Luận văn thạc sĩ phân tích thống kê chuỗi thời gian dừng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ HẰNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ CHUỖI THỜI GIAN DỪNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ HẰNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ CHUỖI THỜI GIAN DỪNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Mạnh Cường Myc lyc Md dau Gifii thieu mot so qua trinh dñ’ng quan trpng 1.1 Mot so khai niem lien quan ve qua trinh dung 1.1.1 Ham trung binh va ham to hiep phuDng sai 1.1.2 Tinh dung 1.1.3 Tinh ergodic 1.2 Mot so quo trinh difng quan trpng 1.2.1 Qua trinh trung binh trttpt cap I 1.2.2 Qua trinh trung binh trttDt cap q 1.2.3 Qua trinh trung binh trttpt cap vo han 1.2.4 Qua trinh ty hoi quy cap 1.2.5 Qua trinh tu hoi quy cap 1.2.6 Qua trinh In hoi quy cap p 1.2.7 Qua trinh hñn hip ARMA (p,q) 1.3 Ham sinh tu hiep phuong sai 1.4 Bo loc 1.5 Tinh kha nghich 1.5.1 Tinh kha nghich cua MA(1) 1.5.2 Tinh kha nghich cua MA(q) Dif bao mot sñ qua trinh diitig 2.1 Nguyén tae dat bao 2.1.1 Dia tren ky vong co dieu kien 2.1.2 Det bao dtta tren phép chieu tuyén tinh 2.2 Du bao data tren vS hon cfc quan sit 2.2.1 Dtt bao dna trén cac gia tri tre cua e's 2.2.2 Dy bâo dia tren cfc gif try tre cua Y’s 2.3 Det bao cho mot so qua trinh dttng 2.3.1 Do bao qua trinh AR(1) 2.3.2 Do bño quo trinh AR(p) 2.3.3 Do bao qua trinh MA(1) 2.3.4 Det bâo quo trinh MA(q) 2.3.5 Det bao qua trinh ARMA(1,1) 2.3.6 Do bao qua trinh A RMA(p,q) 2.4 Do bao data Wren hñu han cfc quan sit 6 10 10 11 12 16 18 21 22 24 26 28 28 29 31 31 31 33 34 34 36 37 38 38 40 41 41 43 43 2.4.1 2.4.2 2.6 2.7 Xap xi d0 bâo Hi uu (approximations to optimal forecasts) Do bâo chinh xac dna tran huu han cfc quan sat (exact finite sample forecast) Bieu dien tarn giac hoa ma tr{an doi xttng xñc dtnh dudng va Eng dung vao bâi toan dtt bao 2.5.1 Tim hieu ve bieu dien tarn giâc hoa ma tran doi xâng xac dinh rluong 2.5.2 Bieu dien tarn giac hoa cua ma tran co moment cup vâ phep chieu tuyen Minh 2.5.3 Ap dung : Do bao chinh xñc dia Wren hâu han cac quan sit cua qua trinh MA(1) Bieu dieu tarn gific hoa kh0i (block triangular factorization va dat bao Hi uu cho qua trinh Gauss) Udc lifdng hdp ly cifc dat 3.1 Ufic ludng hdp ly ccc dai cho cac qua trinh AR(1) 3.1.1 Tim ham hfip ly 3.1.2 Tim ufic hip 1y cuc dai 3.2 Ufic hip 1y cite dai cho qua trinh AR(p) 3.2.1 Ham hip ly co Hieu kien 3.2.2 Uñc lufing hDp 1y ccc dai co dieu kién cho AR(p) 3.3 Ham hip ly cho qua trinh MA(1) 3.3.1 Ham hqp ly co dieu kien 3.3.2 Ham hop ly chinh xac 3.4 Ham hip ly qua trinh MA(q) 3.4.1 Ham hip ly co dieu kien 3.4.2 Ham hip ly chinh xac 3.5 Ham hqp ly qua trinh ARMA(p, q) 3.6 Vi du ufic luong tham so Két lu{an Tai lieu tham khao 43 44 45 46 47 50 52 Vi du ap dung 56 59 60 60 65 66 66 69 70 70 71 74 74 74 76 76 79 80 Md dau Chuoi thdi gian ta hieu nhrf la tip cac quan sat md moi quan sat date ghi nhan tpi thñi diém t vfii t thuoc tap T mo Chuoi