Luận văn thạc sĩ về bất đẳng thức bất định heisenberg cho toán tử tích phân fourier không unitar

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN CÙ TH± THU MINH VE BAT ĐANG THÚC BAT бNH HEISENBERG CHO TỐN TU TÍCH PHÂN FOURIER KHễNG UNITAR LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2017 CÙ TH± THU MINH VE BAT ĐANG THÚC BAT бNH HEISENBERG CHO TỐN TU TÍCH PHÂN FOURIER KHƠNG UNITAR Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Minh Tuan Hà N®i - 2017 Mnc lnc Lài nói đau Bien đoi tích phân Fourier 1.1 Đ%nh nghĩa ví du 1.2 Bien đői Fourier chuoi 1.3 Nhung tính chat ban cna bien đői Fourier 5 14 Bat thÉc bat đ%nh Heisenberg 2.1 Hàm Hermite 2.2 Nguyên lí bat đ%nh cna bien đői Fourier 2.2.1 Nguyên lý bat đ%nh Heisenberg 2.2.2 Úng dung HQc lưong tu 2.2.3 Úng dung v¾t lý 2.3 Nguyên lý bat đ%nh Heisenberg 22 22 30 30 31 33 34 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 42 Ma đau "Sn ngau nhiên mị ao cai tr% the giói nguyên tu Tôi không the miêu ta sn chuyen đ®ng cna m®t electron m®t ngun tu tơi miêu ta đưịng đao cna m®t trái banh mà ngưịi ta ném lên khơng, hay cu®c hành trình cna chiec tàu re nưóc đai dương Tơi khơng nam đưoc sn chuyen đ®ng cna electron khơng the đo o moi thũi iem cựng mđt lỳc v% trớ v vắn toc cna tơi có the làm vi¾c cho trái banh hay tàu Sn khơng xác, hay bat đ %nh, không the trù khu đưoc cho dù dung cu đo đac có cau kỳ the nua Nó gan lien vói hành đ®ng đo Thí du lúc đo v% trí m®t electron, tơi phai chieu sáng nó, làm v¾y, tơi goi tói nhung hat ánh sáng se gây nhieu loan v¾n toc cna electron Neu ∆x sn bat đ%nh cna phép đo v% trí x ∆v sn bat đ%nh cna phép đo v¾n toc v, tích so cna chúng se ln ln lón m®t so rat nho, bang 2h h π hang so Planck, h ∼ 6, 63.10 −27 erg giây): h ∆x.∆v ≥ 2π V¾y neu làm giam sn bat đ%nh ve v% trí (∆x gan zero) sn bat đ%nh se tro nên vơ lón đe bù trù, làm the đe cho tích ∆x.∆v ln lón h2 Tơi khơng the làm giam m®t lúc ∆x π ∆v." (Trích- nguon: Internet) Nhà v¾t lý HQc Đúc Werner Heisenberg dien ta sn bat đ%nh the giói ngun tu chi bang m®t bat thúc Ngun lí bat đ%nh m®t ngun lí quan TRQNG HQc lưong tu Trong toán HQ c, ngun lí bat đ%nh đưoc the hi¾n rat đa dang, phong phú Trong khn khő nghiên cúu em muon trình by bi luắn cna mỡnh mđt so hieu biet ve Bat thúc bat đ%nh Heisenberg cho toán tu tích phân Fourier khơng unitar Lu¾n văn gom hai chương đưoc sap xep sau Chương nhac lai đ%nh nghĩa bien đői Fourier bien đői tích phân Fourier ngưoc m®t so ví du Sau nhung tính chat ban cna bien đői Fourier tính tuyen tính, tính tre, tính liên hop phúc m®t so đ%nh lý, bő đe quan TRQNG có su dung Chương Trong chương 2, lu¾n văn trình bày ve ngun lý bat đ%nh Heisenberg , nhung bien dang bien the cna cna nguyên lý Lu¾n văn