Luận văn thạc sĩ về lục giác lồi rỗng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN GIANG THÀNH VE LUC GIÁC LOI RŐNG LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS TS TA DUY PHƯeNG HÀ N®I- 2013 Mnc lnc Ma đau TONG QUAN VE BI TON ERDOă S VE A GIC LOI RŐNG 1.1 Bài toán 1.1.1 Bài toán 1a 1.1.2 Bài toán 1b 1.1.3 Bài toán 1.1 1.1.4 Bài toán 1.2 1.1.5 Bài toán 1.3 14 1.2 Bài toán 16 1.3 Bài toán (Bài toán ve ton tai đa giác chúa k điem ) .19 1.4 Bài toán 21 CHÚNG MINH ĐÁNH GIÁ E(6) ≤ ES(9) VÀ Hfi QUA 23 2.1 Đ%nh lý E(6) ≤ ES(9) 23 2.2 Lưoc đo chúng minh 23 2.2.1 Kí hi¾u 25 2.2.2 Các đ%nh nghĩa 25 2.3 Các trưòng hop đơn gian 27 2.4 Các trưòng hop (3, ≥ 0) (≥ 6, 3) 27 2.4.1 Các trưòng hop (3, ≥ 0) (8,3) 27 2.4.2 Các trưòng hop (6,3) (7,3) 29 2.5 Các trưòng hop (4, ≥ 0) (≥ 7, 4) 34 2.5.1 Bưóc 1a 34 2.5.2 Bưóc 1b 35 2.5.3 Bưóc 38 2.5.4 Bưóc 38 2.5.5 Tőng ket 38 2.6 Các trưòng hop (5, 0) (≥ 7, 5, 0) 40 2.6.1 Các trưòng hop (5, 0) (8, 5, 0) .40 2.6.2 Trưòng hop (7, 5, 0) 40 2.7 Các trưòng hop riêng 41 2.7.1 Trưòng hop (5,1) 41 2.7.2 Trưòng hop (6,1) 42 2.7.3 Các trưòng hop (6,2) (7,1) 43 2.8 Các trưòng hop (5, ≥ 2) .43 2.8.1 M®t quan sát ban .43 2.8.2 Các trưòng hop (5, ≥ 2) .46 2.9 Các trưòng hop (6, ≥ 4) .48 2.9.1 TW X ∩ TXY ∅ .49 2.9.2 TW X ∩ TXY = ∅ .51 2.10 Các trưòng hop (≥ 7, ≥ 5, ≥ 1) 52 2.10.1 Quy tac 53 2.10.2 Quy tac 54 2.10.3 Úng dung cna Quy tac .54 2.10.4 Quy tac .56 2.10.5 Úng dung Quy tac 1-3 58 2.10.6 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 59 2.10.7 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) 59 2.10.8 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 61 Ket lu¾n 65 Tài li¾u tham khao 66 Ma đau Năm 1935, Erdo˝s Szekeres đưa gia thuyet sau (gia thuyet Erdo˝s- Szekeres): MQI t¾p khơng 2n−2 + điem m¾t phang o v% trí tőng qt (khơng có ba điem thang hàng) đeu chúa n điem đinh cna m®t đa giác loi Gia thuyet Erdo˝s-Szekeres có ý ngha triet HQc sõu sac: Tự mđt hop hon đn, khụng cú trắt tn, n lún (tắp cỏc điem bat kì m¾t phang), ta có the tìm oc mđt cú cau trỳc ep (a giỏc loi) Kí hi¾u ES(n) so điem o v% trí tőng quát nho nhat mà tù ta có the cHQN n điem đinh cna n-giác loi Khi ay, gia thuyet Erdo˝s-Szekeres nói rang ES (n) = 2n−2 + Bat chap sn co gang cna hàng trăm nhà toán HQc viet hàng trăm báo, gia thuyet Erdo˝s-Szekeres mói chi đưoc chúng minh cho trưịng hop n = 3, 4, 5, Trưòng hop n = mói đưoc chúng minh gan (2006) boi Szekeres Peters nhị máy tính Trên đưịng chúng minh gia thuyet Erdo˝s-Szekeres, nhieu phương pháp toán mói xuat hi¾n Năm 1978 [xem 5], Erdo˝s phát bieu m®t tốn mói, Bài tốn Erdo˝s ve đa giác loi rong: Cho n