CÁC DẠNG TOÁN CỦA HÀM SỐ ()f x VÀ ()f x

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN CỦA HÀM SỐ f ( x ) VÀ f ′( x ) GIẢI TÍCH LỚP 12 (218 câu trắc nghiệm trích từ đề thi thử THPTQG 2017-2018 - có giải chi tiết) MỤC LỤC CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU DẠNG I.2: CỰC TRỊ 21 DẠNG I.3: CỰC TRỊ VÀ ĐỒNG BIẾN 36 DẠNG I.4: GTLN – GTNN 42 DẠNG I.5: ĐỒ THỊ 49 DẠNG I.6: THAM SỐ 57 CHỦ ĐỀ II: BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN 60 DẠNG II.1: TIỆM CẬN 60 DẠNG II.2: CỰC TRỊ 62 DẠNG II.3: BẢNG BIẾN THIÊN 68 DẠNG II.4: TƯƠNG GIAO (CHỨA THAM SỐ) 74 DẠNG II.5: ĐỒ THỊ VÀ THAM SỐ M 77 DẠNG II.6: TÌM M ĐỂ CĨ N ĐIỂM CỰC TRỊ 85 CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM 93 DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU 93 DẠNG III.2: CỰC TRỊ 95 DẠNG III.3: THAM SỐ M 97 HẾT 100 CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT Trang CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: đơn điệu Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) xác định, liên tục ℝ f ' ( x ) có y đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến (1; +∞ ) B Hàm số đồng biến ( −∞; −1) ( 3; +∞ ) O C Hàm số nghịch biến ( −∞; −1) -1 x D Hàm số đồng biến ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) Lời giải -4 Chọn B Trên khoảng ( −∞; −1) ( 3; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trục hồnh Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) xác định, liên tục ℝ f ' ( x ) có y đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến ( −∞;1) B Hàm số f ( x ) đồng biến ( −∞;1) (1; +∞ ) C Hàm số f ( x ) đồng biến (1; +∞ ) x O D Hàm số f ( x ) đồng biến ℝ Lời giải Chọn C Trên khoảng (1; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trục hồnh Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ℝ Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ, khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến ℝ B Hàm số f ( x ) nghịch biến ℝ C Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Lời giải Chọn C Trong khoảng ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) Câu Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ có đồ thị hàm số f ' ( x ) đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −2;1) B Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (1; ) D Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) Lời giải Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên sau: Trang Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Nếu khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) f ( x ) đồng biến K Nếu khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trục hoành (có thể tiếp xúc) f ( x ) nghịch biến K Nếu khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) vừa có phần nằm trục hồnh vừa có phần nằm trục hồnh loại phương án Trên khoảng ( 0; ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên trục hoành Câu Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ; ( 0; +∞ ) B Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −3; +∞ ) D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞ ; ) Lời giải Chọn C Trên khoảng ( −3; +∞ ) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trục hoành Câu Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −4; ) B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) ( 2; +∞ ) Lời giải Chọn B Trong khoảng ( −∞; −1) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trục hoành nên hàm số đồng biến ( −∞; −1) Câu Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e (a ≠ ) Biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Khi nhận xét sau sai? y x -2 -1 O A Trên (−2;1) hàm số f ( x ) tăng C Hàm f ( x ) đồng biến khoảng (1;+∞ ) B Hàm f ( x ) giảm đoạn [−1;1] D Hàm f ( x ) nghịch biến khoảng (−∞; − ) Lời giải Chọn C Trên khoảng [−1;1] đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trục hồnh Trang Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ℝ Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ, khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến ℝ B Hàm số f ( x ) nghịch biến ℝ C Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; ) D Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Lời giải Chọn D Trong khoảng ( 0; +∞ ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trục hoành nên hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ℝ Biết f ( x ) có đạo hàm f '( x ) hàm số y = f '( x ) có đồ thị hình vẽ Xét (−π ; π ) , khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (−π ; π ) B Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng (−π ; π )  −π   π    ; π      D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (0;π ) C Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng −π ; Lời giải Chọn D Trong khoảng (0;π ) đồ thị hàm số y = f '( x ) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (0;π ) Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Khẳng định sau sai? A Hàm số f ( x ) đồng biến (−2;1) B Hàm số f ( x ) đồng biến (1;+∞) C Hàm số f ( x ) nghịch biến đoạn có độ dài Lời giải y = f ' x ( ) ta thấy: Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số D Hàm số