th a mãn mơ hình – ánh giá k t qu tính tốn Trong tr ng h p phát hi n th y có k t qu b t th ng, c n xem xét nguyên nhân, ki m tra ch nh s a l i mơ hình ho c d li u u vào ho c quy trình gi i / thu t tốn / ch ng trình máy tính – Ki m ch ng k t qu tính tốn th c t N u k t qu thu c c coi h p lý, phù h p v i th c t hay c chuyên gia ánh giá có hi u qu h n so v i ph ng án tr c ây c n tìm cách tri n khai ph ng án tìm c th c t Rõ ràng r ng gi i quy t v n phát sinh t tốn th c t c n có cs h p tác ch t ch gi a chuyên gia l nh v c chuyên môn, chuyên gia Toán, Toán ng d ng chuyên gia Tin h c, k s l p trình i u c bi t c n thi t gi i quy t toán cho h th ng l n Vi c thi t l p c m t mơ hình h p lý, ph n ánh c b n ch t c a toán th c t ng th i kh thi v ph ng di n tính tốn ln v a mang tính khoa h c thu n túy, v a có tính ngh thu t Các thu t ng sau th ng g p áp d ng ph ng pháp mơ hình hoá toán h c: – Toán ng d ng (Applied Mathematics) – V n trù h c (Operations Research vi t t t OR) – Khoa h c qu n lý (Management Science vi t t t MS) – 2.2 M t s Trong tr ng h p ho c hàm m c tiêu ho c m t s ràng bu c phi n, có BTQHPT Trong mơ hình t i u d a BTQHPT nói chung, mơ hình t i u l nh v c nơng nghi p nói riêng, l i gi i t i u tồn c c có m t ý ngh a quan tr ng Ch ng h n thi t k máy nông nghi p, sau dùng ph ng pháp phân tích h i quy nhi u chi u, ta th ng thu c hàm m c tiêu có d ng phi n Các tốn t i u tồn c c c ng có th n y sinh quy ho ch kinh t – sinh thái vùng, hay xác nh c c u t canh tác – tr ng Bài toán t ph i tìm c l i gi i t i u tồn c c Có r t nhi u ph ng pháp gi i l p toán t i u phi n riêng bi t, nh ng ch a có ph ng pháp t h u hi u cho m i toán t i u phi n, c bi t cho toán v i m t s hay t t c bi n quy t nh nh n giá tr nguyên Sau ây ví d minh ho m t s ng d ng c a tốn t i u Ví d Bài tốn quy ho ch s d ng t (Mơ hình t i u n tính gi i tốn quy ho ch s d ng t a bàn xã ông D , huy n Gia Lâm, t nh Hà N i) Chúng ta xét mơ hình t i u v i m c tiêu c n c c i hoá hi u qu kinh t thi t l p mơ hình, tr c h t ch n bi n quy t nh D a vào k t qu d li u ã thu c, ta ch n bi n quy t nh nh sau: xj v i j = 1, 2, …, 18 di n tích lo i tr ng, n v tính (theo th t là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô ông, ngô bao t ông, l c xuân, u xanh xuân, u t ng ông t chuyên màu, u t ng ông t ba v , d a chu t xuân, d a chu t bao t , m p ng xuân, rau mùi tàu, rau gia v , u cô ve ông, t xuân, cà chua xn, cà chua ơng), x19 di n tích ao h th cá, xj v i j = 20, …, 23 s u v t nuôi n m (trâu, bò, l n, gia c m) Còn x24 s cơng lao ng th ngồi, x25 l ng ti n v n vay ngân hàng, n v tính nghìn ng Lúc ó có BTQHTT sau v i 33 ràng bu c (ch a k i u ki n không âm c a bi n) Hi u qu kinh t c n c c i hóa là: f(x) = 4306,14x1 + 4168,73x + 3115,21x3 + 3013,11x4 + 4158,68x5 + 4860,91x6 + 4295,31x7 + 3706,11x8 + 3788,25x9 + 12747,31x10 + 12752,96x11 + 12064,81x12 + 79228,88x13 + 35961,31x14 + 10823,91x15 + 7950,16x16 + 7928,06x17 + 5738,46x18 + 11129,50x19 + 429,00x 20 + 674,00x 21 + 219,50x22 + 11,10x23 – 15,50x24 – 0,12x25 Max Các ràng bu c hay i u ki n h n ch ng d ng máy tính (Computer Applications) x7 x14 x21 – Mơ hình t i u (Optimization Models)… u ph i th a mãn i u ki n không âm: xj B ng cách áp d ng ph ng pháp u c a mơ hình nh sau: n hình 0,104 x30,096 x40,056 x50,056 e0,168 x6 e 0,066 x7 z : giá tr s n xu t bình quân n m (tri u x1 : chi phí gi ng bình qn n m (tri u Max ng / ha), ng / ha), x2 : chi phí th c n bình qn n m (tri u ng bình quân n m (tri u x4 : chi phí kh u hao thuê x6 = ng / ha), ng / ha), t bình quân n m (tri u x5 : chi phí khác bình quân n m (tri u x6 , x7: bi n – gi i 40 tri u u t 40–50 tri u ng / ha: 40 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 50, –V im c u t 50–60 tri u ng / ha: 50 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 60, –V im c u t 60–70 tri u ng / ha: 60 –V im c u t 70 tri u ng / ha), x + x2 + x3 + x4 + x5< 70, ng / ha: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 70 ut t i u vùng ng < 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 > 70 x1 35 – 45% 39 – 45% 39 – 45% 35 – 45% 35 – 40% x2 15 – 20% 17 – 25% 17 – 23% 15 – 20% 18 – 25% x3 15 – 20% 15 – 20% 15 – 20% 16 – 19% 17 – 23% x4 10 – 15% – 15% – 15% – 13% 10 – 15% x5 10 – 15% 10 – 15% – 15% – 15% 10 – 15% < 78,1 78,1 – 88,3 88,3 – 97,5 97,5– 106 > 106 – 38,1–38,3 38,3–37,5 37,5–36 – Giá tr s n xu t (tr / ha) Thu nh p ròng (tr / ha) M t cách c th h n, áp d ng ph ng pháp t i u thích h p t i m c u t 50 tri u ng / có th tìm c ph ng án t i u sau: zmax = 88,360733 v i x1 = 21,498072, x2 = 9,528987, x3 = 8,758034, x4= 5,138906, x5 = 5,076000, x6 = x7 = ng / ha), nh v hình th c ni, i v i ni chun canh, x6 = ng / ha: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 40, Vi c th c hi n c c u u t t i u làm giá tr s n xu t (GO) c ng nh thu nh p ròng (NI = GO – TC) t ng m c u t t ng lên rõ r t so v i th c t s n xu t t i a ph ng c bi t, m c u t 50 tri u ng / cho ta thu nh p h n h p cao nh t 38,3 tri u ng / ha, l n h n tri u ng / so v i tr c áp d ng c c u u t t i u c ng nh hình th c ni thích h p T i m c u t này, c c u u t t i u x1 t 19,6 – 21,5 tri u ng (chi m 39,2 – 42,2%), x2 t 8,6 – 9,8 tri u ng (17,2 – 19,6%), x3 t 8,6 – 9,9 tri u ng (17,2 – 19,8%), x4 t 4,7 – 6,4 tri u ng (9,4 – 12,8%), x t 4,9 – 6,3 tri u ng (9,8 –12,6%) v i hình th c ni chun canh (x = 1) ó: x3 : chi phí lao ut d –V im c u t (tr/ha) S d ng s li u i u tra 112 h nuôi cá vùng ng ê thu c xã thu c huy n V n Giang, H ng Yên, tìm ph ng trình h i quy m , nh n c hàm giá tr s n xu t (d ng Cobb – Douglas) hàm m c tiêu c n c c i hoá sau ây: x2 –V im c ng án t i Ví d Bài toán c c i hoá giá tr s n xu t (Mơ hình t i u phi n gi i toán c c i hoá giá tr s n xu t m t héc ta nuôi cá t i huy n V n Giang, t nh H ng Yên) z = f(x) = 19,375 x1 u t / t ng chi phí ta có m t ràng bu c: Trên ây BTQHPT, v i bi n liên t c bi n nguyên d ng – S d ng ph ng pháp t i u phi n thích h p có tên g i RST2ANU gi i BTQHPT toàn c c h n h p nguyên ã thi t l p ây ta có k t qu b ng I.1 x1 = 67,18; x2 = 62,18; x3 = 25,19; x4 = 45,59; x5 = 10,50; x6 = 18,7; x9 = 2,40; x10 = 5,50; x11 = 8,50; x 12 = 6,80; x13 = 13,70; x14 = 14,50; x15 = 4,80; x 16 = 4,50; x17 = 4,20; x18 = 10,20; x19 = 33,11; x20 = 40,00; x21 = 180; x22 = 4280; x23 = 18800; x25 = 2368646 Hi u qu kinh t c c i t c 4325863 (nghìn ng) 0,236 64,89; 13,70; 40,00; u t / t ng chi phí Tùy theo t ng m c B ng I.1 K t qu c c u c ph ng nh sau: V i hình th c ni ta có ràng bu c: x6 + x7 = 1(x6, x7 ch nh n giá tr ho c 1) 0, j = 1,25 gi i BTQHTT có th tìm nh l x7 = v i hình th c ni lo i cá k t h p v i lo i cá khác t: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = TC, v i TC m c 2871,89x1 + 2691,89x2 + 2243,62x3 + 2243,66x4 + 3630,89x5 + 4780,06x6 + 2229,11x7 + 2401,41x8 + 2326,88x9 + 16440,61x10 + 16058,39x11 + 15960,61x12 + 68494,59x13 + 23146,11x14 + 13676,26x15 + 6061,76x16 + 11083,11x17 + 10391,89x18 + 18058x19 + 1223x20 + 1098,5x21 + 624,5x22 + 12x23 – 15,5x24 – x25 3881500; 3,5x5 + 8x6 + 3,5x7 + 4,1x8 + 3,5x9 + 4,16x10 + 3,5x11 + 4x 12 + 12,1x13 + 14,4x 14 + 3,42x15 + 11,58x16 + 8x17 + 7,5x18 – x20 – 2x21 – 0,95x22 – 0,0052x23 0; 5,1x1 + 4,96x2 + 3,85x3 + 3,8x4 921,25; c x1 80,88; x2 75,78; x3 64,89; x4 64,89; x5 10,50; x6 64,89; x8 16,50; x9 45,30; x10 5,50; x11 8,50; x12 6,80; x13 14,50; x15 4,80; x16 4,50; x17 4,20; x18 10,20; x19 33,11; x20 180,00; x22 4280; x23 18800; 10 x5 + x9 + x11 + x13 + x18 45,30; x3 + x6 + x7 + x10 + x 12 + x16 + x17 64,89; x4 + x8 + x14 + x15 64,89; x1 + x13 80,88; x2 + x13 75,88; 205,5x1 + 150x3 + 75,75x4 + 75x5 + 225,5x6 + 221,5x7 + 102,7x8 + 100,75x9 + 360 x10 + 140x 11 + 385x12 + 1833,6x13 + 1446,3x14 + 210,25 x15 + 410,5x16 + 360,5 x17 + 176x18 + 67x19 + 20x20 + 16x21 + 9x22 + 0,3x23 – x24 226149,00; 201,5x2 + 150x + 75,25x4 + 102,7x8 + 100,75x9 + 140x11 + 2475,4x13 + 1446,3x14 + 210,25x 15 + 176x18 + 58x19 + 16x20 + 12x21 + 7x22 + 0,2x23 – x24 152190,00; Các bi n ng d ng c a toán t i u Nh ng n m g n ây, nhi u toán th c t c gi i quy t b ng ph ng pháp mơ hình hóa tốn h c r t thành cơng Trong s mơ hình tốn h c ã c áp d ng có nhi u mơ hình t i u, c gi i quy t thông qua toán t i u kinh i n Trong tr ng h p hàm m c tiêu c ng nh t t c ràng bu c u hàm n tính, tốn t i u BTQHTT BTQHTT có th gi i c b ng m t s ph ng pháp t i u quen bi t (nh ph ng pháp n hình, ph ng pháp n hình c i biên hay ph ng pháp i m trong) BTQHTT ã ang c s d ng r ng rãi quy ho ch tài nguyên, qu n lý s d ng t c ng nh nhi u l nh v c c a qu n lý, kinh t qu n tr kinh doanh Ví d Bài tốn t i u thơng s sàng phân lo i (Mơ hình t i u phi n gi i quy t v n tính tốn m t s thơng s hình h c ng h c c a c c u sàng phân lo i dao ng) i v i nuôi t ng h p, x7 = v i hình th c ni lo i cá k t h p v i lo i cá khác, 11 12 Ví d ch nêu v n t t m t ng d ng c a mơ hình t i u phi n m t m c tiêu vi c tìm nghi m c a h ph ng trình phi n phát sinh q trình tính tốn m t s thơng s hình h c ng h c c a c c u sàng phân lo i dao ng (c n ý r ng nhi u ph ng pháp tính tốn thơng d ng khác c a gi i tích s ã t khơng hi u qu ): r cos + v cos r sin + v sin // + v sin r cos + v cos r sin + v sin Trong h ph + v //3 cos + v4 cos + v4 sin + v /3 cos( 2 + v /3 sin( 3 f2(x) = 3,298 10 – ) + v5 cos – ) + v5 sin 5 z = (r cos v4sin v 3/ sin( + v cos – yC1)2 + (r cos – ) + v5sin K t qu tính tốn + v 3// cos + v cos – yD1)2 ã bi t là: r = 0,05m; – xC1)2 + (r sin – ) + v5 cos + v sin – xD1)2 + (r sin [0,2 ] + g2 (x) = 75,2 – x2 + g3 (x) = x2 – 40 g4 (x) = x1 [0, ] [0, ] 108 x 42 x13 109 108 x 42 (mm/N) (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) Các i u ki n (1.2), (1.3), (1.4) d hi u, i u ki n (1.1) n y sinh yêu c u: M t m t, tr c máy ph i ch u ng c t i m c t i a l c Fmax = 12000 N M t khác, nén k t n i cho phép 180 N/mm [0, ] 0,226128 0,551311 1,783873 1,666775 /18 0,199269 0,550518 1,784628 1,670250 /18 0,170835 0,550590 1,782751 1,668853 /18 0,143343 0,550490 1,778826 1,663697 /18 0,112669 0,552073 1,770032 1,652171 /18 0,090986 0,551991 1,759350 1,639575 /18 0,066036 0,553576 1,745374 1,622823 /18 0,051284 0,554296 1,730174 1,602970 /18 0,039053 0,555262 1,713242 1,581813 /18 0,033773 0,556277 1,695605 1,560720 Vi c phát bi u toán t i u a m c tiêu d i d ng tốn h c (chính vi c l p mơ hình tốn h c cho v n phát sinh) m t khâu r t quan tr ng nh m mô t t t nh t hành vi c a h th ng ang c xem xét, m t khác nh m tìm c ph ng pháp t i u hố có hi u qu i t i m t ph ng án t t mang l i l i ích Sau ây, v i m c ích tìm hi u b c u, vi c áp d ng ph ng pháp t ng tác ng i – máy tính gi i tốn t i u hai m c tiêu ã c thi t l p ây s c trình bày m t cách v n t t Tr c h t, hai m c tiêu f1(x) f2(x) c chuy n thành hai hàm thu c m ph n ánh tho mãn c a ng i quy t nh i v i t ng m c tiêu Các hàm thu c m hàm n tính t ng khúc, c vi t d i d ng gi n l c nh sau cho m t s nút n i suy: 1(f1) Ví d Bài tốn thi t k tr c máy (Mơ hình quy ho ch phi n a m c tiêu gi i quy t toán thi t k tr c máy) Trong ví d 9,78 106 x1 4,096 107 x 42 g1(x) = 180 – + v sin c t ng h p b ng I.2 v i zmin = [0, ] x 42 V y c n ph i ch n giá tr cho bi n quy t nh (còn g i bi n thi t k ) x 1, t i u hoá ng th i m c tiêu i u ki n ràng bu c sau: + v //3 sin B ng I.2 K t qu tính tốn giá tr thơng s c a sàng phân lo i x2 = k /8 (k = 0, …, 9), c n c c ti u hoá + v4cos + v 3/ cos( 4,096 107 ây, x = (x1, x2) véc t quy t nh, v i x1, x2 bi n quy t nh sau: x1 – dài ph n giáp n i tr c, x2 – ng kính c a tr c Các thơng s khác ã c th hi n hàm m c tiêu f1(x) f 2(x) – xD1 = 0, – y D1 = = /8 ng trình phi n nén t nh c a tr c: –5 – yC1 = 0, ng trình phi n thông s gi i h ph hàm m c tiêu sau: f1(x) = 0,785 [x1(6400 – x22) + (1000 – x1) (1000 – x22)] (mm3), M c tiêu c c ti u hoá – x C1 = 0, v = 0,30m; v 3// = 0,15m; v /3 = 1,075m; v3 = 1,025m; v4 = 0,50m; v5 = 0,40m; xC1 = 0,365m; yC1 = 0,635m; xD1 = 1,365m; yD1 = 0,635m; M c tiêu c c ti u hố th tích c a tr c máy: 2(f2) n u f1 2,944 106 = c1, n u f2 0,499 10–3 = a2 0,338 10–3 = c2 n u f2 14 Lúc ó có th áp d ng phép n i suy n tính tính giá tr c a 1(f1) ho c 2(f2) t i giá tr khác c a f1 hay f Các hàm thu c m cho phép quy n v o khác c a f f vào m t thang b c o, ó th a d ng c a ng i quy t nh / ng i gi i tốn Phân tích hàm thu c m 1, có th th y: ng i quy t nh s có tho mãn i v i m i ph ng án x = (x1, x2) làm cho f 6,594 106, tho mãn n u f 2,944 106 tho mãn 0,5 n u f1 = 10 tho mãn 0,5 c coi tho mãn t i thi u m c f1 = 10–6 = b c g i m c u tiên t ng ng i v i m c tiêu f1 T ng t có th phân tích v hàm thu c m c u tiên b2 Chúng ta xét hàm phi n g(x) = Min { 1[f1(x)], [f2(x)]} toán max–min c thi t l p cho hai hàm m c tiêu riêng r d i d ng BTQHPT: Max g(x) = MaxMin{ 1[f 1(x)], 2[f2(x)]} v i ràng bu c (1.1), (1.2), (1.3) (1.4) Vi c gi i BTQHPT ây c th c hi n nh m t ph ng pháp t i u phi n thích h p, c cài t t ng máy tính tìm ph ng án t i u c a mơ hình phi n hai m c tiêu ban u i u ch nh thích h p giá tr c a m c u tiên b1 b2, có th tìm c ph ng án t i u khác Ch ng h n, v i b1 = 3,6 106, b2 = 0,435 10–3 s nh n c ph ng –3 án t i u x = (x1, x2) = (235,67; 67,67) v i f1(x) = 3,58 10 f2(x) = 0,433 10 ây ph ng án c chuyên gia ánh giá h p lý c l a ch n tri n khai vi c thi t k tr c máy = b1 0,5 n u f2 = 0,450 10–3 = b2 = c p t i m t mơ hình t i u phi n hai m c tiêu 13 6,594 106 = a1 n u f1 0,5 n u f1 = 106 = Ch Ph ng II ng pháp n hình gi i tốn quy ho ch n tính Mơ hình quy ho ch n tính 1.1 Phát bi u mơ hình V i m c ích tìm hi u b c u, xét mơ hình tốn h c sau ây, cịn g i mơ hình quy ho ch n tính hay tốn quy ho ch n tính (BTQHTT), mà ó mu n t i u hoá / c c i hoá hay c c ti u hoá hàm m c tiêu: z = f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn Max (Min), v i i u ki n ràng bu c a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn x1, x2, , xn bm ( i u ki n khơng âm) Ví d Xét BTQHTT: Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c 4x1 + 2x2 60 2x1 + 4x2 48 x1, x2 C n tìm giá tr c a bi n quy t m c tiêu nh x1, x2 ràng bu c c tho mãn hàm t giá tr l n nh t Bài tốn có ý ngh a kinh t nh sau: Gi s m t xí nghi p s n xu t hai lo i s n ph m I II s n xu t m t n v s n ph m I c n có nguyên li u lo i B, ch tiêu ó cho m t d tr lo i A B hi n có 60 48 ( l n nh t, bi t l i nhu n / II 15 16 n v nguyên li u lo i A n v s n ph m lo i II L n v ) Hãy xác n v s n ph m bán ( nh ph nv ng nguyên li u ng án s n xu t t l i nhu n n v ti n t ) cho s n ph m lo i I 1.2 Ph ng pháp Ph th ng pháp th có ý ngh a minh h a giúp hi u b n ch t v n B c 1: V mi n ph ng án kh thi (còn g i mi n ràng bu c) t p h p ph ng án kh thi (các ph ng án, n u nói m t cách ng n g n) M i ph ng án c th hi n qua b s (x1, x 2), tho mãn t t c ràng bu c ã có k c i u ki n khơng âm c a bi n (xem hình II.1) – Tr c h t v ng th ng có ph ng trình 4x1 + 2x2 = 60 b ng cách xác hai i m thu c ng th ng: (x1 = 0, x2 = 30) (x1 = 15, x2 = 0) nh ng th ng chia m t ph ng làm hai n a m t ph ng M t ph n g m i m (x1, x2) tho mãn: 4x1 + 2x2 60, ph n l i tho mãn: 4x1 + 2x2 60 Ta tìm c n a m t ph ng tho mãn: 4x + 2x2 60 –V ng ng m c: 8x1 + 6x2 = c ch n c = 24 b i s chung c a vi h n) D dàng tìm c hai i m n m 0) Các i m n m ng ng m c m c c = 24, (ta có th ch n giá tr c b t k , nh ng c tìm t a i m c t hai tr c t a thu n l i ng ng m c (x1 = 0, x2 = 4) (x1 = 3, x2 = u cho giá tr hàm m c tiêu z = 24 – T ng t , có th v ng ng m c th hai: 8x1 + 6x2 = 48 i qua hai i m (x = 0, x2 = 8) (x2 = 0, x1 = 6) Chúng ta nh n th y, n u t nh ti n song song ng ng m c lên theo h ng c a véc t pháp n n (8, 6) giá tr c a hàm m c tiêu z = 8x1 + 6x2 t ng lên V y giá tr z l n nh t t c ng ng m c i qua i m B(12, 6) (tìm 12, x = b ng cách gi i h ph ng trình 4x1 + 2x2 = 60 2x1 + 4x2 = 48) c x1 = Do ó, ph ng án kh thi ph ng án t i u (x1 = 12, x2 = 6) T i ph này, giá tr hàm m c tiêu l n nh t zmax = 12 + 6 = 132 ng án 30 Nh n xét Ph ng án t i u (n u có) c a m t BTQHTT v i mi n ph ng án D, m t t p l i a di n có nh, ln t c t i nh t m t nh c a D Các nh cg i i m c c biên c a t p l i a di n D (chính xác h n, i m c c biên i m thu c t p l i a di n, mà không th tìm c m t o n th ng c ng thu c t p l i a di n nh n i m ó i m trong) Nh n xét ây m t nh lý toán h c (xem thêm ch ng VI) ã c ch ng minh m t cách t ng quát Nói m t cách hình nh, mu n t c ph ng án t i u cho BTQHTT c n ph i “m o hi m” i xét i m c c biên c a mi n ph ng án 12 Cách T nh n xét trên, i v i BTQHTT có ph ng án t i u có mi n ph ng án D t p l i a di n có nh, ta có th tìm ph ng án t i u b ng cách so sánh giá tr c a hàm m c tiêu t i i m c c biên c a D Quay l i ví d 1, ta có giá tr z t i O(0, 0): z (0, 0) = 0, t i A(0, 12): z(0, 12) = 72, t i C(15, 0): z(15, 0) = 120 t i B(12, 6): z(12, 6) = 132 ( t zmax) – T ng t , có th v ng th ng có ph ng trình 2x1 + 4x2 = 48 b ng cách xác nh hai i m thu c ng th ng (x1 = 0, x2 = 12) (x1 = 24, x2 = 0) Sau ó tìm n a m t ph ng tho mãn: 2x1 + 4x2 48 x2 4x1 + 2x2 = 60 A Nh n xét Xét BTQHTT có ph ng án t i u có mi n ph ng án D t p l i a di n có nh tìm ph ng án t i u, ta xu t phát t m t i m c c biên ó tìm cách c i thi n hàm m c tiêu b ng cách i t i i m c c biên k t t h n Ti p t c nh v y cho t i tìm c ph ng án t i u Quy trình gi i bao g m h u h n b c s i m c c biên h u h n B 2x1 + 4x2 = 48 C O 24 15 x1 i v i BTQHTT ví d 1, quy trình gi i Hình II.1 Ph ng pháp th gi i tốn quy ho ch n tính O(0, 0) – Lúc này, giao c a hai n a m t ph ng tìm c ây cho ta t p h p i m (x1, x2) tho mãn ràng bu c Tuy nhiên, tho mãn i u ki n không âm c a bi n, ta ch xét i m n m góc ph n t th nh t V y mi n ph ng án kh thi (nói v n t t h n, mi n ph ng án) mi n gi i h n b i t giác OABC (còn g i t p l i a di n mi n t o nên b i giao c a n a m t ph ng) B c 2: Trong mi n (OABC) ta tìm i m (x1, x2) cho z = 8x1 + 6x2 Cách Dùng t giá tr l n nh t ng ng m c Tùy theo giá tr c a x1, x2 mà z có nh ng m c giá tr khác A(0, 12) c minh ho nh sau: B(12, 6) d ng z=0 z = 72 z = 132 O(0, 0) C(15, 0) B(12, 6) d ng z=0 z = 120 ho c: z = 132 Quy trình gi i BTQHTT t ng quát có s kh i gi n l c nh trình bày hình II.2 Trong s trên, m c ích trình bày v n n gi n, không c p t i tr ng h p BTQHTT có mi n ph ng án t p r ng (lúc ó ta khơng tìm c ph ng án c c biên xu t phát) c ng nh ta khơng tìm c i m c c biên k t t h n m c dù i u ki n t i u ch a tho mãn (lúc ó hàm m c tiêu z không b ch n) 17 S gi i BTQHTT d ng t c ây, c n l p m t s b ng n hình nh b ng II.1 Tr c h t, c n i n s li u c a toán ã cho vào b ng n hình b c 1: – C t c t h s hàm m c tiêu ng v i bi n c s ã ch n Ph ng án xu t phát có th ch n x1 = x2 = ( ây i m g c to O(0, 0) hình II.1), ó x3 = 60, x4 = 48 Nh v y t i b c ch a b c vào s n xu t, nên ph ng án ch a có n v s n ph m lo i I hay lo i II c s n xu t (ch “s n xu t” l ng nguyên li u d th a, ta c ng nói “s n ph m” lo i III IV), giá tr hàm m c tiêu z t m th i b ng kh i B t 18 u Nh p d li u B ng II.1 Các b ng Tìm i m c c biên xu t phát H s hàm m c tiêu cj Ki m tra i u ki n t i u Sai B ng Tìm i m c c biên k t th n n hình b Bi n c s Hình II.2 S ng pháp kh i gi i BTQHTT c3 = c4 = x2 x3 x4 60 x4 48 z0 = z1 = z2 = z3 = z4 = j = cj – zj n hình b =8 =6 =0 =0 c2 x1 15 1/2 1/4 x4 18 –1/2 z = 120 z1 = z2 = z3 = z4 = Hàng n hình c2 = x1 x3 Hàng z Ph c1 = B ng D ng ng án Hàng In l u tr k t qu Ph c1 Hàng z úng n hình gi i BTQHTT j B ng = cj – zj n hình b =0 =2 = –2 =0 c3 2.1 Tìm hi u quy trình tính tốn x1 12 1/3 Ph ng pháp n hình ph ng pháp s gi i BTQHTT theo s gi i ví d ã cho, tr c h t c n a BTQHTT v d ng t c b ng bi n bù không âm x3 x4 nh sau: x2 –1/6 1/3 z = 132 5/3 2/3 0 –5/3 –2/3 Hàng z Hàng j = cj – zj –1/6 Max z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 Các bi n bù có giá tr l n h n có ngh a nguyên li u lo i t ng ng ch a cs d ng h t Ta g i bi n x3 x4 bi n c s chúng có giá tr l n h n cịn x1 x2 bi n c s chúng có giá tr b ng V i tốn có hai ràng bu c, t i m i b c ch có hai bi n c s – C t c t bi n c s Trong c t (c t ph ng án) c n ghi giá tr c a bi n c s ã ch n v i ràng bu c 4x1 + 2x2 + x3 2x1 + 4x2 x1, x2, x3, x4 = 60 + x4 = 48 Chú ý BTQHTT có d ng t c BTQHTT v i bi n khơng âm, ràng bu c có d u “=”, h s v ph i c a ràng bu c khơng âm Ngồi ra, m i ph ng trình b t bu c ph i có m t bi n ng c l p v i h s +1 Cách l p bi n i b ng – Các c t ti p theo c t h s i u ki n ràng bu c t x1, x2, x3 x4 c a toán ã cho ng ng v i bi n Phân tích b ng n hình b c – H s ng v i bi n x1 hàng th nh t a11 = có ngh a t l thay th riêng gi a m t n v s n ph m lo i I m t n v s n ph m lo i III (gi i thích: xét ph ng trình (hay n hình 19 20 ràng bu c) th nh t 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 t ng m t n v x3 ph i gi m b n n v n u gi nguyên x2) T ng t ta có th gi i thích c ý ngh a c a h s aij khác cho hàng hàng b ng n hình b c (2) – Chúng ta xét hàng z c a b ng n hình tính z1, c n áp d ng công th c z1 = (c t h s c a hàm m c tiêu) (c t h s c a bi n x1) = + = (giá m t n v s n ph m lo i III) (t l thay th riêng lo i I / lo i III) + (giá m t n v s n ph m lo i IV) (t l thay th riêng lo i I / lo i IV) = t ng chi phí ph i b a thêm m t n v s n ph m lo i I vào ph ng án s n xu t m i = Các giá tr zj, v i j = 1, 2, 3, 4, c tính t ng t chi phí a thêm m t n v s n ph m lo i xj vào ph ng án s n xu t m i Còn z0 giá tr c a hàm m c tiêu t c t i ph ng án ang xét: z0 = (c t h s c a hàm m c tiêu) (c t ph ng án) = 60 + 48 = (1) Ch ng h n: n u (1)c = 4,(2)c = 2, (3)c = ph n t xoay = 4, (4)c = (1)m i = – 2/4 =3 Do u l n h n nên v n kh n ng c i thi n hàm m c tiêu chuy n sang (hay “xoay sang”) m t ph ng án c c biên k t t h n (quay l i nh n xét m c 1.2, ph n gi i toán b ng ph ng pháp th : i m c c biên k c a i m O(0, 0) có th A(0, 12) hay C(15, 0)) Th t c xoay (pivotal procedure) B c 1: Ch n c t xoay c t b t k có j > Lúc ó bi n xj t ch n làm bi n c s m i xj t ng kéo theo hàm m c tiêu t ng ng ng v i c t xoay ây ta ch n c Gi i thích Các b B b c 2: Ch n hàng xoay xác c s bi n c s không thay nh t” b ng cách l y c t ph i) nh a bi n kh i t p bi n c s (vì t i m i ch n hàng xoay, ta th c hi n quy t c “t s d T ng ng cho c t xoay (4, 2)T ng án (60, 48) chia t nh t M t i u c n ý ta ch xét t s có m u s d Vì Min {60/4, 48/2} = 60/4 ng v i bi n x3) Do ó c n B B c s , t c t i hàng ng bé ch n t s bé ng u, nên hàng xoay hàng u (hàng t c 3: Ch n ph n t xoay n m giao c a hàng xoay c t xoay c 4: Xoay sang b ng n hình m i, xác nh bi n c s m i i n vào c t bi n B c 5: Các ph n t l i c a b ng (1)m i = (1) c – (2) c có hàng m i t ng ng n hình m i tính theo quy t c “hình ch nh t”: (4) c /(3)c , ó (3) nh t ng ng v i ph n t xoay (xem hình I.3) – Trong th c ti n gi i BTQHTT d ng t ng quát có th x y tr ng h p khơng tìm c ph ng án xu t phát (t c ph ng án kh thi) Lúc có th k t lu n mơ hình ã thi t l p có i u ki n ràng bu c ch t ch , c n xem xét n i l ng i u ki n – Trong tr ng h p ta tìm c c t xoay mà khơng tìm c hàng xoay k t lu n hàm m c tiêu không b ch n ( i v i BTQHTT d ng Max) ho c không b ch n d i ( i v i BTQHTT d ng Min) Trong tr ng h p c ng ph i d ng l i k t lu n mơ hình quy ho ch n tính ã thi t l p không phù h p v i th c t (2.1) (2.2) x1 + (1/2)x2 + (1/4)x3 = 15 (2.1’) 0x1 + 3x2 – (1/2)x + x4 = 18 (2.2’) Phân tích b ng n hình b c2 B ng b c có th c phân tích t ng t nh b ng b c C n ý r ng lúc ta ang v trí c a i m C(15, 0) x1 = 15 cịn x2 = (xem hình II.1) T i i m giá tr c a hàm m c tiêu z0 = 120 ã c c i thi n h n so v i b c Ta th y = > nên cịn có th c i thi n hàm m c tiêu b ng cách a bi n x2 vào làm bi n c s m i Th c hi n b c xoay sang ph ng án c c biên k t t h n, s có b ng n hình b c Phân tích b ng n hình b c3 T i b ng n hình b c ta th y i u ki n t i u ã c tho mãn ( j 0, j =1, ) nên khơng cịn kh n ng c i thi n ph ng án Ph ng án t i u ã t c t i x1 = 12, x2 = 6, x3 = 0, x4 = 0, t c t i i m c c biên B(12, 6) v i giá tr zmax = 132 (xem thêm hình II.1) M t s ý – i u ki n t i u cho BTQHTT d ng Max j 0, j – i v i BTQHTT c n c c ti u hoá hàm m c tiêu i u ki n t i u (hay tiêu chu n d ng) j 0, j (n u j* cho j* < c n ti p t c c i thi n hàm m c tiêu b ng cách 22 – Ma tr n h s i u ki n ràng bu c a11 a21 am1 A= a12 a22 am a1n a2n amn j= Các b cl p B c 1: Ki m tra i u ki n t i u N u i u ki n t i u tho mãn in / l u tr k t qu c a toán chuy n sang b B c 2: N u t n t i m t ch s j cho j j = cj – zj 0, j = 1,n ã Max z = cTx, v i x c vi t ng n g n là: D = {x Rn: Ax = b, x , j = n m 1,n véc t nv ng Max z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 c v i ràng bu c 4x1 + 2x2 + x3 2x1 + 4x2 = 60 + x4 = 48 x1, x2, x3, x4 ây BTQHTT d ng t c Gi s ma tr n A ng pháp n hình quy t a1 2x a 21 x1 a m1 x1 a 22 x + a m x xj 0, nh d i d ng x = x TN , x TB Trong ví d i u ki n ràng bu c a11 x1 a1 n x n x = b1 a2 n x n = b2 a mn x n b m véc t h s hàm m c tiêu c = cTN , cTB 2, ta có: JN = {1, 2}, JB = {3, 4} D dàng th y, ph h s hàm m c tiêu c = a1 = R n, R n, cTN , cTB T 23 24 ng án ban u = (8, 6, 0, 0)T v i cN = (8 6) T, , a2 = , a3 = , a4 = V y A = (a1, a2, a3, a4) = [N B] v i N = R m, T = (0, 0, 60, 48)T, ó xN = (x1, x2) T = (0, 0)T xB = (x3, x4)T = cB = (0 0) Các véc t c t c a ma tr n ràng bu c A là: j 1,n – Véc t h s v ph i b = (b1, b2, …, bm)T T T T Chúng ta s d ng ký hi u sau (T ký hi u chuy n v ): – Véc t quy t nh x = (x1, x2, …, xn)T x TN , x TB (60, 48) T Véc t – Véc t h s hàm m c tiêu c = (c1, c2, …, cn)T i d ng A = \ JB = {j : aj véc t c t c a N} t p ch s bi n ngồi c s Lúc ó, có th vi t véc t u có d u =): Max (Min) z = c1x1 + c2x2 + + cnxn v ih c phân rã theo kh i d [N B] v i B ma tr n kh ngh ch Chúng ta s s d ng ký hi u sau: J = {1, 2, , n} t p ch s , JB = {j: aj véc t c t c a B} t p ch s bi n c s , JN = J 3.1 Phát bi u toán quy ho ch n tính d ng t c Xét BTQHTTd ng sau ây (v i ràng bu c (2.3) c l p n tính, Ví d Chúng ta xét l i ví d c a ch c ã bi t, tính l i j, j = 1,n quay l i b c (Chú ý: Trong tr ng h p ta tìm cc t xoay mà khơng tìm c hàng xoay k t lu n hàm m c tiêu không b ch n, in / l u tr k t qu c a toán chuy n sang b c k t thúc) B c k t thúc D ng C s toán h c c a ph 0} BTQHTT ây c g i BTQHTT d ng chu n t c n u h ng c a A b ng m b (các t a c a b u khơng âm) Ngồi ra, n u A có m véc t c t véc t nv cl p n tính BTQHTT d ng chu n t c tr thành BTQHTT d ng t c Trong tr ng h p BTQHTT d ng t c, khơng làm gi m tính t ng qt, ln có th coi m véc t c t aj c k t thúc > ti n hành th t c xoay g m n m b R m n, ó aj = (a1j, a2j, …,amj)T véc t c t j c a ma tr n A, j = 1,n c phát bi u cho BTQHTT c c cj – zj, j = 1, n , ó n s bi n c a tốn ang xét – Tính ng trình 2x1 + 4x2 + x4 = 48 V i ký hi u trên, BTQHTT n hình ng h ph ch n c t j* làm c t xoay) 21 2.2 Khung thu t tốn n hình Sau ây khung thu t tốn c a ph ng pháp i hóa d ng t c B c kh i t o – Tìm m t ph ng án c c biên ban u ng Áp d ng th t c xoay cho ph n t n m hàng c a b ng n hình b c 1, sau ó tính giá tr hàng zj j t ng t nh l p b ng n hình b c 1, s nh n c b ng n hình b c ng th i thay giá tr c t h s hàm m c tiêu Sau ó, tính l i ph n t c a hàng xoay b ng cách l y hàng xoay c chia cho ph n t xoay it b ng cách l y ph ng trình (2.1) chia cho (ph n t xoay) có (2.1’), r i l y (2.2) tr b t (2.1)/4 có (2.2’) ây n i dung c a b c b c Còn vi c th c hi n b c s m b o r ng giá tr c a bi n c s m i không âm (x1 = 15, x4 = 18) ng a x3 kh i t p bi n c s c xoay ây ch phép bi n 4x1 + 2x2 + x3 = 60 có h a x1 vào làm bi n c s m i (4) Hình II.3 Quy t c hình ch nh t – Trên hàng j c n ghi giá tr j , j = 1, 2, 3, 4, tính theo cơng th c j = cj –zj = l i nhu n / n v s n ph m – chi phí / n v s n ph m V y j "lãi biên" / m t n v s n ph m a m t thêm m t n v s n ph m lo i xj vào ph ng án s n xu t m i N u j > hàm m c tiêu cịn t ng c ta a thêm s n ph m lo i j vào ph ng án s n xu t m i Có th ch ng minh c j o hàm riêng z / x j c a hàm m c tiêu z theo bi n xj Nh v y, x1 t ng lên z t ng lên cịn x2 t ng lên z t ng lên (3) ,B= C n ý r ng: Ax = b Ph [N B] xN =b xB NxN + BxB = b xB = B–1b BxB = b Nh n xét Có th ch ng minh b ng ng án c c biên i v i BTQHTT (2.3) d ng t c ln có th tìm c m t ph ng án xu t phát x = (0, 0, …, 0, b1, b2, …, bm) T, ó n – m t a u tiên u b ng ây m t ph ng án c c biên M t cách t ng quát, xét m t phân rã tùy ý c a ma tr n A = [N B] v i B ma tr n vuông c t o nên t m véc t c t c l p n tính c a A, N ma tr n c t o nên t véc t c t l i Lúc ó, m t ph ng án c c biên c a BTQHTT t ng ng v i s phân rã c a A m t ph s m d bi ng án có d ng x = x TN ,x TB T ó xN = 0, xB Ma tr n B r ng, + z x1 B] =0 N xN + B xB = V y cT x = (cNT , cBT ) + 0, z x2 cT x cT x V y tiêu chu n ( Ta th y A x = Ax = b nên A x = Ký hi u x = xN xB c ta có: z = z(x + x) –z(x) = c (x + x) – c x = c x = x3 [N z x3 2, + 2, cT x – cTx xN xB B) cT x cT x = = xN + N T (t = (8,6) (0,0) 0 1 xB 0, B N Ng = cTN – cTB B–1N c l i, n u x ph c 1, có: 1 Rõ x1 + ràng T x (t ng ng D ta có: 0, x x N x 0, xN 0, x x (do m t ph B = 0) ng án c c biên x = ng án t i u N ng án c c biên t i u không suy bi n ta c ng có 0 xN [N B] xB = –B–1N xN xB = –B–1 aj* Trong ví d 2, ta th y: N x N = ó suy x khơng ph i ph ng án t i JN, j j* xj* = > x ây cơng th c , (0,0) (0,0) x= x ng ng v i phân rã A = [N B], v i B ma tr n c s ) ph Ch n xB cho: A x = n hình b + nh lý Xét BTQHTT (2.3) d ng t c i u ki n x TN , x TB s gia hàm m c tiêu c n thi t l p Quay l i ví d 2, b ng (–2) x3 ng án t i u là: cT x Th t v y, ch n xN cho: xj = 0, j B], z x4 ph ng án kh thi th a mãn cT x > cTx hay cT x < 0, t u xN xB = [ cTN – cTB B–1N, cTB – cBT B–1B] = [ N, + i u ki n c n S d ng ph ng pháp ch ng minh ph n ch ng, gi s x ph ng án c c biên t i u không suy bi n i u ki n N khơng c tho mãn Lúc ó t n t i ch s j* JN cho j* > Xét ph ng án x = x + x Chúng ta s ch cách xây d ng x cho x = ( cTN – cBT B–1N) xN = ( cTN – cTB B–1N) xN + ( cTB – cTB B–1B) xB t x2 i u ki n N u N 0, N xN 0, x D, (chú ý r ng xN = úng, nên c ng ln có xN = x N – xN 0) Do B = nên N xN + B xB 0, x hay x 0, x V y cT x cTx, x D Do ó x ph ng án t i u xN = cTN xN + cBT xB = cTN xN – cTB B–1N xN xB = [ cNT – cTB B–1N, cTB – cBT B–1B] x1 Ch ng minh xB = B–1N xN B xB = –N xN = x ph N, = cNT – cTB B–1N xN , ta có A x = xB x4 v i phân rã A = [N B], v i B ma tr n c s ) Lúc này, 3.2 Công th c s gia hàm m c tiêu cT x – cTx = cT( x – x) = cT x ng ng v i T ng án c c biên x c a BTQHTT (2.3) d ng t c: x = x TN , x TB Xét ph Xét BTQHTT (2.3) d ng t c, gi s x ph ng án c c biên t ng ng v i phân rã A = [N B], v i B ma tr n c s , x m t ph ng án khác t x = x – x véc t s gia bi n quy t nh Chúng ta tìm cách thi t l p cơng th c s gia hàm m c tiêu: T 3.3 Tiêu chu n t i u c g i ma tr n c t ng ng v i x (có th xem thêm v v n ph ng án c c biên ch ng VI) Nh v y, t ph ng án c c biên khơng có q m t a d ng Ph ng án c c biên có úng m t a ng c g i ph ng án c c biên không suy bi