Luận văn thạc sĩ về lục giác lồi rỗng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN GIANG THÀNH VỀ LỤC GIÁC LỒI RỖNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG H NI- 2013 Mc lc M u ă VỀ ĐA GIÁC LỒI RỖNG TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN ERDOS 1.1 Bài toán 1.1.1 Bài toán 1a 1.1.2 Bài toán 1b 1.1.3 Bài toán 1.1 1.1.4 Bài toán 1.2 1.1.5 Bài toán 1.3 1.2 Bài toán 1.3 Bài toán (Bài toán tồn đa giác chứa k điểm ) 1.4 Bài toán CHỨNG MINH ĐÁNH GIÁ E(6) ≤ ES(9) 2.1 Định lý E(6) ≤ ES(9) 2.2 Lược đồ chứng minh 2.2.1 Kí hiệu 2.2.2 Các định nghĩa 2.3 Các trường hợp đơn giản 2.4 Các trường hợp (3, ≥ 0) (≥ 6, 3) 2.4.1 Các trường hợp (3, ≥ 0) (8,3) 2.4.2 Các trường hợp (6,3) (7,3) 2.5 Các trường hợp (4, ≥ 0) (≥ 7, 4) 2.5.1 Bước 1a 2.5.2 Bước 1b 2.5.3 Bước 2.5.4 Bước 2.5.5 Tổng kết 2.6 Các trường hợp (5, 0) (≥ 7, 5, 0) 2.6.1 Các trường hợp (5, 0) (8, 5, 0) 2.6.2 Trường hợp (7, 5, 0) 2.7 Các trường hợp riêng 2.7.1 Trường hợp (5,1) 2.7.2 Trường hợp (6,1) 2.7.3 Các trường hợp (6,2) (7,1) 2.8 Các trường hợp (5, ≥ 2) VÀ HỆ QUẢ 5 5 14 16 19 21 23 23 23 25 25 27 27 27 29 34 34 35 38 38 38 40 40 40 41 41 42 43 43 2.8.1 Một quan sát 2.8.2 Các trường hợp (5, ≥ 2) 2.9 Các trường hợp (6, ≥ 4) 2.9.1 TW X ∩ TXY = ∅ 2.9.2 TW X ∩ TXY = ∅ 2.10 Các trường hợp (≥ 7, ≥ 5, ≥ 1) 2.10.1 Quy tắc 2.10.2 Quy tắc 2.10.3 Ứng dụng Quy tắc 2.10.4 Quy tắc 2.10.5 Ứng dụng Quy tắc 1-3 2.10.6 Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 2.10.7 Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) 2.10.8 Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Kết luận Tài liệu tham khảo 43 46 48 49 51 52 53 54 54 56 58 59 59 61 65 66 Mở đầu Năm 1935, Erdo˝s Szekeres đưa giả thuyết sau (giả thuyết Erdo˝sSzekeres): Mọi tập không 2n−2 + điểm mặt phẳng vị trí tổng qt (khơng có ba điểm thẳng hàng) chứa n điểm đỉnh đa giác lồi Giả thuyết Erdo˝s-Szekeres có ý nghĩa triết học sâu sắc: Từ tập hợp hỗn độn, khơng có trật tự, đủ lớn (tập điểm mặt phẳng), ta tìm tập có cấu trúc đẹp (đa giác lồi) Kí hiệu ES(n) số điểm vị trí tổng quát nhỏ mà từ ta chọn ˝s-Szekeres nói ES (n) = n điểm đỉnh n-giác lồi Khi ấy, giả thuyết Erdo 2n−2 + Bất chấp cố gắng hàng trăm nhà toán học viết hàng trăm báo, giả thuyết Erdo˝s-Szekeres chứng minh cho trường hợp n = 3, 4, 5, Trường hợp n = chứng minh gần (2006) Szekeres Peters nhờ máy tính Trên đường chứng minh giả thuyết Erdo˝s-Szekeres, nhiều phương pháp toán xuất Năm 1978 [xem 5], Erdo˝s phát biểu tốn mới, Bài tốn Erdo˝s đa giác lồi rỗng: Cho n số tự nhiên Tồn hay khơng số ngun dương nhỏ E(n) cho từ tập chứa tối thiểu E(n) điểm vị trí tổng quát mặt phẳng, chọn n điểm đỉnh đa giác lồi rỗng (đa giác không chứa điểm tập cho bên nó) Bài tốn thu hút nhiều nhà nghiên cứu hình học tổ hợp giới Năm 1978, Harborth chứng minh E(5) = 10 Năm 1983, với n, Horton xây dựng tập (sau gọi tập Horton), mà từ khơng thể lấy đa giác lồi rỗng bảy đỉnh Như vậy, phải nghiên cứu với trường hợp n = Năm 2003, Overmars chứng minh, E(6) tồn E(6) ≥ 30 Năm 2008, Gerken chứng minh E(6) ≤ ES(9) từ suy ES(6) tồn ta có đánh giá 30 ≤ E(6) ≤ 1717 Nhiều người tin rằng, E(6) = 30 Tuy nhiên, giả thuyết chưa chứng minh Luận văn Về lục giác lồi rỗng có mục đích trình bày tổng quan tốn Erdo˝s3 Szekeres tốn Erdo˝s đồng thời trình bày chứng minh chi tiết báo Gerken đánh giá E(6) ≤ ES(9) Luận văn gồm hai Chương: Chương trình bày tổng quan giả thuyết