(Đề tài NCKH) cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức năm biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA BÀI TOÁN HIT VÀ ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ CỦA SINGER Mà SỐ: T2014- 43TĐ SKC005336 Tp Hồ Chí Minh, thỏng 11 - 2014 Mục lục Phần mở đầu Ch-¬ng mét sè kiÕn thức chuẩn bị 1.1.Đại số 1.2.Đại số tenxơ 1.3.Đại số đối xứng 1.4.Đại số 1.5.Đại số Steenrod 1.6.CÊu tróc mô đun đại 1.7.Các hàm số học 1.8.Mét số tính chất đơn 1.9.Toán tử bình ph-ơng Ka Ch-ơng Bài toán hit đại số Steenrod ứng dụng 2.1.Các đơn thức chấp nhận đ 2.2.Đồng cấu chuyển đại số Kết luận kiến nghÞ Tài liệu tham khảo Phần mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu n-ớc Ký hiệu Vk nhóm aben sơ cấp hạng k BVk không gian phân loại Vk Khi đối đồng điều := H(BV ; P k k đại số đa thức tr-ờng nguyên tố F2 có hai phần tư víi k biÕn x1, x2, , xk, biến có bậc Vì Pk đối đồng điều không gian tôpô nên mô đun đại số Steenrod modulo 2, A Tác động A Pk đ-ợc xác định công thøc nÕu i = 0, nÕu i = 1, nÕu i > xj , i x j, Sq (xj ) = 0, công thức Cartan X n n i Sq (fg) = n−i Sq (f)Sq (g), i=0 víi f, g ∈ Pk (xem Steenrod-Epstein [13]) Mét toán quan trọng Tôpô đại số xác định tập sinh cực tiểu Pk đ-ợc xét nh- môđun đại số Steenrod A Bài toán đ-ợc gọi toán hit đại số Steenrod Nếu xét F2 nh- A-môđun tầm th-ờng toán hit t-ơng đ-ơng với việc xác định sở không gian véc tơ F2APk F2 Bài toán đ-ợc nghiên cứu Peterson [8], Singer [11], Wood [21], ng-ời đà mối liên hệ toán hit với số toán cổ điển lý thuyết đồng biên đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, dÃy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu Trong [8], Peterson đà đ-a giả thuyết rằng, nh- môđun đại số Steenrod A, đại số đa thức Pk đ-ợc sinh đơn thức bậc n thoả mÃn (n + k) k, (n) số hệ số khai triển nhị phân n chứng minh điều với k Giả thuyết đà đ-ợc Wood [21] chứng minh cách tổng quát Đây công cụ toán xác định tập sinh cực tiểu A-môđun Pk Một công cụ quan trọng khác đ-ợc sử dụng để nghiên cứu toán hit toán tử bình ph-ơng Kameko f Sq : (F2⊗APk )n −→ (F2⊗APk ) n−k , víi mäi n ≥ k cho n − k lµ sè chẵn Kameko [6] chứng minh à(n) = k f Sq à(n) = min{m Z : (n + m) m} Từ kết kết Wood, toán hit đ-ợc quy việc tính toán bậc n thoả à(n) < k Tích tenxơ F2APk đà đ-ợc tính toán t-ờng minh Peterson [8] víi k = Kameko [6] víi k = Tr-ờng hợp k = 4, toán phức tạp đ-ợc xác định Sum [17] Kameko [7] Các nghiên cứu toán tr-ờng hợp tổng quát tìm thấy Singer [12], Nam [5], Silverman [10], Sum [15] [14] [17], Wood [21] nhiều công trình khác Một ứng dụng quan trọng toán hit sử dụng việc nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số Singer [11] định nghĩa đồng cấu trk : TorAk,n+k (F2, F2) −→ (F2⊗APk ) GL k n , nhóm tuyến tính tổng quát GLk = GLk (F2) tác động