m®t so tn nhiên bat kì Ton tai hay khơng so nguyên dương nho nhat E(n) cho tù MQI t¾p chúa toi thieu E(n) điem o v% trí tőng quát m¾t phang, đeu có the cHQN đưoc n điem đinh cna m®t đa giác loi rong (đa giác khơng chúa điem cna t¾p cho bên nó) Bài tốn thu hút nhieu nhà nghiên cúu hình HQc tő hop the giói Năm 1978, Harborth chúng minh E(5) = 10 Năm 1983, vói MQI n, Horton xây dnng t¾p (sau đưoc GQI t¾p Horton), mà tù khơng the lay đưoc đa giác loi rong bay đinh Như v¾y, chi cịn phai nghiên cúu vói trưịng hop n = Năm 2003, Overmars chúng minh, neu E(6) ton tai E(6) ≥ 30 Năm 2008, Gerken chúng minh E(6) ≤ ES(9) tù suy ES(6) ton tai ta có đánh giá 30 ≤ E(6) ≤ 1717 Nhieu ngưòi tin rang, E(6) = 30 Tuy nhiên, gia thuyet cho đen van chưa đưoc chúng minh Lu¾n văn Ve lnc giác loi rőng có muc đích trình bày tőng quan ve tốn Erdo˝s- Szekeres tốn Erdo˝s đong thịi trình bày chúng minh chi tiet báo cna Gerken ve đánh giá E(6) ≤ ES(9) Lu¾n văn gom hai Chương: Chương trình bày tőng quan ve gia thuyet Erdo˝s-Szekeres Chương trình bày cách chúng minh E(6) ≤ ES(9) cna Gerken (năm 2008) Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS TS Ta Duy Phưong- Vi¾n Tốn HQc Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay hưóng dan Tơi xin đưoc cam ơn Khoa sau đai hQc, Thày Cô trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi v Viắn Toỏn HQc ó nhiắt tỡnh truyen thu kien thúc tao đieu ki¾n giúp đõ tơi hồn thành khóa Cao HQc Và cuoi cùng, xin cam n Gia ỡnh ó đng viờn v khớch lắ tơi rat nhieu thịi gian nghiên cúu HQc Chng TONG QUAN VE BI TON ERDOă S VE ĐA GIÁC LOI RŐNG 1.1 Bài toán Vái mői so tn nhiên n ≥ , xác đ%nh so nguyên dương nhó nhat ES(n) cho MQI t¾p tao thành tù toi thieu ES(n) điem m¾t phang v% trí tőng qt phai chúa n điem đsnh cua m®t đa giác loi Bài tốn đưoc phát bieu vào năm 1935 sau oc GQI l Bi toỏn Erdăos- Szekeres Erdăos ó GQI tốn tốn có ket hanh phúc (happy end problem hay happy ending problem), khơng lâu sau bi bỏo oc in (1935), Gyăorgy Szekeres Esther Klein tő chúc đám cưói (1937) song hanh phúc bên 60 năm Bài toán đưoc tách thành hai toán: 1.1.1 Bài tốn 1a Ton tai hay khơng ton tai so ES(n)? 1.1.2 Bài tốn 1b Neu so ES(n) ton tai xác đ%nh ES(n) m®t hàm cua n Sn ton tai so ES(n) có the đưoc chúng minh bang hai cách Cách thú nhat Szekeres chúng minh không lâu sau E Klein phát bieu toán, dna đ%nh lí Ramsey (mà Ơng tn tìm lai khơng biet đ%nh lí này) Tù ta có bat thúc ES(n) ≤ R4 (n, 5) , R4 (n, 5) so Ramsey Tuy nhiên, đánh giá q lón so vói thnc te Thí du, vói n = ES(5) ≤ 210000 q xa so vúi ES(5) = Cỏch thỳ hai Erdăos chúng minh dna m®t so quan sát hình HQc ket qua ta