TOAN 9 (DUNG)

CHUN ĐỀ : Rót gon biĨu thøc - ph©n thức - thức bậc hai toán phụ I.Kiến thức : 1.Các bớc để làm toán rút gọn : -Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) biểu thức - Phân tích tử thức,mẫu thức thành nhân tử (nếu có ),giản ớc nhân tử chung (nếu có ) - Quy đồng mÉu chung ( nÕu cã ) -Thùc hiƯn c¸c phÐp toán thu gọn biểu thức *Chú ý : Nắm vững thứ tự thực phép tính ( ) → [ ] → { } ; a n ì,: +, phép tính đơn thức, đa thức, phân thức, thức *Một số toán phân tích đa thức thành nhân tử cần nhớ : 1) x ± x + = ( x + 1) ( víi x ) 2) x ± x y + y = ( x + y ) ( víi x,y ≥ ) 3) x - y = ( x − y )( x + y ) ( víi x,y ≥ )  mx + y = 10 − m   x + my = 4)x x ± y y = x ± y = ( x ± y )( x  x y + y ) ( víi x,y ≥ ) 5) x y ± y x = xy ( x ± y ) ( víi x,y ≥ ) 6) x − = ( x + 1)( x − 1) ( víi x,y ≥ ) 2.Một vài toán phụ thờng gặp : 2.1 Tính giá trị biểu thức A(x) với x = m + Híng dÉn: - NÕu biĨu thøc ®· rót gän chứa căn, giá trị biến chứa căn, ta biến đổi giá trị biến dạng HĐT - Nếu giá trị biến chứa mẫu, ta trục thức mẫu trớc thay vào biểu thức 2.2 Tìm giá trị x để : A(x) = a ( a lµ h»ng sè ) + Híng dÉn: - Thực chất giải PT : A(x) = a - Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL 2.3 Tìm giá trị x để : A(x) lớn hơn, bé số ( mét biĨu thøc) + Híng dÉn: - Thùc chÊt giải BPT : A(x) > B(x) ( A(x) < B(x)) - Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL 2.4 Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức đà rút gọn nhận giá trị nguyên + Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc - Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL 2.5 Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc ®· rót gän + Hớng dẫn: Có thể đánh giá nhiều cách, tuỳ toán cụ thể mà ta chọn cách cho phù hợp 2.6 So sánh biểu thức đà rót gän víi mét sè hc mét biĨu thøc + Híng dÉn: XÐt hiƯu A - m so s¸nh víi - NÕu A - m > th× A > m - NÕu A - m < th× A < m - NÕu A - m = th× A = m 3 II.Mét sè vÝ dụ : Ví dụ (Đề thi vào 10 THPT năm 2011-2012 (01/7/2011)- Bắc Giang) a+3 a a −1  − 2÷  + 1÷, víi a ≥ 0; a ≠ ÷  a +3   a −1  Rót gän biĨu thøc A = Ví dụ (Đề thi vào 10 THPT năm 2010-2011 (03/7/2010)- B¾c Giang) Cho biĨu thøc P = a3 + a3 − + (víi a ∈ R ) a2 − a + a2 + a + a) Rút gọn P b) Tìm a để P >  x x −1 x x +1   − x  − ÷ ÷: 1 − x + ÷ ÷ x − x x + x     VÝ dơ Cho biĨu thøc: A =  a) Rót gän A b) TÝnh giá trị biểu thức A x = c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A -3 e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A nhỏ -1 Ví dụ Cho biÓu thøc  a    − ÷ A =  ÷:  a + + a − 1÷ a − a − a    a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A biết a = +2 c) Tìm a để A < III.Bài tập áp dụng : Bài 1: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(26/6/2007)- Bắc Giang) Cho biểu thức: A = x + x +1 x +1 + x −1 x −1 − x Rót gän A Tìm x z để z A Bài 2: Cho biÓu thøc P = x −3 x −1 − a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 c) Tính giá trị nhỏ nhÊt cña P ) a2 + a 2a + a − + Bµi 3: XÐt biĨu thøc A = a − a +1 a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bài 4: Cho biÓu thøc C = 1 x − + x − 2 x + 1− x a) Rót gän biĨu thøc C b) TÝnh giá trị C với x = c) Tính giá trị x để C = Bµi 5: XÐt biĨu thøc Q = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x −2 3− x a) Rót