F2APk theo cách thông th-ờng Singer [11] chứng tỏ trk đẳng cấu với k = 1, tr5 không đẳng cấu bậc Boardman [1] chứng minh tr3 đẳng cấu Gần đây, H-ng [4] chứng minh với k > 4, trk không đẳng cấu vô số bậc Mặc dù không đẳng cấu, đồng cấu chuyển đại số trk công cụ quan trọng việc nghiên cứu đồng điều đại số Steenrod, TorAk,n+k (F2, F2) Tính cấp thiết đề tài Bài toán hit đại số Steenrod toán quan trọng Tôpô đại số có nhiều ứng dụng lý thuyết đồng luân Đây toán mang tính thời đ-ợc nghiên cứu nhiều tác giả n-ớc Mục tiêu đề tài Trong viết này, trình bày tổng quan số kết toán hit đại số Steenrod A Chúng xác định t-ờng minh toán hit tr-ờng hợp biến dạng bậc tổng quát 2s+1 + s ứng dụng kết để khảo sát tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu: Đại số Steenrod đại số đa thức năm biến Nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố hai phần tử tác động đại số đa thức Phạm vi nghiên cứu: Bài toán hit đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer Cách tiếp cận ph-ơng pháp nghiên cứu Cách tiếp cận: Kế thừa kết tr-ớc toán hit đồng cấu chuyển đại số Ph-ơng pháp nghiên cứu: Sử dụng tiêu chuẩn Wood Singer để xác định hệ sinh cực tiểu đại số đa thức đ-ợc xét nh-một mô đun đại số Steenrod Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài đ-ợc chia thành ch-ơng Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhắc lại số kết cần thiết toán hit, hàm số học, tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ-ợc Pk Ch-ơng Bài toán hit đại số Steenrod ứng dụng Trong ch-ơng này, xác định t-ờng minh sở chấp nhận đ-ợc P5 bậc 2s+1 + 2s ứng dụng kết để khảo sát tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng trình thực đề tài nh-ng không tránh khỏi sai lầm thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc góp ý quý thầy, cô giáo bạn đọc quan tâm Nhân đây, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Sum - Tr-ờng Đại học Quy Nhơn, đà h-ớng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học anh chị đồng nghiệp; Tr-ờng Đại học S- Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh, đà tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình thực đề tài Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Khắc Tín Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng này, trình bày tổng quan số kiến thức đại số tr-ờng, đại số Steenrod tr-ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử tác động đại số đa thức Chúng nhắc lại số kết cần thiết toán hit, hàm số học, tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ-ợc Pk 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 Một đại số tr-ờng K tập hợp không rỗng A với ba phép toán, gồm : (a) PhÐp céng (b) PhÐp nh©n (c) PhÐp nhân với vô h-ớng K : K ì A A, (, x) 7x thoả mÃn điều kiện sau đây: (i) A với hai phép toán cộng nhân