đưoc m®t đánh giá tot ES(n) ≤ C 2n−4 + Như v¾y, tốn n 1a − đưoc tra lòi khang đ%nh Rõ ràng ba điem không thang hàng đn đe tao m®t tam giác nên ES(3) = Dưói ta xét m®t so trưịng hop cu the cna tốn vói n = 4, 5, 1.1.3 Bài toán 1.1 (E Klein) Tù năm điem bat kỳ m¾t phang v% trí tőng qt bao già CHQN đưac bon điem đsnh cua m®t tú giác loi Đây ket qua cho toán trưịng hop n = Bài tốn đưoc E.Klein chúng minh vào năm 1932 ChÉng minh Trưóc tiên ta nhắn thay, ton tai bon iem khụng tao thnh mđt tú giác loi (Hình 1.1) Hình 1.1 V¾y so điem mà tù có the tao thành tú giác loi phai khơng Xét bao loi cna năm điem (t¾p loi nho nhat chúa năm điem cho) o v% trí tőng qt Chi có ba kha khác sau • Kha (Hình 1.2): Hình 1.2 Bao loi cna năm điem m®t ngũ giác ABCDE Khi ay MQI b® bon điem tù năm điem ay đeu tao thành tú giác loi (và điem cịn lai nam ngồi tú giác loi đó) Trong trưịng hop ta có tat ca C4 = tú giác loi Đó tú giác ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE Tat ca tú giác đeu khơng chúa điem cịn lai (điem thú năm nam bên tú giác) Ta GQI tú giác loi tú giác loi rőng Ngồi ra, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm điem A, B, C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE) Và tat ca tam giác đeu tam giác rőng • Kha (Hình 1.3): Hình 1.3 Bao loi m®t tú giác chúa m®t điem cịn lai o bên Trong trưịng hop ta có m®t tú giác loi (kớ hiắu l ABCD) chỳa mđt iem E o bên Tú giác ABCD (chi chúa m®t điem E o bên trong) đưoc GQI tú giác gan rőng Vì khơng có ba điem thang hàng nên E phai nam ve phía vói B (ho¾c vói D) cna đưịng thang AC Do ta có tú giác AECD (ho¾c ABCE) tú giác loi rong, cịn tú giác ABCE (ho¾c tương úng AECD) tú giác lõm Tương tn, điem E phai nam phía vói A (ho¾c vói C) cna đưịng chéo BD Khi ay tú giác BEDC (ho¾c tú giác ABED) tú giác loi rong tú giác ABED (ho¾c tú giác BCDE) tú giác lõm Như v¾y, Trưịng hop ta có hai tú giác loi rong, m®t tú giác loi gan rong hai tú giác lõm Ngoài ra, trưịng hop này, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm điem A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Trong tat ca tam giác có đinh E đeu tam giác rong (khơng chúa hai điem cịn lai bên trong) Vì ke đưịng chéo AC (ho¾c BD) cna tú giác loi ABCD điem khơng thang hàng nên E phai nam m®t hai tam giác ABC ho¾c ACD (ABD ho¾c BCD) Như v¾y ta có hai tam giác gan rong (chúa điem E) thêm hai tam giác rong nua • Kha (Hình 1.4): Hình 1.4 Bao loi chúa ba điem tao thành tam giác, thí du, ABC Hai điem cịn lai E D nam bên tam giác Do khơng có ba điem thang hàng (các điem o v% trí tőng quát) nên hai điem E D xác đ%nh mđt ũng thang chia mắt phang tam giỏc ABC thnh