n, n u trái l i, ó ph ng án c c biên suy n z , j 1, n Ch ng h n, t xj j T n hình b x2 c r ng =0 xB 2 N xN + B xB = x1 x2 2 = B xB = –N xN = = a1 , v i j* = = (8, 6, 0, 0) = ( 1, 2, 3, 4) 25 x ph ng án kh thi, c n ph i có x D th y x N theo cách xây d ng xN Còn x B = xB + xB = xB – B–1 aj* x B ph i ch n theo quy t c t s d ng bé nh t (nh ã bi t m c 2.1 mô t th t c xoay) 26 v i ràng bu c a11x1 + a12x2 + + a1nxn + xn+1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn Tr ng h p 1: B–1aj* Lúc này, th c hi n “quy t c t s d ng bé nh t” (l y c t ph ng án chia cho c t aj*) ta không nh n c m t t s có m u s d ng x B 0, có th ch n > l n tu ý Do ó cT x = + ch n + i u j* ch ng t ph ng án x không ph i ph ng án t i u BTQHTT (2.3) d ng t c có hàm m c tiêu không b ch n Tr ng h p 2: Véc t B–1aj* có t a d ng cho d hi u, xét l i ví d b ng hình II.1 (b c 2) Do x1 x4 bi n c s j* = nên: B= B–1 = 1/4 1/2 B–1aj* = 1/4 1/2 = b1 + xn+2 = b2 am1 x1 + am2x2 + + amnxn + xn+m = bm x1, x2, , xn, xn+1, , xn+m B c kh i t o – Nh p h s hàm m c tiêu c, ma tr n ràng bu c A h s v ph i b n 1/2 = – t d = cn+1, , dm = cn+m , t c cB = (d1, , dm) T – t ch s bi n c s : r(1) = n + 1, , r(m) = n + m – Gán xr(i) = bi , i = 1, m V y: x B = xB + xB = xB – B–1 aj* = Ch n = Min 15 18 , 1/2 15 – 18 1/2 = theo “quy t c t s d 15 (1 / 2) 18 – ng bé nh t” s mb o xB t flag = Các b c l p B c 1: – Tính cTx = z = d1xr(1) + + dmxr(m) m Do x ph ng án c c biên không suy bi n nên xB > kéo theo > Cu i cùng, ta có cT x = x = N xN + B xB = N xN = j* xj* = ng án x khơng th j* > Do ó, ph ph ng án t i u ( pcm) Nh n xét – N u t n t i ch s i* JB cho xi* = (nh ã bi t, ph ng án c c biên x lúc c g i ph ng án c c biên suy bi n), t i u ki n x B = xB + xB = xB – B–1 aj* có th x y tr ng h p ch n c = Do ó cT x = j* = 0, t c hai ph ng án x x cho m t giá tr hàm m c tiêu Trong tr ng h p nh v y có th x y hi n t ng xoay vòng: Ch ng h n, chuy n t x sang x , r i l i chuy n t x sang m t ph ng án x ó mà v n ch a c i thi n c giá tr c a hàm m c tiêu Sau ó, l i có th x y vi c chuy n t x v x Nh v y q trình gi i BTQHTT theo thu t tốn n hình s b “treo” t i vịng l p x x x x kh c ph c hi n t ng xoay vịng có th áp d ng m t s th t c tính tốn Cách n gi n nh t áp d ng quy t c t s d ng bé nh t v i s b sung sau: N u có nhi u ch s ng v i t s d ng bé nh t, ch n ng u nhiên m t ch s ó xác nh hàng xoay t ng ng – Trong trình gi i BTQHTT (2.3) d ng t c xu t phát t m t ph ng án c c biên, b ng th t c xoay ta chuy n t ph ng án c c biên sang ph ng án c c biên khác cho t i d u hi u d ng c th a mãn (t c tiêu chu n t i u c th a mãn hay k t lu n c BTQHTT ã cho có hàm m c tiêu khơng b ch n trên) – Tìm = [ T T –1 T T –1 B] = [ cN – cB B N, cB – cB B B], N, ó B = Nh v y m apj dp , j = cj – zj, v i zj = j N j = cj – zj = 0, j B, (t c zN = cTB B–1N p zB = cTB B–1B) th B c 2: N u t n t i ch s j N cho j > th c hi n th t c xoay – Xác nh c t xoay: ch n c t xoay s ng v i m t ch s j có tính ch t ng ch n j ng v i j > l n nh t, ho c ch n ng u nhiên – Xác nh hàng xoay q theo quy t c t s d ng bé nh t: x r (q ) a qs Min xr ( i ) , s s j > Thông Trong tr ng h p không t n t i ais > 0, t flag = chuy n sang b c k t thúc – Xác nh ph n t xoay aqs – Tính l i ( chuy n sang b ng n hình m i): bq: = bq/aqs, aqj: = aqj/aqs, j i q tính l i bi : = bi – bqais aij = aij – aqj ais, j n hình cho tốn quy ho ch n tính d ng t c Xét BTQHTT d ng t c: Max z = c1x1 + c2x2 + + cnxn + cn+1xn+1 + + cn+mxn+m 27 m p – 3.4 Thu t toán apj dp , j = 1,n – Tính zj = 28 t l i ch s bi n c s : r(q) := s, dq := cs, xr(i) = bi i =1,m – Quay v b c B j c 3: N u 0, j N t flag = chuy n sang b c k t thúc Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c B c k t thúc Ghi l i d li u u vào c a BTQHTT k t qu cu i N u flag = k t lu n BTQHTT có hàm m c tiêu khơng b ch n Cịn n u flag = k t lu n BTQHTT có ph ng án t i u ã tìm c D ng 4x1 2x1 2x 4x2 x ,x B sung thêm v ph ng pháp n hình Xét BTQHTT d ng t ng quát: h 4x1 v i i u ki n ràng bu c b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 x1 0, x2 0, , xn bm 4x1 a toán quy ho ch n tính v d ng t c Ví d Xét l i ví d 1, tr 2x ng h p ràng bu c u có d u Ví d Tr x ,x , x , x max{0,x } max{0, x } x /2 mb o x // 4x1 2x 2/ x3 2x1 4x 2/ x4 4x1 2x 2/ 2x 2// x3 60 2x1 4x2/ 4x2// x4 48 x ,x 2/ ,x 2// , x ,x 2x 4x2 c k t qu : ph Bi n c s x3 c thay b ng m t bi n có d u –M x5 u có d u Ràng bu c c 0, bi n có a v = b ng cách a v ràng bu c = b ng cách thêm m t bi n bù (th a) Hàng z Hàng = n hình m r ng g i ph c áp d ng gi i Ví d Xét BTQHTT: Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c 60 48 Hàng 60 2x1 4x2 x 48 x ,x ,x ,x 0, Ta có th n hình nh j 0, j, nên ph ng án t i u ã t c v i x2 = n hình gi i tốn M 0 –M x1 x2 x3 x4 x5 60 0 48 –1 +1 z0 = –48M z1 = –2M z2 = –4M z3 = z4 = M z5 = –M Ph ng án x3 x2 + 2M 2= 6+4M 36 12 1/2 72 =0 4= –M 5= (2.5) –1/2 1/2 –1/4 –3/2 3/2 1/4 0 3/2 –M–3/2 x4 72 –1 x2 30 1/2 0 180 12 0 –4 –3 –M j j – M t m t bi n gi ã c a kh i c s khơng bao gi quay l i n a (b n t ch ng minh i u này) Do ó ta có th xố c t bi n gi ó i kh i b ng n hình x3 th Chú ý (2.4) hay: Max z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4, v i ràng bu c 2x ng pháp ng án t i u (x1 = 0, x2 = 30) zmax = 180 1= Hàng z 4x1 (2.6) j Hàng ng pháp ánh thu M BTQHTT có bi n gi x ,x x 60 x x5 48 n hình cu i cùng, ta th y H s hàm m c tiêu c BTQHTT b t k (các bi n có d u tu ý, ràng bu c có n hình m r ng 2x 4x2 48 ng nh ng ý h s M + (xem b ng II.2) T i b ng c t ng s ràng bu c 4x1 2x1 60 Cách Gi i BTQHTT v i i u ki n ràng bu c (2.6) b ng cách l p b ng B ng II.2 Các b ng c thay b i hi u c a hai bi n ng pháp i bi n x/2 = –x2 Ta có n hình ta ph i 30, x = 72, x1 = x4 = x5 = zmax = 180 hay =) v d ng t c Bi n có d u ng pháp ng pháp Cách Có th gi i BTQHTT v i i u ki n ràng bu c (2.4) b ng ph nh n Hàng z Ph 30 m t bi n gi , m i ràng bu c có d u = có thêm m t bi n gi S bi n gi c a BTQHTT d ng 4.2 Ph 0, x Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c thông th thêm m t bi n bù (thi u), ràng bu c t c nh n 0,x Ví d Tr ng h p có bi n v i d u tu ý BTQHTT d ng t c d u tu ý 0,x x ,x ,x ,x ,x Bài toán v i hàm m c tiêu Max z = 8x1 + 6x/2 – 6x//2 + 0x3 + 0x4 i u ki n ràng bu c , 48 4x1 2x1 Các ràng bu c s th 60 x4 v i ràng bu c a x3 4x2 x ,x 2/ , x , x i d ng x2 = x/2 – x//2 v i Lúc ta vi t bi n x d 2x 2x1 ho c = 4x1 2x 60 2x1 4x2 48 x 0,x cã dÊu tuú ý K t lu n Bao gi c ng ng Max z = 8x1 + 6x/2 60 48 29 x ng h p có bi n không d Lúc mu n gi i toán b ng ph BTQHTT v i bi n u khơng âm Ví d Tr ng h p có i u ki n ràng bu c v i d u // 60 4x1 x1 ã bi t b ng cách thêm hai bi n bù (slack variables) Lúc này, h hai i u ki n ràng bu c ã có hai bi n ng c l p t ng ph ng trình v i h s +1, nên ã có th tìm c ph ng án c c biên xu t phát b t u q trình gi i tốn x /2 i u Max z = 8x1 – 6x2 Max z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 x3 x4 x3 ch pháp n hình v i hàm m c tiêu Max z = 8x1 + 6x + 0x + 0x4 – Mx , ó M + bi u th c – Mx5 g i l ng ph t ( ánh thu ) Bài toán ã c a v d ng t c L ng vi ph m x5 l n hàm m c tiêu gi m, giá tr c a hàm m c tiêu ch có th t Max x5 = 60 a BTQHTT v d ng t c nh x3 x4 Ta có BTQHTT d ng t c: 2x 4x2 2x ng trình th hai) Lúc này, ã có hai bi n ng c l p t ng ph ng trình v i h s +1, nên có th tìm c ph ng án c c biên xu t phát b t u q trình gi i tốn b ng ph ng 2x1 4x2 48 x ,x 4x1 2x1 60 2x1 4x2 x x5 48 x ,x , x ,x ,x Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c 4x1 x3 Ph i thêm bi n gi x5 (x5 g i l ng vi ph m c a ph ki n ràng bu c Trong ó ký hi u có th hi u , ho c = i v i ràng bu c i v i i u ki n v d u c a bi n có th hi u 0, ho c có d u tu ý Mu n gi i m t BTQHTT có d ng t ng quát, tr c h t c n a v d ng t c Có th nh c l i v n t t, BTQHTT d ng t c tốn v i bi n không âm, ràng bu c v i d u “=”, h s v ph i c a ràng bu c khơng âm Ngồi ra, m i ph ng trình b t bu c ph i có m t bi n ng c l p v i h s +1 4.1 2x có 2x1 4x2 x4 48 x ,x , x , x am1x1 + am2x2 + + amnxn Ta thêm hai bi n bù x3 (slack variable) mang d u +, x (surplus variable) mang d u – i u ki n ràng bu c (mang d u =) Max (Min) z = c1x1 + c2x2 + + cnxn a11x1 + a12x2 + + a1nxn 60 48 c – N u d u hi u d ng xu t hi n ( j 0, j) nh ng v n bi n gi v i giá tr d ng s bi n c s i u ch ng t tốn ban u khơng th có ph ng án kh thi (có th ch ng minh i u b ng ph n ch ng) – V i ví d (xem b ng II.2) ta th y trình gi i chia làm hai pha: pha nh m gi i toán M cho t i bi n gi (x5) c a kh i t p bi n c s có c ph ng án c c biên xu t phát cho BTQHTT v i ràng bu c (2.5) pha nh m tìm ph ng án t i u cho tốn a tốn v d ng t c sau g i toán M: Max z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 – Mx5 (trong ó M + ) 31 32 4.3 Ph ng pháp B ng II.3 Các b ng n hình hai pha T tr c t i nay, gi s r ng BTQHTT c xem xét ln có ph ng án có th bi t c m t ph ng án (c c biên) ban u c a kh i t o trình gi i Trong m c s i xét tr ng h p ch a bi t BTQHTT có ph ng án hay không, c ng nh ch a bi t c ph ng án c c biên ban u i v i nh ng tr ng h p có th s d ng ph ng pháp n hình hai pha Chúng ta s trình bày ph ng pháp n hình hai pha thơng qua ví d sau Ví d Xét l i ví d H s hàm m c tiêu 2x hay: 2x1 4x2 x4 gi i BTQHTT v i ràng bu c (2.7) hay cịn g i tốn n hình cu i cùng, ta th y 0, j, nên ph j ng án t i u ã t c v i x2 = có ph ng án ng h p trái l i khơng có ph ng án N u tốn có giá tr t i u = 0, ta có ph ng án c c biên xu t phát cho BTQHTT ban u chuy n sang pha b ng cách b c t có bi n gi (c ng nh hàng ng v i bi n c s bi n gi ) thay l i h s hàm m c tiêu 33 chuy n sang b ng v i Bnext ma tr n c s b x3 x2 x3 x2 Hàng =0 4= –4 =0 4= –1 =1 5= 1/2 –1/2 1/4 1/2 –1/4 0 0 0 0 c n hình b Ph B–1N B–1B cBT B–1B T B –1 c –c B N 1/2 12 1/2 –1/4 z0 = 72 z1 = z2 = z3 = z4 =–3/2 Hàng =0 =0 = 3/2 72 6 x2 30 1/2 180 12 –4 –3 Hàng z j T i b ng n hình cu i cùng, ta th y 30, x = 72, x1 = x3 = zmax = 180 0, j, nên ph j ng án t i u ã t c v i x2 = 34 n hình b c1 –3 H s hàm m c tiêu Bi n c s Ph –2 0 0 ng án x1 T B T B Do –1 c – c B B s t 2, ng pháp 36 x4 x2 x3 x4 x5 x6 x3 0 0 x4 1 0 x5 –1 0 0 x6 0 0 0 0 –3 –2 0 0 1= xác n hình c i biên (hay g i ph o) vi c tính B n1ext x4 xBT cTB B–1N T N j x3 Hàng z B–1b xB x2 ng án ng án Hàng z x1 Ph 1= c B n1ext , c l p th k+1 ti p theo, c n tính n hình gi i toán pha j c k + Bi n c s N i dung c a ph 2= 2= 60 Hàng z Hàng ma tr n ngh ch –2 12 x3 B ng II.6 B ng xNT Hàng 2x Bi n c s cTB cB 1= 36 B ng II.4 Các b ng n hình d ng t ng quát H s hàm m c tiêu 48 1= H s hàm m c tiêu n hình c i biên B ng II.5 B ng +1 2x1 4x2 x 48 x ,x ,x ,x B ng II.5 b ng n hình t ng quát b c l p th k hi u b ng ch c n so sánh v i b ng n hình b ng II.4 ây ho c b ng n hình c a b ng II.1 D dàng nh n th y r ng bi u th c tính tốn u xoay quanh ma tr n B–1, ó B ma tr n c c k –1 j a k t lu n BTQHTT v i ràng Nh n xét M t cách t ng quát, có th kh ng nh c r ng, n u toán t i u v i giá tr hàm m c tiêu BTQHTT ban u có ph ng án, tr b 0 0= (2.7) 12, x3 = 36, x1 = x = x5 = = Do ó bu c (2.5) có ph ng án x1 = 0, x2 = 12, x3 = 36, x4 = s Nh n xét K t qu gi i ví d b ng ph ng pháp n hình hai pha c ng gi ng v i k t t c gi i b ng ph ng pháp n hình m r ng Tuy nhiên, s d ng ph ng pháp n hình hai pha, tránh c s phi n ph c vi c khai báo giá tr d ng l nc a tham s M nh ph ng pháp n hình m r ng N u tìm c ph ng án t i u c a toán v i bi n gi u nh n giá tr b ng i u ch ng t BTQHTT v i ràng bu c (2.5) có ph ng án Trong tr ng h p ó d dàng tìm c m t ph ng án c c biên c a (xem b ng II.3) ng pháp 2 qu M c ích c a pha 4.4 Ph 48 ng án hay không, x 60 x x5 48 x ,x ,x ,x ,x T i b ng 60 x5 4x1 ng án c c biên xu t phát b ng cách xét BTQHTT sau ây: 2x 4x2 x3 48 = x5, v i ràng bu c 4x1 2x1 x5 Tr c h t c n tr l i câu h i BTQHTT d ng chu n t c ây có ph n u có c n tìm m t ph ng án c c biên xu t phát c a Min x4 60 x ,x ,x , x Pha Tìm m t ph x3 Pha Gi i BTQHTT v i ràng bu c (2.5) c n c ph ng án c c biên v a tìm pha (xem b ng II.4): Max z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4, v i ràng bu c Max z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4, v i ràng bu c x3 x2 Hàng Hàng x1 ng án j 60 2x Ph 0= Hàng 2x1 4x2 48 x ,x 4x1 Bi n c s Hàng Max z = 8x1 + 6x2, v i ràng bu c 4x1 n hình gi i tốn pha ng pháp n hình d ng c d a vào thơng tin c n thi t t i thi u nh t có c t B–1 Vì v y thơng tin c n thi t, ph i l u tr m i b c tìm b ng n hình b c sau, h n nhi u so v i ph ng pháp n hình thơng th ng Chúng ta trình bày ng n g n ph ng pháp n hình qua ví d Ví d Min z = –3x1 – 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 j –3, ta có th nh bi n a bi n x1 vào c s (ký hi u j0 = ch s c t c a bi n ng ng v i c t xoay j0 = ã xác 3, a vào c s ) a kh i c s , ta tính xB = B–1b = Ib =[6, 8, 1, 2]T Sau ó tính c t h nh c = B–1a1 = Ia1 = [1, 2, –1, 0]T = [ 1, T 4] áp d ng quy t c t s d ng bé nh t, xét t s 6/1, 8/2, 1/–1 2/0 T s d ng bé nh t 8/2, ng v i t a th nên c n a bi n x kh i c s V y ch s c a hàng xoay i = ( ây r(2) = 4, xem l i thu t toán n hình m c 3.4, nên hàng xoay hàng 2) bi n a kh i c s x4 Ta i tìm B n1ext Có th nh n th y r ng Bnext = [a3, a1, a5, a6] = BV = [a3, a4, a5, a6]V, ó V = [e1, , e3, e4], v i ei véc t v i bi n n v d ng c t có t a a vào c s Trong ví d trên, th i 1, cịn c t h s c t h s ng v i bi n x4 Có th ki m tra 0 0 ng c: v i i u ki n ràng bu c x1 + 2x2 + x3 2x1 + x2 =6 + x4 –x1 + x2 =8 + x5 x2 + x6 Bnext = =1 =2 x1, x2, x3, x4, x5, x6 Xét b ng n hình b B = [a3, a4, a5, a6] = 2 = 1 0 0 0 1 V–1 có th tìm c (b ng II.6), ta có 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c t V theo quy t c: thay c t 0 0 0 = [ 1, [– 1/ 2, 1/ 2, – 3/ 2, – 4/ 2]T = [–1/2, 1/2, 1/2, 0]T D dàng ki m tra B–1 = I, N = [a1, a2] = cNT – cBT B–1N = [–3, –2] – [0, 0, 0, 0] I N = [–3, –2] = [ 1, V V–1 = 2] 0 0 0 0 1 0 1/ 1/2 1/2 M t cách t ng quát h n có th ki m nghi m 35 36 0 0 0 I c r ng: 2, c: 3, T 4] b i c t 0 V V–1 = 0 = 0 1 0 / 1/ 0 2 / / 0 2 / 1/ 0 2 / / 2 0 1 V–1 I A= 0 [ 1, Ta th y V ma tr n thu c t V b ng cách thay c t c a V (c t có ch s trùng v i ch s c a hàng xoay i0 = 2) b i c t m i, thu c b ng cách l y t t c ph n t c a c t nhân v i –1/ 2, riêng t a th i0 = c thay b i 1/ c cơng th c tính B n1ext = V–1B–1, phân tích trên, nh n ó –1 V c xác nh theo quy t c nh t nh (ch c n t ng quát hóa quy t c ã bi t) V i ví d 9, b ng n hình b c có Bnext = [a3, a1, a5, a6] và: B n ext = V–1B–1= 0 1/ 1/ 1/ 0 B–1 ng v i bi n s a vào c s Lúc u, ma tr n c s B ma tr n B ng II.7 B ng n hình c i biên b H s hàm m c tiêu cB Ph b B ng II.8 B ng Bi n c s –3 0 x3 x1 x5 x6 C t B–1 tìm c t 0 Hàng cBT B–1 0 0 0 0 –1 0 0 –3 4] V y ta xác nh Ph c b ng –1/2 1/2 1/2 0 C t B–1 C tm i 2/3 –1/3 0 –3 x1 10/3 –1/3 2/3 0 x5 –1 x6 2/3 –2/3 1/3 Hàng cTB B–1 –1/3 –4/3 0 T B –1 = [c3, c4] – c B [a3, a4] = [– c B , –1] = – [–1/3, –4/3, 0, 0, 1] 0 , ma tr n bao B 0 0 a3 c3 1 Vk B k B 0 0 0 1 ph u ng pháp ng pháp n hình ng pháp hai pha cho ph ng pháp i: N u pha k t thúc v i ph ng án c c biên ban v i cBT B u c l p (b N N 0, j) trình bày v n B ng án t i u, ghi l i k t qu chuy n sang b j < ch n xj bi n n hình c i biên gi m c kh i n hình c i biên Lúc ng án t i u ch a bi n gi nh n cc t n hình c i ng án xu t phát (BTQHTT d ng Min) 39 c a vào c s = B–1aj Tìm hàng xoay b ng quy t c t s d ng bé nh t N u khơng 0) tốn có hàm m c tiêu khơng b ch n d i, ghi l i k t qu c c 2: – Ch n c hàng i làm hàng