thñi gian la rdi rac neu T la tip rñi rac (vi du doanh thu chic dien thoai hang thing ciia tram buu dien) , T lđ không thi chuoi dopc goi la lién tuc (biéu nhip tim cua benh nhñn 2h) Gia st cS mot mau hinh cv ban tiem in cac so lieu dang nghien edu cung vfii cfc yeu to ngau nhien ânh hoñng tñi he thong dang xét, c0ng viec cua phan tich chufii thai gian la nghién cpu cac ky thuat de tach mau hinh cd ban va st dung nñ nhu co sñ de dll bao cho tudng lai Cñ nhiéu y tnñng vé bâi town phan tich chuoi thñi gian, cac khai niem vé tinh ding, he so trtdng quan co vai tro dac biét quan Qua trinh drtng lâ qua trinh ngau nhien co mot vai doc trtfng kh0ng bién doi theo thdi gian, day la khai niem cot lñi viec phan tich chuoi thdi gian, cac khai niem lién quan vé qua trinh doing nhrf : him tit hiep phndng sai, ham tif tudng quan (do so phu thuoc lan girfa cfc quan sit ), he so to thing quan moi quan he gitfa hai gia tri cua chufii thdi gian, khoâng each xa cua hai so lieu goi la tre cua thoi gian Chrfong cua lu?an van tim hieu cu the hon ve cac van de - Khai niem qua trinh ding (ding manh, dimg yeu) - Gifii thieu moot so qua trinh diing quan (qua trinh MA,AR,ARMA) vñ tinh cac ham trung binh, ham th hiep phtfong sai, ham to thing quan cua cfc quo trinh ding View dv bao dai lifong bien thien noi chung vâ dv bao nhu cau noi rieng dsng vai trñ quan trong kinh te cung nhu dci song hang ngây Chung giup ngani dna quyet dinh, cfc doanh nghiep xu hufing phât trien todng lai Dp bâo noi chung la oñc lopng cfc gia tri thing lai cua bien ngau nhien dna tren quan sit cfc gif tri qua khñ cua nñ Dy bâo chuoi th0i gian ding vfii ham trung binh, ham to tufing quan da biet Chudng cua lu?an van gifii thieu ly thuyet dy bao va y tuñng phép chiéu tuyen tinh tic gia tri drt bâo la him tuyen tinh cua cac gia tri qua khñ cua no, ta sé lam vfii trrfñng hdp la : co vfi so cac quan sat quo khñ va hfiu han cfc quan sat qua khfi Tuy nhién cfc quan sat quo khñ la hñu hon ta dung dy bâo toi 0u xap xi gap phai mot so han che, phép bieu dien tarn giac hoa cua ma trian doi xffng xac dinh dudng la c0ng cu hieu quo giup ta tinh toan chinh xac d bao t0i 0u dia trén hfiu han cac quan sat qua khrf cua no Tren cv sñ phép bieu dien tarn give ta phât trien phép biéu dién tarn giac khoi dé dJ bâo toi nu cho quo trinh Gauss Trong ch0dng 1, ta coi nh0 tap cfc tham so dâ biét, cfc momen va cac dp bao tuyen tinh drtfic tinh toan nhtf la ham cua nhñng tham so nay, nhttng chttdng cua lu?an van nhñng tham so chtfa biet va ta can di rtfic lrtdng chung dia tren cac quan sat lien quan Co sñ cua so etc lrfdng la rtfic lHfing hdp ly cfc dai, de tim nfic ltfdng hdp ly ccc dai ta phai trai qua brtfic cv ban : the nhat lâ tim dupc ham hdp ly, the la tim gia tri Um ccc dai ham hDp ly Trong gifii han cho phép luan chi drfng lai ñ viec tim ham hip ly cho so qua trinh quan trong, tiéu biéu Tuy da co gang nh0ng luân van kh0ng trânh khñi sai sot, kinh mong nhân dtffic so quan Um gop