Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước liên quan đến bài toán đường tròn Gauss.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN BÀI TỐN ĐƯỜNG TRÒN CỦA GAUSS VÀ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC GAUSS A CIRCLE CI C PROBLEM P O AND AN ASYMPTOTIC A PTOTIC EVALUATION A ATION OF O ARITHMETICAL A ITH TICA FUNCTIONS NCTION ThS Nguyễn Nguyễn Tấn Bình Ngà : 07/3/2021 N y nhận Ngà N y nhận kết phản biện : 16/9/2021 Trườ Trường ng Đại Đại học học Tài Tài chính Kế Kế tốn tốn Ngà : 25/9/2021 N y duyệt đăng ThS Hoàng Thị Hà My Trườ Trường ng Đại Đại học học Quảng Quảng Nam TÓM TẮT Bài báo giới thiệu tốn đường trịn Gauss tốn liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận số hàm số học Thứ nhất, báo trình bày cơng thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính (căn bậc hai N) cho trước liên quan đến tốn đường trịn Gauss Đó R ( N ) = π N + E ( N ) , sai số E ( N ) = O N Thứ hai, báo trình bày hai công thức xấp xỉ cho D(N) để xác định số điểm nguyên nằm góc phần tư thứ nằm đường hyperbol Thứ ba, báo trình bày kết xấp xỉ hàm Φ ( t ) hàm tổng hàm Euler Mục đích tác giả viết nghiên cứu, tìm hiểu số tốn, định lý bước đầu tiếp cận lý thuyết số giải tích Từ khóa: Hàm số học, tiệm cận, ước lượng ( ) ABSTRACT In this article, Gauss’s circle problem and related ones are introduced and the asymptotic estimation of some arithmetic functions is studied Firstly, the article presents an approximation formula to determine the number of integer points in and on a circle with a given origin and radius (square root of N) related to the Gaussian circle problem That is R ( N ) = π N + E ( N ) , in which the error E ( N ) = O N Second, the article presents two approximation formulas for D(N) to determine the number of integer points lying in the first quadrant and below or above the hyperbola Third, the paper presents the approximation result of the function Φ ( t ) which is the sum function of the Euler function This article aims at studying some problems and theorems in the first step of approaching analytical number theory Keywords: Arithmetical function, asymptotic, evaluation ( ) Đặt vấn đề Lý thuyết số ngành tốn học lý thuyết nghiên cứu tính chất số nói chung số nguyên nói riêng, lớp rộng toán mà phát triển từ nghiên cứu Lý thuyết số giải tích sử dụng cơng cụ giải tích giải tích phức để giải vần đề số nguyên, định lý số nguyên tố giả thuyết Riemann ví dụ Chứng minh tính siêu việt số toán học, π hay e, xếp vào lĩnh vực lý thuyết số giải tích Việc nghiên cứu hàm số học, đặc biệt hàm số học “khơng quy” nội dung thú vị lý thuyết số giải tích Nội dung báo giới thiệu toán đếm số điểm nguyên đường tròn cho trước Gauss (Gauss circle problem) tìm hiểu ước lượng số hàm số học Các định nghĩa, bổ 78 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN đề, định lý báo trích tài liệu tham khảo tương ứng, vài chứng minh tác giả trình bày cách chi tiết để tiện cho độc giả theo dõi Bài tốn đường trịn Gauss tốn ước Dirichlet 2.1 Một số ký hiệu ban đầu Hàm r ( n ) : hàm số học đếm số biểu diễn số nguyên n ( n ≥ 1) tổng bình phương số nguyên, hay nói cách khác số nghiệm phương trình x + y = n , x, y ∈ » (trong