f ( x ) nghịch biến (−∞;−2) −2 < x < ● f ' ( x ) >  x >  → f ( x ) đồng biến khoảng (−2;1) , (1;+∞) Suy A đúng, B → f ( x ) nghịch biến khoảng (−∞;−2) Suy D ● f ' ( x ) < x ⇔  Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C  1 Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ ta chọn x = ∈ −1; , suy − x =  2 theo thi f '( x ) → f ′ (3 − x ) = f ′ (3) < Khi g ′(0) =− f ′ (3) > Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hàm số g ( x ) = f (1−2x ) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−1;0) B (−∞;0) C (0;1) Lời giải Trang D (1; +∞)  x < −1 Ta có g ′ ( x ) =−2 f ′ (1−2x ) 1 < x <  x > 1 − x < −1  Xét g ′ ( x ) > ⇔ f ′ (1 − x ) < ⇔  ⇔ 1 < − x < − < x <     Vậy g ( x ) đồng biến khoảng − ;0 (1; +∞) Chọn D   Chọn D Dựa vào đồ thị, suy f ′ ( x ) < ⇔  1 − x  1 − x theo thi f '( x ) Cách Ta có g ′ ( x ) = ⇔ −2 f ′ (1 − x ) = ←   →  1 − x 1 − x  Bảng biến thiên x  x   ⇔ x =2    = (nghiem kep ) x  = −1 =1 =1 =0 =− =− Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ chọn x = ∈ (1;+∞), suy − x = − theo thi f '( x )  → f ′ (1− x ) = f ′ (−3) < Khi g ′ (2) =−2 f ′ (−3) > Nhận thấy nghiệm x = − ; x = x = g ′ ( x ) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; nghiệm x = − nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu Câu 14 ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) y = f ′( x) y 10 O 1011 x y = g′ ( x) 3  Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x −  đồng biến khoảng đây? 2   31  9   31   25  A  5; B  ;  C  ; + ∞  D  6;     4      Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt X = x + , Y = x − Ta có h′ ( x ) = f ′ ( X ) − g ′ (Y ) 3  Để hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x −  đồng biến h′ ( x ) ≥ 2  Trang 3 ≤ x + ≤  ⇒ f ′ ( X ) ≥ g ′ (Y ) với X , Y ∈ [3;8] ⇒  3 ≤ x − ≤  −1 ≤ x ≤  −1 ≤ x ≤ 19      19  ⇔ ⇔ 9 9 19 19 ⇔ ≤ x ≤ Vì  ;  ⊂  ;  nên chọn B 4 4  4   ≤ x ≤  ≤ x ≤ Cách 2: Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) A ( a;10 ) , a ∈ ( 8;10 )  f ( x + ) > 10, < x + < a  f ( x + ) > 10, − < x <   Khi ta có   ⇒  3 3 25  g  x −  ≤ 5, ≤ x − < 11  g  x −  ≤ 5, ≤ x ≤       3  Do h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x −  > ≤ x < 2  3  Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x −  2  25 9  < x + < , f ( x + ) > f ( 3) = 10 ; Dựa vào đồ thị, ∀ x ∈  ;  , ta có 4  3 < x − < , g  x −  < f ( ) = 2 2  3  9  Suy h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x −  > 0, ∀x ∈  ;3  Do hàm số đồng biến 2  4  Mức 3: đơn điệu Câu 15 9   ;3  4  ( ) Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f x đồng biến khoảng y y = f '( x ) O −1  −1  ;   2 x  −1  ;0    B ( 0; ) A  C  D ( −2; − 1) Lời giải Chọn C Đặt g ( x ) = f ( u ) , u = x ≥ g ′ ( x ) = x f ′ ( u ) nên x =0 x =0 ⇔ g′ ( x ) = ⇔   x = ±1; x = ±2  f ′ ( u ) = ⇔ u = ±1; u = Lập bảng xét dấu hàm số g ′ ( x ) Lưu ý: cách xét dấu g ′ ( x ) B1: Xét dấu 1 < u < f ′ ( u ) : ta có f ′ ( u ) > ⇔  ⇔  u < −1  x < 1 < x < ⇔ 1< x < ⇔    x < − ( loai )  x >  −2 < x < ⇔ ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ (1; ) ngược lại tức khoảng lại f ′ ( u ) < x < − ∪ x >  B2 : xét dấu x (trong trái cùng) B3 : lập bảng xét dấu nhân dấu f ′ ( u ) x ta bảng Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến Trang khoảng khoảng sau? A (−∞;−1) B (−1; +∞) C (−1;0) Lời giải D (0;1) Chọn C Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x ) x > x >    f ′ x > −1 < x < ∨ x > x >1  ( ) theo thi f '( x )  ←→ ⇔ Hàm số g ( x ) đồng biến ⇔ g ′ ( x ) > ⇔   −1 < x <  x <  x <   2   f ′ ( x ) < x < −1 ∨ < x < x =   x = −1  x = x = theo thi f ' x ( )   ′ g x = ⇔ ←→ ⇔ ( ) Cách Ta có   f ′ x2 =  x = ±1 x =  ( )    x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ xét khoảng (1;+∞)  x ∈ (1; +∞) → x > (1) theo thi f '( x ) → f ′ ( x ) > (2)  x ∈ (1;+∞) → x >1 Với x >  Từ (1) (2), suy g ′ ( x ) = xf ( x ) > khoảng (1;+∞) nên g ′ ( x ) mang dấu + Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ ( ) Hàm số y = f x có khoảng nghịch biến A B ( )′ C Lời giải D ( ) 2 Chọn B Ta có y′ =  f x  = x f x  x >  x >      f ′ ( x ) < theo dt f '( x )   x < −1 ∨ < x < 1 < x < ⇔ Hàm số nghịch biến ⇔ y′ < ⇔  ← → x f x >0   ( ) Trang ( ) Vậy hàm số y = f x có khoảng nghịch biến x =   x = −1  x = x = theo thi f '( x )  ←→  ⇔  x = ±1 Cách Ta có g ′ ( x ) = ⇔   ′ f x = ( ) x =     x = ±2  x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ xét khoảng (2;+∞)  x ∈ (2; +∞) → x > (1) theo thi f '( x ) → f ′ ( x ) >  x ∈ (2;+∞) → x > Với x >  (2) Từ (1) (2), suy g ′ ( x ) = xf ( x ) > khoảng (2;+∞) nên g ′ ( x ) mang dấu + Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e , đồ thị hình bên đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Xét ( ) hàm số g ( x ) = f x − Mệnh đề sai? A Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) C Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1; ) B Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) D Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) Lời giải x =0 x =0 x =0  2 ⇔  x − = −1 ⇔  x = ±1 Chọn C Ta có: g '( x) = x f ' ( x − ) ; g ' ( x ) = ⇔   f ' ( x − 2) =   x = ±2 