xoay, a bi n xr(i) kh i c s tìm ch s c a bi n c s m i a vào r(i) := j Xác nh l i xB cB , B N o c a ma tr n c s n gi n, sau ây phát bi u thu t toán o B– c l p th k) c hàng xoay (khi chuy n sang b ng án N u ti n hành pha 2, ta tìm ng h p ã bi t m t ph nh ch s c a m = cTN – cTB B–1N = [– cTB B–1, –1] N tốn có ph – Thi t l p c t ch n ng án t i u n u pha k t thúc v i d u hi u t i u (v i BTQHTT d ng Min d u hi u t i j ng ng cB Xác hàng cu i c a ma tr n bao – N u trái l i, t n t i j JN cho c hàng xoay tốn có hàm m c tiêu khơng b ch n Bài tốn s có biên m t cách s b cho tr i n vào b ng II.8: 3/ 1/2 /2 c 1: Ki m tra i u ki n d ng –N u = [1/3, 4/3] 0 n gi n Do ó có th th y, ph ng tốn khơng có ph xoay mà khơng tìm a4 c4 t k := Các b Vk Vk 11 V1 1B 11 H n n a d ng c a ma ng tính tốn nhi u so sánh v i ph giá tr d a2 c2 – Thi t l p ma tr n m r ng A = [ N , B ] tính s gia hàm m c tiêu ng v i a4 c4 n hình c i biên cho phép tính ma tr n ngh ch – Có th áp d ng ph –1/2 n hình c i biên – Th c hi n th t c xoay d u hi u d ng khơng có thay 1 =[–1/2, 3/2] 0 tính l i B–1, tính l i cTB B hàm m c tiêu ng v i bi n ngồi c s theo cơng th c l –3/2 0 a vào c s bi n x2 c t 1/ 1/ 1/ bi n ngồi c s theo cơng th c: Chú ý tr n Vi , i c ng r t 3/2 1/2 3/2 – Tìm ma tr n c s B ng v i c t v i ch s : r(1), r(2), , r(m), ma tr n ngh ch V y ph ng án t i u ã tìm c x1 = 10/3, x2 = 4/3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 3, x6 = 2/3, v i giá tr nh nh t c a hàm m c tiêu zmin = –38/3 ng pháp 0 0 – Xác nh bi n c s xB, h s hàm m c tiêu t bi n c s : r(1), r(2), , r(m) Chúng ta i tính s gia hàm m c tiêu ng v i bi n c s : – Ph 0 c kh i t o – Tìm m t ph B1 ng án 4/3 c k+1 theo công th c B k 1 (x2) C tm i 0 38 B –1 c bi n = B–1a2 = 0 – b C t B–1 = [c2, c4] – cTB B–1[a2, a4] = [– cTB B–1, –1] Khung thu t toán x2 4] c tính c h t c n tìm s gia hàm m c tiêu cho bi n c = – [0, –3/2, 0, 0, 1] 0 –2 [ 3, = [–3, –2] B1 ng án Hàng cBT B–1 (x1) c3 Bi n c s T B c2 s : c ti p theo (xem b ng II.9) n hình c i biên b z = cTB xB = – 38/3 a2 c1 ng) v i c t c a B–1(xem b ng II.8) b ng II.8, tr C tm i 37 H s hàm m c tiêu cB a1 c2 Ph z = cBT xB = – 4/3 tìm s gia hàm m c tiêu, ta l y –1 nhân v i hàng cu i c a ma tr n B–1 bao, r i l i B ng II.9 B ng n hình c i biên b H s hàm m c tiêu cB [ 2, nhân v i c t t ng ng a1 a2 ma tr n A ( c ma tr n A m r ng), thu cách thêm vào ma tr n A hàng cu i hàng – cT: Sau ó chuy n sang b = [c1, c2] – c B [a1, a2] = [– cTB B–1, –1] c m i c ng có th tìm theo quy t c c a th t c xoay Riêng hàng cTB B–1 c t B b ng cách thêm vào c t B1 ng án x3 x4 x5 x6 z = cBT xB = = c2 – cTB B–1a2 nên –1 c1 Bi n c s 0 0 n 2] = c1 – cTB B–1a1 T B 1 =[–3, –2] [ 1, 2] = – [0, 0, 0, 0, 1] b ng cách l y c t cB nhân (theo ki u tích vơ h 0 v nên B–1 B Xét ma tr n B ( c ma tr n B–1 bao), thu m i ph n t t ng ng c a hàng j V y c t c t ng v i bi n x1, = B–1a1 = Ia1 = [1, 2, –1, 0]T = [ 1, 2, 3, 4]T có = –3 V i c t xoay ã xác nh c, ta tìm c hàng xoay ph n t xoay theo quy t c thơng th ng Sau ó xoay sang b ng n hình c i biên m i d a ph n t xoay ã tìm c, ma tr n Sau ây tìm cách tóm t t ph ng pháp n hình c i biên d i d ng b ng (xem b ng II.7) Tr c h t, xét b ng n hình b c (b ng II.6) Trong b ng b i hàng zj, b i c t t ng ng v i bi n c s x1 x2 có b ng II.7 C n thêm vào m t hàng m i cTB B–1 m t c t m i có ph n t u b ng 0, tr ph n t cu i b ng Ngoài ra, vi t thêm vào c t xoay 1 0 0 0 0 0 Th t v y, –1 T 0 1 0 40 – t k := k + 1, sau ó quay v b B c 3: D ng in k t qu c N ma tr n bao B Tính s gia = cTN – cBT B–1N = [– cTB B–1, –1] N d ng Nh v y, t i m i b c bi n i b ng n hình, c n tìm c c t xoay hàng xoay th a mãn i u ki n c s h n ch (trong tr ng h p t ng quát, i u ki n c s h n ch c n xem xét ng v i m i ch s j N) p ó gj(x) = i T t c h s ci0 c ng nh cij Quá trình gi i k t thúc ho c tiêu chu n t i u c th a mãn, ho c khơng tìm c c t xoay hàng xoay Lúc ó t c ph ng án g n úng t t nh t có th tìm c c a BTQHT ã cho (xem b ng V.7) áp s T k t qu thu c b ng V.7, ta th y ph ng án t t nh t tìm c x1 = 0, x2 = v i zˆ = 81 Ph ng án úng ph ng án t i u c a BTQHT ã cho Chú ý Có th ch ng minh c r ng: N u BTQHT, hàm fj(xj) l i ng t hàm gij(xj) l i, j N, i 1, m , ph ng án tìm c cho tốn x p x theo ph ng pháp ây bao gi c ng ph ng án c a BTQHT ban u Ngoài ra, n u giãn cách gi a i m l i nh ph ng án t t nh t tìm c c a tốn x p x ph ng án t i u c a BTQHT ã cho c m b o sát g n Trong m t s tr ng h p c bi t, thu c ph ng án t i u m t cách xác c giãn cách i m l i th m chí cịn l n (nh ví d trên) g ij (x) v i gij(x) = cij x1ai j1 x ani jn – V i j = g12(x) = 1,5 x1–1/2x23/4 c12 = 1,5, a121 = –1/2, a122 = 3/4, a123 = trình bày ph ng pháp gi i BTQHHH m t cách d hi u, tr l i m t s b t ng th c –B t u1 u N (u 1u u N )1 / N v i u1, u2, …, uN > N –B t ng th c Cơ – si có tr ng s : u u2 1 t Quy ho ch hình h c m t ph ng pháp t i u c i n, nhiên cho t i ngày v n m t ph ng pháp t i u c s d ng m t s toán công ngh – k thu t Trong khuôn kh c a giáo trình này, s trình bày ph ng pháp quy ho ch hình h c m t cách v n t t thông qua m t s ví d ( tìm hi u v c s c a ph ng pháp c n c thêm v toán i ng u Lagrange i u ki n t i u Kuhn – Tucker) Ví d 20 Min z = x1x2 + x1 x3 –1 N uN (u 1 u 22 u NN ) ( i ui i ) ui ) ( i N y i c ng có N N t Ui = yiui có: Ui yi Ui i i N yi u iy i yiui i i i yi N v i i u ki n yi ( ây b t ng th c ng th c d i d ng: i i N Ui x1 x 21 x 31 x1 ,x , x i i t U1 = x1–1x2–1 x3–1 , U2 = 2x2x3 , U3 = x3x1, U4 = 4x1x2 c phát bi u nh sau: i0 a Ui z= a ci x i x n i 0n , i0 = 1, N , i v i ràng bu c g j (x) 1, j 1,m 129 y2 y1 y3 y2 y2 y3 y3 y2 2x x y2 y3 x x1 y3 y4 4x1 x y4 y4 y4 x1 y1 y3 y4 x y1 y y4 x3 y1 y y3 C n ch n yi, i =1, 2, 3, 4, cho (x , x , ,x n ) 0, y4 y4 y3 y1 y1 = y1 x1 x 21 x3 y1 u i (x) , ó u i y3 y2 y2 i ch a chu n hoá) Min z = x1–1x2–1x3–1 + 2x2x3 + x 1x3 + 4x1x2, v i i u ki n x1, x2, x3 > c g i toán quy ho ch hình h c (BTQHHH) N y1 y1 y1 ng th c Cô – si v i tr ng s Ví d 21 Xét BTQHHH khơng có ràng bu c BTQHHH t ng quát ( ây b t Ui i 1 2x x 1 x 32,5 BTQHPT ây y1 v i u1, u2, …, uN > N N N i ó, n u ký hi u N 1,5x 1 / x 23 / x N N Cô – si v i tr ng s yi ã chu n hố) C ng có th vi t b t v i ràng bu c Min z = N i T c h t nh c ng th c Cơ – si: u2 5.2 Quy ho ch hình h c 3x11/3x21/4x3–1/7+ 57 ng – V i i0 = c2 = 3, a21 = 1/3, a22 = 1/4 a23 = –1/7 –1 c gi thi t d i chi u v i ví d 20 ta có: 130 Ví d 22 Xét BTQHHH có ràng bu c 0 Min z = x1–1x2–1/2x3–1 + 2x 1x3 + x1x2x3, v i i u ki n ràng bu c (5.21) y4 / 5, y / 5, y 1/ 5,y / Xét hai b t Chú ý i u ki n (5.21) c g i i u ki n chu n N u s bi u th c tích hàm m c tiêu N = n +1, v i n s bi n xi, ph ng trình c a i u ki n chu n c l p n tính h (5.21) có nghi m nh t Cịn n u N > (n+1) vi c gi i h (5.21) khó kh n h n Tuy nhiên, có th ch ng minh c r ng: bi n yj s c xác nh m t cách nh t t ng ng v i giá tr zmin Ti p t c gi i ví d 14, ta có: z x 1/2 x3 x ,x , x x 21 x 22 10 1/ 20 1/ víi c¸c ®iỊu kiƯn : y1 y1 u1 y1 y2 y4 D u “=” x y y4 ®ã : y2 u2 y2 u3 y3 y3 , (5.22) y3 1, y5 u4 y4 u u5 vµ 1/ ng th c z u1 u2 u3 2/ 1/ u5 y5 , (5.23) y5 T (5.22) (5.23) ta có: U1 y1 T U2 y2 Ui U4 y4 Ui zmin 22 / 5 26 /5 yi 21/ z ó có h sau: x1 x 21 x3 2x x3 x3 x 4x1 x x1 y 1 21/ 21/ 5 21/ 21/ 5 21/ 21/ 5 ln x1 ln x ln x ln x1 ln x ln x1 ln x ln x1 ln x ln x 3 ln y2 y3 x (1/ 2)y1 y3 y4 y4 y3 2y (1/ 2)y5 y5 x y1 y3 2y y4 y y y5 y4 u5 y5 y5 y4 y5 y5 c r ng y i , i = 1, 2, 3, ph i th a mãn i u (1 / 2)y1 y 2y (1 / 2)y y1 y y y u4 y4 y5 y3 y2 y3 u3 y3 y1 (1 y ) y2 (1 y ) y3 (1 y ) y4 y5 (5.24) V i i u ki n (5.24) ta có z y5 y5 y5 y5 4 y5 y5 y5 y5 2 y5 y5 y Có th ch ng minh c Min z = Max (y ) có bu c ph i x y c (5.22) (5.23), t c ph i có: 2/ x2 /5 x3 23 /5 x1 y2 y1 ln ln ln ln y y 2y y1 ln ln x y2 y2 u2 y2 z t zmin , có th ch ng minh ki n chu n sau ây: ln ln x y1 y1 y1 u1 y1 (u1 + u2 + u3)(u4 + u5) u1 y1 u4 y4 Do ó: 131 132 u2 y2 u5 y5 u3 y3 u4 y4 u1 y1 u5 y5 u2 u3 y2 y u u5 u1 u2 3y5 u3 M 3y (y ) c i u d u “=” b t Bài Hãy gi i BTQHTP sau ây b ng ph ph ng pháp thi t l p toán bù): u1 x1 x2 / x3 u2 2x1 x3 y2 M u3 x1 x x u4 x1 x y3 M 2y 3y u5 y1 M x2 / x3 x1 / ng pháp Wolfe ho c a Min f(x) = x12 + x22 – 8x1 – 4x2, v i ràng bu c x + x2 x 1, x 2 2x12/ x 31 ng pháp thích h p (ph b Min f(x) = x12 + x22 – x1x2 – 3x1, v i ràng bu c x2 x + x2 zmin = x 1, x 18 c Min f(x) = 2x12 + 4x22 – 4x1x2 – 15x1 – 30x2, v i ràng bu c x1 + 2x2 x 1, x 30 Bài Hãy gi i BTQHTP sau ây b ng ph ph ng pháp thi t l p toán bù): ng pháp thích h p (ph ng pháp Wolfe ho c a Min f(x) = 2x1 – 4x2 + x1 – 2x1x2 + x2 , v i ràng bu c – x1 + x2 Bài t p ch k ng V x1 – 2x2 k+1 Bài Cho i m x = (1, –2, 3), xác nh i m x b ng ph Newton h ng liên h p Zangwill v i hàm m c tiêu sau: ng pháp ng d c nh t, x 1, x b Min f(x) = –4x1 – 6x2 + x12 – 2x1x2 + x22, v i ràng bu c a f(x) = x12 + x22 + x32 b f(x) = 2x12 + 2x1x2 + 3x22 + x3 2x1 + x2 c f(x) = exp(x12 + x22 – x3 – x1 + 4) – x1 + x2 Bài Tìm c c ti u c a hàm s b ng x1, x2 ng d c nh t: c Min f(x) = 5x1 + 6x2 – 12x3 + 2x12 + 4x22 + 6x32 – 2x1x2 – 6x1x3 + 8x2x3 a f(x) = – 2x1 – 2x2 – 4x1x2 + 10x12 + 2x22 b f(x) = x13 + x22 – 3x1 – 2x2 + v i ràng bu c Bài Tìm c c i c a hàm s sau b ng ph ng pháp f(x) = 4x1 + 6x2 – 2x1x2 – 2x12 – 2x22 ng d c nh t ph ng pháp Newton: x1 + 2x2 + x3 x1 + x2 + x3 Bài B t u t i m x = (1, 1) c c ti u hóa hàm sau b ng ph pháp h ng liên h p Zangwill: f(x) = x13 + x1x2 – x12x22 ng pháp Newton hay ph ng Bài B t u t i m x1 = (2, 1) c c ti u hóa hàm sau b ng ph pháp h ng liên h p Zangwill: f(x) = (1 – x1)2 + 5(x2 – x12)2 ng pháp Newton hay ph ng –x1 + 2x2 x1, x2, x3 16 Bài L p ch ng trình máy tính ph ng pháp Wolfe ho c ph ng pháp thi t l p toán bù s d ng ngôn ng Pascal hay C, sau ó ch y ki m th cho t p Bài Phát bi u l i thu t toán ng d c nh t, Newton h ng liên h p Zangwill, sau ó l p ch ng trình máy tính s d ng ngơn ng Pascal hay C ch y ki m th cho t p (bài t i 5) 133 Bài 10 Gi i toán sau ây b ng ph ng pháp quy ho ch tách: a Min f(x) = exp(x1) + x12 + 4x1 + 2x22 – 6x2 + 2x3 134 v i ràng bu c sau x12 + exp(x2) + 6x3 x 14 – x1 15 x2 + 5x3 4, Cho bi t i m l x2 25 2, x3 Ch i 0, 2, cho x1 0, 1, cho x2 b Min f(x) = exp(2x1 + x22) + (x3 – 2)2 M ts v n c s c a lý thuy t quy ho ch l i quy ho ch phi n v i ràng bu c sau x1 + x2 + x3 x1, x2, x3 b ng cách ng VI i bi n thích h p v i i m l i tùy ch n Xét toán quy ho ch phi n t ng quát: Bài 11 Gi i t p sau ây b ng ph Min (Max) f(x), v i i u ki n ng pháp quy ho ch hình h c: x a Min f(x) = 2x 1–1 + x22 + x14x2–2 + 4x12, v i i u ki n x1, x2 > –1 –2 –1 –1 –3 b Min f(x) = 5x1x2 x3 + x1 x3 +10x2 + 2x1 x2x3 , v i i u ki n x1, x2, x3 > c Min f(x) = 4x 1–1x2– 0,5, v i i u ki n: x1 + 2x22 x1, x2 > Bài 12 Hãy tìm hi u c s phát bi u thu t toán t ng quát cho quy ho ch tách quy ho ch hình h c D={x Rn: gi ( x ) , i = 1,m ; gi ( x ) , i = m1 1,m } Véc t x = (x1,……xn) D c g i véc t quy t nh hay ph ng án kh thi (ho c ph ng án, n u v n t t h n), xj bi n quy t nh, j = 1,n Ng i gi i tốn c n tìm m t véc t x* D cho: f(x*) f(x), x D cho toán c c ti u hoá ho c f(x*) f(x), x D cho toán c c i hoá T p h p l i Trong ph n nghiên c u khái ni m c b n c a gi i tích l i bao g m sau liên quan n t p h p l i (còn g i v n t t t p l i): – Bao l i c a m t t p h p – Bao óng mi n c a t p l i – Siêu ph ng tách siêu ph ng t a c a t p l i – Nón l i nón i c c v n 1.1 Bao l i Trong ch ng V, ã bi t, t p l i t p S Rn có tính ch t: m i o n th ng n i x1, x2 S u n m S Nói cách khác: S Rn t p l i ch x = x1 + (1 – ) x2 S , [0, 1], x1, x2 S Xét t p l i S 1, S2 Rn Lúc ó, S1 S l i, S1 + S2 l i S – S2 c ng t p l i nh ngh a Xét t p S k x= j j Rn k j x (v i j 1, j , j = 1, k ) i m x1 , x2, , xk S i m c g i m t t h p l i c a i m x1 , x2, , j xk Bao l i (Convex hull) c a S, ký hi u H(S), g m t t c i m x Rn c bi u di n d i d ng m t t h p l i c a m t s i m ó c a S Ví d Bao l i c a i m x1, x2 x3 không th ng hàng R3 m t tam giác Bao l i c a m t hình vành tr ng khuy t R2 m t hình khuyên 135 136 Rn t p l i nh nh t ch a S Nói cách khác m i nh lý Bao l i H(S) c a m t t p S t p l i ch a S u ch a H(S) k k j (x j x1 ) t Ch ng minh Rn: k xj k S, j = 1,k cho x = j xj v i j 1,k } C n ch ng minh v i m i t p l i A mà S A H (S) j 1, T c là, cho x k k x= A j A , j = 1,k S 1, j , c n ph i ch ng t r ng: j j x= j xj j A 1, j j Chúng ta s ch r ng x = j = jx j jx j s , ó có th gi s r ng 1x s j s s ( j / )x j / j j s s t A V y x/ + (1– )xs+1 xj j xj j j xj j (6.2) j j > > ( j j ) , j = 1,k j ) có nh t m t h s ( j j j ) Theo (6.2), x c ti p t c cho t i x j j ) = Trong c bi u di n d c bi u di n d i d ng t i d ng t h p Chúng ta ã c h c v khái ni m bao óng mi n c a m t t p h p S Bao óng c ký hi u cl S, mi n c a S int S Chúng ta có th minh h a ý t Nói cách khác, t n t i i m x1, x2,… xn+1 n c i m x1, x2,… xn+1 x1 x S S cho x Hình VI.1 Minh h a j H qu 3a N u S t p l i int S c ng t p l i H qu c d dàng ch ng minh tr c ti p t nh lý H qu 3b N u S t p l i int S khác r ng cl S c ng l i Ch ng minh c bi u di n b i t h p l i j j j Ch ng minh Cho x1 x2 k H (S) x = k j xj v i j 1, j , xj j x1 S j Tr ng h p 1: k n+1 khơng có c n ch ng minh n a Tr ng h p 2: k > n+1 Theo gi thi t x1, x2, …, xk Rn, nên x2 – x1, x3 – x1, xk – x1 k – véc t ph thu c n tính Lúc ó ng th i b ng 0, cho 2, 3, …, k không 137 (1 y = (1 + )x – x , v i = n a, x1 = y + (1 – )x2, v i x1 , x2 > nh tùy ý Do y x / nên y x2 ) (1 cl S, l y z int S )z (0,1) C int S , x2 nh (1 )z int S , 138 x S1 : p T x x S2 : p T x H c g i tách m nh (strongly) S1 S2 n u : x S1 ,p T x x S2 ,p T x cl S H n (xem hình VI.3) = 1/(1+ ) (0, 1), nên theo nh lý x1 Min y x ), c ng nh tìm pTx= int S ( pcm) S1 1.3 Siêu ph ng tách siêu ph ng t a c a t p l i ây ki n th c c s mơn t i u hóa, c s d ng nhi u vi c thi t l p i u ki n t i u m i quan h i ng u Trong ph n s th y r ng: v i m t t p l i S óng m t i m y S, ta tìm c m t i m nh t x S cho kho ng cách t x t i y bé nh t (t c y x (0,1) ta có x1 + (1– )x2 cho cl S ( pcm) H qu 3c N u S t p l i int S khác r ng bao óng c a mi n c a S trùng v i bao óng c a S, t c cl (int S) cl S Ngoài ta c ng có: int (cl S) int S Ch ng minh Chúng ta ch ng minh ph n u Rõ ràng r ng cl (int S) cl S Chúng ta c n ch ng minh cl S cl (int S) Th t v y, gi s x cl S y int S x + (1 – )y int S Cho 1, ta có x cl (int S) pcm Ph n th hai c a h qu c ch ng minh nh sau: Tr c h t, d th y r ng int S int (cl S) Gi s x1 int (cl S), ta c n ch ng minh x1 int (S) Th t v y, l y x2 int S cho x2 x1 xét nh lý S n xj v i j c t ch ng minh ho c xem x2 nh lý Carathéodory) Cho m t t p b t k S Rn N u x H(S) có th tìm cho x thu c bao l i H(x1, x2, …, xn, xn+1) cl S x2 int S Lúc ó, ng ch ng minh hình VI.1 nh lý 1, ta th y ngay, H(S) giao c a t t c t p l i ch a S nh ngh a Cho x1, x2, …, xk, xk+1 Rn Lúc ó bao l i c a x1, x2, …, xk, xk+1 c ký hi u H(x1, x2, …, xk, xk+1) m t a di n l i N u xk+1– x1, xk – x1, …, x2 – x1 véc t c k k+1 l p n tính H(x , x , …, x , x ) c g i m t n hình k chi u v i nh x , x ,…, xk, k+1 x c a x1, x2,… xn+1: x = ( j Vi c ch ng minh nh lý khơng q khó, dành cho b n thêm tài li u tham kh o A ( pcm) j 1 xj = nh lý Xét t p l i S Rn v i int S khác r ng Cho x1 (0, 1) ta có x = x1 (1 )x int S A s xs = j c aS j , theo gi thi t quy n p có x/ = Gi s x ng 1.2 Bao óng mi n c a t p l i s A Ta có nh lý ( khơng s A , j = 1,s S s j v i h p l i c a k – i m Quá trình l i c a