Nhân hai đa thức đã sắp xếp Các bước thực hiện: - Đa thức nọ viết dưới đa thức kia, hai đa thức cùng vi ết theo lũy th ừa gi ảm d ần ho ặc tăng d ần c ủa biến - Kết quả của phép nhân mỗi[r]
Trang 1M C L C Ụ Ụ
CH ƯƠ NG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA TH C Ứ Trang 2
CH ƯƠ NG 3: PH ƯƠ NG TRÌNH B C NH T M T N Ậ Ấ Ộ Ẩ Trang 31
CH ƯƠ NG 4: B T PH Ấ ƯƠ NG TRÌNH B C NH T M T N Ậ Ấ Ộ Ẩ Trang 42
Trang 2CH ƯƠ NG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA TH C Ứ
BÀI 1 NHÂN Đ N TH C V I ĐA TH C Ơ Ứ Ớ Ứ
LÝ THUY T Ế
Ch ng khác gì nhân m t s v i m t t ng: ẳ ộ ố ớ ộ ổ
a(b+c−d)=ab+ac−ad
A (B+C−D )=AB+AC−AD
* Quy t c ắ
Mu n nhân m t đ n th c v i m t đa th c, ta nhân đ n th c v i t ng h ng t c a đa th c r i c ngố ộ ơ ứ ớ ộ ứ ơ ứ ớ ừ ạ ử ủ ứ ồ ộ các tích v i nhauớ
Ví d : ụ −2xy2( x3y−2x2y2+5xy3)
=−2xy2 x3y+2xy2.2x2y2−2xy2.5xy3
¿ − 2x4y3+ 4x3y4−10x2y5
BÀI 2 NHÂN ĐA TH C V I ĐA TH C Ứ Ớ Ứ
LÝ THUY T Ế
Các phép tính v i đa th c đ u quy v các phép tính v i đ n th c ớ ứ ề ề ớ ơ ứ
1 Quy t c ắ
( A−B) (C−D)=AC−AD−BC+ BD
Mu n nhân m t đa th c v i m t đa th c, ta nhân m i h ng t c a đa th c này v i t ng h ng t c aố ộ ứ ớ ộ ứ ỗ ạ ử ủ ứ ớ ừ ạ ử ủ
đa th c kia r i c ng các tích v i nhauứ ồ ộ ớ
* L u ý ư
- Thu g n các h ng t đ ng d ng (n u có) trọ ạ ử ồ ạ ế ước khi nhân và sau khi nhân
- N u ph i nhân nhi u đa th c, m i l n ch nhân t ng hai đa th c ế ả ề ứ ỗ ầ ỉ ừ ứ
Ví d : ụ (2x−3y )(2x +3y )(3x +4y ) (4x−3y )
= ( 4x2+6xy−6xy−9y2)( 12x2−9xy +16xy−12y2)
¿ ( 4x2−9y2)( 12x2+7xy−12y2)
¿ 48x4+28x3y−48x2y2−108x2 y2−63xy3
+ 108y4
¿ 48x4+28x3y−156x2y2−63xy2+ 108y4
2 Nhân hai đa th c đã s p x p ứ ắ ế
Các bước th c hi n: ự ệ
- Đa th c n vi t dứ ọ ế ưới đa th c kia, hai đa th c cùng vi t theo lũy th a gi m d n ho c tăng d n c aứ ứ ế ừ ả ầ ặ ầ ủ
bi nế
- K t qu c a phép nhân m i h ng t c a đa th c th hai v i đa th c th nh t đế ả ủ ỗ ạ ử ủ ứ ứ ớ ứ ứ ấ ược vi t riêngế trong m t dòngộ
- Các đ n th c đ ng d ng đơ ứ ồ ạ ượ ếc x p vào cùng m t c tộ ộ
* L u ý ư
- N u đa th c có nhi u bi n, ta ch n m t bi n làm bi n chính và s p x p các đa th c theo bi nế ứ ề ế ọ ộ ế ế ắ ế ứ ế chính đó
- V i đa th c nhi u bi n, tr trớ ứ ề ế ừ ường h p đ bài ch đ nh, ngợ ề ỉ ị ười ta ít dùng cách nhân này
BÀI T P Ậ
Bài 1 Cho các đ n th cơ ứ
A=−3
4ax
2y3
9a
3x
Tính:
Bài 2 Cho các đa th c: ứ A=2y−x; B=3y−2; C=3x2−1 Tính:
Trang 3Bài 3 Th c hi n các phép tính: ự ệ
a) x(1−3x) (4−3x)−( x−4)(3x+5)
b) ( 4x2+2x−1 ) ( 12x3−6x2+3x−3 )
c) ( x2y−xy2) ( x4y2+ x3 y3+ x2y4)
Bài 4 Th c hi n phép nhân b ng hai cách: ự ệ ằ
a) ( 5x2−3x3+4x−1 ) ( −2x2+3−6x )
b) ( 2x2−3x +2x4−5 ) ( −5x−x2−4 +3x4)
c) ( x3− y3−2xy2)( y3−2x2y+x3)
Bài 5 Thu g n r i tính giá tr các bi u th c sau: ọ ồ ị ể ứ
a) A= ( x2− x +3 ) ( −2x2+3x +5 ) v i ớ | x|=2
b) B= ( 4a2−2ab+b2) (2a +b) v i ớ a=1
2; b=
1 3
c) C= ( x2+ y2)( x2y + y3) − ( x4+ y4) y v i ớ x=1,5; y=−2
Bài 6 Ch ng t các bi u th c sau: ứ ỏ ể ứ
a) Không ph thu c vào bi n x: ụ ộ ế
i) (3x+7 )(2x +3)−(3x−5) (2x +11) ii) ( 3x2−2x +1 ) ( x2+2x+3 ) − 4x ( x2−1 ) −3x2( x2+2 )
b) Không ph thu c vào bi n x, y: ụ ộ ế
i) ( x−1) ( x2+ y ) − ( x2− y ) ( x−2)−x ( x+ 2y )+3 ( y −5)
ii) 6 ( x3y+x−3 ) −6x ( 2xy3+1 ) −3x2y ( 2x−4y2)
c) Không ph thu c vào bi n y:ụ ộ ế
(x2+2xy +4y2)( x−2y )−6(12−
4
3 y
3
)
Bài 7 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ
a) acx3+bc=ax ( dx−c)−bx (cx−d )+( ax+b ) ( cx2−dx +c )
b) (a+b +c ) ( a2+ b2+ c2−ab−bc−ca ) = a3+ b3+ c3−3abc
c) ( a+b +c )3= a3+ b3+ c3+3 ( a+b ) ( b+c ) ( c +a )
Bài 8 Tìm x:
a) 4 (x+3)(3x−2)−3( x−1)( 4x−1)=−27
b) ( x+ 1)(3x2−x+1)+x2( 4−3x)=5
2
c) 2 (x−2)( x+2)+4 ( x−2) (x+1)+( x+2) (8−5x )=0
d) ( 2x+1)(5x−1)=20x2−16x−1
e) 4x ( 2x2−1 ) +27= ( 4x2+ 6x+9 ) (2x+3)
Bài 9
a) Cho A=x (2x−3)−2x( x+1) Ch ng minh r ng A luôn chia h t cho 5 v i m i s nguyên x ứ ằ ế ớ ọ ố
b) Cho B=(3x−4) (4y−3)−(4x−3 )(3y−4) Ch ng minh r ng B chia h t cho 7 v i m i s nguyên x,ứ ằ ế ớ ọ ố
y
Bài 10
a) Tìm 4 s t nhiên liên ti p Bi t r ng tích c a hai s đ u nh h n tích c a hai s cu i là 38 ố ự ế ế ằ ủ ố ầ ỏ ơ ủ ố ố
Trang 4b) Cho a, b là hai s t nhiên Bi t a chia cho 3 d 1, b chia cho 3 d 2 Ch ng minh r ng: a.b chia choố ự ế ư ư ứ ằ
3 d 2ư
c) Cho hai s a và b, bi t: ố ế
a=999 91 (có 2005 ch s mà 2004 ch s đ u đ u b ng 9)ữ ố ữ ố ầ ề ằ
b=222 22 (có 2005 ch s đ u b ng 2)ữ ố ề ằ
Ch ng minh r ng: ab – 5 chia h t cho 3 ứ ằ ế
Bài 11 Tính (v i ớ n∈N¿
):
a) A=2x ( 3xn−1+1 ) + 6xn( x2−1 )
b) B=3xn−2( xn+1− yn+2) + yn+2( 3xn−2− yn−2)
c) C= yn+1( 2xn−1− yn−1) +2xn−1( xn+1− yn+1)
Bài 12 Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ
a) A=b3+c3+ab2+ac2−abc , bi t ế a+b +c=0
b) B=x5−5x4+5x3−5x2+5x−1 v i ớ x=4
c) C=x7−80x6+80x5−80x4+ +80x+15 v i ớ x=79
d) D= 1
2003 .3
1
2005−4
2002
2003 .