hai phan cho có hai đinh cna tam giác ABC, thí du, A B, nam m®t nua m¾t phang mo Hai điem E D vói A B tao thành m®t tú giác loi rong ABDE Tú giác tú giác loi nhat Bon tú giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE lai tú giác lõm Ngồi ra, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm điem A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC (chúa hai điem bên trong), ACD BEC chúa m®t điem bên (tam giác gan rong) Bay tam giác lai ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE tam giác rong 1.1.4 Bài toán 1.2 Vái chín điem cho trưác v% trí tőng qt (khơng có ba điem thang hàng) bao già ta tìm đưac năm điem tao thành m®t ngũ giác loi Theo Erdo˝s Szekeres, công thúc ES(5) = đưoc Endre Makai chúng minh Hình 1.5 Tuy nhiên khơng có viet cna E Makai trình bày chúng minh đó, mà chi có phan ví du cna E Makai (Hình 1.5, xem [6]) chi rang ton tai tám điem mà bo Π(2, 2, 2, 2, 0), (8, 6, ≥ 1) vói phân bo Π(2, 2, 2, 2, 0, 0), (8, 7, ≥ 1) vói phân bo Π(2, 2, 2, 2, 0, 0, 0), (8, 8, ≥ 1) vói phân bo Π(2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0) Đe rõ hơn, áp dung Quy tac vào hai đinh bat kỳ cna conv(I) nam m®t mien Lưu ý rang hai đinh v¾y úng vói m®t so "2" cách phân bo Vói đinh liên tiep cna conv(I) nam mien phân bi¾t, áp dung Quy tac Lưu ý rang trưòng hop này, Quy tac can áp dung xác lan ln có v% trí khác khơng cách phân bo o Đieu dan tói toi đa 4.2=8 đinh cna 9-giác loi H có the đưoc xep vào mà khơng tao luc giác loi rong M®t ví du đưoc chi Hình 28 Hình 2.28 Áp dung Quy tac cho trưòng hop (7, 6, ≥ 1) vói sn phân bo (2, 0, 2, 1, 0, 2) Hình 2.29 Quy tac 2.10.4 Quy tac Quy tac giai quyet trưịng hop vói m®t dãy mien mà moi mien chúa nhieu nhat m®t đinh cna conv(I), xem Hình 29 Hình 2.30 Chúng minh Quy tac vói n = Quy tac Cho ≤ n ≤ i − Xét dãy A0, A1, , An+1 đsnh liên tiep cua conv(I) Vái ≤ l ≤ n + 1, lay Al ∈ (alPbl), al bl đsnh liên tiep cua conv(J ) Gia su vái ≤ l ≤ n, mői mien (a lPb l) chúa m®t đsnh cua conv(I) a1, b1, a2, b2, , an+1, bn+1 đsnh liên tiep cua m®t xích loi trích tù conv(J ) Khi đó, nhieu nhat n + đsnh cua 9-giác loi nam hap cua mien n+ (A ∪l=1 l−1 al Al ) Chú ý Trong Quy tac 3, có the bl = al+1(1 ≤ l ≤ n) ho¾c bn+1 = a1 Hơn nua, có the A0 A1 nam mien (an+1Pbn+1) ChÉng minh Ta chúng minh quy nap theo n Neu n = 1, ta l¾p lu¾n rang A1 khơng the nam bên đưịng a1 b1 A0 A2 nam bên dưói a1 b1 ("nam bên dưói" nghĩa nam nua m¾t phang bị a1 b1 chúa P ) Vì neu ngưoc lai, |Ta1 b1 | = có the dnng đưoc m®t 9giác loi H J nam 9-giác loi H cho (trưòng hop t = Quan sát o Muc 8) Gia su A0 nam bên a1 b1 (trưòng hop A1 A2 nam bên a1 b1 tương