n + i m ( pcm) j s Chú ý T j j j h s ( Th t v y, cho xj s j k j (6.1) Ta ch ng minh k t lu n (6.1) b ng phép quy n p V i k = 1, (6.1) hi n nhiên úng Gi s (6.1) úng v i k = s, c n ch ng minh (6.1) úng v i k = s + xj , ó j i > k xj j Ch n j j v i j k xj R , nên (6.2) v n úng úng j hay xj k k j k j j Lúc ó, ta có: 0, j = j j j s k có j j th i b ng V y t n t i nh t m t ch s i cho Ta có H(S) ={x j jx = j H tách không ch nh S1 S2 S2 H tách m nh c m t siêu ph ng phân x S tách (nói ng n g n h n, siêu ph ng tách) y S nh t m t i m x Hình VI.3 Minh h a ki u siêu ph ng tách Rn m t i m y nh lý Xét t p l i óng S S v i kho ng cách y x Rn cho y S Lúc ó t n t i Min y x x c g i i m c c ti u Ngoài x S ra, ta có: x i m c c ti u ch (x– x )T ( x – y) 0, x S Siêu ph ng tách m t t p l i m t i m nh lý Cho t p l i óng khác r ng S Rn m t i m y Rn cho y S Lúc ó t n t i véc t n to p R cho: pTy > , pTx , x S Ch ng minh x Theo x y nh lý ta th y: – x T(y – x ) S M t khác: y x x S cho (x – x ) T(y – x ) 0, ó –xT( y – x ) = (y – x )T(y – x ) = yT( y – x ) – x T(y – x ) T y (y – x ) – xT(y – x ) = (yT – xT)(y – x ), Hình VI.2 Minh h a i m c c ti u Vi c ch ng minh ho VI.2) nh lý dành cho b n Hay: y c t = sup {pTx: x gian làm hai n a khơng gian ( óng): H+ ={x: pT x Xét hai t p h p khác r ng S1, S2 Ngoài ra, n u S1 S2 H (y – x)T( y – x ) = (y – x ) T(y – x) y x S} ta có pcm: pTy > pT(y – x), t pTx ó có pTy , y x + pTx L i t x S n Siêu ph ng t p h p t t c i m x Rn cho pTx = , v i p Rn \ {0} R cho c (p c g i véc t pháp n c a siêu ph ng) Siêu ph ng H = {x: pT x = } chia không ph ng tách S1 S2 n u pTx t p = y – x ta có tìm hi u (xem hình minh nh ngh a tr x , x H H } H– ={x: pT x } Rn Siêu ph ng H = {x: pT x = } S1 pTx , x c g i siêu S H qu 5a Cho t p l i óng khác r ng S R Lúc ó S giao c a t t c n a không gian ch a S Ch ng minh Ta ch c n ch ng minh r ng giao G c a t t c n a khơng gian ( óng) ch a S t p c a S Th t v y, gi s i u ng c l i, t c y G cho y S Lúc ó theo nh lý ây, t n t i m t n a không gian ch a S nh ng không ch a y i u mâu thu n v i nh ngh a t p G c g i siêu ph ng tách ch nh (properly) S1 S2 y c g i tách ch t (strictly) S1 S2 n u 139 H qu 5b Cho t p l i S Lúc ó, ln t n t i 140 óng khác r ng S Rn m t i m y Rn cho i) M t siêu ph ng tách ch t S y ii) M t siêu ph ng tách m nh S y H qu 6b Cho A ma tr n c p m n, B ma tr n c p l n, c véc t n to úng m t h sau có nghi m: iii) Véc t p cho: pTy > sup p T x : x S H 1: Ax iv) Véc t p cho: pT y< inf p T x : x S Ch ng minh Vi c ch ng minh dành cho b n nh lý ( nh lý Farkas) Xét [AT c Ax ct x BT –BT] thay cho AT nh lý Farkas Rn Gi s nh ngh a (Siêu ph ng t a c a t p l i t i i m biên) Xét t p khác r ng S Cho A ma tr n c p m n, c véc t n to có nghi m: H 1: 0, Bx = 0, cTx > H 2: ATy + BTz = c, y Lúc ó có Lúc ó ch có úng m t hai h sau x c a S t i x n u m t hai tr ATy v i x véc t thu c Rn H 2: y c 2 Gi i thích Cho A = c = Lúc này, theo 6 Rm v iy R n : p T (x S, v i S biên c a S Siêu ph ng H = x x) c g i siêu ph ng t a ng h p sau x y ra: S H x S,pT (x x) S H x S,pT (x x) nh lý ch có úng m t S S hai h sau có nghi m: x1 x2 x3 H 1: siêu ph ng t a H 2x1 + 4x2 + 6x3 > 0 yk y1 H 2: = y1 0, y2 y1 y2 Hình VI.4 Siêu ph ng t a t i i m biên h có nghi m Lúc ó cTx = yTAx (do yT Ax cho ATy = c Gi s y Gi s h vô nghi m t S = {x: x = A y, y S Theo T T p c > Ngoài ra, ta có 0, ta có Chú ý: T 0}, ta th y S t p l i óng Lúc – T i m t i m có nhi u siêu ph ng t a – T i m t i m khơng có siêu ph ng t a T p A y = y Ap, y T x S Vì S nên p c > , T Vì to V y c p= c a y có th ch n d cTp > V y h có nghi m Gi s x hai h sau có nghi m: H 1: Ax 0, cTx > H 2: ATy 0, x Lúc ó có úng m t c, y 141 dãy {p k} , cho pk p k Lúc ó v i dãy ta ln có pTk yk > pTkx, x cl T T T T T S C nh x cl S Do yk x nên có p k yk p x , suy p x p x hay p (x– x ) 0, x cl S V y ta có pcm pT x y k p tk v i 1, s d T T T pTk yk – p yk + p yk – p x pt T yk – p yk + T T p yk – p x yk ng nh tu ý ch n tr x + R, x nh lý 5, n u yk S pk cho pTk yk > pTkx, x cl S pk = Ch ng minh nh lý v i ý: sup {pTx v i x S2}= sup {pTx v i Thay S2 b i int S2 áp d ng x int S2} có pcm H qu 8b int S1} sup {pTx v i x S2} nh lý ( nh lý Gordan) c k l n Cho A ma tr n c p m n Lúc ó có úng m t hai h sau có nghi m: H 1: Ax < v i Rn H 2: ATp = v i véc t p (p có to x Cho t p l i khác r ng S cl S Theo 142 H qu 7a n S t n t i m t dãy {yk} i m Rn khơng thu c bao óng c a S x k inf {pTx v i x y k + pt cl S Cho hai t p l i khác r ng S1, S2 Rn v i i u ki n int S 1, int S2 khác r ng int S1 S2 r ng Lúc ó t n t i véc t p cho Th t v y pTk cho y k pTk yk – c n ph i ch ng minh x 0, x Xét dãy {pk} Rn Ta th y ây dãy gi i n i (do dài c a véc t pk b ng 1) V y t dãy có th trích c m t dãy h i t , cho n gi n ký hi u ó Xét ma tr n [AT –I] thay cho AT ch ng minh c a nh lý Farkas ch ng minh pTk yk S Lúc ó t n t i m t siêu ph ng t a c a cho pT(x – x ) Khơng làm gi m tính t ng qt, có th gi s Ch ng minh Chú ý p Ch ng minh ( pcm) H qu 6a Cho ma tr n c p m n A = [aij]m xn , c véc t n to R n, x nh lý Cho t p l i khác r ng S S t i x , t c t n t i véc t n to p cho: Ap ng h p sau: – T i hai i m có th có m t siêu ph ng t a ng l n tu ý nên b t bu c ph i có Ap Chúng ta ã ch véc t n to Rn có th x y tr i v i t p khác r ng b t kì S – T i m t i m có nh t m t siêu ph ng t a nh lý (v siêu ph ng phân tách m t t p l i m t T i m), t n t i véc t p cho: p c > , p x T Ax 0) Vì v y h vơ nghi m T theo h vô nghi m nên c pT x c g i siêu ph ng t a ch nh (proper supporting plane) Siêu ph ng t a (xem hình VI.4) n u S khơng t p c a H Ch ng minh Gi s x y3 y2 S Lúc ó t n t i véc t p T cho p (x – x ) 0, x không âm) p Ch ng minh S Gi s h có nghi m cho Ax < Ta i ch ng minh h vô nghi m Th t v y, gi s i u ng c l i úng: t n t i véc t p cho ATp = p Lúc ó pTAx < hay xTATp < i u không th x y ATp = nh lý Cho hai t p l i khác r ng khơng giao S 1, S Rn Lúc ó t n t i m t siêu ph ng tách H v i ph ng trình pTx = phân tách hai t p l i trên, theo ngh a sau: t n t i véc t p S2 = {z: z < 0} Rm Ta th y S1 S2 hai t p l i khác r ng không giao Theo nh lý (v siêu ph ng tách hai t p l i khác r ng không giao nhau), lúc ó t n t i véc t p cho pTAx pTz v i m i x Rn z cl S2 Do to c a z có th ch n giá tr âm có tr t i l n Ch ng minh N u x cl S h qu c ch ng minh d a h qu n i dung c a nh lý ây nh lý M t khác, n u x cho inf {pTx v i x Rn} Bây gi gi s h vô nghi m Chúng ta xét hai t p sau: S1 = {z: z = Ax, x Siêu ph ng tách hai t p l i S1} sup {pTx v i x S2} tu ý nên b t bu c ph i có p = – ATp – A t p pTx = M t khác, n u ch n z = có pTAx 0, x Rm Rn N u ch n x 0, ó ATp = V y h có nghi m ( pcm) nh lý 10 ( nh lý tách m nh) Cho hai t p l i không giao S1, S2 Rn v i S S1 t p gi i n i Lúc ó, t n t i véc t n to + sup {p Tx v i x S2} S2 p s d ng cho inf {pTx v i x S1} Ch ng minh Vi c ch ng minh dành cho b n c t tìm hi u ho c xem sách tham kh o (xem hình VI.5) ý t ng c a ch ng minh nh sau: t S = S1 – S 2, S t p l i S H n n a, S t p óng (hãy t ch ng minh i u này) Theo nh lý 5, t n t i véc t p m t s cho x Hình VI.5 Siêu ph ng phân tách hai t p l i Ch ng minh v ix Cho hai t p l i khác r ng khơng giao S1, S2 S1, x2 S2} S t p l i Rn Xét S = S1 – S2 = {x: x = x1 – x Ngồi ra, S (vì S S2 t p r ng) Theo nh lý (v siêu ph ng phân tách m t t p l i m t i m) tìm c m t véc t n to p cho pTx pT = 0, x S (xem hình VI.5) V y x1 S, x2 S pT(x1 – x2) hay pTx1 pTx2 ( pcm) H qu 8a Cho hai t p l i khác r ng S1, S2 Lúc ó t n t i m t véc t p cho inf {pTx v i x n R v i i u ki n int S1 khác r ng S1 S1} sup {pTx v i x int S2 r ng S pTx pT < Do ó > T S1 x2 S2 ( pcm) 1.4 Nón l i nón + pTx2, x1 ic c Xét m t t p h p khác r ng S Rn S c g i nón (cone) v i > t x S ln có x S Nón S c g i nón l i n u S t p l i Cho m t t p h p khác r ng S 143 , hay pTx1 nh ngh a h p p Rn : p t x S2} ây có pTx = pT(x1 – x2) 144 n R Nón i c c (polar cone) c a S, 0, x S N u S t p r ng nón i c c s Rn nh n u c ký hi u S*, t p C nón l i, óng, khác r ng Lúc ó C** C nh lý 11 Gi s Cho D = {x: Ax = b, x 0}, ó A ma tr n c p m n có h ng b ng m M t i m x i m c c biên c a D ch A có th C=C** nón B 1b i C* xN xB c phân rã thành [N B] cho: x = , ó B ma tr n kh ngh ch c p m m tho mãn i u ki n B–1b = Quay l i BTQHTT ch ng I ta th y xB véc t to ng v i bi n c s (basic variables) xN véc t to ng v i bi n ngồi c s (nonbasic variables) Ch ng minh Hình VI.6 Minh h a nón ic c Gi s A có th Ch ng minh (xem minh h a hình VI.6) Rõ ràng C C** Chúng ta i ch ng minh chi u ng c l i b ng ph n ch ng C V y p C* M t khác x C**, nên pTx i u trái v i kh ng nh: pTx > Ta có pcm Chú ý Có th ch ng minh c r ng nh lý h qu c a nh lý 11 nh ngh a Cho t p l i khác r ng S R x S c g i i m c c biên c a S, n u t x = x1 + (1 – )x2 v i x 1, x2 S (0, 1) ta ln có x = x1 = x2 n R M t véc t n to d c tr ng c a i m c c biên h = x 11 x + (1 – ) 21 x 12 x 22 An–k+1 , , An c a ma tr n A D), nên ta c l p n tính n Gi s c g i m t i u trái l i: t n t i s n–k+1 , ., n không ng th i b ng cho 1d ng phân bi t, t c n u d = + 2d v i = t = (0, , 0, n–k+1, ., T n) xây d ng hai véc t : x1 = x + n > ch n thích h p Ta th y Ax1 = v i n Aj ng t , ta c ng có Ax2 = b V y x1, x2 x2 = x – n (xj + j)Aj xjAj + j n k D n = j n k T ng c c biên c a t p a di n l i T j j n k h ng c a S, n u t x S ta ln có x + d S Hai h ng d d c g i phân bi t n u d1 d 2, > M t h ng d c g i h ng c c biên n u không th bi u di n i d ng t h p n tính d ng c a hai h d ng ó > d = d v i B 1b x 22 Ng c l i, gi s x i m c c biên c a D Không làm gi m tính t ng quát, gi s x = (0, , 0, xn–k+1 , , xn)T ó xn–k+1, , xn s d ng Ta i ch ng minh k véc t c t sau n d , ó B Do x11 , x21 nên x11 = x21 = i u kéo theo x12 = x22 = B–1b (vì x1, x2 ng c c biên nh ngh a Cho t p l i khác r ng S B 1b có x = x1 = x2 V y x i m c c biên c a D ng d ng gi i tích l i vào tốn quy ho ch n tính 2.1 i m c c biên h Th thì: x 21 x2 = x 12 nên i u mâu thu n v i kh ng nh: p y , y x 11 x1 = T > Do p ( y ) có th ch n l n tu ý tu thu c vào (0, 1), ó: C cho pT y C* t n t i y C* Th t v y, n u p T D = xB D Ta i ch ng minh x i m c c biên Gi s x = x1 + (1– )x2 v i x1, Rõ ràng r ng x x2 xN i d ng [N B] cho: x = ma tr n kh ngh ch c p m m tho mãn B–1b Gi s x C** nh ng x C Theo nh lý (v siêu ph ng phân tách m t t p l i m t i m), lúc ó t n t i véc t p m t s th c cho: pTy , y C pTx > Do y = C, nên pTx > Bây gi s ch ng minh p c phân rã d jAj = b j n k > nên x1, x2 hai véc t phân bi t H n Xét BTQHTT: Max z = c x, v i x D = {x R : Ax = b, x 0} Chúng ta ln có th s p x p l i c t c a ma tr n A (là ma tr n c p m n có h ng b ng m) d i d ng A = [N B], n a, ta có x = (1/2)x + (1/2)x K t qu thu c a S ó B ma tr n c s c p m m có h ng m, N ma tr n c p m (n – m) Lúc ó ràng bu c có th vi t c d i d ng NxN + BxB = b v i xN, xB V y An–k+1 , , An k véc t c t c l p n tính Do ó có th ch n s (n – k) véc t c t l i c a ma tr n A, (m – k) véc t c t h p v i k véc t ã có thành h m véc t cl p n tính Vì v y, A có th c phân rã d i d ng [N B] ó B = [An–m+1, …, An] ma nh lý 12 (v c tr ng c a i m c c biên) 145 Do xj > v i j = n ây xB có m to 1,n nên B–1b k 146 ó có xB = (0, …, 0, xn–k+1, …, x n)T = B–1b, tr n có h ng m Do Ax = b nên [N B]x = b T Do Ad1 = Ad2 = nên có th rút h ây pcm c l i Gi s d h ng c c biên c a D Không làm gi m , ,d n )T v i to tính t ng quát, gi s d = (0, ,d j , ,0,d n (Dành cho b n i = j Chúng ta s ch ng minh An–k+1, , An véc t c t ch ng minh) D, khơng làm gi m tính t ng qt gi s x = (0, , 0, xn–k+1 , xn)T v i xj > 0, Gi s x j= n k 1,n N u An–k+1, , An k véc t c l p n tính k biên N u trái l i, An–k+1, , An ph thu c n tính t n t i s ng) cho j A j = Ch n = j n k n–k+1, x/ v i to {xj/ j : j n k j n ., n (trong ó có > 0} = xi/ i Xét i m : x /j xj j , 0, D th y x /j 1,n x /j = v i j = 1,n k n n j n k nh lý 14 (v Aj(xj – j) = j n k n xj Aj – j n k jAj = b Nh j n k c i m x/ D v i nhi u nh t (k –1) t a d ng Quá trình c i m x* D có t a d ng t ng ng v i véc t c c tr ng c a h Cho D = {x: Ax = b, x ng c c biên ch A có t t c t a b ng tr t a c phân rã thành [N ej , B 1A j th j b ng N u B–1Aj d Ngồi ra, Ad = (do Ad = [N B]d = N Aj = 0) nên d m t h ng c a D ej + B (–B–1Aj ) = Aj – Bây gi s ch ng minh d h ng c c biên Th t v y, gi s d = 1d1 + 2d2 v i > d1, d2 h ng c a D Chú ý r ng d có nh t (n – m – 1) to b ng nên t ng ng c a d1, d2 c ng b ng Do ó ta có th vi t: d1 = ej d 12 d2 = ej d 22 ., n không n–k+1, ., T n) ch n >0 ng th i b ng cho i nh cho c hai véc t d1 = d + n âm Ta th y Ad1 = Ad + A = + 1,n A i = i A i = T d2 = d – t = ( 0, khơng ng t c ng có Ad2 = Do d1, d2 i n k nên chúng h ng phân bi t c a D (chú ý r ng (1/2)d2 i u mâu thu n v i gi s d h t c l p n tính > 0) Ngoài ra, d = (1/2)d + ng c c biên c a D V y An–k+1, , An véc = 0, ó dˆ véc t m to cu i c a d , d j t a th j c a d (c n ý r ng: n u c t Aj c ng n m s c t c a B c t An–m+1, , An c l p n tính nên ta có ˆ d = d = 0, trái v i gi thi t d h ng c a D) T ó có dˆ = –d jB–1Aj ó d có ej d ng d = d j D th y d d j > 0, nên B–1Aj ( pcm) B 1A j H qu 14a S h ng c c biên c a D h u h n (Dành cho b n c t ch ng minh) 0} khác r ng, ó A ma tr n c p m n có h ng b ng m, b B] cho: B–1Aj v i c t Aj ó c a N, d véc t t l v i véc t d = ó ej véc t (n – m) t a Ch ng minh k i u trái l i i n k ng c c biên) M t véc t d m t h véc t có m to k H n n a x i/ = n Aj x /j = Ta c ng có: v y ã xây d ng c ti p t c cho t i thu l p n tính ( pcm) di>0, i= n c l p n tính Gi s Do h ng c a A = m nên k m Nh v y s (n – k) véc t c t l i (tr c t Aj) c a ma tr n A s có (m – k) véc t c t h p v i k véc t ã có thành h m véc t c l p n tính Khơng làm gi m tính t ng quát, gi s ó h An–m+1, , An Lúc ó A c phân rã d i d ng [N B] ó B = [An–m+1, , An] ma tr n vuông không suy bi n v i h ng m V y A d = B dˆ + Aj d j j= n-k+1,n j= 1,n-k 0, j = n n–k+1, m x i m c c n nh t m t s d k n úng t n t i s , 0, Ch ng minh to c d12 = d22 = –B–1Aj V y d1 d2 trùng nhau, hay d ng c c biên S i m c c biên c a D h u h n nh lý 13 Cho D = {x Rn: Ax = b, x 0} khác r ng, ó A ma tr n c p m n có h ng b ng m b véc t có m t a Khi ó D có nh t m t i m c c biên ó có d h ng c c biên T Ta i ch ng minh chi u ng H qu 12a 1, c hoàn toàn trái v i gi thi t x i m c c biên 2.2 Bi u di n t p l i a di n qua i m c c biên h nh lý 15 Xét t p l i a di n khác r ng D = {x: Ax = b, x 1, 2> x= 148 u j j 147 0} Rn, ó A ma tr n c p m n có h ng b ng m Gi s x1, , xk i m c c biên c a D d1, , du h ng c c biên c a D Lúc ó x D ch x có th bi u di n d i d ng k ,v i ng c c biên Theo nh ngh a, m t t p l i a di n giao c a m t s h u h n n a không gian óng Có th coi ây bi u di n c a t p l i a di n Còn bi u di n c a t p l i a di n ( c ng d ng r ng rãi quy ho ch n tính phi n) thơng qua i m c c biên h ng c c biên c phát bi u ng n g n nh sau: M i i m c a t p l i a di n D = {x: Ax = b, x 0} c bi u di n d i d ng t h p l i c a i m c c biên c a D m t t h p n tính khơng âm c a h ng c c biên c a xj k dj , v i j j j j = 1, (6.3) j 0, j 1,k , (6.4) j 0, j 1,u (6.5) Do yrj nên t n tính Theo ây suy An–m+1, …, An–m+r–1, An–m+r+1, …, An, Aj h véc t c ng có: Ch ng minh k Chúng ta xây d ng t p u ={ j j 1,u } Có th ch ng minh c j dj : j j = 1, j 1,k 0, j 0, j pT ( t p l i, óng khác r ng Ngoài k D j, j tho z j dj ) , (6.6) j có th ch n d ng l n tu ý nên (6.6) j, j tr ng c a i m c c biên) x = j 1,k , pTdj j 1,u 0, –1 ó A = [N B] B b B 1b ej yj ó ej véc t n v có (n – m) to