x −2 = 2 Từ đồ thị y = f ′( x ) suy f ′( x − 2) > ⇔ x − > ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) ngược lại Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Trang Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x − 5) có khoảng nghịch biến? A B C Lời giải D x = x =    x − = −4  x = ±1 x = theo thi f '( x )  ←→ ⇔  Chọn C Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x − 5); g ′ ( x ) = ⇔   2 ′ f x − = )  x − = −1  x = ±2  (    x = ±  x − = Bảng biến thiên Câu 20 Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hỏi hàm số g ( x ) = f (1− x ) nghịch biến khoảng khoảng sau? A (1;2) B (0;+∞) C (−2;−1) Lời giải D (−1;1) −2 x >    f ′ (1 − x ) <  Chọn B Ta có g ′ ( x ) = −2 xf ′ (1− x ) Hàm số g ( x ) nghịch biến ⇔ g ′ ( x ) < ⇔   −2 x <   f ′ (1 − x ) > −2 x >  x <  Trường hợp 1:  ⇔   f ′ (1 − x ) < 1 < − x < : vo nghiem  −2 x <  x >  Trường hợp 2:  ⇔  ⇔ x > Chọn B  f ′ (1 − x ) > 1 − x < ∨ − x >  x = x =  theo thi f ' x ( ) ←→ 1 − x = ⇔ x = Bảng biến thiên Cách Ta có g ′ ( x ) = ⇔  ′ f − x = )  (  1 − x = Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ chọn x = ∈ (0; +∞) →−2x < (1)  x =  theo thi f '( x ) → f ′ (1− x ) = f ′ (0)  → f ′ (0) = > (2)  x = → 1− x =  Từ (1) (2), suy g ′ (1) < khoảng (0; +∞) Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) = nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Câu 21 Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Trang 10 f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a, b, c ∈ ℝ , biết −8 + 4a − 2b + c > Câu 177 Cho hàm số bậc ba + a + 2c + c < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) A B C D Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục ℝ  lim f ( x ) = −∞  x →−∞   f (−2 ) = −8 + a − 2b + c > Ta có   → f ( x ) = có nghiệm phân biệt ℝ  f (2) = + a + 2b + c <   lim f ( x ) = +∞  x →+∞ Khi đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị Chọn D Cách 2: Hàm số y = f ( x ) (là hàm số bậc ba) liên tục ℝ Ta có f ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > ; f ( ) = + 4a + 2b + c < lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = +∞ nên phương trình f ( x ) = có nghiệm thực phân biệt Do x →−∞ x →+∞ đó, đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu 178 Cho hàm số b ậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ ) biết a > 0, d > 2018 a + b + c + d − 2018 < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 A B C Lời giải Chọn D Hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục ℝ D  lim g ( x ) = −∞  x →−∞   g (0 ) = d − 2018 >  → g ( x ) = có nghiệm phân biệt ℝ Ta có   g (1) = a + b + c + d − 2018 <   lim g ( x ) = +∞  x →+∞ Khi đồ thị hàm số f ( x ) −2018 cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số g ( x ) = f ( x )− 2018 có điểm cực trị Chọn D Cách 2: Hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục ℝ Ta có g ( ) = d − 2018 > ; g (1) = a + b + c + d − 2018 < Vì lim g ( x ) = −∞ lim g ( x ) = +∞ nên ∃x1 < : f ( x1 ) < ∃x2 > 1: f ( x2 ) > x →−∞ x →+∞ nên phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ℝ Khi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x ) − 2018 có điểm cực trị Câu 179 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + c biết a > 0, c > 2018 a + b + c < 2018 Số cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 A B C Lời giải Chọn D Đặt h( x ) = f ( x ) −2018 = ax + bx + c −2018 Trang 86 D a > a >  ⇒   → đồ thị hàm số h ( x ) có điểm cực trị Từ giả thiết c > 2018  b < a + b + c < 2018  (1)  h (1) = a + b + c − 2018 < ⇒ h(1).h(0) < có nghiệm thuộc (0;1) ⇒ h( x ) = có nghiệm phân Ta có  h (0) = c − 2018 >  (2) biệt (dáng điệu hàm trùng phương) Từ (1) (2), suy hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 có điểm cực trị Chọn D a =  → g ( x ) = f ( x ) − 2018 = x − x + Cách Trắc nghiệm Chọn b = −4   c = 2019 Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có điểm cực trị Cách 3: Ta có a > , c > 2018 nên a + c > 2018 ⇒ b < 2018 − a − c < nên hàm số f ( x ) − 2018 có cực trị Vì f ( ) − 2018 = c − 2018 > f ( ±1) − 2018 = a + b + c − 2018 < lim  f ( x ) − 2018  = +∞ nên phương trình f ( x ) − 2018 = có nghiệm Do đó, đồ thị hàm x →+∞ số y = f ( x ) − 2018 có cực trị  Câu 180 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c thoả điều kiện  ( ab < )  ac b − 4ac > Số nghiệm lớn có phương trình f ( x ) = m , m ∈ R B C D 12 Lời giải Chọn C Do ab < nên hàm số cho có ba điểm cực trị tính tốn ba điểm cực trị A     b Δ b Δ  ; −  , B  − − ; −  với Δ = b2 − 4ac 2a a  2a a   Δ b − 4ac 2 < Do đồ thị hàm số có hai điểm Lại có ac b − 4ac > ⇔ c .a > ⇔ −c a 4a cực trị B, C nằm khác phía với A so với trục hồnh Suy dạng đồ thị hàm số f ( x ) lúc là A ( 0; c ) , B  − ( ) Dựa vào đồ thị ta thấy số nghiệm lớn phương trình f ( x ) = m có Câu 181 Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y= 19 x − x + 30 x + m − 20 đoạn [0; 2] không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 Chọn C Đặt t = B − 195 C 105 Lời giải D 300 19 19 x − x + 30 x , ta xét hàm g ( x) = x − x + 30 x với x ∈ [ 0; ] 4 Trang 87 Có g ′( x ) = x − 19 x + 30 = ( x − )( x + )( x − ) ≥ 0; ∀x ∈ [ 0; ] g ( x) hàm số đồng biến [ 0; ] ; suy t ∈ [ 0; 26] Đặt f (t ) = t + m − 20 , t ∈ [ 0; 26 ] f ( t ) liên tục 0; 26 nên max f (t ) = max { m − 20 ; m + } { t∈[ 0;26] } Nếu m ≥ max f (t ) = max m − 20 ; m + = m + , ta có m + ≤ 20 ⇔ −26 ≤ m ≤ 14 t∈[ 0;26] nên m ∈ {7;8; ;14} { } Nếu m < max f (t ) = max m − 20 ; m + = m − 20 , ta có m − 20 ≤ 20 ⇔ ≤ m ≤ 40 t∈[ 0;26] nên m ∈ {0;1; 2;3; 4;5; 6} 14.15 = 105 Tìm cơng thức cho tốn tổng qt: Cho hàm số y = f ( x ) + h ( m ) với x ∈ [ a; b ] ; tìm gtln Vậy tổng giá trị nguyên thỏa mãn + + … + 14 = hàm số theo m Giả sử x ∈ [ a ; b ] f ( x ) ∈ [α ; β ] , y = f ( x ) + h ( m ) liên tục [α ; β ] nên ta có max y = max { α + h(m) ; β + h(m) } Đặt u = h(m) , đồ thị hàm g (u ) = max { α + u ; β + u } x∈[ a ;b] mô hình vẽ:  α + β β −α  ;  2   Trong đồ thị g (u ) mô đường liền nét; B ( − β ; ) ; C ( −α ; ) ; A  − , dễ thấy hàm số g (u ) đạt gtnn β −α t ại u = − α +β 2 α +β   u + α ; u ≤ − Cũng từ mô ta suy g (u ) =  u + β ;u ≥ −α + β  Vận dụng vào toán trên: α = 0; β = 26; u = m − 20 ta có kết ( ) ( ) Câu 182 Cho hàm số f ( x ) = m4 + x + −2m+1.m2.−4 x + 4m + 16 với m tham số thực Số cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − A B C Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: y = f ( x ) − = Suy y′ = f ′ ( x )  f ( x ) − 1 ( f ( x ) − 1) ( f ( x ) −1) D  f ′( x) = ; y′ = ⇔   f ( x ) − = f ′ ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt − ( m4 + 1)( 2m+1.m2 + ) < với m f ( x ) −1 = vô nghiệm ∆′ = ( 2m.m + ) − ( m + 1) ( 4m + 15 ) = 4.2m.m2 + − 15m4 − 4m − 15 = − ( 2m − m ) − 11m − 11 < Vậy hàm số cho có cực trị Trang 88 → f ( x ) −1 có điểm cực trị Cách Hàm số f ( x ) có điểm cực trị (do hệ số a b trái dấu)  Phương trình f ( x ) −1 = vơ nghiệm (đã giải thích trên) Vậy hàm số g ( x ) = f ( x ) −1 có cực trị Cách 3: Đặc biệt hóa ta cho m = , ta hàm f ( x ) − = x − x + 16 x=0  Đặt g ( x ) = f ( x ) − = x − x + 16 ⇒ g ′ ( x ) = x − 8x ; g ′ ( x ) = ⇔ x − x = ⇔  x = x=−  Ta có BBT Do đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm hoàn toàn bên trục hoành nên đồ thị hàm số y = g ( x ) đồ thị hàm số y = g ( x ) Khi số điểm cực trị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) − Câu 183 Cho hàm số f ( x) = (m2018 +1) x + (−2m2018 − 22018 m2 − 3) x + (m2018 + 2018) , với m tham số Số cực trị hàm số y = f ( x ) − 2017 A B C Lời giải Chọn D ( ) D ( ) ( ) − 3) t + ( m + 1) + m + 5) > nên ln có hai Cách 1: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2017 = m2018 + x + −2m2018 − 22018 m2 − x + m2018 + Đặt t = x ( t ≥ 0) ta có h ( t ) = ( m2018 + 1) t + ( −2m2018 − 22018 m2 2018 2018 ∆ = ( m + 1)( 4m Nhận thấy phương trình h ( t ) = có  2018 2018  S > 0; P > nghiệm dương phân biệt Do đó, phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt Từ suy hàm số y = g ( x ) = f ( x ) − 2017 có điểm cực trị ( Cách 2: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2017 = m 2018 + 1) x + ( −2m2018 − 22018 m2 − 3) x + ( m2018 + 1) a = m2018 + > Nhận xét rằng,  , với m nên hàm số g ( x ) có điểm cực trị  b = −2m2018 − 22018 m2 − <  Ta có g ′ ( x ) = 4ax + 2bx Suy  x = ⇒ g ( ) = a > 0, ∀m  g ′ ( x ) = ⇔  2m2018 + 22018 m2 + ( 2a − b )( 2a + b ) < 0, ∀m b b2 x = = − ⇒ g x = − + a = ( )  2a 4a 4a ( m2018 + 1)  2018 (vì 2a − b = 4m + 22018 m2 + > 2a + b = −22018 m2 − < ) Từ suy hàm số y = f ( x ) − 2017 có điểm cực trị Mức Câu 184 Cho hàm số f ( x ) = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + với để hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị Trang 89 m tham số thực Tìm tất giá trị m A −2 < m < B − < m < C < m < D < m ≤ Lời giải Chọn C Ta có f ′ ( x ) = 3x − 2(2m −1) x + − m Hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị ⇔ hàm số f ( x ) có hai cực trị dương  (2m −1)2 − (2 − m ) > ∆ >   (2 m −1)  ⇔ f ′ ( x ) = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S > ⇔  >0 ⇔ < m <   P >   − m >  Câu 185 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có đồ thị nhận hai điểm A ( 0; ) B ( 2; − 1) 2 làm hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = ax x + bx + c x + d A B C D 11 Lời giải Chọn B Ta có g ( x ) = ax x + bx + c x + d = f ( x ) Hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị có → hàm số f ( x ) có điểm cực trị điểm cực trị điểm cực trị dương  (1) Đồ thị hàm số f ( x ) có điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy điểm cực trị B (2;−1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ → đồ thị hàm thị f ( x ) cắt trục hoành điểm ( điểm có hồnh độ âm, điểm có hồnh độ dương)  số f ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị Chọn B Cách Vẽ phát họa đồ thị f ( x ) suy đồ thị f ( x ) , tiếp tục suy đồ thị f ( x ) Câu 186 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − có ba điểm cực trị?   1 4 A  −∞;    1 4 B  0;  ∪ (1; +∞ ) C ( −∞;0] D (1; +∞ ) Lời giải Chọn B (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − có ba điểm cực trị hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3mx − có hai điểm cực trị khơng âm Δ′ = 4m2 − 5m + >  0≤m<   ⇒ Vậy phương trình 3x − ( 2m + 1) x + 3m = khi:  ( 2m + 