tn) Dnng mien tú giác (A0 a1 b1 A1 ) vói mien tam giác (A1 a2 A2 ) Neu can, thay a2 boi m®t điem thích hop a2 ∈ OA1 a2 A2 đe tao mien tam giác mói (A1 aJ2 A2 ) mà khơng có điem cna J nam OA1 aJ2 A2 Các mien phn di¾n tích cna (A0 a1 A1 ) ∪ (A1 a2 A2 ) Vói điem nam (A1 a2 A2 ) đieu rõ ràng (A1 a2 A2 ) phn phan di¾n tích Lưu ý rang, khơng the có điem Q ∈ ((A0 a1 A1 ) \ (A1 aJ2 A2 )) \ (A0 a1 b1 A1 ) Điem v¾y phai nam phan di¾n tích b% bơi đen Hình 30 Neu a2 nam bên phai cna b1 A1 (ho¾c a2 = b1 ) Q ∈ (A1 aJ2 A2 ) ta có the cHQN aJ2 := b1 Các mien tú giác tam giác cho phép nhieu nhat 1+2=3 đinh cna 9-giác loi nam mà khơng tao m®t luc giác loi rong Bưóc quy nap tiep theo, gia su yêu cau toán cho 1, 2, , n − Qua gia thiet quy nap, ta thay có nhieu nhat (n− 1)+ đinh cna 9-giác loi có the nam hop cna mien ∪nl= (Al−1 al Al ) Nhieu nhat hai đinh nua cna 9-giác loi H có the nam mien (An a1n An+1 )\ ∪n l= (Al−1 al Al ) mà khơng tao m®t luc giác loi rong Do đó, so đinh cna 9-giác1 loi có the nam hop cna mien l= ∪n+1 (Al−1 al Al ) nhieu nhat (n − + 2) + = n + mà không1 tao m®t luc giác loi rong Cũng tù gia thiet quy nap, có nhieu nhat (n − 1) + đinh cna 9-giác loi H có the nam hop cna mien ∪n+1 (Al−1 al Al ) mà không tao l= m®t luc giác loi rong n+1 Tương tn, nhieu nhat hai đinh nua cna 9-giác loi có the nam mien (A0a1Al= 1)\∪ (Al−1alAl) mà khơng tao mđt luc giỏc loi rong Do ú, cắn xác neu2 chi neu có hai đinh cna 9-giác loi lan lưot nam mien (A0a1A1) (Anan+1An+1) Ta suy A0 phai nam phía dưói đưịng a1b1 An+1 phai nam phía dưói đưịng anbn neu khơng mien (A0a1A1) (Anan+1An+1) có the thay boi lan lưot mien (A0a1b1A1) (AnanbnAn+1) Mien chi có the chúa m®t đinh cna 9-giác loi mà khơng tao m®t luc giác loi rong hop cna cna mien van phn phan di¾n tích tương tn Đieu dan tói ∪n Ta b l = n < n + m¾c dù có the dnng đưoc m®t 9-giác l l= loi H nam 9-giác loi H cho theo Quan sát Đe thay đưoc, lưu ý rang a1 , b1 , a2 , b2 , , an , bn đinh liên tiep cna m®t xích loi trích tù conv(J ) vói đ® dài L > n + Tù ta có đieu phai chúng minh J 2.10.5 Úng dnng Quy tac 1-3 Dna ba Quy tac ta có the giai quyet tat ca trưịng hop lai cna (≥ 7, ≥ 5, ≥ 1) ngoai trù (7, 7, ≥ 1) vói phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (7, 8, ≥ 1) vói phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0), (8, 8, ≥ 1) vói phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (Nhung trưịng hop khơng cho phép áp dung trnc tiep Quy tac Ta giai quyet trưòng hop riêng o nhung muc sau) Vói nhung trưịng hop cịn lai, nhat m®t so se xuat hi¾n phân bo Ta có the l¾p lu¾n sau: Vói hai đinh liên tiep bat kỳ cna conv(I) nam m®t