nhan manh đen nguyên lý bat đ%nh cho bien đői tích phân Fourier khơng unitar Đau tiên, ta đe c¾p đen d%ch chuyen cna hàm Hermite Hàm Hermite đóng vai trị rat quan TRQNG nhung nghiên cúu dao đ®ng đieu hịa HQc lưong tu, hàm riêng cna phép bien đői T2,1 Do T2,1 khơng phai tốn tu unitar nên thúc Parseval khơng cịn cho tốn tu này, thay the vào thúc dang Parseval Tiep theo, ta đe c¾p đen nguyên lý bat đ%nh bang m®t đ%nh lý Vói nhung đai lưong đưoc đe c¾p đ%nh lý ta tìm hieu ý nghĩa v¾t lý HQc lưong tu Cuoi ngun lý bat đ%nh dang Heisenberg cho tốn tu tích phân Fourier T2,1 Do T2,1 khơng phai tốn tu unitar nên vi¾c chúng minh nguyên lý se phúc tap nhieu so vói phép chúng minh tương tn cho tốn tu unitar Vì the, lu¾n văn nêu lai thúc Parseval, thúc dang Parseval , đóng vai trị quan TRQNG q trình chúng minh ngun lý M®t so bő đe đ%nh lý đưoc đưa bő sung cho bưóc chúng minh Cách tiep c¾n đe chúng minh cho nguyên lý su dung chuoi Fourier cna hàm so thnc Đe hoàn thành lu¾n văn, tác gia nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay cơ, ban bè, đ¾c bi¾t sn chi bao hưóng dan t¾n tình cna PGS TS Nguyen Minh Tuan, thay Seminar b® mơn Tốn cna trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói PGS TS Nguyen Minh Tuan thay giáo khoa Tốn- Cơ- Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i hưóng dan em hồn thành khóa HQ c Cao HQ c 2015-2017 Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Rat mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQc Xin chân thành cam ơn! Chương Bien đoi tích phân Fourier 1.1 Đ%nh nghĩa ví dn Đ%nh nghĩa 1.1 ([13]) Bien đői Fourier bien đői tích phân Fourier ngưoc đưoc đ%nh nghĩa boi cơng thúc dưói đây: ) (x) := ∫(Ff (2π)2 Σ − f (y)eixydy (1.2) 1 ∫ (1.1) Rd d f (y)e−ixydy d F Rd (2π)2 Hàm so f đưoc GQI hàm goc, Ff đưoc GQI hàm anh Trong muc ta se chúng minh rang vúi1 mđt gia thiet cho trúc , hoắc neu F xác Rd Σ ho¾c L2 Rd , hai bien đői Fourier đ%nh không gian hàm L −1 F, F thnc sn tao thnh mđt cắp xuụi-ngoc Ngha l neu GQI tù bien đői ngưoc dành cho F ) Σ bien đői khoi đau se bien đői ngưoc (Ta chap nh¾n cum Vói moi x = (x1, x2, , xd) ∈ Rd, kí hi¾u −x = (−x1, −x2, , −xd), × f (x) = f (−x) cho nhung hàm xác đ%nh Rd × De dàng thay rang, f ∈ L1(Rd) chi f ∈ L1(Rd) Hơn nua, f× Σ F Σ (x) = F −1 f (x), (1.3) f (F f ) (x) = F−1 ×Σ (x) (1.4) Đơi ta dùng kí hi¾u (Ff )( x) := f^(x) Trong nhung trưịng hop phúc hop, ta dùng kí hi¾u sau (f g)∧ (x) := (Ff g)(x), Nghĩa , (f g)∧ (x) bien đői Fourier cna hàm so tích f g Ví dn 1.1 Vói moi so dương a, xét hàm so f (y) = e−a|y| xác đ%nh Rd, |y| := y 1+ y 2+ · · · + y 2d d Ta nh¾ntrưịng thay hop f ∈đ¾c L1(R ) cna Hơnhàm nua, Đâyde l mđt biắt Gauss (Ff ) (x) = 1 √ 2a − |x| a Bang cách cHQN a = , x = ta