4
2005−
5
2003 2005+
4 401
e) E=3 1
1111 4
1
1113−1
1110
1111.5
1112
1113−
5
1113−
1 101
Bài 13 So sánh A và B, bi t: ế
A=2219 2221 2226−2218 2223 2225
B=3004 2999 2997−3003 2996 3001
BÀI 3, 4, 5 NH NG H NG Đ NG TH C ĐÁNG NH Ữ Ằ Ẳ Ứ Ớ
LÝ THUY T Ế
I Các h ng đ ng th c đáng nh ằ ẳ ứ ớ
1) Bình phương c a m t t ng: ủ ộ ổ
( A +B )2= A2+2AB+B2
2) Bình phương c a m t hi u:ủ ộ ệ
( A−B )2= A2−2AB+B2
3) Hi u hai bình phệ ương:
A2− B2=( A−B) ( A +B)
4) L p phậ ương c a m t t ng: ủ ộ ổ
( A +B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3
5) L p phậ ương c a m t hi u:ủ ộ ệ
( A−B )3= A3−3A2B+3AB2− B3
6) T ng hai l p phổ ậ ương:
A3+ B3=( A+ B ) ( A2− AB+B2)
7) Hi u hai l p phệ ậ ương:
A3− B3=( A−B) ( A2+AB+B2)
8) Bình phương m t t ng 3 h ng t : ộ ổ ạ ử
( A +B−C )2= A2+ B2+ C2+ 2AB+2BC+2CA
( A−B−C )2= A2+ B2+ C2−2AB+2BC−2CA
II M t s d ng th ộ ố ạ ườ ng ng d ng ứ ụ
1) A2+ B2= ( A+B )2− = ( A−B )2+
Trang 52) A3+ B3= ( A+B )3−3AB ( + )
3) A3− B3= ( A−B )3+3AB ( − )
4) A4+ B4= ( A2+ B2)2− = ( A2− B2)2+
III M t s ng d ng ộ ố ứ ụ
1) Tính nh m: ẩ 992= ( 100−1 )2=1002−2.100.1+12=9801
2) Vi t bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng tích 2 bi u th c: ể ứ A=25a2+ 4b2−20ab; B=8x3+27y3
* A=25a2+4b2−20ab = ( 5a )2−2.5a 2b+ ( 2b )2= ( 5a−2b )2
* B=8x3+27y3=(2x)3+(3y)3=(2x+3y)[(2x)2−2x 3y +(3y)2]=(2x+3y)(4x2−6xy+9y2)
3) Ch ng minh: ứ A=x2+4x+5 luôn có giá tr dị ương và B=−2x2+12x−20 luôn có giá tr âmị
∀x∈R
* A=x2+ 2 x 2+22+1= ( x+2 )2+1
∀ x ∈R, ( x +2 )2≥0 ⇒ A= ( x+2 )2+1≥1>0 (đpcm)
* B=−2(x2−6x+10)=−2[x2−2 x 3+32+1]=−2[(x−3)2+1]=−2(x −3)2−2
∀ x∈R, ( x−3 )2≥0⇒−2 ( x−3 )2≤0⇒ B=−2 ( x−3 )2−2≤−2<0 (đpcm)
4) Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ M=x2+2x−8 và tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ N=−4x2+4x +3
* M=x2+2x−8=x2+2 x 1+12−9= ( x+1 )2−9
{∀x∈R, ( x +1)2≥0⇒ M=( x +1)2−9≥−9
M=−9 ⇔( x +1)2=0⇔ x+1=0 ⇔ x=−1
V y GTNN c a M là ậ ủ −9 khi x=−1 (ho c ặ minM=−9 ⇔ x=−1 )
* N=−4x2+4x +3=−(4x2−4x−3)=−[(2x)2−2 2x 1+12−4]=−[(2x−1)2−4]=−(2x−1)2+4
{∀x∈R, −(2x+1)2≤0 ⇒ N =−(2x +1)2+4≤4
N =4 ⇔−(2x +1)2=0 ⇔2x+1=0 ⇔ x=−1
2
V y GTLN c a N là 4 khi ậ ủ x=−1
2 (ho c ặ maxN=4 ⇔ x=−
1
2 )
BÀI T P Ậ
Bài 14 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ẳ ẳ ứ ể ể ọ
a) ( 3x+5 )2 b) ( 6x2+ 1
d) ( 2x2y−3y3x )2 e) (5x−3) (5x+3 ) f) (6x+5y ) (6x−5y )
g) (−4xy−5 )(5−4xy ) h) ( a2b+ab2)( ab2− a2b ) i) ( 3x−4 )2+2 ( 3x−4 ) ( 4−x ) + ( 4−x )2
j) (3a−1)2+2 ( 9a2−1 ) +(3a+ 1)2 k) ( a2+ab+b2) ( a2− ab+b2) − ( a4+ b4)
Bài 15 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng bình phương c a m t t ng ho c m t hi u:ủ ộ ổ ặ ộ ệ
d) 36a2−60ab+25b2 e) 4x4−4x2+1 f) 9x4+ 16y6−24x2y3
Bài 16 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng m t tích các đa th c:ộ ứ
Trang 6d) ( 2x+ y )2−1 e) ( x+ y+ z )2− ( x− y −z )2
Bài 17 Tính nhanh:
a) 992+2 99+1 b) 642+128 36+362 c) 722+288 14+282
d) ( 123+1 123−1 ) −36.46 e) ( 202+ 182+162+ +42+22) − ( 192+172+152+ +32+12)
Bài 18 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ằ ẳ ứ ể ể ọ
a) ( 2x2+ 1
c) ( −3xy4+ 1
2 x
3 ab
2−2a3b )3
e) ( x+1 )3− ( x−1 )3− 6 ( x−1 )( x+1 ) f) x ( x−1) ( x+1)−( x+1) ( x2− x +1 )
g) ( x−1)3−( x+ 2) ( x2−2x+4 ) +3( x+4 )( x−4) h) 3x2( x+1) ( x−1)+ ( x2− 1 )3− ( x2−1 ) ( x4+ x2+1 )
k) ( x4−3x2+9 )( x2+ 3 ) + ( 3−x2)3−9x2( x2−3 ) l) (4x +6y ) ( 4x2−6xy +9y2) −54y3
Bài 19 Bi n đ i các bi u th c sau thành tích các đa th c: ế ổ ể ứ ứ
d) 64x3−1
8 y
3
e) 125x6−27y9 f)
x6
125 −
y3
64
g) 16x2( 4x− y)−8y2( x+ y)+xy(16x+8y)
Bài 20 Đi n h ng t thích h p vào ch có d u * đ có h ng đ ng th c: ề ạ ử ợ ỗ ấ ể ằ ẳ ứ
a) x2+4x + ¿ =(¿ + ¿) 2
b) 9x2− ¿ +4=(¿ − ¿) 2 c) x2+ x+ ¿ =(¿ + ¿) 2
d) ¿ − 2a+4=(¿ − ¿) 2 e) 4y2− ¿ =( ¿ −3x)(¿ + ¿) f) ¿−
1
4=(3y−¿)(¿+¿)
g) 8x3+ ¿ =( ¿ +2a ) ( 4x2− ¿ + ¿ ) h) ¿ − 27y3=( 4x− ¿ ) ( 9y2+ ¿ + ¿ )
i) ¿+¿=(¿+1
2 y) (4x2
−¿+¿)
j) ¿ − ¿ =( 4y− ¿ ) ( ¿ + y+ ¿ ) k) 64a3+ ¿ + ¿ +27b3=(¿ + ¿) 3
l) 8x3− ¿ + ¿ − ¿ = ( ¿ −3y )3 m) (¿ − ¿) 3
= x3− ¿ +12xy2− ¿ n) (¿ + ¿) 3
= ¿ +108x2y+144xy2+ ¿
Bài 21 Tìm x, bi t:ế
a) x2−2x +1=25 b) ( 5x+1 )2− ( 5x−3 ) ( 5x+3 ) =30
c) ( x−1) ( x2+ x+1 ) − x (x +2) ( x−2)=5 d) ( x−2)3−( x−3) ( x2+3x +9 ) +6 (x+1)2=15
e) 6( x+1)2−2( x+1)3+2( x−1) ( x2+ x+1 ) =1
Bài 22 Tính giá tr c a các bi u th c: ị ủ ể ứ
a) A=4x2+8x+5 v i x = 49 ớ b) B=x3+3x2+3x +1 v i x = 99ớ
c) C=x3−9x2+27x−26 v i x = 23 ớ d) D= ( 2x−3 )2− ( 4x−6 ) ( 2x−5 ) + ( 2x−5 )2 v i x = 99 ớ
Bài 23 Tìm x, y bi t: ế
a) x2+ y2−2x+4y+5=0 b) x2+4y2+ 6x−12y+18=0
c) 5x2+9y2−12xy −6x+9=0 d) 2x2+2y2+2xy−10x−8y+41=0
Bài 24 Ch ng minh các đa th c sau luôn luôn dứ ứ ương v i m i x, y: ớ ọ
Trang 7a) x2+2x+ 2 b) 4x2−12x+11
Bài 25 Ch ng minh các đa th c sau luôn âm v i m i x: ứ ứ ớ ọ
c) ( x−3) (1−x )−2 d) ( x+4 )(2−x )−10
Bài 26 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr nh nh t? Tìm giá tr nh nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ỏ ấ ị ỏ ấ