mien, áp dung Quy tac Lưu ý rang hai điem v¾y tương úng vói so phân bo Khơng có đinh cna 9-giác loi có the nam mien v¾y Bây giị ta cHQN dãy mien liên tiep lón nhat chúa toi đa m®t đinh cna conv(I) moi mien áp dung Quy tac (tương úng cHQN Quy tac neu mien mien chúa m®t đinh) So đinh cna 9-giác loi có the nam hop cna mien tương úng bang q + s.2, q tőng cna so so xuat hi¾n phân bo o s so chuoi phân bi¾t Nh¾n xét rang, s bang so khoang giua hai lan xuat hi¾n so phân bo So bang so so phân bo, suy q + s.2 tőng cna phan tu dãy phân bo De dàng kiem tra đươc rang tőng nho Do đó, trưịng hop đeu dnng đưoc m®t luc giác loi rong (ví du minh HQA Hình 31) Hình 2.31 Trưịng hop (8, 8, ≥ 1) vói sn phân bo (2, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1) 2.10.6 Trưàng hap (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Trưòng hop đưoc giai quyet bang cách áp dung Quy tac vói n = bay lan vói moi đinh cna conv(I) điem xuat phát Moi mien (Ar−1 ar Ar ) b % loai ỳng mđt lan Do vắy, hop cna tat ca mien có nhieu nhat (7.(5+2))/69 đinh cna 9-giác loi có the nam hop cna tat ca mien Do đó, địi hoi cách tiep c¾n khác cho trưịng hop đưoc đ¾t Kí hi¾u đinh cna conv(J ) theo chieu kim đong ho thú tn ar (1 ≤ r ≤ 8) Xét bon đinh liên tiep cna 8-giác loi conv(J ) as , at , au , av Lưu ý rang điem cna conv(I) có the nam phía dưói đưịng as at phía dưói đưịng au av ("phía dưói" đưoc hieu nam nua m¾t phang chúa P ) neu ngưoc lai ta có the su dung điem đe dnng đưoc m®t 9-giác loi H J nam 9-giác loi H cho Kí hi¾u Rt mien nam phía hai đưịng as at at au , xem Hình 33 Hop cna tat ca mien Rr (1 ≤ r ≤ 8) xác đ%nh m®t mien cho đinh cna conv(I) Kí hi¾u đinh cna conv(I) Am (Am ∈ (am P am+1 )), ≤ r ≤ 8, a9 := a1 ) Lưu ý rang Am nam Rm ho¾c Rm+1 (ho¾c ca hai) (1 ≤ r ≤ 8, R9 := R1 ) Xét ba kha sau: Hình 2.33 Trưịng hop (8, 8, ≥ 1) vói sn phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) :Xác đ %nh Rt TH1: Ton tai mien Rw mà khơng có Am nam Có nhieu nhat m®t mien v¾y neu ngưoc lai ta có the dnng đưoc m®t 9-giác loi H J nam 9-giác loi H cho Đe rõ đieu này, loai bo tiep kha cna Rz tiep theo boi tính chat Rw+1 , Rw+2 , Rw+3 ho¾c Rw+4 Trong trưịng hop dau tiên, ta có |Taw aw+1 | < ba trưòng hop lai ta có the thay m®t ba đinh cna 8-giác loi a1 a2 a8 boi hai bon điem Am đe dnng m®t 9-giác loi H J nam 9-giác loi H cho GQI a1 điem liên ket vói mien khơng chúa bat kỳ điem cna Am Vì sn ton tai cna m®t mien vắy l đc lắp vúi cỏch cHQN iem P nam ngũ giác a6 a2 a3 a4 a5 Điem P v¾y chac chan ton tai neu khơng có the dnng đưoc m®t luc giác loi rong, xem Hình 34 (m®t cách cHQN điem P khác có the giai quyet m®t cách phân