Erdo˝s-Szekeres Chương trình bày cách chứng minh E(6) ≤ ES(9) Gerken (năm 2008) Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng- Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn Tôi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Thày Cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Viện Tốn học nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình động viên khích lệ tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Chương TNG QUAN V BI TON ă V A GIC LỒI RỖNG ERDOS 1.1 Bài toán Với số tự nhiên n ≥ , xác định số nguyên dương nhỏ ES(n) cho tập tạo thành từ tối thiểu ES(n) điểm mặt phẳng vị trí tổng quát phải chứa n điểm đỉnh đa giác lồi Bài toán phát biểu vào năm 1935 sau gọi Bi toỏn ErdăosSzekeres Erdăos ó gi bi toỏn ny l tốn có kết hạnh phúc (happy end problem hay happy ending problem), khơng lâu sau báo c in (1935), Gyăorgy Szekeres v Esther Klein ó tổ chức đám cưới (1937) sống hạnh phúc bên 60 năm Bài toán tách thành hai toán: 1.1.1 Bài toán 1a Tồn hay khơng tồn số ES(n)? 1.1.2 Bài tốn 1b Nếu số ES(n) tồn xác định ES(n) hàm n Sự tồn số ES(n) chứng minh hai cách Cách thứ Szekeres chứng minh không lâu sau E Klein phát biểu tốn, dựa định lí Ramsey (mà Ơng tự tìm lại khơng biết định lí này) Từ ta có bất đẳng thức ES(n) ≤ R4 (n, 5) , R4 (n, 5) số Ramsey Tuy nhiên, đánh giá lớn so với thực tế Thí dụ, với n = ES(5) ≤ 210000 xa so với ES(5) = Cỏch th hai Erdăos chng minh da trờn số quan sát hình học kết 2n−4 ta đánh giá tốt ES(n) ≤ Cn−2 + Như vậy, toán 1a trả lời khẳng định Rõ ràng ba điểm không thẳng hàng đủ để tạo tam giác nên ES(3) = Dưới ta xét số trường hợp cụ thể toán với n = 4, 5, 1.1.3 Bài toán 1.1 (E Klein) Từ năm điểm mặt phẳng vị trí tổng quát chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi Đây kết cho toán trường hợp n = Bài toán E.Klein chứng minh vào năm 1932 Chứng minh Trước tiên ta nhận thấy, tồn bốn điểm khơng tạo thành tứ giác lồi (Hình 1.1) Hình 1.1 Vậy số điểm mà từ tạo thành tứ giác lồi phải khơng Xét bao lồi năm điểm (tập lồi nhỏ chứa năm điểm cho) vị trí tổng quát Chỉ có ba khả khác sau • Khả (Hình 1.2): Hình 1.2 Bao lồi năm điểm ngũ giác ABCDE Khi bốn điểm từ năm điểm tạo thành tứ giác lồi (và điểm cịn lại nằm ngồi tứ giác lồi đó) Trong trường hợp ta có tất C54 = tứ giác lồi Đó tứ giác ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE Tất tứ giác khơng chứa điểm cịn lại (điểm thứ năm nằm bên tứ giác) Ta gọi tứ giác lồi tứ giác lồi rỗng Ngồi ra, ta có tất 10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE) Và tất tam giác tam giác rỗng • Khả (Hình 1.3): Hình 1.3 Bao lồi tứ giác chứa điểm lại bên Trong trường hợp ta có tứ giác lồi (kí hiệu ABCD) chứa điểm E bên Tứ giác ABCD (chỉ chứa điểm E bên trong) gọi tứ giác gần rỗng Vì khơng có ba điểm thẳng hàng nên E phải nằm phía với B (hoặc với D) đường thẳng AC Do ta có tứ giác AECD (hoặc ABCE) tứ giác lồi rỗng, tứ giác ABCE (hoặc tương ứng AECD) tứ giác lõm Tương tự, điểm E phải nằm phía với A (hoặc với C) đường chéo BD Khi tứ giác BEDC (hoặc tứ giác ABED) tứ giác lồi rỗng tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) tứ giác lõm Như vậy, Trường hợp ta có hai tứ giác lồi rỗng, tứ giác lồi gần rỗng hai tứ giác lõm Ngồi ra, trường hợp này, ta có tất 10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Trong tất tam giác có đỉnh E tam giác rỗng (không chứa hai điểm cịn lại bên trong) Vì kẻ đường