y cua cac thay cfi cfc ban dong nghiép va doc gia de noi dung cua lu?an van date hoan thien hfin Em xin chan thânh cam fin dac biet TS.Tran Manh Crtfing, thay da hufing dan va chi bao tin tinh qua trinh lam luian van Em cung xin cam dn cac thay, co khoa Toan -Co - Tin va cac ban hoc vien chuyen nganh da giup em horn thânh luan van Chtfdng Gifii thigu mQt sS qué trinh dñng quan trgng 1.1 1.1.l Mpt sS khai niem lien quan ve qua trinh di rig Ham trung binh va ham tit hiep phtfdng sai Xét him gia tri thtfc (phfic) U (in, t) vfii in C D va t C F Neu co dinh t CF thi ta dupc V (in) lâ mfit dai lufing hay bien ngau nhien Neu co dinh in C H thi ta dtfpc U (t) la mfit ham cua bien t C Y Ham U (in, t) goi lâ him ngau nhién, dtfpc viét ngan gon lâ V (t) hoâc Ut Khi F C R U (t) la qua trinh ngau nhien vfii t lâ bién thfii gian va T la tip chi sfi thdi gian, F = N ta co day ngau nhien Cho qua trinh ngau nhien Vi Dinh nghia 1.1.1 Ham trung binh p (t) dupc dinh nghia bñi c0ng thñc sau p, fi(Vt) Dsnh nghia 1.1.2 Ham tJ hiep phtfdng sai thii j cua V, ki hieu q3 (I I) Nhu vay (1.1) dufic mo ta nhu covariance cue >t vfii gia tri tre cua no To hiep phrtfing sai cap chinh la phu0ng sai cua Pt nhu da biet Vi du 1.1.1 Day on trang Diy (st) dtfpc gpi la fin trang neu thña man Neu z g la doc leap (manh hdn dieu kien kh0ng tudng quan) thi dude gpi qua trinh on trang doc lap Nhu vay ham trung binh bang 0, ham to hiép phuong sai that j cung bang vfii moi Vi du 1.2 Xét qua trinh Vt la tong cua hang so trang Gauss va qua trinh on (1.2) Him trung binh : E V) p -1- fi(st) p Ham to hiep ph0fing sai the j : E ee 1.1.2 ) = vfii j Tinh dtfng Dsnh nghia 1.1.3 Cho qua trinh ngau nhien Ut Quo trinh V, goi la qua trinh difrig yen neu him trung binh yt va him tit hiép phu0ng sai kh0ng phu thuoc vâo t tic la • +> = vfii It b, E — u‹) >‹— — u‹ ) — y; t j bat ky nao Quo etc : Khi ta noi quo trinh lâ doing cS nghia la diing yéu Vi du 1.3 Dé thay qua trinh fin trang la qua trinh doing Vi du 1.4 Qua trinh (1.2) la quo trinh ding vi ’' = 0, Vi du 1.1.5 Qufi trinh Wiener Quo trinh W, , t date goi la quo trinh Wiener vfii tham so w2 neu nñ thña man cac tinh chat sau i, Wq = ii, Yfii moi s I th It s lfi dai lrffing ngau nhien co phan ph0i chuan vñi ky vpng va phudng sai w2 (I — s) iii, W, la quo trinh vñi gia sfi doc leap, tic la vfii moi cfc dai lrfong ngau nhien Wt W i , Wt ti < Wt ,Wtq < I» Wtq , la doc lap Ro rang Wt la dai lrtdng ngau nhién cS phan phoi chuan N (0, I) Viay fw, = o Ta tinh ham th hiep phfldng sai thtf j : gif st —— cov (W„Wt g) = E \ V \V y 3 —— Eli—s ( — — ‹— ) w (I, * — )-) Thay rang vñi moi t, j ham th hiep phfldng sai déu phu thuoc vao t nén quo trinh Wiener khong lâ ding Vi du 1.1.6 Qua trinh Poisson Qua trinh X, , t date goi la quo trinh Poisson vñi cuñng > neu nñ thña man cac tinh chat sau i, Xo = Xs ii, Yñi moi s I thl X f Poisson vfii tham so (t — s) dai luong ngau nhien co phan phoi iii, X, la qua trinh vfii gia so doc lap, tic