Mục tiêu nghiên cứu đề tài là nghiên cứu một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian vào giải quyết bài toán cực trị hình không gian. Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác các tính chất trong hình học phẳng và hình học không gian để giải quyết bài toán cực trị hình học không gian. Từ đó biết vận dụng vào bài toán cực trị Oxyz.
Phần 1. Đặt vấn đề 1.1. Lý do chọn đề tài Hình học khơng gian là chủ đề hiện nay được giáo viên và học sinh giành nhiều sự quan tâm và chú trọng trong q trình dạy học. Đặc biệt hơn nữa chủ đề này thường xun xuất hiện trong các kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp Qua thực trạng dạy học bản thân nhận thấy các bài tốn cực trị hình khơng gian cổ điển và hình khơng gian Oxyz ln là những thách thức thực sự dành cho người dạy và người học. Để giải quyết được dạng bài tập hình học này địi hỏi người học phải có tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải tốn u cầu về đổi mới phương pháp dạy học ln là địi hỏi cấp thiết hàng đầu của ngành giáo dục đối với giáo viên, đặc biệt đối với chủ đề cực trị hình khơng gian là một chủ đề hay và khó của mơn tốn nên người dạy phải có một trình độ chun mơn vững vàng, có kiến thức sâu rộng và linh hoạt, sáng tạo trong việc lựa chọn phương pháp dạy học Việc vận dụng tính chất hình học để giải các bài tốn cực trị hình khơng gian khơng những mang lại hiệu quả cao mà qua đó cịn có tác dụng rất lớn đến việc hồn thiện và phát triển các phẩm chất năng lực Tốn học cho học sinh. Đồng thời góp phần quan trọng vào cơng cuộc đổi mới phương pháp dạy học cho giáo viên Chính vì những lý do nêu trên nên bản thân tơi quyết định lựa chọn đề tài “Góp phần nâng cao năng lực tốn học cho học sinh thơng qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài tốn cực trị hình khơng gian” 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý luận dạy học Nghiên cứu một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng gian vào giải quyết bài tốn cực trị hình khơng gian Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác các tính chất trong hình học phẳng và hình học khơng gian để giải quyết bài tốn cực trị hình học khơng gian. Từ đó biết vận dụng vào bài tốn cực trị Oxyz Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát hiện các tính chất của hình học. Đồng thời nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu các vấn đề nảy sinh trong tốn học 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Học sinh khá giỏi THPT, sinh viên các trường sư phạm,… Giáo viên giảng dạy mơn tốn THPT Phần 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở khoa học Cơ sở lý luận: một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng gian hay sử dụng Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ việc học tập bộ mơn tốn nói chung, chủ đề hình học khơng gian cổ điển nói riêng của học sinh cịn gặp nhiều khó khăn 2.2. Thực trạng của vấn đề Việc học tập bộ mơn hình học khơng gian ở nhà trường phổ thơng cịn khá nhiều khó khăn đối với học sinh Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian của đa số giáo viên cịn gặp khá nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học và xây dựng nguồn bài tập phong phú, đa dạng để kích thích được tư duy người học Nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu giảng dạy cũng như học tập của nhiều giáo viên và học sinh 2.3. Tính ưu việt của đề tài Việc sử dụng tính chất hình học vịa bài tốn cực trị hình khơng gian nó làm cho bản chất của bài tốn được bộc lộ rõ hơn. Đồng thời, cách giải quyết này thường ngắn gọn và khắc sâu hơn về kiến thức hình học được đề cập đến Việc vận dụng tính chất hình học vào bài tốn cực trị hình học khơng gian khơng chỉ đơn thuần dừng lại ở phương pháp giải tốn mà thơng qua đó giúp học sinh phát triển được tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo trong giải tốn Hướng triển khai của đề tài giúp giáo viên và học sinh có được nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho cơng tác giảng dạy và học tập bộ mơn hình học khơng gian hiệu quả hơn 2.4. Hướng triển khai của đề tài 2.4.1. Định hướng chung về phương pháp giải tốn Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài tốn cực trị hình khơng gian vơ cùng quan trọng bởi khi đứng trước bài tốn cực trị hình khơng gian người giải tốn sẽ có được sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt hơn là việc phải mị mẫm. Qua đó học sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài tốn và có được sự lựa chọn phù hợp dựa vào đặc thù của mỗi bài tốn. Cụ thể ta có các hướng giải quyết sau: Gắn biến để đưa về đưa về bài tốn min – max của hàm một biến hoặc nhiều biến Sử dụng cơng cụ véc tơ; Xây dựng đẳng thức trung gian; Đánh giá trực tiếp, … 2.4.2. Đề xuất một số tính chất hình học thường được sử dụng để giải tốn 2.4.2.1. Tính chất hình học liên quan đến độ dài, khoảng cách Tính chất 1. Trong khơng gian, cho 2 điểm phân biệt . Với điểm tùy ý, ta ln có: Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng và thuộc đoạn . Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng và nằm ngồi đoạn ( có thể trùng với hoặc ) Tính chất 2. Cho mặt phẳng và điểm . Với điểm tùy ý thuộc ta ln có: , với là hình chiếu vng góc của trên . Dấu “=” xảy ra khi Tính chất 3. Cho đường thẳng và điểm . Với điểm tùy ý trên , ta ln có , với là hình chiếu vng góc của trên . Dấu “=” xảy ra khi Tính chất 4. Cho đường trịn có tâm , bán kính và điểm nằm ngồi . Gọi là một điểm di động trên , khi đó ta ln có tính chất sau: Tính chất 5. Cho đường trịn có tâm , bán kính và điểm nằm trong . Gọi là một điểm di động trên , khi đó ta ln có tính chất sau: Tính chất 6. Trong khơng gian cho hai mặt phẳng và cắt nhau và đường thẳng . Khi đó, , dấu “=” xảy ra khi vng góc với giao tuyến của và 2.4.2.2. Tính chất hình học liên quan đến tỉ số diện tích 2.4.2.2.1. Một số trường hợp về tỉ số diện tích trong tam giác +) Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao bằng tỉ số độ dài các cạnh đáy A Cho tam giác , là một điểm thuộc cạnh và khơng trùng với các đỉnh (như hình vẽ bên). Ta có tỉ số sau: B +) Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung cạnh đáy bằng tỉ số độ dài các đường cao C M A Cho tam giác , là một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác . Gọi là giao điểm của với (như hình bên). Khi đó, ta có tỉ số diện tích sau M B C N +) Tỉ số diện tích của hai tam giác chung đỉnh (như hình bên) A N M 2.4.2.2.2. Xây dựng cơng thức về tỉ số trong tam giác thường sử dụng B C Bằng kinh nghiệm dạy học 16 năm, cùng với việc thường xun ơn thi cho đội tuyển dự thi HSG cấp tỉnh tác giả đã đúc rút được bài tốn sau về tỉ số trong tam giác dựa trên nền tảng tỉ số diện tích trong tam giác mà tác giả đã đề cập đến trong đề tài SKKN năm 2019 – 2020 của chính tác giả “Cho tam giác . Gọi lần lượt là hai điểm thuộc cạnh (khơng trùng với A). Trên cạnh lấy điểm thỏa mãn . Gọi là giao điểm của và . Khi đó ta có đẳng thức sau: ” A N E M B C D 2.4.2.3. Tính chất hình học liên quan đến tỉ số thể tích Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Cho hình chóp tam giác . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm (khơng trùng với đỉnh ), khi đó ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Từ cơng thức trên ta cũng xây dựng được cơng thức tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy là hình bình hành sau đây: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng khơng đi qua đỉnh của hình chóp cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Đặt , ta có cơng thức: S Chứng minh C' B' Ta có: là hình bình hành nên: O' D' A' B Khi đó: C O A D Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: Từ và suy ra: Vậy: Tỉ số thể tích khối lăng trụ: Cho lăng trụ tam giác . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm . Khi đó ta có cơng thức: Chứng minh B A N C M B' A' P C' Ta có: Hồn tồn tương tự ta cũng có: Khi đó: Hay . (điều phải chứng minh) Hồn tồn tương tự ta cũng có cơng thức tỉ số cho khối hộp như sau: Cho hình hộp . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên lần lượt tại các điểm . Khi đó ta có cơng thức tỉ số sau: Việc chứng minh cơng thức ta thực hiện bằng cách chia khối hộp thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau rồi áp dụng cơng thức tỉ số thể tích của khối lăng trụ tam giác 2.4.2.4. Tính chất liên quan đến véc tơ Cho điểm phân biệt và bộ số thỏa mãn . Khi đó tồn tại duy nhất điểm sao cho Trong khơng gian, bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với điểm tùy ý ta ln có và Trên đây là một số tính chất hình học thường được sử dụng khi giải tốn cực trị hình học khơng gian mà tác giả đề cập đến. Ngồi ra ta cịn có thể bặt gặp thêm một số tính chất khác trong q trình giải tốn 2.4.3. Phân tích, định hướng giúp học sinh phát hiện và sử dụng tính chất hình học cho các bài tốn cực trị hình khơng gian Trong nội dung này, tác giả chọn lọc và đưa ra một số bài tốn cực trị hình khơng gian có sử dụng đến các tính chất hình học đã được hệ thống ở mục 2.4.2. Đồng thời đưa ra những phân tích, bình luận phù hợp để hỗ trợ học sinh trong việc tìm ra lời giải cho bài tốn Trước hết chúng ta đến với các bài tốn sử dụng tính chất về khoảng cách, độ dài trong hình học Bài tốn 1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi và , ; góc giữa và mặt phẳng bằng . Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của và là điểm thay đổi trên đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của Phân tích: Biểu thức gợi ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1 Tuy nhiên và khơng đồng phẳng nên dấu “=” khơng xảy ra Ta nghĩ đến việc thay thế điểm bởi một điểm thỏa mãn 2 điều kiện: và cắt nhau tại điểm thuộc đoạn thuộc mặt phẳng Để thỏa mãn được điều kiện này ta cần phát hiện thêm các tính chất hình học khác của hình chóp Ta phát hiện ra tam giác đều, kết hợp với giả thiết suy ra là hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng . Do đó, để thì phải thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác S M P A N D I H B C Từ các phân tích trên ta có định hướng cho bài tốn như sau: Bước 1: Chứng minh Bước 2: Trong mặt phẳng đáy, gọi là điểm đối xứng với qua Bước 3: Đánh giá , dấu “=” xảy ra khi Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng và kết luận. Để tính ta sử dụng định lí cosin cho tam giác Bài tốn 2. Cho khối chóp có và . Mặt phẳng bất kỳ qua cắt các cạnh tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác Để giải quyết bài tốn này ta sử dụng phương pháp trải phẳng. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh nhận ra được cách giải quyết này? Ta cần có những phân tích hợp lý để lời giải bài tốn đến với người học một cách tự nhiên dễ hiểu chứ khơng mang tính áp đặt, cho sẵn Phân tích Bài tốn u cầu ta đi tìm Tổng trên có quy luật nối tiếp nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1 Vì 3 đoạn thẳng thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể áp dụng tính chất 1 ngay được. Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối liên hệ giữa 3 đoạn thẳng này cũng chưa có cơ sở để thực hiện Có cách nào đưa về tổng của 3 đoạn thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng mà độ dài của chúng vẫn được bảo tồn hay khơng? Ta cần một cách nào đó để cho 3 mặt bên của hình chóp cùng nằm trong một mặt phẳng? Từ đó học sinh sẽ nghĩ đến việc trải hình chóp ra phẳng như hình vẽ dưới S S A' C' C' C0 B' B' A C B0 C B B A Lời giải Trải hình chóp ra phẳng ta được như hình trên ( chính là điểm ban đầu). Khi đó chu vi tam giác là Dấu “=” xảy ra Vì tam giác vng cân tại , nên Vậy, chu vi tam giác nhỏ nhất bằng Từ bài tốn này, bạn đọc có thể tự giải quyết hai bài tốn tương tự sau Bài tốn 2.1. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứa giác đều cạnh bên bằng , góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vịng quanh kim tự tháp (như hình vẽ). Trong đó điểm cố định và . Tính đọ dài đoạn dây tối thiểu dùng để trang trí S L I H K J G F E C B A D Bài tốn 2.2. Cho hình lập phương cạnh . Một con kiến xuất phát từ đỉnh đi trên các mặt của hình lập phương. Tính qng đường ngắn nhất con kiến đi từ đến mà phải đi qua tất cả các mặt của hình lập phương Bài tốn 3. Cho tứ diện và là một điểm nằm trong tứ diện. Gọi lần lượt là khoảng cách từ tới các đỉnh và lần lượt là chiều cao của tứ diện kẻ từ các đỉnh Chứng minh rằng: Phân tích: Để giải quyết bài tốn ta cần phát hiện một tính chất hình học liên quan đến và . Để phát hiện ra tính chất thì giáo viên cần mơ tả bằng hình vẽ mẫ u M K Ra A H BCD Từ hình ảnh trên ta dễ dàng phát hiện ra một tính chất rất quan trọng là: . Ta cần tạo tỉ số , do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế cho thì được: Tỉ số gợi ta nghĩ đến tỉ số thể tích Từ đó ta đưa ra được lời giải cho bài tốn như sau: 10 Dấu “=” xảy ra . Vậy Nhận xét. Việc giải quyết bài tốn trên ngồi việc sử dụng tính chất đặc thù của tứ diện gần đều ta cịn phải kết hợp với tính chất của véc tơ Trong đề tài này tác giả mới chỉ đưa ra một số thí dụ mang tính chất minh họa mặt phương pháp và những định hướng cơ bản để sử dụng tính chất hình học liên quan. Nội dung tiếp theo của đề tài tác giả xin mời bạn đọc đến với các bài tốn cực trị mà việc vận dụng tính chất hình học vào giải quyết nó là một hướng đi ngắn gọn nhưng vơ cùng hiệu quả 2.4.4. Tổ chức hoạt động tìm hiểu và vận dụng một số tính chất cơ bản của hình học khơng gian vào bài tốn cực trị 2.4.4.1. Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng các tính chất về khoảng cách vào bài tốn cực trị Trước hết cho học sinh khởi động bằng bài tốn sau: Bài tốn 1.1. Cho mặt phẳng và 2 điểm , , là một điểm di động trên . Tìm giá trị nhỏ nhất của và giá trị lớn nhất của Phân tích Bài tốn gợi ta nghĩ đến tính chất 1 Vấn đề đặt ra là dấu “=” có xảy ra hay khơng? Câu hỏi này sẽ hướng người học đi xét vị trí tương đối của hai điểm so với Nhận thấy nằm khác phía so với nên nhỏ nhất bằng khi là giao điểm của với mặt phẳng Tuy nhiên vì khác phía với nên khi ta sử dụng tính chất thì dấu “=” khơng xảy ra. Do đó, ta cần tạo điểm để cùng phía với , đồng thời là điểm đối xứng với qua . Ta dễ dàng tìm được . Khi đó . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của với Như vậy, ta có thể giải quyết bài tốn trên trong trường hợp tổng qt “Cho hai điểm A, B và mặt phẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của và giá trị lớn nhất của với là một điểm di động trên ” 21 Trong bài tốn này nếu ta thay mặt phẳng bới đường thẳng thì khi đó mọi chuyện trở nên phức tạp hơn nhiều. Chẳng hạn ta xét bài tốn sau đây Bài tốn 1.2. Trong khơng gian cho đường thẳng và điểm . Tìm trên điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Định hướng giải Đối với bài tốn này cách giải thường gặp là đại số hóa bằng việc tham số hóa điểm như sau: Khi đó: Ta cầnbiến đổi để có được một đánh giá triệt tiêu biến , ta nghĩ đến BĐT quen thuộc Khi đó, Dấu “=” xảy ra khi , hay Lưu ý: Ta có thể sử dụng một tính chất quen thuộc của véc tơ để đánh giá biểu thức trên là . Khi đó bạn đọc chỉ cần khéo léo chọn tọa độ cho Ngồi ra, để phát triển tuy duy hình học cho học sinh thì giáo viên có thể phân tích để học sinh tìm ra cách giải bằng hình học cho bài tốn trên Khó khăn ở đây là và khơng đồng phẳng nên ta chưa có khái niệm về hai điểm cùng phí hay khác phía với . Do vậy, ta bắt đầu với ý tưởng quy về mặt phẳng Nếu xác định mặt phẳng chứa và , ta sẽ tìm trong một điểm thay thế , đương nhiên phải khác phía với so với và đảm bảo điều kiện với mọi điểm . Từ đó ta có định hướng giải cho bài tốn như sau: B A H K M B' P Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa và Bước 2: Xác đinh hình chiếu của trên , hình chiếu của trên Bước 3: Tìm sao cho cùng hướng với và Bước 4: Đánh giá . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của với . Từ đó ta tìm được 22 Hồn tồn tương tự, nếu ta thay mặt phẳng bởi mặt cầu thì phải xem xét đoạn thẳng AB có cắt mặt cầu hay khơng? Cụ thể xin mời bạn đọc đến với bài tốn sau Bài tốn 1.3. Cho mặt cầu và hai điểm , . Gọi là một điểm thuộc mặt cầu . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phân tích Biểu thức gợi ta nghĩ đến việc thay thế điểm bởi điểm sao cho . Khi đó, Khó khăn ở đây lại nằm ở chỗ tìm điểm . Nếu ta tìm bằng phương pháp hình học thì cực kỳ khó khăn, do vậy ta sẽ tìm bằng phương pháp tọa độ. Tức là sử dụng cơng thức khoảng cách giữa hai điểm Nếu gọi thì ta có , để làm xuất hiện thì ta cần có hệ số của phải bằng 4. Lúc này ta nghĩ đến điều kiện Để có được hệ số như trên ta biến đổi như sau: Từ đó, ta tìm được , và thấy rằng nằm trong mặt cầu, cịn nằm ngồi mặt cầu Đến đây ta có được kết quả: . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của đoạn và mặt cầu . Vậy, Tiếp nối ý tưởng này ta cùng đến với một dạng bài tập liên quan đến khoảng cách từ một điểm cho trước đến một điểm trên mặt cầu Bài tốn 2.1. Cho mặt cầu , và điểm . Gọi là điểm thuộc . Tìm giá trị lớn nhất của Phân tích. Đây là bài tốn cơ bản nhằm mục đích tái hiện tính chất khoảng cách liên quan đến mặt cầu. Ta dễ nhận ra điểm nằm ngồi , do đó , trong đó lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu . Đến đây bài tốn được giải Lưu ý: nếu điểm nằm trong mặt cầu thì Từ bài tốn này ta có thể nâng độ khó lên bằng cách lồng véc tơ vào đề xuất hiện nhiều đại lượng biến thiên hơn, cụ thể ta xét bài tốn sau: 23 Bài tốn 2.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt cầu . Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Phân tích. Bài tốn này địi hỏi ta phải biến đổi nhằm làm giải đi đại lượng biến thiên. Cụ thể, ở đây có đến 3 véc tơ phụ thuộc nên ta nghĩ cách biến đổi sao cho chỉ cịn một véc tơ phụ thuộc . Lúc này ta nghĩ đến việc xen điểm , ta có: Lúc này ta chọn điểm để Khi đó, bài tốn trở thành tìm sao cho nhỏ nhất. Đến đây ta làm như bài tốn 2.1 ở trên Ta cũng có thể nâng mức khó của bài tốn lên bằng cách dấu đi yếu tố “véc tơ” ở trong bài tốn. Cụ thể, xin mời bạn đọc đến với bài tốn sau đây Bài tốn 2.3. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt cầu . Gọi là một điểm thuộc mặt cầu . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phân tích Bài tốn xuất hiện 3 đại lượng phụ thuộc , do vậy ta cũng tìm cách để đưa về cịn một đại lượng phụ thuộc Biểu thức chứa các bình phương độ dài nên ta nghĩ đến việc sử dụng véc tơ như sau: Tương tự như bài tốn 2.1 ta chọn điểm thỏa mãn . Khi đó: , nhỏ nhất khi lớn nhất. Đến đây bạn đọc tự giải quyết như bài tốn 2.1 Ba bài tốn trên ý tưởng đều xuất phát từ vị trí tương đối của một điểm trong khơng gian với mặt cầu, thực chất kiến thức này được xây dựng trên nền tảng về vị trí tương đối của điểm và đường trịn ở trong hình học phẳng. Bài tốn sau đây là một sự kết nối hài hịa giữa khơng gian và hình học phẳng Bài tốn 2.4. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Xét các điểm thuộc mặt phẳng sao cho . Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng Phân tích Dữ kiện bài tốn cho ta biết về tập hợp điểm là mặt cầu đường kính 24 Kết hợp với giả thiết thuộc mặt phẳng ta kết luận được chạy trên một đường trịn cố định Từ đó ta cố gắng đưa bài tốn về bài tốn trong mặt phẳng Lời giải. z C O x y M H C' Gọi là trung điểm của . Vì nên thuộc mặt cầu tâm , bán kính Mặt khác thuộc đường trịn tâm , bán kính (bạn đọc tự giải) Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng và Ta có: , do đó: lớn nhất lớn nhất Lại có: . Vậy, Trong bài tốn 2.2 và bài tốn 2.3 nếu ta thay mặt cầu bởi mặt phẳng thì ta được các bài tốn tương tự như sau: Bài tốn 3.1. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và điểm thuộc mặt phẳng . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phân tích. Về mặt ý tưởng giải quyết bài tốn này cũng giống với bài tốn 2.2 đó là ta tìm điểm thỏa mãn Khi đó: nhỏ nhất khi nhỏ nhất là hình chiếu của trên . Khi đó Bài tốn 3.