đưoc thúc quen thu®c ∫ +∞ √ −x e dx = π −∞ Khi thay Ff ∈ L1(Rd) Trong trưòng hop f ∈ L1(Rd) ^ f ∈ L1(Rd) ^ Khi a > ta thay f ∈ Lp (Rd ) f ∈ Lp (Rd ) vói Ví dn 1.2 Xét hàm so h(y) = e−y, 0, neu y ≥ neu y < xác đ%nh R, ta có (Fh) (x) = √ 2π(1 + ix) MQI p ≥ Hơn nua, |(Fh) (x)| = Tù suy 1 √ =2π + ix √ √ 2π + x2 Fh ∈/ L1(R) Trong trưịng hop m¾c dù h ∈ L1 (R) Fh ∈/ L1 (R) Ví dn 1.3 Cho hai so bat kì a, b ∈ R thoa mãn a < b Xét hàm so 1, neu a ≤ y ≤ b )(y) = 0, neu y ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) (f0 Như v¾y hàm f0 xác đ%nh R tai điem x=0 ta có 1 b∫ √ ∫ −ix dy e √ y (Ff0) (0) f0(y)dy 2π a = R π = = Tai nhung điem x ƒ= ta có ∫ √ e−ix 2π y (Ff0) (0) R f0(y)dy = V¾y, b−a √ 2π ∫ √ b 2π e a −ix dy = y =   √ e−iax , x ƒ= 2πix (Ff0)(x) = − e−ibx b a  − −ibx e−iax √ −e 2πix √ 2π , neu x =  Chú ý: Hàm anh cna f0 Ff0 liên tuc tai MQI điem Tuy nhiên Ff0 ∈/ L1 (R) 1.2 Bien đoi Fourier chuői Fourier khoang vô han Trong phan ta ngam hieu hàm xét thoa mãn tat ca gia thiet đe l¾p lu¾n TRQNG tâm cna phan trình bày ý tưong, the ta xét trưịng hop m®t chieu Gia su hàm f xác đ%nh R Ta nói rang hàm f thoa mãn đieu ki¾n Dirichlet khoang [−T, T ] neu chúng minh Bo đe 2.3 Bat thúc sau 2 ǁtf (t)ǁ2 + ǁtg(t)ǁ2 “ ǁfǁ2 Đang thúc xay chs hàm f có dang sau (2.28) exp(−At2), A > vái hau khap nơi t ∈ R Chúng minh Áp dung (2.21)-(2.24) ta có P := ǁtf (t)ǁ 2+ ǁtg(t)ǁ = ∞ 1Σ m= Σ(2m + 1)(1 + mθ2 )|γ m | +.m(m + 1)(1 + θm−1θm+1 )(γm−1γm+1γm−1 γm+1 )Σ m=0 Σ∞ = 12 m Σ(2m + 1)(1 + θ2 )|γm| + (1 + θ m− θm+ 1 Σ1 ∞ (1 + θ − m= √ ) m+ 1γ m+ + √ mγ m− 1 |2+ m|γ ) Σ(m + 1)| m− θm+ 1 Σ γ m+ m− 1 | Σ Thay m + := m, m − := m, ta thu đưoc |2+ (1 + θ ∞ 1Σ P := [(2m + 1) (1 +mθ2 m m= |γ √ m+ 1γ m− θm+ )× Σ− Σ + √ m+1 m−1 m γ (2m + 1)(1 + θm ∞ m=0 )| γm| θm+2 m Do θ2 = −θΣ mθm+2 ta có ∞ 22 P m = (2m + 1)θ |γ |m m=0 √ Σ∞ +1 (1 − θ ) m + m= 1γ + √ mγ m m−1 m+1 2 = 4|γ0| + 3|γ1| + ∞ +Σ m= ∞ Σ m=2 (1 − θ2 m− 2 m |γm| (2m + 1)θ √ ) m + 1γ m+ + √ mγ m−1 m− Vì − θ “ −3, 2 3|γ1 | “ 4| | − nên ta có |γ1| , γ1 2 P “ 4|γ0| + 4|γ1| ∞ ∞ √ + + 4Σ Σ3 |γm m + √ m+ | − |γ1 m= | m= 1γ mγ 2 Σ3 | − ∞ ∞ √ + = 4Σ |γm m + m+ √ m= m−1 m= − mγ 1γ 2 m−1 =4 ∫R |f (t)| dt − 3R Do v¾y t2|f (t)| dt (2.29) ∫ 2 ǁtf (t)ǁ 2+ ǁtg(t)ǁ2 “ ǁfǁ2 Đang thúc xay (2.28) chi khi2), γ1 A=>γ20.= Bő · · ·đe = 0, f (t) hau khap nơi bang hàmkhi sovà exp(−At 2.3nghĩa đưoc chúng minh Bây giò ta chúng minh Đ%nh lí 2.8 CHQN hang so p > 0, xét hàm so f1 , g1 sau: t 1 (t) p2 (tp) g f1(t) = p− ( ), g1 = p f Ta se chúng minh g1 =∫T2,1f1 Thnc v¾y, ta có √1 ∫ (T2,1f1)(t) (2 cos ty −ity + sin− y 2+i R ty)f (y)dy = π 2−i 1 f() dy ∫ ity − = y √ e 2Σ 2π R ∫ 2+ i1 √ = p2 f ( )dy + −ity p y p √ e p 2π ∫R y ity 2−i √ f (p)dy + e 2π =R p1 g(tp) = g (t) = p (T2,1f )(tp) Σ f (p)dy 2π e R Áp dung Bő đe 2.3 cho f1, g1 ta đưoc 2 −2 2 2 2 4p ǁtf (t)ǁ + p ǁtg(t)ǁ “ ǁf1ǁ = ǁfǁ Tìm cnc tieu cna bieu thúc ve trái theo bien p ∈ (0; +∞) ta nh¾n đưoc p∈(0;+∞ ,4p2 2 2 2 ǁtf (t)ǁ + p−2 ǁtg(t)ǁ , = 4ǁtf (t)ǁ ǁtg(t)ǁ Suy bat thúc bat đ%nh Heisenberg (2.28) Đ%nh lý 2.8 đưoc chúng minh Bây giò ta chúng minh Đ%nh lý 2.9 ∫ Xét phép bien đői tích phân sau (T1f )(x) := √1 R (cos xy − (y)dy sin xy)f 2π Áp dung thúc 1 (cos xu − sin xu)(cos xv − sin xv) 2 = cos x(u − v) + cos x(u + v) − sin x(u + v), 8 ta có the chúng minh Bő đe 2.4 dưói tương tn phép chúng minh thúc (2.9) f, g ∈ L2 (R) ta có (T f, T g) = (f, g) + f, ×g Σ 1 Ta chúng minh Đ%nh lý 2.9 Bo đe 2.4 Vái MQI (2.30) Áp can dungchúng Đ%nhminh lý 2.5 nh¾n rang S(R) m¾tLay (R), ta chi đ%nh lý nàyxét cho hàm ψ ∈trùS(R) tíchL phân tùng phan su dung ψ, (ψ)J ∈ S(R) ta thu đưoc d 2 ǁψǁ = − ∫ R x d |ψ(x)| dx = − (xψ J (x), ψ(x)) − (xψ(x), ψ J (x)) x Áp dung thúc |(xψ J (x), ψ(x))| = |(xψ(x), ψ J (x))| bat thúc Cauchy-Schwartz ta có 22 ǁψǁ ™ ∫ R |x| |ψ(x)| |ψ J (x)| dx ™ ǁψ J ǁ2 2ǁxψ(x)ǁ2 −1 Theo Đ%nh lý 2.2 ta có ψ = (T2, (T2,1ψ)) Do ψ J (x) = (T1(y(T2,1ψ)(y)))(x) The thúc vùa nh¾n đưoc vào thúc (2.30) ta đưoc (2.31) ǁψ(x)ǁ2 38 (y(T2,1ψ)(y), y(T2,1ψ)(y)) = − (y(T2,1ψ)(y), y(T2,1ψ)(−y)) (2.32) (y(T2,1ψ)(y), 5y(T2,1ψ)(−y) − 3y(T2,1ψ)(−y)) ∫ ∫ ∫ = 16 R R y2(2 cos yt + sin yt) [5(2 cos yv + sin yv) = R −3(2 cos yv − sin yv)] ψ(t)ψ(v)dydtdv ∫ y2(2 cos yt + sin yt) cos yv + sin yv)× = 2π ( R3 2, ψ(t)ψ(v)dytdv = Σy(T2,1ψ)(y), y(T1−1ψ)(y) (2.33) Ket hop thúc (2.33) (2.31) ta thu đưoc bat thúc (2.19), thúc (2.33) (2.31) ta nh¾n đưoc (2.20) Neu xay thúc (2.19) ho¾c (2.20), có thúc (2.31) o ta áp dung bat thúc Cauchy-Schwartz Do v¾y ta tìm đưoc ψ J (x) = βxψ(x) vói β hang so Vì v¾y, ta thu đưoc hàm ψ(x) = Ae−βx2 vói hau khap nơi x ∈ R (e A, β hang so) Ngưoc lai, neu ψ(x) = Ae−βx2 , thúc xay moi bat thúc (2.19) (2.20) Đ%nh lý 2.9 đưoc chúng minh Chú ý 2.3 a) Áp dnng thúc hình bình hành (x, y) = ǁx + yǁ2 − ǁx − yǁ2 vái x, y ∈ L2(R), bat thúc (2.19), (2.20) đưac viet lai sau ǁxψ(x)ǁ Σ ǁξ(T ψ)(ξ) ψ)(−ξ)ǁ ξ(T ξ(T ψ)(ξ) − 2,1 ǁ2 − 2,1 ǁ + ǁξ(T2,1ψ)(ξ) − ξ(T2,1ψ) (−ξ)ǁ2 ǁxψ(x)ǁ 2, 2, Σ ξ(T Σ 2 2 “ ǁψǁ , ψ)(ξ) + ξ(T−1ψ)(ξ) 2 2,1 2,1 Σ 2, 22 22 − ξ(T ψ)(ξ) − ξ(T −1ψ)(ξ) “ ǁψǁ b) Thùa so thú hai ve trái cna bat thúc (2.19) hi¾u so giua tan so điem ket âm (theo thu¾t ngu cna Bruijn) đưoc xây dnng tù sóng sine Neu so sánh vói bat thúc (2.20), bat thúc bat đ%nh cna bien đői F ΣΣ ǁxψ(x)ǁ Σ ξ(Fψ)(ξ), ξ(F−1ψ)(−ξ) 2 1“ ǁψǁ 2 Tóm lai, nguyên lý bat đ%nh Heisenberg lý thuyet hQc lưong tu hay lý thuyet thông tin đưoc bieu th% dưói dang tốn HQc m®t bat thúc : δx × δp “ k Ket lu¾n Lu¾n văn "Ve bat thúc bat đ%nh Heisenberg cho tốn tu tích