lâ vfii moi ti < t2 < cac dai ludng ngau nhien Xt — Xm l , Xt, — X,z , ,Xtq — Xtq i lñ doc lip NhH vay Xt la dai lndng ngan nhien cñ phan phoi Poisson vfii tham so It Do fiNt — 2t Ta tinh ham to hiep phudng sai the j : gif st > , dđ ,• — °* (»r' x'—,) = cov (z'-, I• — >•—›)) Yarxi—, + cov ((/i—3 — >o) >• — >i—3) t Ta thay vñi moi t, j ham th hiep phuong sai deu phu thuoc vao t nen qua trinh Poisson khong lâ ding Nhan xét 1.1.1 Neu qua trinh dtfng yéu thi covariance giña Vt va V chi phu thu0c vâo j (khoang chia quan sat) ma kh0ng phu thuoc thñi gian quan sat Neu l qua trinh ding yéu thi q3 —— That viay, ta co y; = fi (U — ) U p) thay t bñi t -1- disc Mat khac minh E (Vt — y) (Vt+; — y) de dang suy dieu phai chtfng Dinh nghia 1.1.4 Qua trinh U, dude got la qua trinh diing manh neu vñi moi h vâ vñi mpi t < t2 < tq phan ph0i dong thdi cua ( - 2+ n+ ) ( Utq) la nhtf Dieu cS nghia la phan phfii h0u han chieu khong thay doi ta tinh tien bio chi so th0i gian (ti t2 I»-) Nh{an xét 1.2 Rñ rang qua trinh la doing manh co momen cap la quo trinh diing yeu, diéu ng0pc lai noi chung kh0ng dung + Neu qua trinh dang yeu lâ Gauss se la dttng manh bñi phan phoi hñu han chiéu cua qua trinh Gauss hoan toan disc xâc dinh bñi ham trung binh va ham to hiep phu0ng sai 1.1.3 Tinh ergodic Cho mau quan sat ct T ki hieu {Hi› >2, › VJ) Tif mau ta cñ the tinh drtdc trung binh theo thdi gian Cho Ut lâ qua trinh dtfng, Ut lâ ergodic neu trung binh theo thdi gian h0i tu theo nghia binh phrtong trung binh tfii trung binh theo kh0ng gian fi (Vt) tic la 10 suy w Ut Vfii p —— w / (1 — ) tai leap phudng sai cua qua trinh AR (1) (1— (11 (y2 (@1 (II — + @1 2) — @2) @1 @1 — 2) ta tinh dttdc (y2 — y2)* V 2 ) (1 1@2) &2 ) (1 — Q2 ) (i — 2) 2 8s J y›) &2) Loga ham hdp ly cho qua trinh AR (2) lo 3.2.2 r 2 (3.34) tcic lit rig hip ly cfc dai co dieu kien cho AR(p) F — 22 —2 lo iog 2 2) (3.35) Gig tri cua c, 8i› 82› Up lam cfc dai (3.35) t0dng drtdng vfii ccc tieu (3.36) Vi viay ifñc lupng hip ly crfc dai co dieu kien cho nhung tham so dude tim to OLS cua (3.36) Ufic lodng hip ly crtc dai co dieu kien doi vfii tham so cr2 la 3.3 3.3.l ¿—C @lbt—l 2kt—2 Ham help ly cho qua trinh MA(1) Ham hip ly co dieu kien De tim him hdp ly cho qua trinh tit h0i quy chung ta dna tren cac gia tri ban dau cua Y, cñn d0i vñi qua trinh trung binh trudt thi ta dia trén cac gia tri cua s Xét qua trinh MA (1) rd — + «, + a„— , (3 37) đ diy st = N (0, w ) va (y, 8, w )' la vecto tham so can rffic ludng Neu gif tri s, date biét thi hay (3.38) 2 Gig st chung ta biet chac chan co = ( i /+o = 0) N ( ,P ) Vfii quan sit pt gif tri cua ei lâ >i ^o= ( only ' TO ri da biet r2 fus e tinh 0; 8) exp 22 Tiep tuc quo trinh nay, ro rang tif gia tri co d â biet ta co day ( date xay ding to {r1› b2 p2) va thña man he thrfc +r) (3.39) vfii t 1, 2, , J Mat dfi cñ dieu kien cua quan sat that t dupc tinh dia tren (3.38) -, Ir'/° —': I) - iexp (3.40) 2 Ham hdp ly cua mau T - /r /• - (ri/ro: s) Q /r,/r,— ,r,‹.