1) > 0; P = m ≥  m > S =   Câu 187 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = x + mx + nx − với m, n ∈ ℝ , biết m + n > + ( 2m + n ) < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) A B C Lời giải  f  Chọn D Cách 1: Ta có  f   f  (0) = −1 (1) = m + n > lim f ( x ) = +∞ ⇒ ∃p > cho f ( p) > x →+∞ ( ) = + m + 2n < Suy f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2) c3 ∈ (2; p) Suy đồ thị hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị x1 ∈ (c1 ; c ) x2 ∈ (c ; c ) Từ (1) (2), suy đồ thị hàm số f ( x ) có dạng hình bên Trang 90 D 11 (1) (2) → hàm số f ( x ) có 11 điểm cực trị Từ suy hàm số f ( x ) có điểm cực trị  m + n >  f (1) > ⇔  f ( ) <  + ( 2m + n ) < Vì f (1) > > f ( 2) nên hàm số f ( x ) đồng biến R Vậy hàm số f ( x ) có hai Cách 2: ta có  điểm cực trị Ta có f ( ) = −1 , f (1) = m + n > , f ( 2) = + 4m + 2n < lim f ( x ) = +∞ ⇒ ∃p > cho x→+∞ f ( p ) > Suy phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ ( 0;1) , c2 ∈ (1;2) c3 ∈ ( 2; p ) Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1 ∈ ( c1 ; c2 ) x2 ∈ ( c2 ; c3 ) , dễ thấy x1 , x2 số dương, hai giá trị cực trị trái dấu f ( x1 ) > > f ( x2 ) (vì hệ số cao 1) ( ) Đồ thị hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị x1 , x2 số dương nên đồ thị hàm số f x có điểm cực trị Do f ( x ) có hai giá trị cực trị trái dấu f ( ) = −1 nên phương trình f phân biệt nên đồ thị hàm số f (x) ( x ) = có nghiệm có + = 11 điểm cực trị Bình luận: Đây dạng tập đếm số điểm cực trị hàm số dạng f hàm số f ( x ) điều kiện liên quan bị ẩn (x) số điểm cực trị Để giải toán bạn đọc cần dựa vào giả thiết tốn để tìm: • Số điểm cực trị n hàm số f ( x ) • • Số điểm cực trị dương m (với m < n ) hàm số Số giao điểm p đồ thị hàm số với trục hồnh có q điểm có hồnh độ dương Bây giả sử ta tìm kiện ta suy • Đồ thị hàm số f x • Đồ thị hàm số f ( x ) có n + p điểm cực trị • Đồ thị hàm số f ( ) có 2m + điểm cực trị (x) có 2m + 2q + điểm cực trị Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, tốn cịn có nhiều hướng để đề khác ví dụ hỏi số giao điểm với trục hồnh, tính đồng biến nghịch biến hàm số Trang 91  a + b + c < −1  Câu 188 Cho số thực a, b, c thoả mãn 4a − 2b + c > Đặt f ( x ) = x + ax + bx + c Số điểm cực trị  bc <  hàm số f (x) lớn có B A D C 11 Lời giải Chọn C Từ giả thiết toán ta có f (1) < , f ( −2 ) > lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = +∞ ta suy x→−∞ x→+∞ phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt, suy hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị x1 , x2 ( x1 < x2 ) hai giá cực trị trái dấu b b < Khi  ta có x1 x2 = < nên x1 < < x2 f ( ) = c > nên f ( x ) = có hai nghiệm c > dương Do đồ thị hàm số f (x) có điểm cực trị b > ta có x1 x2 > f ( ) = c < nên hàm số có hai điểm cực trị dương ba giao điểm c < Khi  với trục hồnh có hồnh độ dương Khi đồ thị hàm số f (x) có 11 điểm cực trị a + b > Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) 3 + 2a + b < C D Câu 189 Cho hàm số f ( x) = x + ax + bx − thỏa mãn  B A 11 Lời giải Chọn A Hàm số y = f ( x ) (là hàm số bậc ba) liên tục ℝ Ta có f ( 0) = −2 < , f (1) = − a + b − > , f ( ) = 2a + b + < lim f ( x ) = +∞ nên ∃x0 > 2; f ( x0 ) > x→+∞ Do đó, phương trình f ( x ) = có nghiệm dương phân biệt ℝ ( x ) hàm số chẵn Do đó, hàm số y = f ( x ) có 11 điểm cực trị Hàm số y = f Vậy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Câu 190 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ ( 0; 1) , x2 ∈ (1; ) Biết hàm số đồng biến khoảng ( x1 , x2 ) Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Khẳng định sau đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải Chọn A Vì hàm số hàm số y = ax + bx + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) nên suy a < Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm nên d < Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c Hàm số đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ (−1;0), x2 ∈ (1;2) nên suy → ac < ⇒ c > y ′ = có hai nghiệm trái dấu  2b Mặt khác x1 ∈(−1;0), x2 ∈(1;2) nên x1 + x >  →− > ⇒ b > Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < Chọn 3a A Trang 92 CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: Đơn điệu ( ) Câu 191 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x − ( x + 1)( − x ) Mệnh đề sau đúng? A f (1) < f ( 4) < f ( ) C f ( ) < f (1) < f ( ) B f (1) < f ( 2) < f ( ) D f ( ) < f ( 2) < f (1) Lời giải Chọn B Dựa vào so sánh phương án, ta thấy cần xét biến thiên hàm số khoảng (1;4 ) Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) Nên hàm số ( x − 1)( − x ) > 0, ∀x∈ (1; ) y = f ( x ) đồng biến (1;4) mà < < ⇒ f (1) < f ( 2) < f ( 4) Lưu ý: Có thể dùng máy tính casio Bấm: ∫ f ′ ( x ) dx thấy dương ⇒ f ( 2) > f (1) ; Bấm: Vậy: f (1) < f ( 2) < f ( ) ∫ f ′ ( x ) dx thấy dương ⇒ f ( 4) > f ( 2) Mức 2: Đơn điệu Câu 192 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = (1− x )( x + 2).t ( x ) + 2018 với x ∈ ℝ t ( x ) < với x ∈ ℝ Hàm số g ( x ) = f (1− x ) + 2018x + 2019 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−∞;3) B (0;3) C (1; +∞) Lời giải D (3; +∞) Chọn D Ta có g ' ( x ) =− f ' (1− x ) + 2018 → f ' (1− x ) = x (3 − x ).t (1− x ) + 2018 Theo giả thiết f ' ( x ) = (1− x )( x + 2).t ( x ) + 2018  Từ suy g ' ( x ) =−x (3 − x ).t (1− x ) →−t (1− x ) > 0, ∀x ∈ ℝ nên dấu g ' ( x ) dấu với x (3− x ) Mà t ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ  Lập bảng xét dấu cho biểu thức x (3 − x ) , ta kết luận hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng (−∞;0) , (3; +∞)  Câu 193 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x − 2x với x ∈ ℝ Hàm số g ( x ) = f 1−  khoảng khoảng sau? A (−∞;−6) B (−6;6) C (−6 2;6 ) x   + x đồng biến  D (−6 2; +∞) Lời giải   x  x x  x2 Chọn B Ta có g ′ ( x ) = − f 1 −  + = − 1 −  − 1 −  + = −   2    Xét x2 − > ⇔ x < 36  →−6 < x < Chọn B Mức 3: Đơn điệu Câu 194 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − )( x − ) Khi hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −2; ) B ( 3; +∞ ) C ( −∞; −3) Lời giải ( ) ( D ( −∞; −3 ) ∪ ( 0;3 ) )( ) 2 2 Chọn B Ta có f ′ ( x ) = x ( x − )( x − ) ⇒ f ′ x = xx x − x − g ′(x ) = ⇔ 2x (x 2 − )( x − ) x =  = ⇔  x = ±3 Do   x = ±2  Trang 93 x = 0; x = ±2 không đổi dấu ( ) Vậy hàm số y = f x đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) Câu 195 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x −1)( x − 4).t ( x ) với x ∈ ℝ t ( x ) > với x ∈ ℝ Hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞;−2) B (−2;−1) C (−1;1) Lời giải D (1;2) Chọn B Ta có g ′( x ) = 2xf ′( x ) → f ′ ( x ) = x ( x −1)( x − 4).t ( x ) Theo giả thiết f ′ ( x ) = x ( x −1)( x − 4).t ( x )  Từ suy g ′ ( x ) = x ( x −1)( x − 4).t ( x ) → t ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ nên dấu g ' ( x ) dấu x ( x −1)( x − 4) Mà t ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Câu 196 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x −1) ( x − x ) với x ∈ ℝ Hỏi số thực thuộc khoảng đồng biến hàm số g ( x ) = f ( x − x + 2) ? A −2 B −1 C D Lời giải Chọn B Ta có g ′ ( x ) = ( x −1) f ′ ( x − x + 2) 2   = ( x −1) ( x − x + −1) ( x − x + 2) − ( x − x + 2)  = ( x −1) ( x −1) −1     0 < x < Xét ( x −1) ( x −1) −1 > ⇔    x > Suy hàm số đồng biến khoảng (0;1), (2;+∞) Vậy số thuộc khoảng đồng biến hàm số g ( x ) ( ) Mức 4: Đơn điệu  5x Câu 197 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x −1) ( x − 2) với x ∈ ℝ Hàm số g ( x ) = f   đồng  x +  biến khoảng khoảng sau? A (−∞;−2) B (−2;1) C (0;2) Lời giải x =  Chọn D Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x −1) ( x − 2) = ⇔  x =  x = 2 Trang 94 D (2;4) Xét g ′ ( x ) = 20 − x 2 (x + 4)  x  f ′  ;  x +   20 − x =   x = ±2  5x =  x2 +4 x =  g ′ ( x ) = ⇔  5x ⇔   x = ( nghiem boi chan ) =  x +4    x = (nghiem boi chan )  5x  =  x + Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu g ′ ( x ) xác định sau: Ví dụ xét khoảng (4;+∞) ta chọn x =  x = → 20 − x < (1) (x + 4)  x =5→ 5x 25 =  →f x + 29  25  25  25  ′   =  −1  29  29  29   25   − 2 < (2)  29  Từ (1) (2), suy g ′ ( x ) > khoảng (4;+∞) DẠNG III.2: CỰC TRỊ Mức 1: Cực trị Câu 198 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1)( − x ) với x∈ℝ Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại A x = B x = C x = Lời giải D x = x =1 Chọn D Ta có f ′ ( x ) = ⇔ ( x −1)(3 − x ) = ⇔  Bảng biến thiên x = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = Chọn D Câu 199 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) với x∈ℝ Hàm số g ( x ) = f ( − x ) có cực đại ? A B C Lời giải D Chọn B Ta có g ′ ( x ) = − f ′ (3 − x ) = (3 − x ) −1  −(3 − x ) = (2 − x )(4 − x )( x +1);    x =−1  g ′ ( x ) = ⇔ (2 − x )(4 − x )( x +1) = ⇔  x = Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x ) đạt cực đại x = x =  Mức 2: Cực trị ( ) Câu 200 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)( x − ) với x∈ℝ Hàm số g ( x ) = f x có điểm cực trị ? A B C Lời giải D x =  Chọn B Ta có g′( x) =2xf ′( x ) =2x ( x −1)( x −4) ; g ′ ( x ) = ⇔ 2x ( x −1)( x − 4) = ⇔  x = ±1  ( x − 2)2 ( x + 2)2 =  2 2 → hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn B Ta thấy x = ±1 x = nghiệm bội lẻ  ( ) Câu 201 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x − x với x∈ℝ Hàm số g ( x ) = f x − x có điểm cực trị ? A B C Trang 95 D Lời giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − x ) = ( x − ) ( x − x ) − ( x − x ) ; 2   x =  x − =   x =0   2  ′ g ( x ) = ⇔ ( x − ) ( x − x ) − ( x − x ) = ⇔  x − x = ⇔    x =    x − x =  x = ± → hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn C Ta thấy x = ± 3, x = 0, x = x = nghiệm đơn  Câu 202 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1) g ( x ) = f ( x ) − x đạt cực trị ? A B ( x − 2) + C Lời giải với x∈ℝ Hàm số D Chọn B Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) −1 = ( x + 1)( x −1) ( x − 2);  x = −1  g ′ ( x ) = ⇔ ( x + 1)( x −1) ( x − 2) = ⇔  x = Ta thấy x = −1 x = nghiệm đơn x =   x = 2 nghiệm kép  → hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn B Câu 203 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 3, liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) f ′′′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 4) với x∈ℝ Hàm số g ( x ) =  f ′ ( x )  − f ( x ) f ′′ ( x ) có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Chọn B Ta có g ′ ( x ) = f ′′ ( x ) f ′ ( x ) −2 f ′ ( x ) f ′′ ( x ) − f ( x ) f ′′′ ( x ) =−2 f ( x ) f ′′′ ( x ); x = x =    g ′ ( x ) = ⇔ f ( x ) f ′′′ ( x ) = ⇔ x ( x −1) ( x + 4) = ⇔ ( x −1) = ⇔  x =     x = −4  x = −4 → hàm số g ( x ) có điểm cực trị Chọn B Ta thấy x = x = −4 nghiệm đơn  Câu 204 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2, liên tục ℝ thỏa mãn  f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x với x∈ℝ Hàm số g ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) có điểm cực trị ? A B C Lời giải D x =  4   ′ ′ ′′ ′ Chọn B Ta có g ( x ) =  f ( x ) + f ( x ) f ( x ) = 15x + 12 x ; g ( x ) = ⇔ 15 x + 12 x = ⇔  x = −  Nhận thấy x = x = − → hàm số g ( x ) có điểm cực trị nghiệm bội lẻ  Mức 3: Cực trị Câu 205 Cho hàm số f ′ ( x ) = ( x3 − x2 )( x3 − x ) với x∈ℝ Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm g ( x ) = f (1 − 2018 x ) có nhiều điểm cực trị ? A B 2018 ( C 2022 Lời giải ) D 11 Chọn A Ta có f ′ ( x ) = x3 ( x − ) x − = có nghiệm đổi dấu lần nên hàm số y = f ( x ) có cực trị Suy f ( x ) = có tối đa điểm phân biệt Do g ( x ) = f (1 − 2018 x ) có tối đa cực trị Mức 4: Cực trị Câu 206 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − ) ( x + 3) Trang 96 Số điểm cực trị hàm số f ( x ) A B C Lời giải D  x = −1  Chọn B Cách 1: Ta có f ′ ( x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − ) ( x + 3) = ⇔ x =   x = −3 Do f ′ ( x ) đổi dấu x qua x = −3 x = nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị x = −3 x = có điểm cực trị dương Do f ( x ) = f ( x) x ≥ f ( x ) hàm số chẵn nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị x = , x = −2 , x = ( x ) 2a + 1, a số điểm cực trị dương hàm số f ( x ) f ′ ( x ) = ( x −1)( x − 2) ( x2 − 4) Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Cách 2: Số điểm cực trị hàm số f Câu 207 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm A B D C Lời giải  x =1 − 4) = ⇔   x = ±2 Do f ′ ( x ) đổi dấu x qua điểm x = x = ±2 nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị có điểm cực trị dương x = x = Do f ( x ) = f ( x ) x ≥ f ( x ) hàm số chẵn nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị Chọn D Ta có f ′ ( x ) = ⇔ ( x −1)( x − 2) (x x = ±1 , x = ±2 x = Câu 208 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 2) A (x + 4) Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) C Lời giải B D x=0 + 4) = ⇔   x = −2 Do f ′ ( x ) đổi dấu x qua điểm x = nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị x = Chọn D Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x + 2) Do f (x ( x ) = f ( x ) x ≥ f ( x ) hàm số chẵn nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị x = DẠNG III.3: THAM SỐ m Mức 2: Tính đơn điệu Câu 209 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x −1) ( x + mx + 9) với x ∈ ℝ Có số nguyên dương m để hàm số g ( x ) = f (3 − x ) đồng biến khoảng (3;+∞) ? A B C Lời giải D 2 Chọn B Từ giả thiết suy f ′ (3 − x ) = (3 − x )(2 − x ) (3 − x ) + m (3 − x ) + 9 Ta có g ′ ( x ) =− f ′ (3 − x )   Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (3;+∞) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (3; +∞) 2 ⇔ f ′ (3 − x) ≤ 0, ∀x ∈ (3; +∞) ⇔ (3 − x)( − x) (3 − x) + m(3 − x) + 9 ≤ 0, ∀x ∈ (3; +∞)   ⇔m≤ ( x − 3) + x −3 , ∀x ∈ (3; +∞) ⇔ m ≤ h ( x ) với h ( x ) = (3;+∞) ( x − 3) + x −3 ( x − 3) + 9 m ∈ℤ+ ≥ ( x − 3) = Vậy suy m ≤  → m ∈ {1;2;3;4;5;6} x −3 x −3 x −3 Câu 210 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x −1)( x + mx + 5) với x ∈ ℝ Có số nguyên Ta có h ( x ) = = ( x − 3) + âm m để hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến (1;+∞) ? A B C Lời giải Trang 97 D Chọn B Từ giả thiết suy f ′ ( x ) = x ( x −1)( x + mx + 5) Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x ) Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (1;+∞) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (1;+∞) ⇔ xf ′ ( x2 ) ≥ 0, ∀x > ⇔ x.x4 ( x2 −1)( x4 + mx2 + 5) ≥ 0, ∀x > ⇔ x4 + mx2 + ≥ 0, ∀x > x4 + x4 +5 , ∀x > ⇔ m ≥ max h ( x ) với h ( x ) = − (1;+∞) x x x +5 Khảo sát hàm h ( x ) = − (1;+∞) ta max h ( x ) = −2 (1;+∞) x ⇔ m ≥− − m∈ℤ → m ∈ {−4;−3;−2;−1} Chọn B Suy m ≥−2  Câu 211 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x −1) (3x + mx +1) với x ∈ ℝ Có số nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến khoảng (0;+∞) ? A B C Lời giải D Chọn B Từ giả thiết suy f ′ ( x ) = x ( x −1) (3x + mx + 1) Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x ) Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (0;+∞) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ xf ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ x.x ( x −1) (3x8 + mx +1) ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ 3x8 + mx6 +1 ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≥ − ⇔ m ≥ max h ( x ) với h ( x ) = − (0;+∞) Khảo sát hàm h ( x ) = − 3x8 +1 , ∀x ∈ (0; +∞) x6 3x +1 x6 3x + (0;+∞) ta max h ( x ) = −4 (0;+∞) x6 − m∈ℤ → m ∈ {−4;−3;−2;−1} Chọn B Suy m ≥−4  Câu 212 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x −1) ( x − x ) với x ∈ ℝ Có số nguyên m < 100 để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) đồng biến khoảng (4;+∞) ? A 18 B 82 C 83 Lời giải x < Chọn B Ta có f ′ ( x ) = ( x −1) ( x − x ) > ⇔   x > D 84 Xét g ′ ( x ) = (2 x − 8) f ′ ( x − 8x + m) Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (4;+∞) g′( x) ≥0, ∀x >  x − x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( 4; +∞) ⇔ ( x − 8) f ′ ( x − x + m) ≥ 0, ∀x > ⇔ f ′ ( x − x + m) ≥ 0, ∀x > ⇔  ⇔ m ≥ 18  x − x + m ≥ 2, ∀x ∈ (4; +∞) Vậy 18 ≤ m + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm −1 :   −2m + =  m >  ⇔   m < − ⇔ m = Vậy giá trị nguyên m ∈ {−2; −1;0;1; 2;3}  m = Câu 214 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( (x − x ) với x∈ℝ Có giá trị nguyên ) dương tham số m để hàm số g ( x ) = f x − x + m có điểm cực trị? A 15 B 16 Chọn A Cách 1: Xét C 17 Lời giải D 18  x = (nghiem boi )  f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) ( x − x ) = ⇔  x = x =  2 Ta có g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − x + m ); x =   x − x + m = ( nghiem boi )  g ′ (x ) = ⇔ (x − 4) f ′ (x − 8x + m) = ⇔  Yêu  x − x + m = (1)    x − x + m = (2 ) cầu toán ⇔ g ′ ( x ) = có nghiệm bội lẻ ⇔ phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt khác (*) Xét đồ thị (C ) hàm số y = x − x hai đường thẳng d1 : y = −m, d : y = −m + (như hình vẽ) Khi (*) ⇔ d1, d2 cắt (C ) bốn điểm phân biệt ⇔ −m > −16 ⇔ m < 16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa Chọn A ( ) Cách 2: Đặt g ( x ) = f x − x + m Ta có f ′ ( x ) = ( x − 1) ( ) (x ⇒ g ' ( x ) = ( x − 8) x2 − 8x + m − x =   x − 8x + m −1 g′(x) = ⇔   x − 8x + m =  x2 − 8x + m − =  ( đôi x − x + m − 2 2 (x − 2x ) )( − 8x + m x2 − 8x + m − ) (1) Các phương trình (1) , ( ) , ( 3) khơng có nghiệm chung (2 ) (3 ) ) ≥ với ∀m ∈ℝ nên g ( x ) có cực trị (1) ( ) 16 − m >  có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ 16 − m − > ⇔  16 − 32 + m ≠ 16 − 32 + m ≠ m < 16 nên có 15 giá trị m cần tìm Mức 4: Trị tuyệt đối  m < 16  m < 18    m ≠ 16  m ≠ 18 ( ⇔ m < 16 Vậy m nguyên dương ) Câu 215 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) x + 2mx + với x∈ℝ Có giá trị nguyên tham số m > −10 để hàm số g ( x ) = f A ( x ) có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn B Do tính chất đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm thị hàm số f ( x ) nên yêu cầu toán ⇔ f ( x ) có điểm cực trị dương B (*) Trang 99   x = x =   Xét f ′ ( x ) = ⇔  x + = ⇔  x = −1 Do (*) ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt    x + 2mx + =  x + 2mx + = (1) ∆′ = m − >  m>−10 →m ∈ {−9;−8;−7;−6;−5;−4;−3} Chọn B ⇔ S = −2m > ⇔ m < −  m∈ℤ  P = > Câu 216 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + 5) với x∈ℝ Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị? A C Lời giải B D x = x2 =   Chọn A Xét f ′ ( x ) = ⇔  x + = ⇔  x = −1 Theo yêu cầu toán ta suy    x + 2mx + = (1)  x + 2mx + = Trường hợp Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt  ∆′ = m − > ⇔ S = −2m < ⇔ m >  P = > Trường hợp khơng có giá trị m thỏa u cầu tốn Trường hợp Phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′ = m − ≤ − m ∈ℤ ⇔ − ≤ m ≤  → m ∈ {−2;−1} Chọn A Câu 217 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) (x + m − 3m − ) ( x + 3) với x ∈ℝ Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x ) = f A B ( x ) có điểm cực trị? C Lời giải D  x = −1 x +1 =   2 Chọn B Xét f ′ ( x ) = ⇔  x + m − 3m − = ⇔  x = −3 u cầu tốn ⇔ (1) có hai  x + =  x + m − 3m − = (1)  m∈ℤ →m ∈ {0;1;2;3} Chọn B nghiệm trái dấu ⇔ m2 − 3m − < ⇔ −1 < m <  Câu 218 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) nguyên tham số m∈ [ −5;5] để hàm số A ( x − m ) ( x + 3) với x ∈ℝ Có giá trị g ( x ) = f ( x ) có điểm cực trị? B 4 C Lời giải D  x = −1 (nghiem boi 4)  x +1 =   Chọn C Xét f ′ ( x ) = ⇔  x − m = ⇔  x = m (nghiem boi 5)  x + =   x = −3 ( nghiem boi 3)  Nếu m = −1 hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị âm ( x =−3; x = −1 ) Khi đó, hàm số f ( x ) có cực trị x = Do đó, m = −1 khơng thỏa u cầu đề  Nếu m = −3 hàm số f ( x ) khơng có cực trị Khi đó, hàm số f ( x ) có cực trị x = Do đó, m = −3 khơng thỏa yêu cầu đề m ≠ −1  Khi  hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị x = m x = −3 < m ≠ −3 Để hàm số f ( x ) có điểm cực trị hàm số m∈Z ⇔ m >  → m ∈ {1; 2; 3; 4; 5} Chọn C m∈[−5;5] HẾT Trang 100 f ( x ) phải có hai điểm cực trị trái dấu ... = f (1? ??2x ) đ? ?ng biến kho? ?ng kho? ?ng sau? A (? ?1; 0) B (−∞;0) C (0 ;1) Lời giải Trang D (1; +∞)  x < ? ?1 Ta có g ′ ( x ) =−2 f ′ (1? ??2x ) ? ?1 < x <  x > ? ?1 − x < ? ?1  Xét g ′ ( x ) > ⇔ f ′ (1 −... -2 -1 O A Trên (−2 ;1) hàm số f ( x ) t? ?ng C Hàm f ( x ) đ? ?ng biến kho? ?ng (1; +∞ ) B Hàm f ( x ) giảm đoạn [? ?1; 1] D Hàm f ( x ) nghịch biến kho? ?ng (−∞; − ) Lời giải Chọn C Trên kho? ?ng [? ?1; 1] đồ... x + 1) đ? ?ng biến kho? ?ng kho? ?ng sau? Trang 16 A (−3 ;1) B (1; 3) C (−∞;3) Lời giải → g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) =−x ? ?1 Chọn B Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 2( x +1)  D (3; +∞) Số nghiệm phư? ?ng trình