ej , ó b = B–1b yj + b Chúng ta i xây d ng véc t x = m i Do ó, c x Ng T B c l i, gi s c B A j < T N T N c B b cTB B 1N –1 th j nh lý s tìm T N ng án) T T B – D, lúc ó ta có: T B c c B N xN T c x T N T B c c B N xN không c th a mãn, t c j m cT x cT x ng h p 2: i u ki n yj bi : y ij yij br y rj Ký hi u bi n c s cj = 1(6.3), j 0, j 1,k (6.4) B i v y, n u BTQHTT có ph j 0, j 1,u (6.5) cTx – c l i, n u cTdj ) Ng ng án t i u v i hàm m c tiêu b ch n d j cho cTdj < Lúc ó có th ch n i, cTdj 0, j > l n tùy ý, s có t giá tr Min cTx ch c n cho j 1,u mu n 0, ng án t i u t i i m c c biên xi xác j = nh b i cT xi = Min{ cTxj : j = 1, , 150 3.1 Các nh ngh a tính ch t c b n Chúng ta ã bi t ch ng V khái ni m hàm l i: Cho m t t p l i khác r ng S Hàm f: S R c g i hàm l i n u ta ln có f( x1 + (1– )x2) f(x1) + (1– )f(x2), [0, 1], x1, x2 S g i t p m c d i t R Lúc ó t p S = x S : f (x) v i R R n c ng ng v i hàm l i f x2 x1 cTB B A j > Xét hai tr S3/4 = {(x1,x2): x1 2+x22 3/4} (6.10) ng h p sau ây: khơng th a mãn , ó yij t a Hình VI.6 Minh h a hàm l i t p m c d –1 t b = B b = x B , ch n Ví d z = f(x, y) = x2 + y2: S c minh h a hìnhVI.6 S3/4 )x2, theo quy t c: th i c a yj R2 i R hàm l i n u S t p l i khác r ng T p m c Ta th y , S l i n u f hàm l i Th t v y, cho x1, x2 S S xét x = x1 + (1– (0, 1) Do f l i nên: f(x) f(x1) + (1– )f(x2) + (1– ) = V y x S nh lý 17 (tính ch t liên t c c a hàm l i) N u f: S R hàm l i f hàm liên t c int S (Ch ng minh: Dành cho b n c t tìm hi u) ng v i ma tr n c s B x B , x B , ,x B m , ta có: x Bi x = x + dj j JN cho Tr ng h p 1: yj Do Ax = A( x + dj) = A x + Adj = A x = b nên x s ph ng án (kh thi) n u x i u ln x y x = x + dj v i > dj T (6.10) ta th y hàm m c tiêu cTx không b ch n d i Min d j ), (6.9) D th y cTx < cT x n u ch n i j j f(x1,x2) = x12+x22 x = x + dj Tr x ej Xét i m: yj j t yj = B Aj d = Lúc ó ta có: j (do xN 0) i u ki n cTN c t i nh t u j nh ngh a Xét hàm l i f: S T B c xB cTB B 1N t j j 1,u (N u trái l i, c cho b i x = ( x , x ) = ( b , 0) ó b = B T B c xN cT x n u cTN V y cTx cj T ng án t i u k ó, B b B 1Nx N xB 0, k} ( pcm) ng ng v i vi c A phân rã thành A = [N B] Gi s x = ( x TN , x TB ) b ng án t i u cTdj c phát bi u l i nh sau: k T Min c x = c ( i m = Aj nh lý 16 Theo T nh lý 12 ta th y, i m c c biên x Bx B nh lý 15, BTQHTT T = M i n { b i/yij: ng án t i u x i m c c biên (trong tr ng h p BTQHTT có ph 0, t BTQHTT có ph Các tính ch t c a hàm l i Xét BTQHTT nh cho gi thi t c a b i u ki n c n j Tiêu chu n t i u thu t toán Nx N 0} khác r ng, ó A ng c c biên 149 Rn: Ax = b, x D = {x Ngoài ra, n u BTQHTT th a mãn i u ki n ph 0, j 1,u ch n ph y ijA n nh lý 16 m t i m c c biên Theo m Byj = Aj c suy t n hình gi i tốn quy ho ch n tính Ch ng minh i T ng c c biên c a D v i yij > 0} = b r/yrj > Ta th y x có nhi u nh t m t a d ng (t a th r b ng 0, t a b ng ) Có th ch ng minh c x D (vì Ax = B(B–1b – B–1Aj) + Aj = b) M t khác, ta có: yj = B–1Aj c tìm hi u) có th j 1,u ng Th t v y, gi ng c c biên) dj m t h c tr ng c a h nh lý 14 (v d c a D Do pTdj (theo (6.7)) nên pj – pB TB–1Aj i u mâu thu n v i pNT – pBTB–1Aj > ã bi t (xem (6.8)) V y véc t yj có nh t m t t a d ng ki m ph h (6.8) Xét véc t dj = th j Theo D 0} khác r ng, v i A ma tr n c p m n có h ng ng pháp Xét BTQHTT: Min z = cTx, v i x c Khơng làm gi m tính pNT – pBTB–1Aj > t a z ( pcm) ma tr n c p m n có h ng b ng m Gi s x1, , xk i m c c biên c a D d1, , du Chúng ta s ch ng minh r ng yj = B–1Aj véc t có nh t m t t a c l i yj i u mâu thu n v i tính ch t c a i m nh lý 16 ( i u ki n t i u) (6.7) nh lý 12 (v t ng quát, có th gi s r ng B–1b > Lúc ó, z D nên Az = b zT = (zNT, zB T) T ó có NzN + BzB = b zB = B–1b – B–1NzN V y < pTz – pT x = pNTzN + pBT(B–1b – B–1NzN) – pBTB–1b = (pNT – pBTB–1N)zN Do zN 0, nên t n t i m t t a j m, cho zj > i u ng pT x = Max{p x : j = 1, , k}) V y i u ã gi s : Ch ng minh (dành cho b n thích h p s có pTxj nh b i pT x = Max{pTxj: j = 1, , k} Theo Xét i m c c biên x xác p TB B A j ) (p j ng c c biên ch D không gi i n i 2.3 i u ki n t i u ph V y, t n t i p cho pTz > pTxj, s nh b i p T p l i a di n D = {x: Ax = b, x c j 1,k , p BT y j = p T x T j sai Nói cách khác D j j 1,u C ng t (6.6) ch n s 0, pBT b = pj yi H qu 15a xj mãn (6.3), (6.4) (6.5) Vì tho mãn ch pTdj Tx c c biên x ( ã xác b ng m, có h v i b p BT B A j > nên pT x > p j Do D u j j ej p TB j ch ng minh D b ng ph ng pháp ph n ch ng, ta gi s i u ng c l i: z mà z Theo nh lý (v siêu ph ng tách m t t p l i m t i m), lúc ó t n t i m t s m t véc t n to p cho: pTz > pTx = p TN k xj j cl p c tr ng c a i m c c biên) x i m c c biên Ngoài ra, ta nh lý 12 (v bi br y , i y r j ij xj br / y r j xi 0, i j, i o hàm theo h 1,m {B 1, ,B m } h ng c a hàm l i nh ngh a Cho t p khác r ng S Rn hàm f: S ng d Rn c ký hi u nh ngh a b i f / (x,d) JB lim f (x d) f (x) R Lúc ó o hàm t i x S theo D th y x i m c c biên có nhi u nh t m t a d ng N u b > > ó cTx < cT x V y n u x ph ng án c c biên khơng suy bi n x ph ng án c c biên t t h n x Ví d x Chú ý Trong ph n ã nghiên c u m t cách chi ti t c s (gi i tích l i) c a ph ng pháp n hình Trong BTQHTT c trung bình, ph ng pháp n hình ln t r t hi u qu Tuy nhiên BTQHTT c l n (v i s bi n l n nhi u ràng bu c), có th s d ng m t ph ng pháp khác: ó ph ng pháp i m Karmarkar xu t Ph ng pháp s c gi i thi u ph n cu i c a ch ng VI 151 Xét hàm hai bi n f(x1,x2) = x12 (x , x ) = (1,1) theo h f/( x ,d) = lim (x )2 (x 2 T i (1, 1) ta có f/( x ,d) = d 152 x 22 Hãy tìm o hàm f/( x, d ) t i i m ng d = (2, 1/2) f T(1,1) = )2 (x12 x 22 ) = 4x 1+x2= [2x1, 2x2] Rn f: S R hàm l i Lúc ó, x S >0 nh , t n t i o hàm theo h ng: nh lý 18 Cho m t t p l i khác r ng S ng b t k d R n cho x d S v i f (x d ) f (x ) f /( x ,d) = l i m h y y f(x) Ch ng minh Ch n > > f x d f x d 1 ây suy f x ra: x d f x [f (x d) f (x)] / ph thu c f x lim d f x d 1 f x 2 d f x Nh inf x v y, hàm f x d f x ã cho t i x c a hàm i vi phân c a hàm l i nh ngh a Cho f: S R hàm l i Lúc ó: Epigraph c a f t p h p Epi f (x, y ) : x Hypograph c a f t p h p Hyp f S, y (x, y ) : x i vi phân f (x ) S, y R Rn+1 f (x ) f (x ) T f (x ) Ta theo p=( T f (x) (x T Rn f: S T T T R hàm l i, lúc ó Epi f t p l i c g i d (x x) , x S (x T x) (x R1 d = (2 x ) T int S Lúc ó t n t i d f x i vi phân t i x cho: i vi phân T l i có (x (6.14) T f(x) m td (x x) Do f hàm l i ng t nên f (x) ˆ f (x) (1 ) T (xˆ f(x) (1 x ) T (xˆ x) (6.15) R hàm xác nh t p l i khác r ng S cho: f (x ) f (x ) T (x x ), Rn x N u S / f (x)T (x f (x ) x) f (x ) f x f (x ) (1 (gi s Trong ch f : S f (x) , , x2 T f (x ) (x T f (x ) )x (1 )f (x ) f )x ) T (x1 T (x (1 )x f (x ) T (x x), x S Do ó l im (x, x x x x) , f (x) T f (x) xn i vi phân Ký hi u d i vi phân t x = x + d ta có x) d (6.16) d (x, d) T (6.17) f (x)T d d (x, d) Chia c hai v cho T f (x) d d (x, d) ta ch n d = (6.18) , ta thu c0 f (x) có: f (x ) f(x) d Vì d có th ch n b t k , f (x) ( pcm) f (x ) V y f (x) f(x) T Rn f: S R hàm kh vi S Lúc ó: f(x)T (x x) , x, x S f (x ) T (x (6.19) x ) , x ,x S (6.20) i v i tr ng h p f l i ng t, (6.19) (6.20) c n thay d u b i d u > Ch ng minh x2 ) , thu b x ) ng th c theo th t v i x1 x ) siêu ph ng t a c a Epi f > 0) ta có: ng th c sau: (1 (x x) , f (x)T d d) f (x) (1 – ) r i em c ng l i, ta thu Tr c h t, ch ng minh (6.19) Cho f hàm l i, theo nh lý 19 b c f (x) f(x) f(x)T (x x) , x, x S Chi u ng c l i c suy t f (x1 ) C ng hai b t ng V, ã bi t nh ngh a hàm kh vi c p m t: Xét t p khác r ng S R Lúc ó, f kh vi t i x S n u x S Ng 156 f (x ) f (x )T (x1 ng th c s có c l i, cho x1 ,x m t giá tr ó 155 ta nh lý 20 Chúng ta i ch ng minh (6.20) Cho f hàm l i theo (6.19) s có: ( pcm) 3.3 Hàm l i kh vi Rn (x,x nh lý 21 Cho t p l i m khác r ng S (1 Nhân hai v c a b t c: x x f (x) , x1 d) f hàm l i x1 (6.13) T f (x) t y = f(x) (6.13) có: f (x ) Cho x1, x2 int S cho (0, 1) Theo h qu 3a c a nh lý 3, int S c ng t p l i nên x = x1 + (1 – )x2 int S T gi thi t c a nh lý suy r ng t n t i d i vi phân c a hàm f nh lý 19, ta ã bi t t i x int S t n t i d f (x Ch ng minh f (x1 ) f 0, T (6.11) ta có: y L y (6.16) tr (6.17) ta có x , f hàm l i int S t i x = x1 + (1 – )x2 Do ó có b t T S Do ó, thay vào (6.12) ta có: Do f kh vi t i x nên x , f khơng nh t thi t hàm l i S Tuy nhiên, i vi phân ng l n suy (6.11) sai = có: (6.12) Cho qua gi i h n (6.18) nh lý 20 Cho f : S x cho: Ngoài t n t i véc t i vi phân t i x ( pcm) c a f t i x , ta có f (x ) x) , i u mâu thu n v i (6.15) V y i vi phân ó Ch ng minh nh lý sau x int S , t n t i d i m biên), lúc (6.11) Epi f V y H = (x, y) : y f (x x int S , t n t i d S x (Epi f), biên c a Epi f Cho f: S R m t hàm l i Gi s f kh vi t i x int S , lúc ó t n t i nh t i vi phân c a f t i x là: f (x) xˆ (6.14) ta có: x ), x, f(x) V y ta có p ( , ) (0,0) i u mâu thu n v i gi thi t p x) cho: (x x), x S t p l i S khác r ng f (x ) t c c g i véc t gradient c a f có pcm Chú ý T i x có th có nhi u d i vi phân (xem hình VI.8b v i x = 0) Ngoài ra, i u kh ng nh ng c l i c a h qu 19a không úng T c là, n u f : S R hàm xác nh f (x ) x, f(x) 154 B xˆ xˆ t (x d Theo cho siêu ph ng i vi phân t i x d > cho x = x f (x) ˆ f (x) x cho f (x) int S t n t i véc t (y f(x)) t i x,f(x) H n n a, n u (0,1) ta có: x x siêu ph ng t a c a Epi f t i x x S x Ch ng minh Theo nh lý 19, t n t i d t x < f (x) f (x) R hàm l i ng t x x) i vi phân c a = tg ) H qu 19a x > 0) Còn t i x) 0, x S hay úng m i (x,y) 153 f i ó, Gi s T suy Do ó Rn R hàm l i Lúc ó véc t Ví d i) Xét hàm y = f(x) = x2 Lúc ó véc t hàm ã cho t i x (trên hình VI.8a: T (x Rõ ràng khơng th d ng c n u trái l i ch n y d Ta i ch ng minh b ng ph ng pháp ph n ch ng Gi s x Hyp f vi phân c a f t i x n u f (x) f(x) t n t i xˆ i vi phân) ã bi t Epi f t p l i y=f(x) Có th ch ng minh c tính ch t sau ây: Cho f: S ng c l i nh ngh a 10 (khái ni m d i vi phân) f (x) f(x) i vi phân nh t = t i x R [–1, 1] x S Do ó, x), Vì x int S nên (x x), = tg nh lý (v siêu ph ng t a c a t p l i t i ) 0, cho (x, y) Epi f ln có: 0, Hình VI.7 Minh h a Epigraph Hypograph T T Ch ng minh Epi f f (x) f (x) R1 d = sign x 0, véc t R hàm l i Lúc ó v i (x, y ) : y H = y Cho f : S i vi phân n+1 Xem minh h a hình VI.7 Xét t p l i khác r ng S x (trên hình VI.8b: nh lý 19 (v s t n t i d Cho f: S x b) f(x) = x ii) Xét hàm y = f(x) = x ( pcm) x Hình VI.8 Minh h a hình h c d x = 0, t n t i vô s d 3.2 D x x a) f(x) = x2 s 0 f (x) x f x > hàm không gi m B i v y ta có gi i h n: f x tg f (x) nh Do f hàm l i nên ta có: T f(x) T S Theo (0, 1) ta có x ) f (x ) f (x ) f (x1 ) f (x1 ) T (x f (x1 )T (x x1 ) x1 ) nh lý giá tr trung bình, v i x = x1 + (1 – )x2 iv i f (x ) f (x1 ) f (x)T (x f (x) Theo gi thi t, ta có (1 ) T f(x ) T f(x ) f (x) x1 ) (x (6.21) Ví d V i hàm hai bi n f (x) x 12 (x x ) hay: x1 ) T T (6.21) s có: f (x ) f (x ) f (x ) (x f (x)T (x x1 ) f (x )T (x x ) Theo nh lý 20, ta có pcm f (x )T (x x (x x) x )T H(x )(x x x (x, x x) , f (x)T x f (x) f (x) T c x H( x )x 0, ta thu x T H(x)x L y (6.22) tr (6.23) ta có: (6.22) 2 x x T H(x )x (x, x) x (x, x ) Chia hai v cho cho x1 x2 2x 3x x1 x2 úng x S Theo ó xˆ = f (x )T (x f (x ) (x x) x + (1 – )x v i x )T H(xˆ )(x (0, 1) Vì xˆ (x S nên i m x S Rn Do f (x) f(x), )x f (x) ˆ (1 )f (x) xˆ f (x) (1 (1 )x S )f (x) f (x) (6.25) N (x), ta có (6.25) mâu thu n v i Gi s f l i ng t, theo ph n trên, x t i u toàn c c C n ch ng minh ph án t i u toàn c c nh t Gi s t n t i m t ph ng án x x x t i (x, y) cho x Theo T ng Do ó t n t i m t lân c n (6.24) c (x x, y) : x S,y ng = n u trái l i t n y > f(x) –f( x ), mâu thu n v i gi thi t x ph S 1và 2, t c t n t i véc t ( 0, ng án t i u ) m t cho: (x x) y ng v i x Rn, y > f(x) – f( x ), (6.26) (x x) y ng v i x S, y (6.27) T T Do có th ch n tùy ý, nên Gi s T R hàm l i, xét toán c c ti u hóa Min f (x) Lúc ó: x S x S x S , t n t i m t d t p l i Ngoài ra, Trong (6.27) cho x = x y = có i vi phân (x – t– = 0, t (6.26) có x) c a f t i x cho 0/ hay 0 Trong (6.26) cho x = x y = > có Tóm l i ta có T (x x) 0, = Do ( 0, ) (0, 0) nên = t x = x + x suy ra: < Chia c hai v c a (6.26) (6.27) cho = , có: T y (x x) ng v i x Rn, y > f(x) – f( x ), (6.28) x) Minh h a hình h c c a i vi phân T Ch ng minh d a ph N ( x ) S nh lý 8, s có m t siêu ph ng phân tách ng S i u mâu thu n v i tính t i u tồn c c c a x ( pcm) ng án t i u ch (x ng án t i u S có f(x) = f( x ), th 1 f (x) f (x) f (x) 2 x Rn Cho f : S ng án t i u toàn c c ng án t i u toàn c c nh t D dàng ki m tra nh lý 24 (c c ti u hóa hàm l i) ph x t p Ngoài ra, ng Lúc ó: 158 s vơ h (6.24) x S x S a ph Gi s f hàm l i x S m t ph nh N ( x ) c a x cho nh R Do H( x ) = f // (x) 6x ng t i x = –1 nên f(x) = x + 2x + không ph i hàm l i > có th ch n nh , nên f x R , v i S t p l i khác r ng Xét tốn c c ti u hóa Min f (x) Gi ng án t i u – N u f l i ng t x ph Ch ng minh b ng ph n ch ng, gi s i u ng c l i: x không ph ng án t i u tồn c c, th xˆ S cho f( xˆ ) < f( x ) Vì f hàm l i nên v i (0, 1) ta có: (1 ng n u f (x) f(x) , a ph nh d xˆ ng án t i u nh ó c a x – N u f hàm l i x ph x) , suy 157 f c g i ph Ch ng minh Ví d Xét hàm m t bi n f(x) = x3 + 2x + xác không (n a) xác cg i nh lý 23 (c c ti u hóa hàm l i) s x S m t ph x)T H(x)(x ˆ c coi ã bi t: S x S f(x)T (x x) ( pcm) f (x) f(x) 0 Xét tốn c c ti u hóa Min f (x) M t s khái ni m sau nh lý v giá tr trung x) , 5)2 , v i ràng bu c (x mi n ph ng án kh thi hay mi n ràng bu c i m x S c g i ph ng án kh thi hay ph ng án (n u nói v n t t) x S c g i ph ng án t i u toàn c c n u f (x) f(x) , Cho f : S f (x ) i hóa) hàm f(x) v i 11 N ( x ) v i N ( x ) m t lân c n Rn x ng D th y, mi n ràng bu c S t p l i a di n, S t h p l i c a b n i m c c biên (0, 0), (0, 2), (1, 3) (5,5, 0) x S Ng c l i, gi s xT H( x )x bình, ta có: R Chúng ta mu n c c ti u hoá (c c Ví d Min f (x , x ) (x / 2)2 (6.23) u có giá tr d x S R hàm kh vi c p hai thì: hàm f l i f (x )T x f (x ) ng c tr ng det(H– I) = R n , lúc ó có toán t i u sau: Min f (x) Cho f hàm l i x S C n ch ng minh r ng xT H( x )x x Rn Do S t p m , nên l y x b t k x + x S n u ch n nh Theo nh lý 21 theo gi thi t ã cho, ta có: x) Rn Cho hàm f : S Ch ng minh f (x ng trình i c c ti u c a hàm l i ng v i m i x S nh d ng theo cách sau: nh th c c a H( x ) ln có giá tr d – Các giá tr riêng tìm t ph x S nh lý 22 N u S t p l i m khác r ng f: S nh d R n x nh ngh a – Các 3.4 C c x) x ch H( x ) n a xác x) – Theo R n, x x ng n u xT H( x ) 0, nh d Có th ki m tra H( x ) xác S, ó lim (x,x úng x ng n u xT H( x ) x > 0, nh d Ma tr n H( x ) n a xác Chúng ta nh c l i khái ni m hàm kh vi c p hai ch ng V Xét t p khác r ng S Rn hàm f: S R Lúc ó, hàm f c g i kh vi c p hai t i x n u t n t i véc t gradient f (x) ma tr n i x ng c p n, c g i ma tr n Hessian H( x ), cho: f (x ) ng Chú ý x1 ) Hàm l i kh vi c p hai f (x ) nh d nên f(x) hàm l i Ma tr n H( x ) xác 2 (n a) xác x 22 ta có H ( x ) = = tg c th hi n hình VI.9 (v i x < x ta ch nh lý i u ki n t (x x) c th a mãn) f (x) f(x) x y (x x) y T (x x), x Rn V y d H qu 24a Trong i u ki n c a H qu 24b Trong i u ki n c a ch x x x Gi s có: f (x) f(x) T (x T x) , x Ng c l i, gi s x ph Rn+1: t p S, ó (x x) f (x) , x (x d i vi phân c a f t i x Do f hàm l i, ta S V y x ph 160 0, (6.29) x S T (6.28) suy T (x x) , nh lý trên, n u S t p m x ph ng án t i u nh lý trên, n u f kh vi x ph ng án t i u f (x) Vi c ch ng minh hai h qu d dàng, c dành cho b n Ví d Xét