- (r‹/r‹ i ri - ; s) t=2 Suy 2* g (2s) (3.41) 2 °g (° › — Z 2‘ Cho gia tri cu the cua 8, chung ta se tim date diy +t dia vâo (3.39), ham L (8) lâ ham phi tuyen khâ phñc tap, vi vây de etc lufing p va that kh0ng de dang Xuat phat tip (3.39) ta co the viet lai nhu sau —— (v› — /') — s (^, , — ^) + a (^'.2 — ^) — (3.42) + (—i)'—'^ —' (v› — /') + (—1) 6'r Neu |8| 1, viec ap "=* = la khfing co y nghia va ham hdp ly co dieu kien (3.40) se xap xi vfii him hip ly kh0ng co dieu kien cho nhung mau kich thHfic lñn 3.3.2 Ham hdp ly chinh xac Co thuat toan de tim ham hip ly cho qua trinh MA (1) theo each Thtt nhat lâ st dung bo loc Kalman, the la st dung nhan trf hoa ma tran to hiep phu0ng sai Sau day ta sé lam theo each the Quan sat cua y cñ the coi nhu vect0 p = (ri› b2 p2)" vfii ham trung binh p (pi› 2› py)' va ma tren phrtdng sai cñ (F x F) la II = E (Y — p) (Y — p ) t Ta co (i + 2) 8 0 S 0 0 82) (1 (1 82) Him hdp ly sé la 1 (y — y)'G Ta phñn tich (y — q) (3.43) ft ADA T (344) , A la ma tran tarn give dali 1 A 1+ §2 D= $4 )+ 2+ )+$2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Thay (3.44) vao (3.43) /p (y; 8) = (2s) "’ ADA x exp 2(y — T 1/2 72 (345) nhung |A | = va | ADA t | = |A | |D | | A t | = |D | Ta dinh nghia lai y —A (346) (y — p) Him hdp ly (3.45) dttdc viet lai /p (p; 8) 2 (2s)°" |D | ’ x exp _t 2y D °' y (3.47) Tit (3.46) suy Ay = y — y Dñng dau tién : ri = ri — » Dñng the t (3.48) Vecto pt drtpc tinh tii phép lap (3.48) vfii t = 2, , T (3.49) Tit D la ma tren dttDng chéo nen (3.50) Vi vay y t D° y1 (3.51) Z f=1 thay t3.50) va (3.51) vao (3.47) him hop Iy —1/2 /y(y;8)=(2 ) ' xp (3.52) Lay loga him hdp ly L (8) = log /p (y; 8) = — log (2s) Z' g { di:) — (3.53) cho gia tri ciia p, 8, w day pt se tim date tit (3.48) vfii gif tr} ban dau v = v — va d cho bdi (3.49), to tinh dttpc L (8) T3 Ham help ly qua trinh MA(q) 3.4 3.4.1 Ham hcip ly co dieu kien Xét quo trinh MA(q) cho bñi v! —— r + •, + ^, › + (354) + r,s , Gig st q gia tri dau tien cua s bang Ta co (3.55) vfii 1 2, , F Ki hieu sq la vectd (q x 1) (*o› *—i, › «—g+*) loga ham hip ly co L (8) = log /pp pp—., .,• e (r r — vi/co = 0; 8) 2! g (2z) (3.56) y ( › q) ) ' Biéu thñc (3.56) chi dtfpc st dung neu tat ct cac gif tri cua z thña nam ngoai vong tron ddn v} 3.4.2 Ham hip ly chinh xac Chinh xac ham hdp ly cho bñi 1(y_ )i;j- (y —»)(3^') t dS cho trifle y (yr yz yT) va y (p, y, , y)', f2 IN ma trñn th hiep phufing sai ciia quo trinh MA (q) co cac phan tff vo vi - - ve nam tren dtfñng chéo chinh, phan tit dñng i clot j cua II cho bñi ; , yt la th hiep phudng sai the k cua MA (q) k 0, , q (3.58) 74 o dna 8o — Ta lai dung bieu dien tarn giac hoa ma tran f2 de tinh chinh xac ham hfip ly f2 = ADA T , (3.59) A la ma tran tarn giac duñi, D la ma tren duñng chéo Sau (q + 1) dong dâu tien, tat ca cac hang tfi tiep theo cua c0t dau tien cua II deu bang tic 0, i q + ttfdng to a;t 0, i q + Vi vây A la ma tran tarn giac duñi cho bñi a;j 0, i q + 0 0