lập thành vành với hai phép toán cộng nhân với vô h-ớng lập thành không gian véc tơ K (ii) A (iii) Hai cấu trúc vành không gian véc tơ ràng buộc điều kiện (xy) = (x)y = x(αy), víi mäi α ∈ K, x, y ∈ A Nói cách khác, A đại số K, vừa vành vừa không gian véc tơ, phép cộng vành A trùng với phép cộng không gian véctơ A, phép nhân vành A liên hệ với phép nhân với vô h-ớng không gian véc tơ A c«ng thøc α(xy) = (αx)y = x(αy), víi mäi α K, x, y A Đại số tenxơ 1.2 Định nghĩa 1.2.1 Giả sử V không gian véc tơ tr-ờng K Ta đặt T r(V ) = V ⊗ V ⊗ ⊗ V , víi quy -íc T 0(V ) = K vµ { v,v, ,v r i1, , ir k} sở T (V ) Ta đặt T (V ) = r=0T r(V ) Xét ánh xạ song tuyến tính T r(V ) × T s(V ) −→ T r+s (V ) (u, v) 7−→u ⊗ v Theo tÝnh chÊt cđa tÝch tenx¬, ánh xạ song tuyến tính nói cảm sinh phép nhân T (V ) T(V)ìT(V) T(V) Khi T (V ) đại số K đ-ợc gọi đại số tenxơ V Mệnh đề 1.2.2 Giả sử {v1, v2, , vk} sở K-không gian véc tơ V Khi tập hợp {vi1 ⊗ vir | ≤ i1, , ir ≤ k, ≤ r < } sở T (V ) 1.3 Đại số đối xứng Định nghĩa 1.3.1 Cho r N V không gian véc tơ trờng K Ta có không gian véc tơ T r(V ) K Ký hiệu Ar không gian véc tơ T r(V ) sinh tất phần tử có dạng x x ⊗ x − x i1 i2 ir iσ(1) ⊗ x ®ã xi1 , xi2 , xir ∈ V , σ ∈ iσ(2) ⊗ x , i(r) A= Khi Đặt Sr(V ) = T r(V )/Ar vµ S(V ) = ⊕∞r=0Sr(V ), víi quy -íc S0(V ) = K Khi ta có đại số th-ơng T(V )/A = S(V ) đ-ợc gọi đại số đối xứng V Đặt xi1 xi2 xir = p(xi1 ⊗ xi2 ⊗ ⊗ xir ), ®ã p : T (V ) S(V ) phép chiếu tự nhiên Ta cã Tõ ®ã suy γ3 = γ6, γ4 = γ7, γ5 = γ 22 = γ ,γ 31 23 = γ γ16 + γ19 + γ26 + γ28 Kết hợp với (1.4), đồng cấu 2, 3, ϕ4 chun (1.3) thµnh γ37[s9] + γ35[s10] + γ5[s12] + γ37[s17] + γ39[s18] + γ32[s20] + γ33[s22] + γ8[s25] + γ23[s26] + γ37[s27] + γ{24,35}[s28] + γ5[s30] + γ37[s31] + γ5[s33] + γ35[s34] + + + γ {36,37,47} [s ] + γ [s ] + γ 39 γ [s ] + γ γ 43 {3,26,30,32} 19 {7,29,35,37} [s ] + γ 54 40 {20,37} [s ] + γ 48 [s ] + γ 41 {8,16,21,23} {4,27,31,33,35} [s ] + γ [s ] + γ 56 {34,35,38,39,46} 51 {8,15} [s ] + γ 44 {17,22,24,35,37} [s ] + γ 61 {5,8,25} {6,28} [s ] 47 [s ] + γ [s ] 53 64 32 67 [s ] + γ [s ] 63 + γ{8,37}[s62] + γ33[s68] + γ39[s71] + γ23[s72] + γ24[s74] + γ5[s78] + γ35[s79] = γ [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ 41 + + 43 γ γ 10 {40,41,46} 41 17 {43,45} [s ] + γ [s ] + γ {4,17,41,43} 39 26 [s ] + γ 48 40 {28,30} [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ 18 {27,41} [s ] + γ 51 41 27 [s ] + γ 41 {29,31,41,43} 43 28 {42,43,44,45,47} [s ] + γ 53 {7,22,43} [s ] + γ {6,21} 44 [s ] {3,16} 56 [s ] 47 [s ] + γ [s ] 54 41 31 + γ43[s34] + γ41[s62] + γ45[s71] + γ43[s79] = γ [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ 17 13 14 38 18 47 19 44 20 {6,7,36,42} [s ] + γ 25 {21,22} [s ] 26 + γ17[s35] + γ4[s36] + γ{36,47}[s40] + γ38[s44] + γ47[s45] + γ36[s52] + γ17[s57] + + γ {6,42} [s ] + γ 47 {7,22} γ [s ] + γ 62 {7,22} [s ] + γ 51 [s ] + γ 63 {4,7} {4,6,42} [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ 55 44 54 17 60 [s ] + γ [s ] + γ [s ] + γ 64 17 65 22 79 {17,22} {7,22} [s ] 61 [s ] = 80 33 Từ hệ thức cho ta j = 0, j ∈ J \ {36, 40, 46}, (1.5) γ36 + γ40 = 0, γ40 + γ46 = Do ®ã, hƯ thøc (1.3) trë thµnh γ36[b36] + γ40[b40] + γ46[b46] = 0, Sử dụng đồng cấu tác động vào hệ thức (1.6), ta nhận đ-ợc 36 = 40 = γ46 = VËy γj = 0, víi mäi j J Mệnh đề đ-ợc chứng minh Mệnh đề 2.1.11 ((F2 ⊗A P5+) ∩ (F2 ⊗A P5(3, 2, 1, 1))) không gian véc tơ 150 chiều với sở gồm các lớp biểu diễn đơn thức chấp nhận đ-ợc sau: a1 = x1x2x3x4 x5 14 14 a5 = x1x2x3 x4x5 14 a9 = x1x2 x3x4x5 10 a13 = x1x2x3 x4 x5 13 a17 = x1x2x3 x4 x5 13 a21 = x1x2 x3 x4 x5 12 a25 = x1x2x3 x4 x5 12 a29 = x1x2 x3 x4 x5 12 a33 = x1x2 x3x4 x5 12 2 12 a37 = x1x2 x3 x4 x5 a41 = x1 x2x3 x4 x5 12 a45 = x1 x2 x3x4 x5 11 a49 = x1x2 x3 x4 x5 34 10 a53 = x1x 2x 3x 4x5 a54 = x1x2x 3x 4x a57 = x1x2 x3x4 x5 a61 = x1x2 x3 x4 x5 a65 = x1x2 x3x4 x5 a69 = x1x2 x3x4 x5 a73 = x1x2 x3 x4 x5 a77 = x1 x2x3 x4 x5 a81 = x1 x2 x3x4 x5 10 a85 = x1x 2x 3x 4x5 a86 = x31x2x3x44x105 10 a89 = x1 x2 x3x4x5 a93 = x1x2x3 x4 x5 a97 = x1x2 x3x4 x5 a101 = x1x2 x3 x4x5 a105 = x1 x2x3 x4 x5 a109 = x1x2 x3 x4 x5 a113 = x1x2 x3 x4 x5 a117 = x1 x2 x3x4 x5 a121 = x1x2 x3 x4 x5 a125 = x1x2 x3 x4 x5 a129 = x1 x2x3 x4 x5 a133 = x1 x2 x3 x4 x5 a a a 9 2 a55 = x1x2x3 x4 x5 a59 = x1x2 x3x4 x5 a63 = x1x2x3 x4 x5 8 a67 = x1x2 x3 x4 x5 a71 = x1x2 x3 x4 x5 a75 = x1 x2x3x4 x5 2 a79 = x1 x2x3 x4 x5 10 a83 = x1x2 x3x4 x5 10 a87 = x1 x2x3 x4x5 a91 = x1x2x3 x4 x5 8 a95 = x1x2 x3 x4x5 a99 = x1x2 x3 x4x5 a103 = x1 x2x3x4 x5 a107 = x1x2 x3 x4 x5 a111 = x1x2 x3 x4 x5 a115 = x1 x2x3 x4 x5 a119 = x1 x2 x3 x4x5 2 a123 = x1x2 x3 x4 x5 a127 = x1 x2x3 x4 x5 a131 = x1 x2 x3x4 x5 a135 = x1 x2 x3 x4 x5 3 137 a139 = x1 x2x3 x4 x5 141 a143 = x1 x2 x3 x4x5 145 a147 = x1 x2 x3 x4x5 a 3 8 149 Ta chn bÞ bỉ ®Ị sau cho phÐp chøng minh MƯnh ®Ị trªn 35 Bổ đề 2.1.12 Các đơn thức sau không chấp nhận đ-ợc chặt: 2 x ixj , i < j; x ixj x`, i < j < `; x ixj x`x m, i < j < `, m 6=i, j, ` Chøng minh Ta cã 2 x ixj = xix j + Sq (xixj ), 2 x ixj x` = xix jx` + xixj x ` + Sq (xixj x`), m x ixj x`x m = x ix jx ` x m + xixj x `x m + xixj x`x m) + Sq (xixj x`x Bổ đề đ-ợc chứng minh Chứng minh Mệnh đề 2.1.11 Nếu x đơn thức P5 (x) = (3, 2, 1, 1), x hoán vị đơn thức sau: 14 x1x2x3x4 x5 10 x1x2x3 x4 x5 2 x1x2 x3 x4 x5 B»ng cách tính toán trực tiếp sử dụng Định lý 1.8.10 Bổ đề 2.1.12 cho thấy rằng, x 6=at, t 150, x đơn thức không chấp nhận đ-ợc Ta chứng minh {[at] : t 150} tập độc lập tuyến tính F2AP5 Giả sử có tổ hợp tuyến tÝnh S= víi γt ∈ F2 B»ng c¸ch tÝnh toán trực p(1,2,3)(S) = 0, ta thu đ-ợc t minh 36 MƯnh ®Ị 2.1.13 ((F2 ⊗A P5+) ∩ (F2 A P5(3, 4, 2))) không gian véc tơ 55 chiều với sở gồm các lớp biểu diễn đơn thức chấp nhận đ-ợc sau: 2 7 c4 = x1x72x23x24x75 c8 7 = x71x2x23x74x25 c12 = 2 x1x22x33x74x65 c16 = c1 = x1x2 x3 x4 x5 c5 = x1x2 x3 x4 x5 c9 = x1 x2x3 x4 x5 6 7 x1x32x63x24x75 c20 = 7 x1x72x23x34x65 c24 = 7 2 x31x2x23x74x65 c28 = c13 = x1x2 x3 x4 x5 c14 = x1x2 x3 x4 x5 c15 = x1x2 x3 x4 x5 c17 = x1x2 x3 x4 x5 c18 = x1x2 x3 x4 x5 c19 = x1x2 x3 x4 x5 c21 = x1x2 x3 x4 x5 c22 = x1x2 x3 x4 x5 c23 = x1 x2x3 x4 x5 c25 = x1 x2x3 x4 x5 x31x2x73x64x25 c32 = x71x2x33x24x65 c36 = x1x32x33x64x65 c40 = 6 x31x2x63x34x65 c44 = 6 x31x52x23x74x25 c48 = 2 x31x32x53x24x65 c52 = 3 x31x52x33x24x65 c29 = x1 x2 x3x4 x5 c33 = x1 x2x3 x4 x5 c37 = x1x2 x3 x4 x5 c41 = x1 x2x3 x4 x5 c45 = x1 x2 x3 x4 x5 c49 = x1 x2 x3 x4 x5 c53 = x1 x2 x3 x4 x5 Bỉ ®Ị 2.1.14 Cho (i, j, `, m, n) hoán vị (1, 2, 3, 4, 5) Khi đó, đơn thức sau không chấp nhận đ-ợc chặt: (i) x ixj x`xmx n, i < j < ` < m, 3 (ii) xix jx `x mx n, i < j < `, xix jx `x mx n, i = 1, j = Chøng minh Ta chứng minh bổ đề với x = x1x62x33x24x75 Các đơn 37 thức khác đ-ợc chứng minh cách t-¬ng tù Ta cã x = x1x52x43x24x75 + x1x52x33x24x85 + x21x32x33x24x95 + x21x42x43x24x75 + x21x42x33x24x85 + x21x32x43x24x85 + x41x42x33x4x75 + x41x32x43x4x75 + x41x32x33x4x85 + x1x42x33x44x75 + x1x32x43x44x75 + x1x32x33x44x85 + x1x42x53x24x75 + x1x32x53x24x85 + x1x32x63x24x75 + Sq (x1x 2x 3x 4x 3 3 + x 1x 2x 3x4x 3 + x1x 2x 3x 4x 5 + x1x 2x 3x 4x 5) + Sq (x1x 2x 3x 4x 5) Do x không chấp nhận đ-ợc chặt Chứng minh Mệnh đề 2.1.13 Nếu x đơn thức P5 (x) = (3, 4, 2), x hoán vị đơn thức sau: 2 7 3 6 2 3 x1x 2x 3x 4x 5, x1x 2x 3x 4x 5, x1x 2x 3x 4x 5, x 1x 2x 3x 4x 5, x 1x 2x 3x 4x B»ng c¸ch tính toán trực tiếp sử dụng Định lý 1.8.10 Bỉ ®Ị 2.1.14, ta thÊy r»ng nÕu x 6=ct, t 55, x không chấp nhận đợc Bây giờ, ta chứng minh {[ct] : t 55} tập độc lập tuyến tính F2⊗AP5 GØa sư cã tỉ hỵp tun tÝnh S= víi γt ∈ F2, t 55 =0 B»ng c¸ch tÝnh to¸n trùc tiÕp tõ p(i,j)(S) ≡ 0, i < j 5, ta thu đ-ợc t với t Mệnh đề đ-ợc chứng minh 2.1.4 Tr-ờng hợp s > 38 Mệnh đề 2.1.15 Với s > 4, f s (Sq∗) : (F2 ⊗A P5)2s+1+2s−5 (F2 A P5)19 F2đẳng cấu Chứng minh V× n = 2s+1 + 2s − = (2s+1 − 1) + (2s−1 − 1) + (2s−2 − 1) + s−3 s−3 (2 − 1) + (2 − 1) nên à(n) = 5, với s > Do đó, sử dụng Định lý 1.9.2, ta thấy f Sq : (QP5)2r+1+2r (QP5)2r +2r15 F2đẳng cÊu, víi r = 4, 5, , s Vậy mệnh đề đ-ợc chứng minh Từ kết này, ta thấy với s > B5(2s+1 + 2s − 5) = φs−3(B5(19)), ®ã φ : P5 P5 F2đồng cấu đ-ợc xác định (x) = x1x2x3x4x5x , víi x ∈ P5 vµ B5(19) = ∪1≤i≤5fi(B4(19)) ∪ {ai : i 150} ∪ {bj : j 47} ∪ {c` : ` 55} ∪ φ(B5(7)) Do ®ã ta nhận đ-ợc Hệ 2.1.16 Với s > 4, (F2 A P5)2s+1+2s5 không gian véc tơ 912 chiều với sở gồm các lớp biểu diễn đơn thức chấp nhận đ-ợc tập B5(2s+1 + 2s 5) 2.2 Đồng cấu chuyển đại số