bo khác Vói trưịng hop ta cHQN điem P trên) Ket qua, có nhieu nhat ba đinh cna 9-giác loi có the nam mien (A6 a6 P a2 A1 ) neu khơng có the dnng đưoc m®t 9-giác loi H J nam 9-giác loi H cho (vì 5+4=9) Ta can chúng minh Am ∈ Rm ∩ Rm+1 vói ≤ m ≤ 7, có nghĩa moi Am nam o bên ca hai đưòng am−1 am am+1 am+2 (2 ≤ m ≤ 7, a9 := a1 ) Đe rõ hơn, ta bat đau tù đưòng a1a2 tien hành theo chieu kim đong ho đe chúng minh rang Am nam am−1 am ( ≤ m ≤ 7) Lưu ý đen cau hình, Sl−1 n= Ta an+1 < l(2 ≤ l ≤ 8) n suy có the dnng đưoc m®t 9-giác loi H J nam 9-giác loi H cho theo Quan sát Muc Bây giò bat đau tù đưòng a1a8 tien hành theo chieu kim đong ho đe chúng minh Am nam bên đưòng am+1am+2(2 ≤ m ≤ 7, a9 := a1) Cuoi cùng, ta gia su rang khơng có Ar nam R1, kéo theo A1 ∈ R2 A8 ∈ R8 Do đó, trưịng hop có the giai quyet minh hoa hình 34 Hình 2.34 Trưịng hop (8, 8, ≥ 1) vói sn phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1): R1 khơng chúa Am TH2: Ít nhat m®t Am nam mői mien Rr(1 ≤ r ≤ 8) đ¾t A1 ∈ R1\R2 Ta phai chúng minh rang đieu dan đen Au ∈ Ru (3 ≤ u ≤ 8) neu ngưoc lai xuat hiắn mđt 9-giỏc loi H J nam 9-giỏc loi H cho Đe rõ hơn, đau tiên ta xét điem A8 , neu A8 ∈ R1 \ R8 9-giác loi H J := A1 a2 a3 a8 A8 nam 9-giác loi H cho xuat hi¾n Do đó, A8 ∈ R8 Tiep theo xét đen A7 , roi A6 cú tiep tuc v¾y Cuoi cùng, ta gia gia thiet rang có nhat m®t điem Am nam moi mien Rr (1 ≤ r ≤ 8), kéo theo A2 ∈ R2 , xem hình 35 Trong trưịng hop này, mien bên ngồi conv(I) có the chia thành mien tú giác (Al al al+1 Al+1 ) (1 ≤ l ≤ 8, a9 := a1 , A9 := A1 ) hop cna mien chi chúa toi đa tám đinh cna 9-giác loi mà khơng tao m®t luc giác loi rong TH3: Mői Am nam ca Rm Rm+1 M®t lan nua, mien bên ngồi cna conv(I) có the chia thành tám mien tú giác (Alalal+1Al+1) (1 ≤ l ≤ 8, a9 := a1, A9 := A1) hop cna mien chi chúa toi đa tám đinh cna 9-giác loi mà khơng tao m®t luc giác loi rong Hình 2.35 Trưịng hop (8, 8, ≥ 1) vói sn phân bo (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1): A1 ∈ R1 \ R2 Ket lu¾n Chương cna Lu¾n văn trình bày tőng quan ve toán Erdo˝s-Szekeres ve đa giác loi toán Erdo˝s ve đa giác loi rong Chương cna Lu¾n văn trình bày chúng minh tốn Erdo˝s cho luc giác loi rong, dna theo chúng minh bi bỏo cna Gerken Tự õy, nh l mđt hắ qua, ta suy ra: So điem can thiet v% trí tőng qt mà tù có the tìm đưac sáu điem đsnh tao thành lnc giác loi rőng phai thóa mãn bat thúc 30 ≤ E(6) ≤ 1717 Gan đây, su dung cách chúng minh tương tn cna Gerken, Koselev chúng minh m®t bat thúc tot 30 ≤ E(6) ≤ 463 Chúng minh cna Gerken Koselev rat ti mi, công phu có the đưoc su dung đe nghiên cúu tiep theo gia thuyet Erdo˝s toán