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Tìm thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất 25 Nhận xét: Việc giải quyết bài tốn này cũng tương tự như bài tốn 2.3, ta được kết quả có giá trị nhỏ nhất bằng khi Tiếp theo là các bài tóa tương tự về đường thẳng Bài tốn 3.3. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường thẳng . Xét điểm thay đổi trên , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Nhận xét. Bài tốn này có thể giải bằng phương pháp đại số, tức là tham số hóa tọa độ điểm . Tuy nhiên với cách giải quyết bằng cơng cụ véc tơ như các bài tốn trên ta cũng dễ dàng đi đến kết quả một cách nhanh chóng: Các bài tốn nếu trên là những tình huống cơ bản giúp học sinh nhận ra được tính chất hình học về khoảng cách của chúng. Bản chất của phương pháp hình học cho các bài tốn đó chính là việc sử dụng tính chất về khoảng cách. Khi người học đã vững vàng về mặt định hướng , ý tưởng ta có thể nâng lên ở một mức khó hơn bởi các bài tốn sau đây Bài tốn 4.1. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu . Giả sử và sao cho cùng phương với véc tơ và khoảng cách giữa và lớn nhất. Tính độ dài đoạn thảng Phân tích Trước hết ta cần kiểm tra vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu : tâm , bán kính , ta thấy nên và khơng có điểm chung Giáo viên cần mơ phỏng bằng hình vẽ (hoặc u cầu học sinh vẽ hình minh họa) như sau: 26 N u I r P H M Từ hình vẽ u cầu học sinh xác định đâu là yếu tố bất biến, ta hy vọng học sinh nhận ra góc giữa và khơng thay đổi Từ đó giáo viên có thể đặt ra câu hỏi: Em có quy việc đánh giá về đánh giá một đối tượng khác dễ hơn khơng? Ta hy vọng học sinh nhận ra việc đánh giá quy về đánh giá khoảng cách từ đến . Đến đây coi như bài tốn đã được giải quyết Lời giải Mặt cầu có tâm , bán kính , ta thấy nên và khơng có điểm chung Gọi là hình chiếu của trên . Từ giả thiết suy ra: lớn nhất khi lớn nhất Mà Bài tốn 4.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua vng góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất Phân tích. Từ giả thiết đi qua vng góc với đường thẳng em rút ra được nhận xét quạn trọng gì? Câu hỏi này có lẽ là chìa khóa để giải quyết vấn đề đặt ra 27 Với câu hỏi trên, ta hy vọng học sinh nhận ra đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua và vng góc với Từ đó ta có thể mơ phỏng bằng hình ảnh như sau: B d A P K H Đến đây ta cần so sánh được khoảng cách từ đến so với khoảng cách từ đến là coi như bài tốn được giải quyết Định hướng giải Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vng góc với và nhận xét Bước 2: Xác định hình chiếu của trên và khẳng định Bước 3: Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua . Viết phương trình đường thẳng và kết luận Bài tốn 4.3. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt mặt cầu theo một đường trịn có bán kính nhỏ nhất Phân tích Trước hết ta cần biết vị trí tương đối của hai điểm với mặt cầu . Ta nhận thấy hai điểm đều nằm trong mặt cầu. Do đó mặt phẳng ln cắt mặt cầu theo một đường trịn Để người học dễ dàng trong việc lập luận ta cần có hình vẽ minh họa sau 28 O B H A K P Từ hình ảnh giáo viên đặt ra cho học sinh câu hỏi: Có thể quy việc đanh giá bán kính đường trịn về đánh giá đối tượng khác đơn giản hơn khơng? Câu hỏi này sẽ gợi học sinh tái hiện mối liên hệ giữa bán kính đường trịn giao tuyến với khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng Bài tốn trở thành: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Kết quả này tương tự kết quả ta đã rút ra trong bài tốn 4.2 ở trên Nhận xét. Nếu bài tốn u cầu cắt theo đường trịn có bán kính lớn nhất thì là mặt phẳng . Bài tốn 4.4. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Tìm thuộc mặt phẳng sao cho và tam giác có diện tích nhỏ nhất Phân tích Bài tốn này địi hỏi người học cần có những phát hiện về tính chất hình học tồn tại trong nó Nhận ra , do đó khoảng cách từ mọi điểm thuộc đến ln bằng nhau. Đây là phát hiện quan trọng cho hướng đi của bài tốn Bìa tốn u cầu về diện tích tam giác nhỏ nhất cũng là u cầu khoảng cách từ đến nhỏ nhất Nhận xét: . Dấu “=” xảy ra khi thuộc hình chiếu của đường thẳng trên Để xác định chính xác vị trí điểm ta cần khai thác yếu tố về góc đã cho, kết hợp với việc phát hiện . Ta suy ra là hình chiếu của trung điểm trên 29 A A' H B K B' M Oxy Từ đó ta có định hướng giải bài tốn như sau: Bước 1: Chứng minh , Bước 2: Đánh giá nhỏ nhất nhỏ nhất Bước 3: Xác định vị trí của trên . Từ và là trung điểm của Bài tốn 4.5. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và đường thẳng . Hai mặt phẳng , vng góc với nhau, ln chứa và cắt tại hai điểm . Tìm độ dài ngắn nhất của Phân tích Cũng giống với một số bài tốn trên, ý tưởng đánh giá độ dài sẽ quy về đánh giá một dại lượng khác dễ hơn, nghĩa là ở đó ta sẽ bắt gặp được tính chất hình học một cách rõ ràng hơn Để thực hiện được ý tưởng trên, người học cần có những phát hiện đặc biệt trong bài tốn này và một vấn đề khơng kém phần quan trọng là cần xác định được yếu tố bất biến trong bài tốn là gì? Từ giả thiết ta nhận ra ngay hai đường thẳng và vng góc với nhau, điều này dẫn đến một nhận xét vơ cùng quan trọng là ln vng tại khi thay đổi (với là hình chiếu của trên ) Lúc này ta sử dụng tính chất tam giác vng để thay thế việc đánh giá thành đánh giá độ dài đường trung tuyến của . Đến đây tính chất về khoảng cách đã được hiện rõ Định hướng giải 30 d M F K E N P Q Bước 1: Hạ tại . Chứng minh vng tại Bước 2: Gọi là trung điểm của Bước 3: Sử dụng tính chất về khoảng cách: Bước 4: Tính 2.4.4.2. Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng các tính chất về góc vào bài tốn cực trị Trước hết cần trang bị cho học sinh cơng thức tính góc bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian sau đây: Đầu tiên chúng ta mở đầu bằng bài tốn min, mawxx góc giữa hai mặt phẳng Bài tốn 5.1. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Lập phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất Cách giải đại số thường gặp: Giả sử là véc tơ pháp tuyến của 31 Vì chứa nên ta có: +) Nếu : ta chọn +) Nếu thì: (với ) Xét hàm số , ta được khi Hay nhỏ nhất khi . Khi đó phương trình của là: Định hướng cách giải bằng hình học: Để giải quyết bài tốn trên bằng phương pháp hình học thì giáo viên phải làm cho học sinh nhận ra một tính chất quan trọng về góc (hay là nhận ra mối liên hệ về góc giữa các đối tượng hình học) bằng các câu hỏi gợi mở và các phân tích, hướng dẫn sau đây: Hãy nêu lại cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng? Giáo viên u cầu học sinh vẽ hình minh họa và xác định góc trên hình d M K I Q H P Trong bài tốn này yếu tố nào là bất biến? Câu hỏi này hướng đến một khẳng định là góc giữa và đã xác định nên khơng thay đổi Khi thay đổi, em có so sánh được góc với góc khơng? Ta hy vọng học sinh nhận ra tính chất: 32 Với tính chất trên, vị trí của để góc nhỏ nhất ứng với trường hợp giao tuyến vng góc với . Khi đó Nhận xét. Việc sử dụng tính chất hình học sẽ làm cho lời giải gọn gàng hơn so với lời giải bằng cách đại số khá cồng kềnh Trong bài tốn 5.1 nếu ta thay mặt phẳng bởi đường thẳng thì ta có được bài tốn sau Bài tốn 5.2. Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Lập phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất Phân tích hình học Yếu tố cố định về góc ở bài tốn này là gì? Câu hỏi này sẽ hướng học sinh nghĩ đến góc giữa hai đường thẳng và Em có đưa ra được sự so sánh về góc giữa và với góc giữa và hay khơng? Câu hỏi này sẽ hướng học sinh vẽ hình và xác định góc giữa và trên hình. Tức ta cần tạo mặt phẳng chứa và song song với như hình vẽ dưới đây d' A d K M P H Q Từ một điểm trên ta vẽ đường thẳng song song với cắt tại . Dựng ta thấy ngay là góc giữa và , cịn là góc giữa và 33 Vì khơng đổi nên việc so sánh góc quy về so sánh hai đoạn thẳng và . Dễ dàng có được . Do đó . Dấu “=” xảy ra khi . Khi đó, mặt phẳng chứa