Singer Singer [11] định nghĩa đồng cấu chuyển đại số trk : TorAk,k+n(F2, F2) −→ (F2⊗APk ) GL k n , 39 TorAk,k+n(F2, F2) đẳng cấu với nhóm đối đồng điều đại số Steenrod Extk,kA+n(F2, F2) mà hạng tử E2 dÃy phổ Adams mặt cầu Singer chứng minh [11] trk đẳng cấu với k = 1, bậc với k = 3, nh-ng tr5 không đẳng cấu bậc Về sau Boardman [1] chứng minh tr3 đẳng cấu Với k 4, đồng cấu đ-ợc quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Kết mệnh đề sau đ-ợc trình bày Bruner-Hà-H-ng [3] H-ng [4] Mệnh đề 2.2.1 ([3], [4]) Đồng cấu chuyển đại số trk không phép đẳng cấu với k Hơn nữa, với k = với k > có vô hạn bậc mà trk không phép đẳng cấu Giả sử G mét nhãm cđa nhãm tun tÝnh tỉng qu¸t GLk Tác động G Pk đ-ợc xác định nh- sau: Víi mäi f ∈ Pk, σ = (σij ) ∈ G, (σf)(x1, x2, , xk) = f(σx1, σx2, , σxk), X k ®ã σxj = σij xi, ≤ j ≤ k i=1 Với tác động xác định nh- trên, đại số đa thức Pk G-môđun Đa thức f Pk gọi bất biến nhóm G σf = f, víi mäi σ∈G Ký hiƯu Pk G tập hợp tất bất biến Pk nhóm G Khi Pk G đại số đại số đa thức Pk Các tác động nhóm G A giao hoán với nên đại số Pk A-môđun Ký hiệu W5 không gian véc tơ chiều cña P5 sinh bëi xi, i = 1, 2, 3, 4, Ta biÕt r»ng nhãm tun tÝnh tỉng qu¸t GL5 đ-ợc sinh G 40 đồng cấu i : W5 → W5 víi i = 1, 2, 3, 4, 5, đ-ợc xác định x 1(x) 2(x) 3(x) 4(x) 5(x) Các đồng cấu 1, 2, 3, phần tử sinh nhóm đối xứng GL5 Giả sử = P912 iui bất biến (F2AP5)19 tác động i=1 nhóm GL5 Khi đó, GL5 bất biến vµ chØ σi(θ) = θ, víi i = 1, 2, 3, 4, Nh- vËy sư dơng c¸c kÕt phần tính toán trực tiếp ta thu đ-ợc kết sau Mệnh đề 2.2.2 (F2AP5)GL195 = Mặt khác, theo Kameko[6], ta có Mệnh đề 2.2.3 Víi s > 4, f s (Sq∗) : (F2 A P5)2s+1+2s5 (F2 A P5)19 GLk đẳng cấu Do đó, ta thu đ-ợc kết Mệnh đề 2.2.4 Víi s > 3, (F ⊗ P ) HƯ qu¶ 2.2.5 NÕu A TorA5,2s+1+2s GL5 2s+1+2s−5 (F2, F2) 6= 0thì đồng cấu chuyển đại số A tr5 : Tor5,2s+1+2s (F2 không phép đẳng cấu, với s > 41 Kết luận kiến nghị Trong đề tài này, đà trình bày vÊn ®Ị sau: Chøng minh chi tiÕt mét sè kÕt hàm số học; đơn thức chấp nhận đ-ợc đơn thức hit đại số đa thức đ-ợc xét nh-môđun đại số Steenrod Xác định t-ờng minh tất đơn thức chấp nhận đ-ợc đại số đa thức biến bậc có dạng 2s+1 + 2s Khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ Singer bậc tơng ứng 42 Tài liệu tham kh¶o [1] J M Boardman (1993), “Modular representations on the homology of power of real projective space”, Algebraic topology: Oaxtepec 1991, M C Tangora (ed.) Contemp Math Amer Math Soc Prov-idence RI, (146), 49-70 [2] R R Bruner, L M Hµ and N H V H-ng (2005), “On behavior of the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc (357), 473-487 [3] L M Hµ (2007), “Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 85-105 [4] N H V H-ng (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and representations of the