toán t i u Min f (x1 , x2 ) (x1 / 2)2 x1 x2 2x1 x1 3x 2 11 ây BTQHL (xem minh h a hình VI.10) 159 S, y f (x)T (x x) 0, x S Ngoài ra, n u S t p m x ph x2 f (x) f (x) x) i vi phân c a hàm f t i x cho v i mi n ràng bu c ng án t i u ng án t i u c a toán Chúng ta xây d ng hai t p sau ây x, y) : x R n ,y (x 0t i x i vi phân ch Hình VI.9 i u ki n t i u cho toán Min T S ( pcm) t nt id O ng v i x Trong (6.29) cho y = ta có c (x 5)2 c ng án t i u x2 Gi s x S ph ng án t i u a ph ng (xem hình VI.11) Lúc ó t n t i m t lân c n N ( x ) cho f(x) f( x ), x S N ( x ) L y x S > nh x + (x – x ) S I(3/2,5) N ( x ) Do ó f x x B(1,3) A(0,2) f x x (x x) T b t T O C(11/2,0) x1 (x (x x) f (x) i vi phân c a f t i x , f hàm l i nên: Cho d T f(x) (x x) T ng th c ây suy (x x) Chia c hai v cho có x) ( pcm) H qu 25a i m B(1, 3) ph N u i u ki n c a nh lý 25, ta gi thi t i u ki n f hàm kh vi thì: t x S ng án t i u a ph ng suy f (x)T (x x) , x S ph Hình VI.10 Bài tốn quy ho ch l i Vi c ki m nghi m h qu dành cho b n c Chú ý i u ki n nêu nh lý ch i u ki n c n ch ng án t i u : f x1 f x2 f (1,3) 2(x1 / 2) = 2(x 5) (1,3 ) = (1,3 ) ó t i x khơng có c c Trên hình VI.10 ta th y, t i x f (1,3)T (x Do ó x x) (1,3) , (1,3) ph Xét i m x = (0, 0) có Do ó t n t i x S cho x x h p v i 10 f (0,0) góc tù hay f (0,0)T (x x) V y x nh lý 25 (c c (0,0) khơng i m t i u i hóa hàm l i) Rn Cho f : S x thu c mi n ràng bu c S, ln có ng án t i u toàn c c f (0,0) R hàm l i, xét toán c c T t i u a ph ng (x x) 0, x S , ó khơng ph i i u ki n Ví d Xét tốn: Max y = x2 v i x S [ 1,2] D th y ymax = i hóa Max f (x) N u x S ph ng án x S f (x) nên f (x)(x x) , x S Tuy nhiên, t i x Trong hàm y = x i nh lý 26 Cho f : S Rn R hàm l i, S m t t p l i a di n compact Xét toán: Max f(x) v i x S Lúc ó t n t i m t ph ng án t i u toàn c c x v i x m t i m c c biên ó c a S Ch ng minh Theo nh lý 17, f hàm liên t c Vì S t p compact nên hàm f s t max t i m t i m x / S N u x/ i m c c biên c a S ã ch ng minh xong N u x/ không i m c c biên c a S có: k k x/ m t d i vi phân b t k c a f t i x i x i cho i , v i xi i m c c biên c a S, i = 1,k , i i i k k f (x / ) f ( i i f(x i ) f (x / ) i / f (x i ) f (x ) y k xi ) i x– x tt i x f(x / ) i i hàm f tc c i t i i m c c biên xi ( pcm) Các i u ki n t i u Fritz – John Kuhn – Tucker 4.1 Bài toán t i u khơng có ràng bu c a x x Hình VI.11 C c nh lý 27 Xét hàm f : Rn cho: f (x ng gi m c a f t i x Ch ng minh h i hóa hàm l i Ch ng minh 161 vi t i x , nên f (x Do f kh (x; d) T f (x f (x)T d d) f (x) d (x; d) , ó 162 v i (x, x k x) ó có: d ) f (x ) f (x ) T d d R kh vi t i x N u t n t i h ng d cho d) f (x) v i m i (0, ) Vì v y, d c g i f (x)T d x b Ký hi u dk = (x k k T (d ) H(x )d k (x; d ) (x; x k x) x) / x k x , ta s có 0, k (6.30) Do d k = nên có th trích t dãy {dk} m t dãy {dk}S h i t t i véc t Do f (x )T d (x; d) > cho f (x 0, nên ph ct ng i ng n H qu 27a Trong i u ki n c a nh lý trên, n u gi s thêm x i m c c ti u ng c a tốn Minn f (x) f (x) + T (6.30) suy (d)T H(x)d d ó v i d = k thi t H( x ) xác nh d Chú ý N u h ng d h ng gi m ta có th d ch chuy n m t b ng d hàm m c tiêu gi m i h d) f (x) v i (0, ) ( pcm) m i ng V y x c c ti u Cho f l i f (x) f(x) a ph f(x)(x x) , x S f (x)T d Theo cho: f (x nh lý 27, mâu thu n v i gi thi t x c c ti u nh lý 28 ( i u ki n c n Cho f : Rn Minn f (x) f (x) , s a ph d) f (x) v i m i a ph nh d = d:d a ph ng v i (x, d) d T H(x)d d (x, d) , x H(x )x nh lý 27 (chuy n v m t s s h ng, chia hai v cho 0, x nh lý 29 ( i u ki n Cho f : Rn x s c c ti u d H(x) n a xác có c c ti u a ph ng Gi s i u ng > cho : l y gi i f (x nh d Do d ng ( pcm) nh d ng Lúc ó, f (x )T (x k x) k (x c g i h x )T H(x )(xk x) xk c g i nón h c d ch chuy n ng F0 x c l i: d F0 D Vì d ng ch p D= Rn ng c i thi n x t i i m bé t R hàm kh vi t i x d S, X : gi (x) 0, i i u ki n c n x), 163 – x ph 164 nh lý 27, d h ng gi m, t c (0, ) (0, (6.31) ) (6.32) 1,m , ó gi : Rn x c c ti u a ph ng F0 nh lý 31 Xét toán P Gi s : (x, x k F0 nên theo > cho: Ta xét BTQHPT có ràng bu c Gi s x không c c ti u a ph ng, ta xây d ng c dãy {xk} h i t t i x cho f(x k) < f( x ) Ta có khai tri n Taylor t i vi phân c p hai t i x nh sau: f (x ) dài b T (6.31) (6.32) suy x không th i m t i u ng N u f l i t i x x c c ti u tồn c c Ch ng minh f (x k ) a ph d) f (x) , D nên x ng) R hàm kh vi c p hai t i x , f (x) = H(x) xác a ph D Ch ng minh f (x) M t khác, b ng cách làm t 0), ta có: dTH( x )d 0, d T ó d x S x S Lúc ó, n u x i m t i u Theo h qu 27a, ta có t nh ch ng minh c a h n ng ch p nh n c a S t i x t p D cl S Nón h (0, ) v i m t s nh lý 30 Xét toán M i n f (x) , v i S khác r ng f : S Do f hàm kh vi c p hai nên ta có khai tri n Taylor t i vi phân c p hai là: f (x)T d d S, (Chú ý r ng: d ch chuy n h ng d v i x = x + d , ta có f (x d) f (x) ) Ch ng minh d) f (x) 0, x Xét hàm f kh vi t i x , lúc ó F0 = d : f(x)T d ng c a toán x R f (x R kh vi t i x S nh n ng) R hàm kh vi c p hai t i x N u x c c ti u f (x) H(x) n a xác Rn x Cho m t t p khác r ng S i u f (x) ng V y b t bu c có c c ti u (0, ) Rn nh ngh a 11 f (x) có t d = x 4.2 Bài toán t i u có ràng bu c Xét tốn t i u M i n f (x) , v i hàm f : S ng Gi f (x) 0, nên f (x) f(x) , a x R a ph Rn Do x Rn ( pcm) Ch ng minh Cho x c c ti u i u mâu thu n v i gi ng ng án t i u a ph ng a ph ng ( pcm) c g i toán P : Min f (x) , v i S = x S R X t p m khác r ng Theo D= nh lý 30, – T t c hàm f , g i , Lúc ó F0 G0 i 4.3 i u ki n t i u Fritz – John c tho mãn ch t t i x : I = i : g i (x) – I t p ch s ràng bu c I kh vi t i x , gi liên t c t i x , i d : g i (x)T d , ó: G0 0, i I nh lý 32 I t p h cho t t c hàm ràng bu c gi(x) mà g i (x) = 0, F0 = d : f(x)T d nón h ng tốn P: Min f (x) v i S = x G0 Do x Gi s d X, v i X t p m nên g i (x) < hàm liên t c i I nên G0 = d : g i (x) T d I, (0, 0, i > cho x > cho gi( x d X, d ) < 0, I theo nh lý 27 s t n t i ) T phân tích ây, ta có x (0, ) Do (0, ) d i u0 ui, Nh v y ã ch ng minh ng nên F0 D = T ây suy F0 c G0 G0 = D Theo ( pcm) i > cho gi( x u ,u i x 22 a x 22 g1 (x) x 12 x1 x1 x2 x2 0 g (x) x x g (x) x1 g (x) x u f(x) u ,u i N u x ph f (x)T d 2(x 2) Do g1 (x) 0,g (x) , G ng t i u F0 G0 2x1 g (x) , 2x d : g (x)d g (x) 0, g (x)d Theo nên x = (2,1)T có kh O u0 ui v ip= d cho: 0, h 2: ATp = p u0 ui 0, i I, cho: nh lý 32 Ph n sau c a I véc t ng c a toán P ui , u i g i (x) v i ui i nh lý có 0, i 1, m Cho x R, i 1,m Xét S G0 166 i u có ngh a hàm gi s không t ng ta d ch chuy n t i m x h ng x – x c t ng i ng n Theo nh lý 27, ta có g i (x)T (x x) Nhân b t ng th c I kh vi t i x , gi liên t c t i c l p n tính Lúc ó, n u x m tb I cho: 0, i X : g i (x) x S 165 Ký hi u I = i : g i (x) Gi s hàm f , gi , i Rn hàm f , g i : Rn nh lý 33 Cho t p m khác r ng X toán P: M i n f (x) v i S = x x1 ng h p F0 Hình VI.12 Minh h a tr f (x) nên 4.4 i u ki n t i u Kuhn – Tucker (2,1) a ph G0 = Nh v y ã ch ng minh xong ph n u c a c ch ng minh b ng cách t ui = 0, i I ( pcm) th g1 x f i m c c ti u ng F0 I V y h Ad vô nghi m g i (x), i a ph hay Ad , v i A ma tr n có hàng p p cho ATp = Do ó t n t i u0 ui V y S I Ngoài ra, gi s I f (x), , g i (x), g2 x, i u 0, i nh lý 9, có úng m t hai h sau có nghi m: h 1: Ad (xem hình VI.12) x2 ng án t i vµ g i (x)T d f (x)T , g i (x)T , i , = 1,m 0, u ,u i không đồng thời 0, i =1, m Ch ng minh T i x = (2, 1) có: 3) u i g i (x) u i g i (x) 0, i T 2(x1 I, ta có: m i x 12 f (x) u i g i (x) 0, u ,u i không đồng thời 0, i =1, m Ngoài ra, n u gi thi t thêm gi c ng kh vi t i x , i nh lý 30, x i m t i u I kh vi t i x , ng c a tốn P t n t i a ph i I d) (0, ) , ó = S, I Lúc ó, n u x i m c c ti u u f(x) Ví d 20 Xét tốn Min f(x) = (x1–3)2 + (x2 – 2)2, v i i u ki n ràng bu c n ng ph R ,v i i = 1,m Xét I, cho: I Cu i D, v i D nón h ng ch p nh n c a S t i x Min { 1, 2, 3} V y d ph R, gi: Rn 1,m Xét i m x S Ký hi u I = i : g i (x) Gi s hàm f , g i , i gi liên t c t i x , i Ch ng minh < gi( x ), i X : g i (x) 0, i x S c i thi n t i x n u d Rn hàm f: Rn Cho t p m khác r ng X ng gi m v i ui c ng l i, ta nh n c: u i g i (x)T ](x x) [ T gi i I thi t, f (x) I f (x)T (x x) Do f hàm l i t i x , nên ta có f(x) u i g i (x) , suy i I i I f( x ) ( pcm) i H n n a, n u I , gi c ng kh vi t i x ui , i = 1, m cho: M r ng i u ki n t i u Kuhn – Tucker i v i BTQHPT t ng quát h n, ràng bu c có d ng b t ng th c / ho c ng th c, có th ch ng minh c nh lý sau ây (b n c có th xem thêm tài li u tham kh o) nh lý 35 ( i u ki n t i u c n ) m f (x) u i g i (x) i u i g i (x) 0, i ui 0, i 1,m 1,m Cho t p m khác r ng X i u ki n ràng bu c sau: Ch ng minh Ta i ch ng minh ph n u f(x) uc a nh lý Theo uˆ i g i (x) M t khác, ta th y u nh lý 32, t n t i u , uˆ i i (vì n u u0 = véc t I, cho g i (x), i I i I ph thu c n tính, mâu thu n v i gi thi t) Chia c v cho u0 0, u c a nh lý i I ( pcm) c ch ng minh xong ch ng minh ph n sau c a Tóm l i, n u x ph ng án t i u c vi t m t cách ng n g n h n nh sau: f (x) g(x)u t ui t ui = ng x tho mãn i u ki n Kuhn – Tucker a ph mt a x S hàm f , g i , i toán P: Min f (x) v i S = x g i (x) , 1,r véc t a ph x S x ph ng án t i u Rn hàm f , g i : Rn X : g i (x) 0, i R, i a ph ui ng 1,m Xét u i g i (x) i I i = 1, m , u = (u1, u2, …, um)T véc t 0, i 1, r Ngoài ra, gi s c l p n tính ng c a tốn P ui , i I, vi, i i I cho: f (x) v i h i (x) I x ui 0, i S , i u ki n Kuhn – c vi t nh sau: v i h i (x) i u i g i (x) 0, u i g i (x) , x i m c c ti u toàn c c I c ng kh vi t i x r u i g i (x) i i I R, i S ph ng án t i u có th m f (x) I hàm l i kh vi t i x c a toán P i 1,m 1,m Ch ng minh Gi s x c ng m t ph ng án (kh thi) c a toán P Lúc ó, gi( x ) Do gi hàm l i t i x nên: g i [x 1, r , i N u ra, hàm g i : R n Tucker ( i u ki n c n) 1,m Cho x S Ký hi u I = i : g i (x) Gi s hàm f , g i , i 0, nh b i I (v i I = i : g i (x) ) kh vi t i x , I , hàm hi kh vi liên t c t i x , i I h i (x), i f (x) nh lý 34 Cho t p m khác r ng X ui c xác r V y i u ki n Kuhn – Tucker i u ki n c n Lúc ó, n u Gi s S Rn Lúc ó, n u x i m c c ti u cho: g(x) ma tr n v i c t ó 1,r X hàm gi liên t c t i x , i g i (x), i u t g(x) u 1,m h i (x) 0, i x uˆ i / u ph n nh lý, ta ch c n g i (x) 0, i Rn Xét toán P: Min f(x) v i x (x x)] = g i [ x (1 )x] i Maximum {gi(x), gi( x )}= gi( x ), c l i, cho x Ng I ta có gi(x) S i u ki n sau ây c tho mãn: r – ui 0, i I vi , i 1, r , cho: f (x ) u i g i (x ) i I (0, 1) – Các hàm f , g i , i 167 168 I hàm l i kh vi t i x , v i h i (x ) i – i J i : vi , hàm hi l i, i K i : vi 4x1 6x , hàm –hi l i Lúc ó, x i m c c ti u toàn c c c a tốn P 2 Ví d 11 Xét BTQHL: Min f(x) = x1 + x2 , v i ràng bu c 4x 4x1 u1 (x1 u (2x1 3x u x1 x2 x 2x u4 x ui 0, i 2x , g1 2x f 2x , g2 2x , g3 0 , h1 1 2 u2 u3 0 u4 4) 0 1,4 Xét x = T h D th y: 1 x 1) x 12 x 22 x1 u1 i u ki n ta có u2 = u3 = nên ph u1 = u4 = V y x u1 1 u4 Do ó ng án t i u toàn c c V y i u ki n Kuhn – Tucker có d ng: 2x 2x 2x 2x u1 u2 u3 0 v1 M t s ph 5.1 Ph /5 /5 T h ta có u1= u2 = u3 = V y /5 16 /5 v1 hay v1 = ng pháp h x1 6x 3x x1 x2 x2 4 x1 x2 Sn u > cho x + d S úng x S, n u > cho x + d S f( x + d) < f( x ), úng c giá tr t i u c a Ta th y: f / x12 f / x1 x 2 f / x1 x 2 f / x 22 16 12 = xác nh d 12 20 ng nên ây BTQHL c l p 1: Xét x1 = (0, 0), ta có: f x1 16x1 12x f x2 20x 12x 80 50 50 80 f (0,0) x c f (0, 0)T (x (x , x ) S , ó S mi n ràng bu c ã cho, ta có: x1 ) x1 (50, 80) 50x1 x2 B c 1: Tính f (x k ) B c 2: Xác 80x2 f ó có: (O) = (xem hình VI.13), (B) = –15, dàng tính x1 ng ch p nh n (A) = – 80 (C) = 25 Do 0, xét toán sau: Min f (x [0, 1] T ó có 16x 12x 50 20x 12x 80 ng ch p nh n d ) 10 (A) < 80 , v i 1 Do ó x = x + d = (0, 1) ng pháp gradient rút g n (the reduced gradient method) Min c (x) = (0) = 60, A(0, 1), Do ó, v i m i h f (0,1) T (x (A) = 0, gi i BTQHPT rã m t cách t x ) = (62x1 – 60x2 + 60) v i x (B) = 61 ng ch p nh n d có t i u x2 = A(0, 1) khơng kh n ng c i thi n (C) = 91 nên Min f (0,1)T d (x , x ) (x) = t V y ta d ng t i ph S D ct i ây: h x D = Rn: {x ng án c c biên c a tốn Lúc ó có th phân rã A = [N B] v i B ng ng: t rT f (x)T [ f (x)T d N f (x)T , B Ad = 0, t a 172 th j c a d dj t dT = [d TN ,d TB ] , = Ad = NdN + BdB [rNT ,rBT ] = f (x)T B Véc t gradient c ng f (x)T ] D dàng ch ng minh f (x)T B A =[ g i véc t gradient rút g n Lúc ó d dàng nh n 171 v i [x TN ,x TB ] v i véc t bi n c s xB ng c i thi n t i x n u x xj = ng án c hàm m c tiêu f(x) không suy bi n c gi s úng, t c m véc t c t b t kì c a A c l p n tính m i i m c c biên c a D u có úng m t a d ng (do ó, m i ph ng án x c a tốn u có nh t m t a d ng) ma tr n kh ngh ch, x T 62 60 sau Ax = b, x 0}, ó A ma tr n c p m n, f(x) hàm kh vi liên t c Ngoài ra, i u ki n Gi s x m t ph = xác , c 5.3 Ph ng pháp gradient rút g n Trong m c này, trình bày ph c l p 2: Xét i m x2 = (0, 1), ta có Xét tốn Min d ng v i x/ nghi m g n úng có xk ) Tính xk+1 = xk + dk , t k := k + quay v b c Chú ý gi i tốn b c ph i có k thu t t i u thích h p cho BTQHPT v i m t bi n K thu t c g i k thu t tìm ki m h ng (line search technique) ng d1= OA = (0,1) h ng án t i u Ch n h S hay f (x k )T (x / ng án t i u ng gi m t t nh t H ng c i thi n h ng dk = (x/ – xk) Tìm dài b c d ch chuy n b ng cách s d ng k thu t t i u thích h p gi i toán Min f (x k d k ) v i i u ki n xk + dk S tìm C(1/2,0) ng pháp h d ng v i x k ph (x / ) x S ó s d ng nh tu ý ch n tr B c 4: HìnhVI.13 Minh h a ph f (0,1) 80x S < dk = x/ – xk h ii) N u O c d ch chuy n (x) v i x Min (x) i) Gi s B(1/2,1/2) d ó, tìm f (x k )T (x x k ) nh hàm (x) = Gi i toán Min B c 3: iii) N u B S T ng án xk+1 = xk + dk t t h n (ho c nh t t t b ng) 5.2 Thu t toán Frank – Wolfe gi i toán quy ho ch l i có mi n ràng bu c t p l i a di n Ví d 13 minh h a cho thu t toán Frank – Wolfe, m t ph ng pháp h ng ch p nh n gi i BTQHPT: Min f(x) v i x S = {x: Ax b}, ó S c gi thi t gi i n i B c kh i t o 1 Tìm m t i m x S (nói chung x i m c c biên ), t k := Các b c l p (b c l p th k) A(0,1) i u ki n ràng bu c x 0, 170 x2 d k ) , cho xk + dk ng): Min f (x k c ph c d ch chuy n, g1 (x) x x g (x) x 1 / x ,x 169 nh n dài b nh ng dk, c n c toán t i u v i m t bi n Ví d 13 Xét BTQHPT: Min f (x) 8x 12 10x 22 12x1 x 50x Lúc i u ki n Kuhn – Tucker có d ng: 0, x1 = (0, 0) ch a ph i ph ng án m i xk+1 h v i ràng bu c 0 (x) = ng c i thi n t i (0, ) ng án xk ph D dàng ki m tra S, ng ch p nh n t i c g i h (0, ) Ngoài ra, d ng c i thi n dk Sau ó, c n xác cm th c g i tốn tìm ki m h ( x1 x 2x1 3x2 H(x1,x2) = c g i m t h x d ch chuy n t xk sang ph v i ràng bu c x1 x2 Rn M t véc t d R S t p l i khác r ng, S xây d ng Min f (x) 2x 12 3x 22 4x x dài b ng ch p nh n N i dung c a ph ng pháp h ng ch p nh n, hay c g i ph ng pháp h ng kh thi (method of feasible directions) nh sau: T i m i b c l p, ng v i ph ng án xk hi n có, ph i Ví d 12 Xét BTQHL: = ó f: Rn 8/5 /5 ph ng án t i u tồn c c /5 Do ó theo nh lý 35, x tìm ng ch p nh n gi i Tr c h t c n nh c l i m t s khái ni m sau ây Xét toán t i u Min f(x) v i x Xét x = T ng pháp h ây i m t i u toàn c c u 3( x ) B ng ch p nh n gi i toán quy ho ch phi n BTQHTT thơng qua m t vài ví d n gi n Các ph ng pháp u h i t t i i m th a mãn i u ki n Kuhn – Tucker Vì v y, n u gi thi t c a nh lý 34 hay 35 c th a mãn u (x 12 x 22 5) u 2( x1 ) ui ng pháp h Trong m c trình bày v n t t m t s ph c phân c r ng d m t 0n ut a th j c a c th a mãn v i dB = – B–1NdN N f (x)T c: B f (x)T B 1N, 0] , rT c f (x)T d N f (x)T