luc giác loi rong Tài li¾u tham khao [1] Đồn Huu Dũng, Lài giai cua tốn Ecđơtsơ m®t trưàng hap đ¾c bi¾t (vái lài nh¾n xét cua Hồng Chúng), Tap chí Tốn hQc Ti tré, so 33, tháng 6, 1967, trang 14-16 [2] Đoàn Huu Dũng, Ta Duy Phưong, Nguyen Tien Th%nh, Bài toán Erdo˝s ve đa giác loi (Ban thao), 150 trang [3] Bonnice W E., On convex polygons determined by a finite planar set, Amer Math Monthly 81 (1974), 749-752 [4] Knut Dehnhardt, Heiko Harborth, and Zsolt Lángi, A partial proof of the Erdo˝s-Szekeres conjecture for hexagons, Journal of Pure and Applied Mathe- matics: Advances and Applications,Volume Number (2009), 6986 [5] Paul Erdo˝s, Some more problems on elementary geometry, Austral Math Soc Gaz (1978), 52-54 [6] P Erdo˝s and G Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Composi- tioMath 2, 463 (1935) [7] T Gerken, On empty convex hexagons in planar point set, Discrete Comput Geom., 39 (2008), 239-272 [8] H Harborth, Konvexe Funfecke in ebenen Punktmengen, Elem Math., 33 (1978), 116-118 [9] J D Horton, Sets with no empty 7-gons, Canad Math Bull., 26 (1983), 482484 [10] Kalbfleisch J.D., Kalbfleisch J.G., Stanton R.G., A combinatorial problem on convex regions, Proc Louisiana Conf Combinatorics, Graph Theory and Computing, Louisiana State Univ., Baton Rouge, La, 1970 Congr Numer (1970), 180-188 [11] V A Koshelev, On Erdo˝s-Szekeres problem for empty hexagons in the plane, Modeling and analysis of information systems, 16 (2009), 22-74 On Russian [12] Wanter D Morris and Valeru Soltan, The Erdo˝s-Szekeres problem on points in convex position - A survey, Bulletin of the American Mathematical Society (N S.), 37(4):437–458, 2000 [13] M Overmars, Finding sets of points without empty convex 6-gons, Discrete Comput Geom., 29 (2003), 153-158 [14] M Overmars, B Scholten, I Vincent, Sets without empty convex 6-gons, Bull European Assoc Theor Comput Sci., 37 (1989), 160-168 [15] G Szekeres, L Peters, Computer solution to the 17-point Erdos-Szekeres problem, ANZIAM J., 48 (2006), 151-164 ... úng AECD) tú giác lõm Tương tn, điem E phai nam phía vói A (ho¾c vói C) cna đưịng chéo BD Khi ay tú giác BEDC (ho¾c tú giác ABED) tú giác loi rong tú giác ABED (ho¾c tú giác BCDE) tú giác lõm Như... tam giác PQR nam bên tam giác BDF Khi ton tai tú giác loi rong BQDC nên mien (BQDC) khơng chúa q m®t điem cna 9 -giác loi H neu khơng se có m®t luc giác loi rong Vì hop cna mien bao quanh luc giác. .. mđt tam giác OABD, OBCE, OCDA, ODEB OEAC (vì tam giác phn ngũ giác loi) Không giam tính tőng quát, gia su P nam tam giác ABD (như Hình ve) Đưịng thang P D cat ngũ giác loi tao thành hai tú giác