general linear groups ”, Trans Amer Math Soc (357), 4065-4089 [5] T N Nam (2004), “A-ge0ne0rateurs ge0ne0riquess pour l0algebre polynomiale”, Adv Math (186), 334-362 [6] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Stennrod modules, Ph D Thesis, Johns Hopkins University [7] M Kameko (2003), “Generators of the cohomology of BV4”, Preprint 43 [8] F P Peterson (1987), “Generators of H∗(RP ∞ × RP ∞) as a module over the Steenrod algebra”, Abstracts Amer Math Soc No (833) [9] V T N Quynh (2007), “On behavior of the fifth algebraic transfer”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Mono-graphs (11), 309-326 [10] J H Silverman (1995), “Hit polynomials and the canonical antimonomorphism of the Steenrod algebra”, Proc Amer Math Soc (123), 627-637 [11] W M Singer (1989), “The transfer in homological algebra”, Math Zeit (202), 493-523 [12] W M Singer (1991), “On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras”, Proc Amer Math Soc (111), 577-583 [13] N E Steenrod and D B A Epstein (1962), Cohomology operations, Ann of Math No (50), Princeton University Press [14] N Sum (2010), The negative answer to Kameko's conjecture on the hit problem, Adv Math 225, 2365-2390 [15] N Sum (2013), On the hit problem for the polynomial algebra, C R Math Acad Sci Paris, Ser I, 351, 565-568 [16] N Sum (2014), On the Peterson hit problem of five variables and its applications to the fifth Singer transfer , East-West J Mathematics, Vol 16, No 1, 34-49 44 [17] N Sum (2014), The hit problem for the polynomial algebra of four variables, Adv Math 60-pages (preprint) [18] N K TÝn (2012), “The admissible monomial basis for the polyno-mial algebra of five variables in degree eleven ”, Journal of Science, QuyNhon University, Vol 2, VI, 81-89 [19] N K TÝn (2014), “The admissible monomial basis for the polynomial algebra of five variables in degree eight ”, Jour Math Sci Appl Vol 2, No 2, 21-24 [20] N K TÝn (2014), “The admissible monomial basis for the polynomial algebra of five variables in degree 2s+1 + 2s − ”, East-West J Mathematics, Vol 16, No 1, 34-46 [21] R M W Wood (1989), “Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture”, Math Proc Cambriges Phil Soc (105), 307-309 ... thiết đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhắc lại số kết cần thiết toán hit, hàm số học, tính chất đơn thức. .. đ-ợc đơn thức hit đại số đa thức đ-ợc xét nh-môđun đại số Steenrod Xác định t-ờng minh tất đơn thức chấp nhận đ-ợc đại số đa thức biến bậc có dạng 2s+1 + 2s Khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ... chuyển đại số thứ năm Singer Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu: Đại số Steenrod đại số đa thức năm biến Nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố hai phần tử tác động đại số đa thức