chéo AC (hoặc BD) tứ giác lồi ABCD điểm không thẳng hàng nên E phải nằm trong hai tam giác ABC ACD (ABD BCD) Như ta có hai tam giác gần rỗng (chứa điểm E) thêm hai tam giác rỗng • Khả (Hình 1.4): Hình 1.4 Bao lồi chứa ba điểm tạo thành tam giác, thí dụ, ABC Hai điểm lại E D nằm bên tam giác Do khơng có ba điểm thẳng hàng (các điểm vị trí tổng quát) nên hai điểm E D xác định đường thẳng chia mặt phẳng tam giác ABC thành hai phần cho có hai đỉnh tam giác ABC, thí dụ, A B, nằm nửa mặt phẳng mở Hai điểm E D với A B tạo thành tứ giác lồi rỗng ABDE Tứ giác tứ giác lồi Bốn tứ giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE lại tứ giác lõm Ngồi ra, ta có tất 10 tam giác tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E Đó tam giác: ABC (chứa hai điểm bên trong), ACD BEC chứa điểm bên (tam giác gần rỗng) Bảy tam giác lại ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE tam giác rỗng 1.1.4 Bài tốn 1.2 Với chín điểm cho trước vị trí tổng qt (khơng có ba điểm thẳng hàng) ta tìm năm điểm tạo thành ngũ giác lồi Theo Erdo˝s Szekeres, công thức ES(5) = Endre Makai chứng minh Hình 1.5 Tuy nhiên khơng có viết E Makai trình bày chứng minh đó, mà có phản ví dụ E Makai (Hình 1.5, xem [6]) tồn tám điểm mà năm điểm số tạo thành ngũ giác lồi, tức ES(5) ≥ (xem [6]) Bài tốn 1.2 Hồng Chúng giới thiệu với bạn đọc Việt Nam Toán học Tuổi trẻ số 4, tháng năm 1967 Ngay sau cơng thức ES(5) = Đoàn Hữu Dũng chứng minh Toán học Tuổi trẻ số tháng 6, 1967 Hoàn toàn độc lập (nhưng phương pháp) với Đồn Hữu Dũng, cơng thức chứng minh Bonnice năm 1974 Dưới chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết công thức ES(5) = 9, kết hợp phương pháp hình học, (xem [1]) Đồn Hữu Dũng (sử dụng đa giác lồi bao nhau) ngơn ngữ cấu hình Bonnice (xem [3]) Chứng minh (Đoàn Hữu Dũng, 1967; Bonnice, 1974) Lấy bao lồi điểm Gọi trường hợp (khả năng) xảy cấu hình Để phân loại cấu hình, ta xét đa giác lồi bao nhau, tức lấy bao lồi điểm, bao lồi đa giác 9; 8; 7; 6; 5; 4; đỉnh Các điểm lại bên bao lồi tương ứng 0; 1; 2; 3; 4; 5; Khi số điểm lại bên bao lồi lớn 3, ta lại lấy bao lồi điểm để đa giác lồi Chỉ có trường hợp ba tam giác bao Các trường hợp cịn lại hai đa giác bao (có thể chứa hai điểm trong) Ta tất 12 cấu hình khác sau đây: Trường hợp (Hình 1.6a) Cấu hình (9;0): Bao lồi đa giác lồi đỉnh Mọi tập năm đỉnh tạo thành ngũ giác lồi (thậm chí lồi rỗng) Trường hợp (Hình 1.6b) Cấu hình (8;1): Bao lồi đa giác lồi đỉnh, điểm cịn lại nằm đa giác Do khơng có ba điểm thẳng hàng nên năm đỉnh bao lồi tạo thành ngũ giác lồi (có thể rỗng chứa điểm trong) Trường hợp (Hình 1.6c) Cấu hình (7;2): Bao lồi đa giác lồi đỉnh, hai điểm lại nằm đa giác Do khơng có ba điểm thẳng hàng nên năm đỉnh bao lồi tạo thành ngũ giác lồi (có thể rỗng, chứa hai điểm trong) ... chéo BD Khi tứ giác BEDC (hoặc tứ giác ABED) tứ giác lồi rỗng tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) tứ giác lõm Như vậy, Trường hợp ta có hai tứ giác lồi rỗng, tứ giác lồi gần rỗng hai tứ giác lõm Ngoài...R2 64 Kết luận Chương Luận văn trình bày tổng quan tốn Erdo˝s-Szekeres đa giác lồi toán Erdo˝s đa giác lồi rỗng Chương Luận văn trình bày chứng minh toán Erdo˝s cho lục giác lồi rỗng, dựa theo ... gian thay điểm thành tập lồi thể lồi; nghiên cứu sâu cấu trúc hình học tập điểm (đa giác lồi rỗng, đa giác lồi gần rỗng, đa giác lồi chứa k điểm, ); quan hệ số đa giác lồi k đỉnh tập hợp n điểm