d N B f (x)T dB [ N f(x)T B f (x)T B N]dN T N ng c i thi n d, c n ch n dN cho r dN xây d ng h dj rNT dN B (6.33) c 2: Gi i tốn tìm ki m h m t xj = 0, sau Min ó ch n dB = – B–1NdN xj ngồi c s ch n dj = – rj n u rj f (x) T d Nh n xét N u d ng c i thi n nh sau: “v i m i t a j ng v i bi n 0, ch n dj = – xjr j n u rj > 0” Quy t c s m b o r ng d j (n u dN d u b t d h k+1 Th t v y, x cho: uT ng c i thi n hàm m c tiêu Còn d = ch x f(x)T , u TB x B N Do xB > 0, u TB vT B u v f (x)T B f (x)T ] v T (B,N ) (u BT ,u NT ) (0,0) 0,u NT x N u TN N (6.34) f (x)T vT N = N f (x)T r NT x N i u ki n Kuhn – Tucker tr thành r N u BT ch B T (6.34) suy f (x)T B 1N Do ó uN = rN V y Nh v y, x i m Kuhn – Tucker ch d = Sau ây trình bày thu t toán gradient rút g n Vi c ch ng minh tính h i t c a thu t tốn t i i m Kuhn – Tucker không d dàng nh ng c ng khơng q khó, xin dành cho b n c t tìm hi u B c l pk 1 Ch n m t i m x th a mãn Ax = b, x c l p (b B c 1: rT = f (x k )T B t k := x I k}, N u j k rj , j I ,r j x jr j , j I k ,r j cách [ N ng án x c a tốn thích h p, f (x )T B chúng f (x )T B 1N ]d N nh n (0,0,57/17, 4/17) (35/31, 24/31,3/31,0) –7,16 {1, 2} (0,0,0,1) ph ng pháp f (x)T d rNT d N = = Max {xjr j: rj trái l i, t c có nh t m t hai s v, h , cho m t i m: t i m i b N f (x)T d N dj ng c i thi n nh 0} N u , d ng h p B B = ng cho i h dB = B av dv = –1 dj = 0, j I j , < , u TB x B N < Lúc ó h t (d k )T = u T N f (x ) rNT x N T < suy = Max {xjr j: r j ng dB= – B–1NdN Nh v y Min max , dv x kj : d kj d kj t xk+1 = xk + chuy n v b v T k k x v i Min f(x) = 2x 21 T B c l p (b ng (do ó, I k} N = {aj: j I k}, I k j v ng Min f(xk + dk) v i d k k ph max, ó 0 ng án t i u c a tốn trên, thay k := k+1, sau ó = 2x 22 2x x ng pháp 4x n hình l i 6x , v i i u ki n ràng bu c x1 x x x 5x x x ,x , x ,x f (x) B nên u TB x B u T N N c tóm t t b ng VI.2 T f (x) B ng VI.2 Tóm t t b T c l p ph ng pháp n hình l i v N= = B c l pk x k k k H ng tìm ki m rk dk Tìm ki m h ng f(x ) I (0,0,2,5) {3, 4} (–4,–6,0,0) (0,1,–1,–5) (0,1,1,0) (0,1,1,0) –4,0 {2, 3} (–28/5,0,0, (1,–1/5, 35/31 2/5) –4/5,0) (35/31 24/31,3/31,0) k xk+1 n hình l i Zangwill Vi c ch ng minh tính h i t n hình l i c kh i t o Ch n m t i m x1 th a mãn Ax1 = b, x1 Các b d c c t tìm hi u ng pháp u có úng m t a nh nh dB = – B–1NdN Ví d 15 Gi i toán sau ây b ng ph c a thu t toán t i i m Kuhn – Tucker khơng d dàng nh ng khơng q khó, xin dành cho b n B Rn: I k j v, t dv = –1 dj = 0, j d k v m c 5.3 Do xB > 0, u TB Sau ây trình bày thu t toán Thu t gi i ph D = {x 0}: t d v = dj = 0, j = xvr v i giá tr Trong c hai T ó uN = rN V y i u ki n Kuhn – Tucker tr thành rN B f (x ) B N Do i u úng ch 0} c 2: Gi i tốn tìm ki m h ch có nh t m t bi n (6.34) ng i u ki n không suy bi n úng, t c m véc t c t l n nh t c a xk, B = {aj: j = – r v Quá trình gi i ch it n hình l i” = x i m Kuhn – Tucker Th t v y, x i m ây i u ki n (6.34) ã bi t T B c thay ng pháp k T B f(x ) B A [d TN , d TB ] , v i dN xác ng d m t f (x)T ] v T (B,N ) (u BT ,u NT ) (0,0) 0,u NT x N ng pháp v y “ph (trong ó Ik t p ch s bi n c s ) (u BT , u TN ) (0,0) f(x)T , i giá tr , bi n = 0, d ng – Còn n u = – rv, dv = dj = 0, j I j v, = – N u Kuhn – Tucker ch t n t i véc t u v cho: B f (x k )T = Max {–rj: rj – N u c h t tính v, nên dB = – B–1av v i av véc t c t c a A t ng ng v i xv Còn –1 uT ng pháp gradient rút g n, ng án c c biên c a toán Min f(x) v i x t Ik t p m t a rT = = x i m Kuhn – Tucker N u i giá tr Còn ng h p, bi n c s có giá tr thay [ n hình Tên c a ph c l p n tính m i i m c c biên c a D c 1: f (x)T d B m t x j = 0, sau: “Tr ngồi c s xv có giá tr gi m i, bi n c s khác không thay Ta i ch ng minh r ng ng pháp ch có nh t m t bi n ngồi c s xv có giá tr t ng lên, bi n ngồi c s khác khơng thay < gi i BTQHPT v i hàm m c tiêu 174 B = dj = 0, j I j u c l p ch có úng m t bi n c s thay ng pháp gradient rút g n, gi s ng c i thi n” tr xu t, ban ng pháp gi ng v i ph u gi nguyên giá tr Các giá tr c a bi n c s c ng x m t ph Tính = xvrv, dv = –1 dj = j I j Nh n xét Trong tr (10/17, 15/17, 9/17,0) (35/31, 24/31,3/31,0) r jd j v i I t p ch s c a bi n c s (I V y có quy t c xây d ng h 0} 5/34 68/279 n hình l i Zangwill ng pháp sau ây Zangwill b t kì c a A sau ó ch n dB = – B–1NdN = Max {–rj: rj ng xk+1 k Ph ng pháp gradient rút g n ây Wolfe xu t Sau này, Abadie Carpentier a ph ng pháp gradient t ng quát gi i BTQHPT v i ràng bu c phi n d ng) B ng cách phân rã ma tr n A x m t c: ng c i thi n d, c n ch n rN dN cho rNT dN xây d ng h (4,6,–10, –34) (2565/1156, –513/1156, –513/289,0) (0,0,0,0) (–4,–6,0,0) {1, 2} j I JB) Tìm ki m h dk {3, 4} Gi s u có nh t m t a ta ng tìm ki m rk Ax = b, x 0}, ó A ma tr n c p m n, f(x) hàm kh vi liên t c Ngoài ra, c ng nh 173 m i ph I t nh ph [d TN ,d TB ] , v i d N xác nh nh dB = – B–1NdN t (d k )T f(x ) ng pháp gradient rút g n H k –6,436 ch khác Ik, dj = d ng N u trái l i, 6x , v i i u ki n ràng bu c c l p ph k l i ràng bu c n tính Ph f (x k ) T B 1A , ng pháp gradient rút g n 4x (0,0,2,5) Ph I k} N = {aj: j 2x x (10/17, 15/17, 9/17,0) 5.4 Ph l n nh t c a xk, B = {aj: j ng án t i u c a toán k := k+1, sau ó chuy n c tóm t t b ng VI.1 k c s khác dj = 2x 22 c l p th k) t Ik t p m t a ph ó ã c kh i t o Các b x v i Quá trình gi i Thu t toán gradient rút g n B =x + k B ng VI.1 Tóm t t b nên u TB x B d k max, x1 x x x 5x x x ,x , x ,x 0 k k Min f(x) = 2x 12 i m Kuhn – Tucker ch t n t i véc t Ví d 14 Gi i toán sau ây b ng ph (u BT , u TN ) (0,0) B k tx c v b ng th c nghiêm ng t) : d kj ng Min f(xk + dk) v i d k i m th a mãn i u ki n Kuhn – Tucker [ d kj max V y có quy t c xây d ng h m t x j = x kj t k := c l p th k) 175 176 (35/31,24/31, 3/31,0) –7,16 {1, 2} (0,0,0,1) Gi i thi u ph x1 + x2 + x3 ng pháp i m gi i toán quy ho ch n tính – x1 + x2 Ph ng pháp n hình nh ã nghiên c u ch ng II c coi i vào n m 1947, Dantzig công b ph ng pháp n hình gi i tốn l p k ho ch cho không quân M Tr c ó, vào n m 1939, nhà toán h c ng i Nga Kantorovich ( c gi i th ng Nobel v khoa h c kinh t n m 1975), ã c p t i thu t toán gi i BTQHTT quy n “Các ph ng pháp toán h c t ch c k ho ch hóa s n xu t” in t i Nhà xu t b n i h c qu c gia Leningrad Tuy m t công c t v i vi c gi i quy t toán th c t r t nhi u l nh v c, thu t tốn n hình l i khơng m t thu t toán a th c N m 1984, Karmarkar công b ph ng pháp i m gi i BTQHTT có ph c t p a th c Khác h n ph ng pháp n hình, xây d ng dãy i m biên t t d n lên v giá tr hàm m c tiêu, ph ng pháp i m xây d ng dãy i m h i t v i m biên ph ng án t i u ây m t ph ng pháp có c s tốn h c t ng i ph c t p trình bày v n m t cách d hi u, s tóm l c ph ng pháp i m theo ki u ph ng pháp h ng ch p nh n minh h a b ng m t ví d c th = + x4 = x1, x2, x3, x4 x2 B(1, 2) –x1 + x2 x2 Ox1x x1 + x2 x1 Ox x A C 6.1 Bài toán ellipsoid x p x T nh ngh a 12 Xét BTQHTT (g c): Min f(x) = c x, v i x i u ki n ràng bu c n D R,D c xác Ax b x (6.35) (6.36) ng án kh thi x k M t ph nh b i n u xk > 0, t c x ki > 0, i x1k ,x k2 , ,x nk c g i nghi m c a BTQHTT D 1, n cho n gi n, ta c ng g i nghi m xk i m t ng i, hay ng n g n h n, i m c a D (do xk n m a t p n tính {x Rn: Ax = b}) N u thay i u ki n (6.36) BTQHTT b i i u ki n sau ây: O Hình VI.14 Minh h a ph Ek = x Rn : x (x1–1)2 + (x2–1)2 +(x3–1)2 + (x4–1)2 = xi E = x R : x xik , víi 0< , xi x E , víi m t ellipsoid có tâm t i x x k2 , , x kn Trong tr ng h p x1k x 2k k = k k x , x , ,x k n v i bán tr c x kn Ek tr thành hình c u Ví d 16 Xét BTQHTT: Min z = – x1 – 2x2 + 0x3 + 0x4 v i ràng bu c 177 Xác nh h ng c i thi n b 1)2 (x i i x ki i x 1k , k i xi x R4 : x E = x R : x k x1 + x2 + x3 = – x1 + x2 + x4 = Ax = b (1) n Min z = – x1 – 2x2 + 0x3 + 0x4, v i ràng bu c Bài toán ellipsoid x p x : Min f(x) = cTx v i ràng bu c k ) m t ph ng Ox1x2: Lúc ó, tốn ellipsoid x p x (g i v n t t toán x p x ) s có d ng sau: (6.37) có tốn elloipsoid x p x c a BTQHTT ã cho n 2 k i xi i x1 ng pháp i m gi i BTQHTT Trên hình VI.14, hình chi u c a mi n D m t ph ng Ox1x2 mi n c gi i h n b i t giác OABC (b n c có th t ch ng minh i u này) i m x1 = (1, 1, 1, 1) m t i m c a D, cịn hình chi u c a m t ph ng to Ox1x2 i m x Ox1 x = (1, 1) ng trịn C có tâm t i (1, 1) hình chi u c a ellipsoid E1 (lúc hình c u i n C i Có th th y r ng n u < x E1 ta ln có x > 0, cịn n u x E1 ta ln có x Nhìn hình VI.14, ta th y mi n ràng bu c c a toán x p x mi n Sk = D Ek mi n c a mi n D Ta i gi i toán x p x ây (bài toán x p x b c 1) nh n c m t i m x2 t t h n i m x1 Theo ph ng pháp h ng ch p nh n ã bi t, xây d ng x2 = x1 + d1 nh v y, tr c h t c n xác nh c h ng c i thi n (t t nh t có th ) d1 sau ó c n xác nh b c d ch chuy n 178 c d ch chuy n n Pc C n ch n (x 2i 1)2 Pc i V y ta có x2 = x1 – Tr ng h p 1: Tr c h t, ta i tìm h ng c i thi n cho tr ng h p E1 có d ng c u có tâm t i x v i t t c t a u b ng (nh tr ng h p ang xét c a ví d 16) Theo k t qu ã bi t c a i s n tính, n u A = [aij]m n có h ng b ng r khơng gian nhân Ker A khơng gian (n – r) chi u, cịn khơng gian hàng R(AT) = {x Rn: x = ATy, y Rm} khơng gian r chi u Ngồi ra, Ker A R(AT) ph n bù tr c giao c a Sau ây xét tr ng h p r = m cho t c Arg x Q(x) = A T u , ó Arg c hi u “ i m t c a x = x1 – u Rm hàm …” M i n(x T x M i n(x V y c n gi i toán sau: 2x T A T u T T A u ) (x T A u) Pc Pc (6.38) E1 = n xi x Rn : n i (x i 1)2 (6.39) i hay toán Ràng bu c (6.38) u T AA T u ) v i u Rm Nghi m c a tốn i m d ng u* = (AAT)– Ax V y Q(x) = ATu* (b n c ch n m t ví d n gi n ki m nghi m k t lu n m t cách c th ) Do ó P(x) = x – Q(x) = (I – AT(AAT)–1A)x (xem minh h a hình VI.15) P = I– AT(AAT)–1A c g i ma tr n chi u lên KerA n i Ker A P(x) Pc ), v i ràng bu c Pc Pc )=b Pc A(x1 – Ta i ch ng minh r ng phép chi u m t ph n t x Rn lên Ker A c nh b i: P(x) = (I– AT(AAT)–1A)x Th t v y, xét phép chi u Q lên R(AT): xác Pc ) = cT (x1 – Pc Min f( x1 – x xi2 2 Do x1i ã c th a mãn cách ch n d1 th a mãn (6.39) ph i có 1, i 1,n , nên có làm nh trên, ã xây d ng x2 = x1 – Q(x) Pc Pc 2 , hay V y có th ch n = B ng cách c i m ti p theo là: Pc v i 0} D u Lúc ó, n u thay cơng th c (6.46) thu t toán t l affine b c theo công Vi c ch ng minh m t cách xác tính h i t c a thu t toán (v i gi thi t m i ph ng án c c biên c a BTQHTT khơng suy bi n) ịi h i nhi u c g ng, xin dành cho b n c quan tâm t tìm hi u Thu t tốn i m nh trình bày ây c g i thu t toán t l affine b c ng n, v i lý do: Khi ta xây d ng c i m sát g n ph ng án c c biên t i u ellipsoid x p x r t d t (có nh t m t bán tr c r t nh ) nên b c d ch chuy n ti p theo r t ng n i th y, (u) nh l i t l i ng u n u ng án ti p theo B c Ki m tra tính t i u: N u x kj c dài Rn, xét ký hi u sau: u Cho véc t u – t i u: N u sk hi n có ph ng án t i u c a toán g c N u trái l i, ó P/ = (I – X2AT(A(X2)2AT)–1AX2) phép chi u xu ng Ker (AX2) Các thu t toán t l affine g c b k i u xk+1 = xk – i / c Tìm ph x (6.43) (E2)/ = x / c Ki m tra i u ki n k+1 AX2x/ = b ma tr n B c Ki m tra tính khơng gi i n i: N u –(Xk)2 sk d ng, hàm m c tiêu c a tốn g c khơng b ch n d i (do tốn i ng u khơng có ph ng án kh thi) toán ellipsoid x p x có d ng: nh Xk = diag x1k , x2k , ,x kn affine tìm yk = (A(Xk)2AT)–1A(Xk) 2c (yk có th m t ph ng án c a toán tho mãn thêm m t s i u ki n) B c Tìm véc t bi n bù sk c a toán i ng u ng v i yk v a tìm th c sk = c – ATyk B ng chéo t a ng án D n u có c l p th k) i m xk, xác toán i ng u) (sk)Txk = (x k) Tsk = eTXksk < (e véc t xk hi n có ph ng án – t i u c a tốn g c, cịn ph tốn i ng u i d ng x = X2x/, ó X2 ma tr n nh l i t l d X2 = diag x12 , x22 , ,x 2n v i ph n t c l p (b c C n c i) x1 c a mi n ph 184 Bài Hãy tìm hi u c s lý thuy t phát bi u chi ti t thu t toán Frank – Wolfe Sau ó l p ch ng trình máy tính b ng ngôn ng Pascal ho c C ch y ki m th cho t p ây Bài 10 Xét toán t i u a Min f(x) = – 6x1 – 2x2 – 12x3 + x12 + 2x22 + x1x2, v i ràng bu c x1 + x2 + x3 = – x1 + 2x2 x1, x2, x3 Tài li u tham kh o x1 + 2x2 gi i toán: Min f(x) = 4x1 – 6x2 + x12 – x1x2 – 3x22 + exp (–x1) Sau ó áp d ng v i ràng bu c 2x1 + x2 – x1 + x2 Bài 12 Hãy l p ch ng trình máy tính cho thu t tốn gradient rút g n n hình l i Zangwill (có ch nh s a), sau ó ch y ki m th cho t p Bài 13 Th c hi n ba b c l p u tiên c a thu t toán t l affine g c b c ng n cho BTQHTT sau: Max f(x) = –4x1 + 0x2 + x3 – x4, B E Gillett, Introduction to operations research: A computer–oriented algorithmic approach, McGraw–Hill, New York, 1990 R Horst, Hoàng T y, Global optimization: Deterministic approaches, Springer, Berlin, 1993 Hồng Xn Hu n, Giáo trình ph 2004 , ng pháp s , Nxb , i h c Qu c gia Hà N i, , , 1986 N Karmarkar, “A new polynomial time algorithm for linear programming”, Combinatorica, Vol 4, 373–395, 1984 Phan Qu c Khánh, Tr n Hu N ng, Quy ho ch n tính, Nxb Giáo d c, 2003 10 C Mohan and Nguyen Hai Thanh, “A controlled random search technique incorporating the simulated annealing concept for solving integer and mixed integer global optimization problems”, Computational Optimization and Applications, Vol 14, 103–132, 1999 c Ngh a, T i u hóa, Nxb Giáo d c, 2002 12 A Osyczka, Multicriterion Optimization in Engineering with Fortran Programs, Ellis Horwood Limited, New York, 1984 13 H A Taha, Operations research, MacMillan, New York, 1989 14 Bùi Th Tâm, Tr n V Thi u, Các ph t i, 1998 ng pháp t i u hóa, Nxb Giao thông v n 15 Nguy n H i Thanh, Lý thuy t quy t nh m h chuyên gia, Bài gi ng cho Cao h c, ngành Toán – Tin ng d ng, Tr ng i h c Bách khoa, Hà N i, 2005 v i ràng bu c –2x1 + 2x2 + x3 – x4 = 16 Nguy n H i Thanh (ch biên) tác gi khác, Tin h c ng d ng ngành nông nghi p, Nxb Khoa h c K thu t, 2005 17 Nguy n H i Thanh, Toán ng d ng, Nxb i h c S ph m Hà N i, 2005 x1 + x2 + x3 + x4 = x1, x2, x3, x4 , 1981 11 Nguy n x1, x2 , D P Bertsekas, Dynamic programming: Deterministic and stochastic models, Prentice Hall, London, 1987 x1, x2 Hãy gi i toán b ng ph ng pháp gradient rút g n ph ng pháp n hình l i Zangwill Bài 11 Hãy s a ch nh ph ng pháp n hình l i Zangwill gi i tr c ti p toán Min f(x) v i i u ki n ràng bu c Ax = b a x b , b Min f(x) = x1 – 2x2 – x12 + x13 + 2x23, v i ràng bu c – x1 + 2x2 , M S Bazaraa, C M Shetty, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990 Bài 14 S d ng ngôn ng Pascal hay C l p trình máy tính thu t toán affine g c b c ng n b c dài, sau ó ch y ki m th BTQHTT ã gi i b ng ph ng pháp n hình 185 T i u hóa Giáo trình cho ngành Tin h c Công ngh thông tin S xác nh n ng ký KHXB c a CXB là: 547-2006/CXB/01-68/BKHN, ngày 14/7/2006 Quy t nh XB c a G s : 134/Q -NXBBKHN, ngày 11/12/2006 In xong n p l u chi u tháng 12/2006 187 18 Bùi Minh Trí, Quy ho ch tốn h c, Nxb Khoa h c K thu t, 1999 19 Hoàng T y, “Lý thuy t t i u phi n”, T p chí V n trù h c Nghiên c u h th ng, Vi n Toán h c, Vi n khoa h c Vi t Nam, S 39, 1–63, 1985 20 , , , , 1980 186 ... g i siêu S H qu 5a Cho t p l i óng khác r ng S R Lúc ó S giao c a t t c n a không gian ch a S Ch ng minh Ta ch c n ch ng minh r ng giao G c a t t c n a không gian ( óng) ch a S t p c a S Th... t p S2 = {z: z < 0} Rm Ta th y S1 S2 hai t p l i khác r ng không giao Theo nh lý (v siêu ph ng tách hai t p l i khác r ng không giao nhau), lúc ó t n t i véc t p cho pTAx pTz v i m i x Rn z cl... 1998 ng pháp t i u hóa, Nxb Giao thơng v n 15 Nguy n H i Thanh, Lý thuy t quy t nh m h chuyên gia, Bài gi ng cho Cao h c, ngành Toán – Tin ng d ng, Tr ng i h c Bách khoa, Hà N i, 2005 v i ràng