Slide TUD chuong 6 (1)

Bài giảng Chương 6: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ –Giảng viên: Đặng Thị Tố Như– Khoa Kinh tế, Đại học Kinh tế Ngày tháng 12 năm 2021 Các định nghĩa Định nghĩa: Giả sử D ⊂ R2 , D = ∅, ánh xạ f : D → R, (x, y ) → f (x, y ) gọi hàm hai biến số xác định D Kí hiệu z = f (x, y ) D: miền xác định f (x, y ) Lân cận: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M0 (x0 , y0 ), δ− lân cận M0 (x0 , y0 ) tập tất điểm M(x,y) mặt phẳng Oxy cho M0 M < δ Một tập hợp R2 chứa δ lân cận M0 gọi lân cận M0 , kí hiệu U(M0 ) Giới hạn dãy điểm: Trong mặt phẳng Oxy cho dãy điểm {Mn (xn , yn )} Dãy điểm hội tụ M0 (x0 , y0 ) lim xn = x0 , lim yn = y0 Kí hiệu Mn → M0 n→+∞ n→+∞ Giới hạn, liên tục Giới hạn hàm số hai biến số: Cho z = f (x, y ) xác định lân cận U(M0 ) M0 (x0 , y0 ) (có thể khơng xác định M0 ) Số thực L đgl giới hạn z M(x,y) tiến dần tới M0 (x0 , y0 ) với dãy điểm {Mn (xn , yn )} thuộc lân cận M0 (x0 , y0 ) {Mn (xn , yn )} → M0 (x0 , y0 ): lim f (xn , yn ) = L n→∞ Kí hiệu lim x→x0 ,y →y0 f (x, y ) = L hay lim f (M) = L M→M0 Hàm số liên tục: f (x, y ) xác định miền D, M0 (x0 , y0 ) ∈ D, f (x, y ) gọi liên tục M0 (x0 , y0 ) lim f (x, y ) = f (x0 , y0 ) hay lim f (M) = f (M0 ) x→x0 ,y →y0 M→M0 Một số hàm số nhiều biến số kinh tế Hàm sản xuất Q = f (K , L), K: vốn, L: lao động Hàm Cobb-Douglas: Q = aK α Lβ , a, α, β > Hàm tổng chi phí: TC = TC (Q) = wK K + wL L + C0 , wK : giá thuê đơn vị tư bản, wL : giá thuê đơn vị lao động, C0 : chi phí cố định Hàm tổng doanh thu: TR = p.Q = p.f (K , L), p: giá thị trường sản phẩm Hàm tổng lợi nhuận: π = TR − TC Hàm lợi ích: biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Hàm cung Qsi = Si (p1 , , pn ): lượng cung hàng hóa i, pi : giá hàng hóa i Hàm cầu Qdi = Di (p1 , , pn ): lượng cầu hàng hóa i Đạo hàm riêng vi phân Số gia riêng, số gia toàn phần Số gia riêng: z = f (x, y ) xác định lân cận U(M0 ) M0 (x0 , y0 ) Cho x0 số gia x = cho M1 (x0 + x, y0 ) ∈ U(M0 ) Khi x z = f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 ) gọi số gia riêng hàm số z theo biến số x M0 (x0 , y0 ) Số gia toàn phần: z = f (x0 + x , y0 + y) − f (x0 , y0 ) Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng hàm số biến số điểm: Nếu tồn lim x →0 xz x = L < ∞ L gọi đạo hàm riêng hàm số z = f (x, y ) theo biến x điểm M0 (x0 , y0 ) Kí ∂f hiệu: zx0 (x0 , y0 ), fx0 (x0 , y0 ), ∂x (x0 , y0 ) Đạo hàm riêng hàm biến số miền: Nếu f (x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x (hay biến y) điểm thuộc tập D ta nói hàm số có đạo hàm riêng D Để tính zx = fx (x, y ), xem y số áp dụng tính chất quy tắc tính đạo hàm hàm số với biến số x Đạo hàm riêng cấp cao fx (x, y ), fy (x, y ): đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng (nếu có) fx (x, y ), fy (x, y ): đạo hàm riêng cấp ∂ ∂f ∂x ( ∂x ) ∂ ∂f ∂y ( ∂x ) = = ∂2f (x, y ) = fx (x, y ) ∂x 2 ∂ f ∂x∂y (x, y ) = fxy (x, y ) ∂ ∂f ∂y ( ∂y ) = ∂2f (x, y ) ∂y ∂ ∂f ∂x ( ∂y ) = ∂2f = fy (x, y ) ∂y ∂x (x, y ) = fyx (x, y ) Chú ý: đạo hàm riêng fxy (x, y ), fyx (x, y ) liên tục M0 (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp cấp hàm số sau: z = f (x, y ) = 2x y + xy + 3y Giải: Các đạo hàm riêng cấp hàm z: zx = fx (x, y ) = 4xy + y zy = fy (x, y ) = 2x + x + 9y Các đạo hàm riêng cấp hàm z: zxx = (zx )x = 4y , zxy = (zx )y = 4x + zyy = (zy )y = 18y , zyx = (zy )x = 4x + Vi phân Vi phân: Cho hàm số z = f (x, y ) xác định lân cận U(M0 (x0 , y0 )) Nếu tồn A B giá trị phụ thuộc vào M0 (x0 , y0 ) (không phụ thuộc vào x , y ) cho z = f (x0 + x , y0 + y ) − f (x0 , y0 ) = A x + B y + O( x ) + O( y ) A x + B y gọi vi phân toàn phần hàm số z M0 (x0 , y0 ) Kí hiệu dz(x0 , y0 ), df (x0 , y0 ), dz(M0 ) A = fx (x0 , y0 ), B = fy (x0 , y0 ) dz(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) x + fy (x0 , y0 ) Khi z = x dz = dx = y x (z = y dz = dy = y ), nên: dz(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy Ví dụ Cho hàm số z = 2xy + y Vi phân toàn phần hàm số z: dz = 2ydx + (2x + 3y )dy Xác định vi phân toàn phần hàm số sau: z = 2e x y + e y 3 dz = 2e x y dx + (10e x y + 3y e y )dy Tối đa hóa sản lượng với ngân sách khơng đổi Bài toán: Doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm với ngân sách B không đổi Chọn (K , L) để hàm sản xuất Q = f (K , L) đạt cực đại với điều kiện wK K + wL L = B Giả thiết Q có đạo hàm riêng liên tục cấp cấp miền {(K , L) : K > 0, L > 0} Đây tốn cực trị có điều kiện Tối đa hóa sản lượng với ngân sách không đổi Điều kiện cần: Q Q λ = wKK = wLL wK K + wL L = B Điều kiện đủ (với wK K + wL L = B): 2Q1 Q2 Q12 − Q12 Q22 − Q22 Q11 > Xác định hàm cầu Marshall K = K (wK , wL , B) L = L(wK , wL , B) Tối thiểu hóa chi phí sản xuất Bài toán: Doanh nghiệp cạnh tranh túy dự định sản xuất lượng sản phẩm cố định Q0 , hàm sản xuất Q = f (K , L) Mục tiêu tối đa lợi nhuận trở thành tối thiểu chi phí sản xuất doanh thu TR = p.Q0 cố định Chọn (K , L) để hàm số C = wK K + wL L đạt cực tiểu với điều kiện f (K , L) = Q0 Bài toán cực trị có điều kiện Tối thiểu hóa chi phí sản xuất Điều kiện cần: Q Q λ = wKK = wLL f (K , L) = Q0 Điều kiện đủ (với f (K , L) = Q0 ): 2Q1 Q2 Q12 − Q12 Q22 − Q22 Q11 > Xác định hàm cầu Marshall (cầu Hick) K = K (wK , wL , Q0 ) L = L(wK , wL , Q0 ) Ứng dụng kinh tế - Lựa chọn mức sản lượng tối ưu Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm Bài toán: Doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm Tổng chi phí: TC = TC (Q1 , Q2 ) Q1 , Q2 : số lượng loại sản phẩm,p1 , p2 : giá loại sản phẩm Hàm tổng lợi nhuận: π = p1 Q1 + p2 Q2 − TC (Q1 , Q2 ) Xác định (Q1 , Q2 ) để π max → Bài tốn tìm cực trị khơng điều kiện Ví dụ Một doanh nghiệp túy sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm chi phí sau (Qi lượng sản phẩm i): TC = 3Q12 + 2Q1 Q2 + 2Q22 + 10 Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1 , Q2 ) để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa giá sản phẩm 160$ giá sản phẩm 120$ Giải: Hàm lợi nhuận: π = 160Q1 + 120Q2 − TC π = 160Q1 + 120Q2 − (3Q12 + 2Q1 Q2 + 2Q22 + 10) Điều kiện cần: πQ1 = −6Q1 + 160 − 2Q2 = 0, πQ2 = −4Q2 + 120 − 2Q1 = Giải Q1 = 20, Q2 = 20 Điều kiện đủ:πQ1 Q1 = −6 < 0, πQ1 Q2 = −2, πQ2 Q2 = −4 thỏa mãn điều kiện B − AC = −20 < nên π đạt cực đại Ứng dụng kinh tế - Lựa chọn mức sản lượng tối ưu Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm: Doanh nghiệp định giá sản phẩm dựa vào chi phí sản xuất cầu thị trường Bài toán: Doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại sản phẩm Tổng chi phí: TC = TC (Q1 , Q2 ) Cầu thị trường: Q1 = D(p1 ) ⇔ p1 = D −1 (Q1 ), Q2 = D(p2 ) ⇔ p2 = D −1 (Q2 ) Hàm tổng lợi nhuận: π = TR − TC = p1 Q1 + p2 Q2 − TC (Q1 , Q2 ) π = D −1 (Q1 )Q1 + D −1 (Q2 )Q2 − TC (Q1 , Q2 ) Bài toán xác định (Q1 , Q2 ) cho π max Bài toán cực trị khơng điều kiện Ví dụ Doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa với hàm chi phí kết hợp: TC = Q12 + 5Q1 Q2 + Q22 Cầu loại hàng hóa: p1 = 56 − 4Q1 , p2 = 48 − 2Q2 Xác định mức sản lượng giá tối ưu cho sản phẩm Giải: Hàm lợi nhuận: π = 56Q1 + 48Q2 − 5Q12 − 3Q22 − 5Q1 Q2 Giải tốn cực trị khơng điều kiện Điều kiện cần: πQ1 = 56 − 10Q1 − 5Q2 = 0, πQ2 = 48 − 6Q2 − 5Q1 = Giải Q1 = 96/35, Q2 = 40/7 Điều kiện đủ: Do πQ1 Q2 = −5, πQ1 Q1 = −10 < 0, πQ2 Q2 = −6 nên (πQ1 Q2 )2 − πQ1 Q1 πQ2 Q2 = −35 < nên điều kiện đủ thỏa mãn Vậy mức sản lượng tối đa: Q1 = 96/35, Q2 = 40/7 Giá bán để đạt lợi nhuận tối đa: p1 ∼ 45, p2 ∼ 36, Ứng dụng kinh tế - Lựa chọn mức sản lượng tối ưu Trường hợp doanh nghiệp độc quyền có nhiều sở sản xuất khác nhau: Bài toán: - Doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm sở sản xuất khác - Lựa chọn mức sản lượng giá tối ưu dựa chi phí sản xuất nhà máy cầu sản phẩm Tổng lợi nhuận doanh nghiệp: π = D −1 (Q)Q − TC1 (Q1 ) − TC2 (Q2 ), Q = Q1 + Q2 , TCi : hàm chi phí nhà máy thứ i, Qi : sản lượng nhà máy thứ i sản xuất, p = D −1 (Q): hàm cầu ngược Giải toán cực trị biến số π(Q1 , Q2 ) Chú ý: TCi (Qi ) = MCi (Qi ), TCi (Qi ) = MC (Qi ) Ví dụ Doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa nhà máy với với hàm chi phí cận biên: MC1 = + 0, 2Q1 , MC2 = + 0, 04Q2 Hàm cầu ngược: p = 66 − 0, 1Q Xác định mức sản lượng tối ưu hai nhà máy giá tối ưu cho sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận Giải: Hàm lợi nhuận: π = (66 − 0, 1Q)Q − TC1 (Q1 ) − TC2 (Q2 ) với Q = Q1 + Q2 , TC1 (Q1 ) = MC1 , TC2 (Q2 ) = MC2 πQ1 = 64 − 0, 4Q1 − 0, 2Q2 , πQ2 = 64 − 0, 2Q1 − 0, 24Q2 Điều kiện cần Điều kiện cần để π đạt cực đại: πQ1 = 0, πQ2 = → Q1 = 60, Q2 = 200 Điều kiện đủ: πQ21 Q2 − πQ1 Q1 πQ2 Q2 = 0, 04 − 0, 096 < πQ1 Q1 = −0, < nên sản lượng tối ưu: Q1 = 60, Q2 = 200, giá tối ưu p = 40 Ứng dụng kinh tế - Lựa chọn mức sản lượng tối ưu Doanh nghiệp độc quyền tiêu thụ sản phẩm nhiều thị trường khác nhau: Bài toán: - Doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ thị trường riêng biệt - Lựa chọn mức sản lượng giá tối ưu dựa chi phí sản xuất nhà máy cầu sản phẩm Tổng lợi nhuận doanh nghiệp: π = p1 Q1 + p2 Q2 − TC (Q), Q = Q1 + Q2 Cầu thị trường: Q1 = D1 (p1 ), Q2 = D2 (p2 ) Hàm cầu ngược: p1 = D1−1 (Q1 ), p2 = D2−1 (Q2 ) π = D1−1 (Q1 )Q1 + D2−1 (Q2 )Q2 − TC (Q1 + Q2 ) → Phân biệt giá: Bài tốn cực trị khơng điều kiện Khơng phân biệt giá: Bài tốn cực trị có điều kiện: p1 = p2 ⇔ D1−1 (Q1 ) − D2−1 (Q2 ) = Ví dụ Một nhà máy sản xuất độc quyền loại sản phẩm bán hai thị trường khác Biết hàm chi phí TC = 2000 + 10Q với (Q = Q1 + Q2 ) Cầu thị trường: Q1 = 21 − 0, 1p1 , Q2 = 50 − 0, 4p2 → Hàm cầu ngược: p1 = 210 − 10Q1 , p2 = 125 − 2, 5Q2 Tổng lợi nhuận: π = p1 Q1 + p2 Q2 − TC = 200Q1 + 115Q2 − 10Q12 − 2, 5Q22 − 2000 Xác định mức sản lượng giá để tối đa hóa lợi nhuận thu Giải Trường hợp phân biệt giá (không yêu cầu giá bán hai thị trường khác nhau): Điều kiện cần để π đạt cực đại: πQ1 = 0, πQ2 = → Q1 = 10, Q2 = 23 Điều kiện đủ: πQ21 Q2 − πQ1 Q1 πQ2 Q2 = − (−20).(−5) = −100 < πQ1 Q1 = −20 nên sản lượng tối ưu: Q = 33, giá tối ưu thị trường p1 = 110, p2 = 67, Trường hợp không phân biệt giá (cùng giá bán hai thị trường): Bài tốn cực đại hóa hàm π với điều kiện ràng buộc p1 = p2 ⇔ 210 − 10Q1 = 125 − 2, 5Q2 ⇔ 10Q1 − 2, 5Q2 = 85 Hàm số Lagrange: L = 200Q1 + 115Q2 − 1Q12 − 2, 5Q22 − 2000 + λ(85 − 10Q1 + 2, 5Q2 ) Điều kiện cần toán cực trị có điều kiện:   LQ1 = 200 − 20Q1 − 10λ = Q1 = 13, LQ2 = 115 − 5Q2 + 2, 5λ = ⇔ Q2 = 19,   λ = −6, 85 − 10Q1 + 2, 5Q2 = Điều kiện đủ: d L(Q1 , Q2 ) = −20dQ12 − 5dQ22 < thỏa mãn Nếu không phép phân biệt giá bán: sản lượng tối ưu Q1 = 13, 4, Q2 = 19, 6, giá tối ưu p = 76 ... nhuận tối đa giá sản phẩm 160 $ giá sản phẩm 120$ Giải: Hàm lợi nhuận: π = 160 Q1 + 120Q2 − TC π = 160 Q1 + 120Q2 − (3Q12 + 2Q1 Q2 + 2Q22 + 10) Điều kiện cần: πQ1 = −6Q1 + 160 − 2Q2 = 0, πQ2 = −4Q2... = + 0, 04Q2 Hàm cầu ngược: p = 66 − 0, 1Q Xác định mức sản lượng tối ưu hai nhà máy giá tối ưu cho sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận Giải: Hàm lợi nhuận: π = (66 − 0, 1Q)Q − TC1 (Q1 ) − TC2 (Q2... πQ1 = 64 − 0, 4Q1 − 0, 2Q2 , πQ2 = 64 − 0, 2Q1 − 0, 24Q2 Điều kiện cần Điều kiện cần để π đạt cực đại: πQ1 = 0, πQ2 = → Q1 = 60 , Q2 = 200 Điều kiện đủ: πQ21 Q2 − πQ1 Q1 πQ2 Q2 = 0, 04 − 0, 0 96