đó, nghiệm khác dấu đếm khác nhau) N Hàm R ( N ) : R ( N ) = ∑ r ( n ), r ( ) = n =0 Nhận xét Về mặt hình học, hàm R ( N ) số điểm nguyên nằm đường tròn x + y = N Hàm số Euler số nguyên dương n định nghĩa số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Ký hiệu: ϕ ( n ) Bài tốn đường trịn Gauss (Gauss circle problem) Bài tốn (Gauss circle problem) Cho đường trịn tâm O(0,0), bán kính r » ( r ≥ ), tốn u cầu đếm có điểm có dạng ( m, n ) nằm đường trịn này, m n số nguyên Định lý sau Gauss cho ta lời giải đáp cho toán ( ) R(N ) = π N + O N Chứng minh: Ta có nhận xét điểm ngun mặt phẳng đỉnh hình vng mà có diện tích Mỗi điểm nguyên nằm đường tròn x + y = N , ta kết hợp với hình vng (chẳng hạn, ta chọn hình vng phía Tây Nam) Khi đó, R ( N ) tổng diện tích hình vng Tuy nhiên, vài hình vng khơng nằm hồn tồn bên đường trịn, mặt khác vài phần khơng phủ hình vng Vì đường chéo hình vng nên tất hình vng chứa đường trịn x + y = N + 2 cho R ( N ) < π N + Định lý (Gauss)([1]) ( ( ) ) Lập luận tương tự, hình vng phủ hồn tồn đường trịn nhỏ có bán kính cho R ( N ) > π N − , N ≥ ( ) ( ) ( N − ) Vì vậy, ta có π N − 2 N + < R ( N ) < π N + 2 N + , hay nói cách khác R(N ) = π N +O ( N ) 2.2 Bài tốn đếm điểm ngun góc phần tư thứ nằm hyperbol xy = N Mặc dù toán gốc đếm điểm nguyên đường tròn tâm O, bán kính r cho trước Nhưng khơng có lý để ta khơng mở rộng tốn đường conic Bài toán ước Dirichlet (Dirichlet’s divisor problem) tốn tương tự, đó, đường trịn thay hyperbol Sau đây, ta xem xét tốn N Ký hiệu D ( N ) = ∑τ ( n ) τ ( n ) số ước n Nhận xét n =1 79 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN Về mặt hình học, D(N) số điểm nguyên góc phần tư thứ nằm hyperbol xy = N Ta sử dụng kết để ước lượng hàm D(N), tức giải toán đặt Bổ đề 1([1]) Nếu g hàm đơn điệu giảm theo biến thực t định nghĩa với t ≥ g ( t ) > X ∑ g ( n ) = ∫ g ( t )dt + A + O ( g ( X ) ) , n ∈ » 1≤ n ≤ X + , X ≥ A số phụ thuộc vào g Hệ 1([1]) Tồn γ (hằng Ơle) cho 1≤ n ≤ X Định lý ([1]) D ( N ) = N log N + γ N + O ( N ) Chứng minh: Ta có D ( N ) = ∑ 1 = log X + γ + O n X ∑ Do đó, D(N) số 1≤ xy ≤ n điểm nguyên góc phần tư thứ mặt phẳng (x,y), nằm hyperbol xy = N (trừ điểm trục) Rõ ràng điểm nằm bên trái đường thẳng x = N đường thẳng y = N Ta đếm chúng cách xét điểm nguyên đường thẳng đứng với hoành độ nguyên Số điểm nguyên tọa độ có N độ dài N / x [ N / x ] Vì vậy, D ( N ) = ∑ [ N / x ] Đặt [ N / x] = N / x − θ x , ≤ θ x < x =1 , 1 D ( N ) = N ∑ − ∑θ x = N ∑ + O ( N ) x =1 x x =1 x =1 x N N N N ∑θ x =1 x < N nên Từ hệ suy D ( N ) = N log N + γ N + O ( N ) Định lý (Dirichlet) ([1]) ( ) D ( N ) = N log N + ( 2γ − 1) N + O N , với γ số Ơle Chứng minh: Hyperbol xy = N quan hệ đối xứng với đường thẳng x = y nên ABGEO CDOFG chứa số điểm nguyên Tổng điểm nguyên góc phần tư thứ nằm hyperbol (trừ điểm nằm trục) hai lần số điểm nguyên ABGEO trừ số điểm ngun hình vng OFGE 2 N Vì vậy, D ( N ) = ∑ − N = ∑ ∑ − N = ∑ − N 1≤ x ≤ N 1≤ x ≤ N 1≤ y ≤ N 1≤ x ≤ N x 1≤ xy ≤ N x Ta đặt N = N − θ x ;0 ≤ θ x < N = N − θ ;0 ≤ θ < ta x x D ( N ) = 2N Nhưng ∑ 1≤ x ≤ N 80 ∑ 1≤ x ≤ N θx = O − ∑ θx − x 1≤ x ≤ N ( N ) ,θ ( N −θ ) = O (1) Vì vậy, = 2N ∑ 1≤ x ≤ N − N − ∑ θ x + 2θ N − θ x 1≤ x ≤ N ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN D ( N ) = 2N ∑ 1≤ x ≤ N − N +O x ( N) = N log N + N γ + NO − N +O N ( N ) = N log N + ( 2γ − 1) N + O ( N ) Đánh giá tiệm cận số hàm số học Đa số hàm số học (như hàm µ ( n ) ,τ ( n ) ,…) phụ thuộc nhiều vào tính chất n Tuy 1 nhiên, hàm tổng hay trung bình ∑ f ( n ), ∑ f ( n ) đánh giá ước lượng n≤ x x n≤ x xác hàm số học đơn giản Có nhiều phương pháp ước lượng: phương pháp tích chập, phương pháp hyperbol Dirichlet,…Dưới đây, ta tìm hiểu ước lượng số hàm số học theo hướng giải tích 3.1 Xấp xỉ số hàm Nhận xét Nếu n số nguyên tố τ ( n ) = lim τ ( n ) = n →∞ Định lý ([1]) Với ∆ > , tồn số nguyên ni cho τ ( ni ) ( log ni ) ∆ i →∞ →∞ Chứng minh: Lấy k số nguyên định nghĩa k ≤ ∆ < k + , pk +1 số nguyên tố thứ k+1 m k +1 + lấy n = ( 2.3.5 pk +1 ) , m ∈ » Khi đó, τ ( n ) = ( m + 1) > m k +1 k +1 log n k +1 m k +1 = > c ( log n ) (c gọi số n) Ta lấy m = 1, 2,3, log 2.3.5 p ( ) k +1 k +1 ta thu dãy vô hạn số nguyên dương τ ( n ) > c ( log n ) Đặt k + = ∆ + α (α > ) , ta τ (n) α n →∞ > c ( log n ) →∞ có ∆ ( log n ) p →∞ Bổ đề ([1]) Nếu f hàm số học nhân tính f ( p m ) → , p số nguyên tố, m n →∞ →0 m ∈ » + (nghĩa f ( n ) → n chạy khắp tập lũy thừa số nguyên tố) f ( n ) Định lý ([1]) τ ( n ) = o ( nδ ) , ∀δ > Chứng minh: Xem [1] 3.2 Ước lượng hàm tổng hàm Ơle ϕ 3.2.1 Hàm Ơle Nhận xét Nếu n = p m , p số nguyên tố, p > , < ε < ε ϕ (n) 1 lim = ϕ ( n ) = n 1 − > n (1 − ε ) Do đó, n →∞ n p ϕ ( n ) n→∞ Định lý 6([1]) Với δ > , ta có 1−δ →∞ n Chứng minh: Xem [1] 3.2.2 Hàm tổng hàm Ơle Định nghĩa Φ ( t ) = ∑ ϕ (n) 1≤ n ≤t Nhận xét Φ ( t ) số số hạng dãy Farey cấp N Định lý (Mertens)([1]) Φ ( t ) = 3t π2 + O ( t log t ) 81 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN Chứng minh: Vì Φ ( t ) = ∑ ∑ 1= ∑ 1≤ n ≤t 1≤ m ≤ n 1≤ m ≤ n ≤t ( m , n ) =1 nên Φ ( t ) số điểm nguyên với tọa độ nguyên tố nhau, mà nằm tam giác vuông < y ≤ x < t Ta xem xét hình vng < x ≤ t , < y ≤ t Đường thẳng x = y chia thành tam giác vuông, chứa số điểm nút với tọa độ nguyên tố Một chúng cho < y ≤ x ≤ t Điểm nguyên với tọa độ nguyên tố đường thẳng x = y điểm x = y = Gọi ψ ( t ) số điểm nguyên với tọa độ nguyên tố hình vng (1) đề cập trên, ta có ψ ( t ) = 2Φ ( t ) − với điểm x = y = đếm hai tam giác Tổng điểm nguyên hình vng < x ≤ t , < y ≤ t [t ] cho [t ] = ∑ 1= ∑ ∑ 0< m ≤t 0< n ≤t (2) 1≤ d ≤t < m ≤t 0< n ≤t ( m,n )=d m n Vì (m, n) = d tương đương với , nên tồn tương ứng 1-giữa hai điểm nút với d d tọa độ m, n cho < m ≤ t , < n ≤ t , ( m, n ) = d cặp số nguyên m ', n ' cho t t < m ' ≤ , < n ' ≤ , ( m ', n ') = d d Từ định nghĩa ψ , tồn xác ψ t cặp m ', n ' Vì (2) viết d t (3) [t ] = ∑ ψ 1≤ d ≤t d t Áp dụng công thức đảo Mobius thứ hai cho (3) ta ψ ( t ) = ∑ µ ( d ) , t ≥ d 1≤ d ≤t t t Vì = + θ , ≤ θ < nên d d µ (d ) 1 t + 2tO ∑ + O ∑ 1 ψ ( t ) = ∑ µ ( d ) + O (1) = t ∑ d 1≤ d ≤t 1≤ d ≤t d 1≤ d ≤t d 1≤ d ≤t 1 1 Ta có 2tO ∑ = 2tO log t + γ + O = O ( t log t ) O ∑ 1 = O(t) t 1≤ d ≤t d 1≤ d ≤t µ d ( ) + O ( t log t ) Ta có Vì vậy: ψ ( t ) = t ∑ 1≤ d ≤t d ∞ µ (d ) ∞ µ (d ) µ (d ) (4) = − ∑ ∑ ∑ 2 1≤ d ≤t d d =1 d d =[t ]+1 d ∞ µ (d ) d =[t ]+1 d2 ∑ ∞ ψ (t ) = t ∑ Vì vậy, từ (4) ta có Bây ta ước lượng thể nhân chúng thu 82 ∞ du 1 1