gän Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyªn  x −2 x +2  x2 − 2x +1 ữ Bài Cho biểu thức: M =  ÷  x −1 x + x +  a) Rót gän M b) CMR nÕu c) Tính giá trị biểu thức M x = d) Tìm e) T×m f) T×m g) T×m h) T×m 25 giá trị x để M = -1 giá trị x để M < ( M > ) giá trị x để M > -2 giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên giá trị x để giá trị biểu thức M đạt GTLN MT S THI HỌC SINH GIỎI CÁC CẤP ĐỀ HỮU LŨNG ( 2013-2014) Bài ( 6đ) Cho P= 3x + x − x −2 − + −1 x+ x −2 x −1 x +2 a) Rút gọn P b) Tìm x để Tìm x để P = c) ĐỀ LS (2013 -2014) Câu a) Rút gọn biểu thức: P=( x −2 − ):( − );( x ≥ 0, x ≠ 1) x + x x − x + x −1 x −1 x −1 ĐỀ BG (2012 -2014) Câu 1: Rút gọn biểu thức: P=( a−2 +2 a−2 a+7 a − +1 ).( + ):( − ) 3 + a − 11 − a a − a − − a−2 ĐỀ BG (2009 – 2010) Câu 1: ( đ) Cho biểu thức: A = 1+ ( 2x + x −1 2x x − x + x x − x − ) 1− x 1− x x x −1 Tìm giá trị x để A = − 2 Chứng minh A > với x thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ Đề thi HSG cấp tỉnh Lạng sơn 2015 – 2016: Cho biểu thức: P=  x +1  x+ x 2− x :  + + ÷, với x>0, x#1 x x − x + x −  x − x x − x + ( x − x )( x − 1) ÷  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm điều kiện xác định p Khi tìm GTNN Đề thi HSG cấp tỉnh Lạng sơn 2014 – 2015: p x+2 x +1 + + Với x ≥ 0, x ≠ x x −1 x + x +1 1− x Cho biểu thức : A = Rút gọn biểu thức A Chứng minh biểu thức A không nhận giá trị nguyên với x>0 , x#1 Đề thi vào 10 chuyên lạng sơn 2015 – 2016 Cho p = x + x + 12    1 − ÷ 1 + x − ÷ x +2 x −2    a) Tìm x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm x cho p = 5x Đề thi vào 10 chuyên lạng sơn 2014 – 2015 Cho P = ( x− x x x +8 )+ x−2 x +4 − ( x ≥ 0) x +2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P Đề thi vào 10 chuyên lạng sơn 2016 – 2017  x +2 x +3 x +2  x  + − : − ÷  ÷  x −2 x −3 ÷ x +1÷  x −5 x +6    Cho biểu thức: p =  a Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P b Tìm x để P = 5/12 Đề thi HSG huyện Cho biểu thức: x−3 x x −3 x −2 9− x Q = (1 − ):( + − ) x−9 2− x 3+ x x + x −6 (với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x để Q = Đề thi HSG huyện oai 1) Cho biểu thức:  x −7  x +3 A= + − ÷: x − 2 x + 2x − x −   5x − 10 x a) Rút gọn P b) Tìm x để A có giá trị nguyên Đề thi HSG huyện 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A x = 3+ 2 c) Chøng minh r»ng: A ≤ Đề thi HSG huyện Cho biÓu thøc A = a +2   + Cho a > 0, a ≠ P =  ÷: a −2 a−4 a +4 a−2 a Rút gọn biểu thức P tính giá trị biểu thức P a = − 10 Đề thi HSG tỉnh hóa 2014 - 2015 ( )( )  2x −1 + x 2x x + x − x  x − x − x + −1 ÷ ÷ − x + x x x −   Cho biểu thức A =  Rút gọn biểu thức A Tìm x để A < − 11 Đề thi HSG huyện tĩnh gia hóa  3x + x − 1  + + − 2÷ Cho biểu thức A =  ÷: x − x −1 x +2  x+ x −2  1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để số tự nhiên A 12 Đề thi HSG Tỉnh phú yên Câu Cho biểu thức P = x - x +6 - x- x- + x- x- a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P c) Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên Chuyên đề : DẤU HIỆU CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số ngun q r cho: a = bq + r Với ≤ r ≤ | b| Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xẩy | b| số dư r ∈ {0; 1; 2; …; | b| } Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: aΜb hay b\ a Vậy: a Μb ⇔ Có số nguyên q cho a = bq II CÁC TÍNH CHẤT Với ∀ a ≠ ⇒ a Μa Nếu a Μb b Μc ⇒ a Μc Với ∀ a ≠ ⇒ Μa Nếu a, b > a Μb ; b Μa ⇒ a = b Nếu a Μb c ⇒ ac Μb Nếu a Μb ⇒ (± a) Μ(± b) Với ∀ a ⇒ a Μ(± 1) Nếu a Μb c Μb ⇒ a ± c Μb Nếu a Μb cΜb ⇒ a ± c Μb 10 Nếu a + b Μc a Μc ⇒ b Μc 11 Nếu a Μb n > ⇒ an Μbn 12 Nếu ac Μb (a, b) =1 ⇒ c Μb 13 Nếu a Μb, c Μb m, n am + cn Μb 14 Nếu a Μb c Μd ⇒ ac Μbd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = anan−1 a 1a0 Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N Μ2 ⇔ a0 Μ2 ⇔ a0∈{0; 2; 4; 6; 8} + N Μ5 ⇔ a0 Μ5 ⇔ a0∈{0; 5} + N Μ4 (hoặc 25) ⇔ a1a0 Μ4 (hoặc 25) + N Μ8 (hoặc 125) ⇔ a2 a1a0 Μ8 (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho + N Μ3 (hoặc 9) ⇔ a0+a1+…+an Μ3 (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác + N Μ11 ⇔ [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] Μ11 + N Μ101 ⇔ [( a1a0 + a5a4 +…) - ( a3a2 + a7a6 +…)]Μ101 + N Μ7 (hoặc 13) ⇔ [( a2 a1a0 + + N Μ37 ⇔ ( a2 a1a0 + a8 a7a6 +…) - [( a5 a4a3 + a11a10a9 +…) Μ11 (hoặc 13) a5 a4a3 +…) Μ37 + N Μ19 ⇔ ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) Μ19 IV ĐỒNG DƯ THỨC a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a ≡ b (modun) Vậy: a ≡ b (modun) ⇔ a - b Μm b Các tính chất Với ∀ a ⇒ a ≡ a (modun) Nếu a ≡ b (modun) ⇒ b ≡ a (modun) Nếu a ≡ b (modun), b ≡ c (modun) ⇒ a ≡ c (modun) Nếu a ≡ b (modun) c ≡ d (modun) ⇒ a+c ≡ b+d (modun) Nếu a ≡ b (modun) c ≡ d (modun) ⇒ ac ≡ bd (modun) Nếu a ≡ b (modun), d ∈ Uc (a, b) (d, m) =1 ⇒ a b ≡ (modun) d d Nếu a ≡ b (modun), d > d ∈ Uc (a, b, m) ⇒ a b m ≡ (modun ) d d d V MỘT SỐ ĐỊNH LÝ Định lý Euler Nếu m số nguyên dương ϕ(m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m, (a, m) = Thì aϕ(m) ≡ (modun) Cơng thức tính ϕ(m) Phân tích m thừa số nguyên tố m = p1α1 p2α2 … pkαk với pi ∈ p; αi ∈ N* Thì ϕ(m) = m(1 - 1 )(1 ) … (1 ) p1` p2 pk Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 ≡ (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + ≡ (modp) PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56bΜ45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56bΜ45 ⇔ a56bΜ5 Xét a56bΜ5 ⇔ b ∈ {0 ; 5} Nếu b = ta có số a56bΜ9 ⇔ a + + + Μ9 ⇒ a + 11 Μ9 ⇒a = Nếu b = ta có số a56bΜ9 ⇔ a + + + Μ9 ⇒ a + 16 Μ9 ⇒a = Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư ⇒ 5a - a Μ9 ⇒ 4a Μ9 mà (4 ; 9) = ⇒ a Μ9 (Đpcm)    111   Μ81 Ví dụ 3: CMR số 111… 81 sè1 Giải Ta thấy: 111111111 Μ9    111   = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Có 111… 81 sè1 Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + có tổng chữ số Μ9 ⇒ 1072 + 1063 + … + 109 + Μ9    111   Μ81 (Đpcm) Vậy: 111… 81 sè1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y Μ4 b 2x78Μ17 Bài 2: Cho số N = dcbaCMR a N Μ4 ⇔ (a + 2b) Μ4 b N Μ16 ⇔ (a + 2b + 4c + 8d) Μ16 với b chẵn c N Μ29 ⇔ (d + 2c + 9b + 27a) Μ29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? 