phân Fourier khơng unitar " giai quyet nhung van đe sau Lu¾n văn trình bày tóm lưoc đưoc tính chat ban cna bien đői Fourier Lu¾n văn trình bày đưoc tính chat ban cna tốn tu T2,1: khơng unitar, t¾p trung vào tính khơng giong nhưHeisenberg cna tốn tucho Fourier Lu¾n văn trình bày chat ngun lý bat đ%nh tốn tu T2,1 nêu m®t so áp dung lưong tu Lu¾n văn giúp nâng cao thêm hieu biet cna ban thân ve bat thúc tích phân, tù giúp ban thân có phương pháp nghiên cúu khoa HQ c Tài li¾u tham khao [1] N I Akhiezer, Lectures on the theory of approximations, Pub Nauka, Moscow, 1965, (in Russian) [2] P K Anh, N M Tuan, and P D Tuan, The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, J Math Anal Appl 397 (2013), 537–549 [3] G Arfken, Mathematical methods for physicists, Academic Press, 1985 [4] N Q Báu, H H Bang, Lý thuyet trưàng lưang tu cho h¾ nhieu hat, NXB ĐHQG Hà N®i, Hà N®i, 2006 [5] N G de Bruijn, Uncertainty principles in Fourier analysis (in Proc Sympos Wright-Patterson Air Force Base, Ohio), Academic Press, New York, 1965 [6] L Debnath, and D Bhatta, Integral transforms and their applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2007 [7] G B Folland, and A Sitaram, The Uncertainty Principle: A Math- ematical Survey, J Fourier Anal Appl (1997), no 3, 207–238 [8] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan, Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions, Integral Equation Operator Theory 65 (2009), no 3, 363–386 [9] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan, Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications, Math Nachr 283 (2010), 1758–1770 [10] N T Hop, Giai tích T¾p I, II, III, NXB ĐHQG Hà N®i, Hà N®i, 2005 [11] K J Olejniczak, The Hartley transform, The Transforms and Applications Handbook (A D Poularikas, ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, BocaRaton-London-New York, Third Ed., 2010 [12] N Sochen, P Maass, C Sagiv, and H G Stark, Do uncertainty minimizers attain minimal uncertainty?, J Fourier Anal Appl 16 (2010), 448–469 [13] N M Tuan and P D Tuan, Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator, Integral Transforms and Special Functions 23 (2012), 1–12 ... Bat thúc bat đ%nh Heisenberg cho tốn tu tích phân Fourier khơng unitar Lu¾n văn gom hai chương đưoc sap xep sau Chương nhac lai đ%nh nghĩa bien đői Fourier bien đői tích phân Fourier ngưoc m®t... TH± THU MINH VE BAT ĐANG THÚC BAT бNH HEISENBERG CHO TỐN TU TÍCH PHÂN FOURIER KHƠNG UNITAR Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS... dang Heisenberg cho tốn tu tích phân Fourier T2,1 Do T2,1 khơng phai tốn tu unitar nên vi¾c chúng minh nguyên lý se phúc tap nhieu so vói phép chúng minh tương tn cho tốn tu unitar Vì the, lu¾n văn