và vng góc với . Đến đây bài tốn xem như đã được giải quyết Nhận xét. Cách giải bàng hình học tuy địi hỏi tư duy cao hơn nhưng đổi lại lời giải ngắn gọn và làm rõ được bản chất hình học của bài tốn. Ở bài này, người học cũng có thể giải bằng cách đại số như trong bài tốn 5.1 Ngồi ra với việc giải quyết bằng phương pháp hình học sẽ giúp người học linh hoạt hơn trong các tình huống khó hơn. Đồng thời cũng có thể vận dụng một cách tương tự cho bài tốn cực trị hình học khơng gian cổ điển Phần 3. Kết luận 3.1. Q trình nghiên cứu của bản thân Đề tài là kết quả của việc tích lũy trong q trình giảng dạy mơn tốn của bản thân tại trường THPT và đã mang lại một số hiệu quả nhất định như thành tích HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 và năm học 2018 – 2019 đều có học sinh đạt giải ba bảng A (đối tượng là học sinh trường miền núi) 3.2. Ý nghĩa của đề tài Đề tài đã hệ thống được một số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn cực trị hình học khơng gian và cực trị và làm rõ bản chất hình học cho các bài tốn cực trị đó. Trong đề tài mặc dù tác giả chỉ mới đưa ra một số bài tốn minh họa, tuy nhiên việc giải quyết các bài tốn đó sẽ giúp học sinh và giáo viên có được cách nhìn nhận vấn đề tương tự khi gặp các bài tốn cực trị hình học khác Đề tài đã làm rõ được một số dạng bài tập cực trị hình học có sử dụng đến tính chất hình học để giải quyết, hơn thế nữa đề tài cịn đưa ra được định hướng dạy học khi áp dụng vào dạng tốn cực trị Đề tài là một nguồn tài liệu học tập q giúp học sinh khá giỏi có thể tự học tốt dạng tốn cực trị hình học khơng gian và hình học tọa độ . Đồng thời đề tài cũng giúp giáo viên có được một hướng dạy học hiệu quả chủ đề cực trị trong khơng gian 2.3. Kiến nghị, đề xuất 34 Đề tài mới chỉ mang tính chất minh họa cho một cách triển khai dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian và hình học tọa độ nên trong q trình giảng dạy, học tập độc giả cần bổ sung thêm nguồn bài tập phong phú hơn Việc sử dụng tính chất hình học khơng chỉ đơn thuần áp dụng cho bài tốn cực trị hình học mà nó cịn có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác về hình học khơng gian và hình học tọa độ . Do vậy, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú hơn về tài liệu học tập và giảng dạy Đối với bộ mơn hình học khơng gian vẫn cịn nhiều nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu và làm sáng tỏ. Thơng qua đề tài này, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để bộ mơn hình học khơng gian và hình học giải tích khơng cịn là nỗi lo của người học và người dạy Vì thời gian để hồn thành đề tài có hạn nên khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót. Rất mong nhận được những đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, học sinh để đề tài được hồn thiện hơn Nghệ An, ngày 10/03/2021 35 ... 2.4.4. Tổ chức hoạt động tìm hiểu và? ?vận? ?dụng? ?một số? ?tính? ?chất? ?cơ bản của hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?vào? ?bài? ?tốn? ?cực? ?trị? ? 2.4.4.1. Tổ chức hoạt động? ?dạy? ?học? ?vận? ?dụng? ?các? ?tính? ?chất? ?về khoảng cách? ?vào? ? bài? ?tốn? ?cực? ?trị? ? Trước hết? ?cho? ?học? ?sinh? ?khởi động bằng? ?bài? ?tốn sau:... cần bổ sung thêm nguồn? ?bài? ?tập phong phú hơn Việc sử? ?dụng? ?tính? ?chất? ?hình? ?học? ?khơng chỉ đơn thuần áp? ?dụng? ?cho? ?bài? ?tốn? ?cực? ?trị? ?hình? ? học? ?mà nó cịn có thể áp? ?dụng? ?cho? ?các dạng? ?bài? ?tập khác về? ?hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?và? ?hình? ? học? ?tọa độ . Do vậy, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú ... này thường ngắn gọn và khắc sâu hơn về? ?kiến? ?thức? ?hình? ?học? ?được đề cập đến Việc? ?vận? ?dụng? ?tính? ?chất? ?hình? ?học? ?vào? ?bài? ?tốn? ?cực? ?trị? ?hình? ?học? ?khơng? ?gian? ? khơng chỉ đơn thuần dừng lại ở phương pháp giải tốn mà thơng? ?qua? ?đó giúp? ?học? ? sinh? ?phát triển được tư duy linh hoạt, khả? ?năng? ?sáng? ?tạo trong giải tốn