11 22… 22 tích số tự nhiên liên tiếp       Bài 6: Chứng tỏ số 11… 100 sè1 Bài 1: Bài 2: 100 sè2 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ a x = y = x= y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)Μ17 ⇔ x = a NΜ4 ⇔ abΜ4 ⇔ 10b + aΜ4 ⇔ 8b + (2b + a) Μ4 ⇒ a + 2bΜ4 b NΜ16 ⇔ 1000d + 100c + 10b + aΜ16 ⇔ (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) Μ16 ⇒ a + 2b + 4c + 8dΜ16 với b chẵn c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca Μ29 mà (1000, 29) =1 Μ29 dbca ⇒ (d + 3c + 9b + 27a) Μ29 Bài 3: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab= 10a + b = 2ab (1) abΜ2 ⇒ b ∈{0; 2; 4; 6; 8} Thay vào (1) a = 3; b = Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tận a 80 Μ4 ⇒AΜ4 Tổng số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558 Μ9 ⇒A Μ9 279 - 279 = Μ11 ⇒A Μ11 Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên khơng chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp ⇒ có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ ⇒ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 11 11 22 22 11 11 100 02 Bài 6: Có 11002so31 11002so32 = 11002so31 14992so43 100 02 33 34 Mà 14992so43 = 1992so33 22 22 = 33 33 33 34 (Đpcm) ⇒ 11 11 100 so1 100 so 100 so 99 so Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; … m + n với m ∈ Z, n ∈ N* Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1} * Nếu tồn số dư 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1,n ⇒ m + i Μn * Nếu không tồn số dư ⇒ khơng có số ngun dãy chia hết cho n ⇒ phải có số dư trùng ≤ i; j ≤ n m + i = nqi + r Giả sử:  m + j = qjn + r ⇒ i - j = n(qi - qj) Μn ⇒ i - j Μ n mà i - j< n ⇒ i - j = ⇒ i = j ⇒m + i = m + j Vậy n số có số số chia hết cho n… Ví dụ 1: CMR: a Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn ⇒ Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số ngun liên tiếp ln chia hết tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho ⇒ Tích số chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) Μ3 (CM Ví dụ 1) ⇒ 3(n - 1)n (n + 1) Μ9 9(n + 1) 9 mà  18n 9 ⇒A Μ9 (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n Μ3 84 với ∀ n chẵn, n≥ Giải Vì n chẵn, n≥ ta đặt n = 2k, k≥ Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k ≥ nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho ⇒ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Μ8 Mà (k - 2) (k - 1)k Μ3 ; (3,8)=1 ⇒ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k Μ24 ⇒ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k Μ(16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n Μ384 với ∀ n chẵn, n ≥ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) Μ6 b n5 - 5n3 + 4n Μ120 Với ∀ n ∈ N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n Μ24 Với ∀ n ∈ Z Bài 3: CMR: Với ∀ n lẻ a n2 + 4n + Μ8 b n3 + 3n2 - n - Μ48 c n12 - n8 - n4 + Μ512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR : p2 - Μ24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) Μ6 b n - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) 10 ... = 199 3, a2 = 199 3 199 3, … a 199 4 = 199 3…     199 3  199 4sè 199 3 đem chia cho 199 4 ⇒ có 199 4 số dư thuộc tập {1; 2; …; 199 3} theo nguyên lý Đirichlet có số hạng có số dư Giả sử: = 199 3 … 199 3... hạng có số dư Giả sử: = 199 3 … 199 3 (i số 199 3) aj = 199 3 … 199 3 (j số 199 3) ⇒ aj - aj Μ 199 4 ≤ i < j ≤ 199 4 ni 199 3 … 199 3 10  199 3      ⇒ j - i sè 199 3 Phương pháp PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để... n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99 ; n0 + 199 ; … n0 + 899 (Có tổng chữ số là: s; s + … ; s + 26 Có số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899 ≤ n + 99 9 + 899 < n + 198 9 ⇒ Các số