c) x2+x+1 d) ( x−1) (x +2) ( x+3) (x +6 )
Bài 27 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr l n nh t? Tìm giá tr l n nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ớ ấ ị ớ ấ
Bài 28 So sánh:
a) A=1997 1999 và B=19982
b) C=1994 1996 19982 và D=19952.1997 1999
c) E=(3+1) ( 32+1 )( 34+1 )( 38+1 ) ( 316+1 ) và F=332−1
Bài 29 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ
a) N u a + b + c = 2p thì ế 4p ( p−a)=b2+ c2− a2+2bc
b) N u x + y = a và xy = b thì ế x2+ y2= a2−2b và x3+ y3= a3−3ab
c) ( a2+ b2) ( c2+ d2) =(ac + bd)2+(ad−bc)2
d) N u a + b + c = 0 thì ế a3+b3+c3=3abc
e) N u ế
1
a+
1
b+
1
c=0 thì (a+b ) ( a2+ b2) ( a4+ b4) ( a8+ b8) ( a32+ b32) = a64− b64
g) N u a = b + c thì ế
a3+b3
a3+c3=a+b
a+c
Bài 30
a) Áp d ng đ nh lý Pytago Ch ng minh r ng n u ta có a, b, c > 0 sao cho ụ ị ứ ằ ế a=m2+ n2; b=m2− n2 ; c=2mn thì các s đó 3 c nh c a m t tam giác vuôngố ạ ủ ộ
b) Các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài a, b và di n tích b ng S Tính các góc c aạ ủ ộ ộ ệ ằ ủ tam giác vuông đó n u bi t ế ế ( a+b )2=8S
c) Ch ng minh r ng n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác vuông (v i a là đ dài c nh huy n)ứ ằ ế ộ ạ ủ ộ ớ ộ ạ ề thì các s x, y, z sau đây cũng là đ dài các c nh c a tam giác vuông: ố ộ ạ ủ x=9a+4b+8c; y=4a+b+4c ; z=8a +4b+7c
BÀI 6, 7, 8 PHÂN TÍCH ĐA TH C THÀNH NHÂN T Ứ Ử
LÝ THUY T Ế
Phân tích đa th c thành nhân t là vi t đa th c đó dứ ử ế ứ ướ ại d ng tích các đ n th c và đa th c khácơ ứ ứ
1 Ph ươ ng pháp đ t nhân t chung ặ ử
Khi các h ng t c a m t đa th c có chung m t nhân t , ta có th đ t nhân t chung đó ra ngoài d uạ ử ủ ộ ứ ộ ử ể ặ ử ấ ngo c d a vào công th c: ặ ự ứ
AB−AC+AD= A ( B−C +D) [A là nhân t chung]ử
Ví d 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân t : ụ ứ ử
a) 9x4y3−18xy2z3+27x2y2z2= 9xy2( x3y−2z3+3xz2) [nhân t chung là 9xyử 2]
Trang 8b) 25x3y( x− y )−5x2y ( x− y)=5x2y ( x− y) (5x−1) [nhân t chung là: 5xử 2y(x – y)]
* Có khi ph i đ i d u đ làm xu t hi n nhân t chungả ổ ấ ể ấ ệ ử
Ví d 2 Phân tích các đa th c sau thành nhân t : ụ ứ ử
a) 2x ( x− y)−( y−x)=2x (x− y)+( x− y)=( x− y)(2x+1) [nhân t chung là x – y]ử
b) 5x(x−2)+3 (2−x )2=5x(x−2)+3 (x−2)2=(x−2) [5x+3(x−2) ]=(x−2) (8x−6)=2(x−2)(4x−3)
c) 3x(x−1)2−(1−x)3=3x(1− x)2−(1−x)3=(1−x)2[3x−(1−x)]=(1−x)2(4x−1)
https://giaidethi24h net