02 tuong giao cua ham phan thuc p2

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 02. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm Ví dụ 1: Cho hàm số x y x 2 4 1 + = − (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN 3 10 = . Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng d y k x ( ): ( 1) 1. = − + Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình x k x x y k x 2 4 ( 1) 1 1 ( 1) 1  + = − +  − +   = − +  (I) có hai nghiệm x y x y 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) phân biệt sao cho ( ) ( ) x x y y 2 2 2 1 2 1 90 − + − = (a) Ta có: kx k x k I y k x 2 (2 3) 3 0 ( ) ( 1) 1   − − + + = ⇔  = − +   (I) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ kx k x k b 2 (2 3) 3 0 ( ) − − + + = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ k k 3 0, . 8 ≠ < Ta biến đổi (a) trở thành: ( ) ( ) k x x k x x x x 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (1 ) 90 (1 ) 4 90   + − = ⇔ + + − =     (c) Theo định lí Viet cho (b) ta có: k k x x x x k k 1 2 1 2 2 3 3 , , − + + = = thế vào (c) ta có phương trình: k k k k k k 3 2 2 8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0 + + − = ⇔ + + − = k k k 3 41 3 41 3; ; 16 16 − + − − ⇔ = − = = . Ví dụ 2: Cho hàm số x y x 2 1 1 + = + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y kx k 2 1 = + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau. Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm: x x kx k x kx k x k 2 1 2 1 2 1 1 (3 1) 2 0 (*)  ≠ − + = + + ⇔  + + − + =  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ k k k 2 0 6 1 0 ∆  ≠  = − + >  ⇔ k k k 0 3 2 2 3 2 3  ≠  < − ∨ > +  (**). Khi đó: A x kx k B x kx k 1 1 2 2 ( ; 2 1), ( ; 2 1) + + + + . Ta có: d A Ox d B Ox ( , ) ( , ) = ⇔ kx k kx k 1 2 2 1 2 1 + + = + + ⇔ k x x k 1 2 ( ) 4 2 0 + + + = ⇔ k 3 = − (thoả (**). Ví dụ 3: Cho hàm số x y x 2 1 = − . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d y mx m : 2 = − + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất. Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm: x mx m x 2 2 1 = − + − ⇔ x g x mx mx m 2 1 ( ) 2 2 0 (2)  ≠  = − + − =  d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m 0 > Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Khi đó: A x mx m B x mx m 1 1 2 2 ( ; 2), ( ; 2) − + − + ⇒ AB m x x 2 2 2 2 1 (1 ) ( ) = + − Theo định lí Viet, ta có: m x x x x m 1 2 1 2 2 2; − + = = ⇒ AB m m 2 1 8 16   = + ≥     Dấu "=" xảy ra ⇔ m 1 = . Vậy AB min 4 = khi m 1 = . Ví dụ 4: Cho hàm số x y x 2 2 2 + = − . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d y x m : = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB 2 2 37 2 + = . Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m x 2 2 2 + = + − x g x x m x m 2 1 ( ) 2 (2 3) 2( 1) 0  ≠ ⇔  = + − − + =  . Vì g m m m g 2 4 4 25 0, (1) 3 0 ∆   = + + > ∀  = ≠   nên d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi A x x m B x x m 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) + + . Theo định lí Viet, ta có: m x x x x m 1 2 1 2 2 3 2 ( 1)  −  + = −   = − +  Ta có: OA OB 2 2 37 2 + = ⇔ m m 2 1 37 (4 2 17) 2 2 + + = ⇔ m m 5 ; 2 2 = − = . Ví dụ 5: Cho hàm số x y x 1 = − . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d y mx m : 1 = − − cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM AN 2 2 + đạt giá trị nhỏ nhất, với A ( 1;1) − . Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x mx m x mx mx m 2 1 1 1 2 1 0 (2)  ≠ = − − ⇔  − − + + =  d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m 0 < . Gọi I là trung điểm của MN ⇒ I (1; 1) − cố định. Ta có: MN AM AN AI 2 2 2 2 2 2 + = + . Do đó AM AN 2 2 + nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất MN x x m m m 2 2 2 2 1 4 ( ) (1 ) 4 8 = − + = − − ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ m 1 = − . Vậy: AM AN 2 2 min( ) 20 + = khi m 1 = − . Ví dụ 6: Cho hàm số x y x 2 1 1 − = − (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: y x m = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông tại O. Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x m x m x 2 ( 3) 1 0, 1 + − + − = ≠ (*) (*) có m m m R 2 2 5 0, ∆ = − + > ∀ ∈ và (*) không có nghiệm x = 1. ⇒ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là A B x x , . Theo định lí Viét: A B A B x x m x x m 3 . 1  + = −  = −  Khi đó: ( ) ( ) A A B B A x x m B x x m ; , ;+ + OAB ∆ vuông tại O thì ( ) ( ) A B A B OA OB x x x m x m . 0 0 = ⇔ + + + =   ( ) A B A B x x m x x m m 2 2 0 2 ⇔ + + + = ⇔ = − Vậy: m = –2 là giá trị cần tìm.