Đánh giá thực trạng và đề suất giải pháp nâng cao hiệu quả công tác đăng ký đất đai và quản lý hồ sơ địa chính trên địa bàn huyện thủy nguyên thành phố hải phòng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± THUY TÍNH CHAT BĨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± THUY TÍNH CHAT BĨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 02 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Huy Tien Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài ma đau iii Điem bat đ®ng hyperbolic, đa tap on đ%nh, đa tap không on đ %nh cua vi phơi 1.1 Điem bat đ®ng hyperbolic cna vi phôi 1.2 Đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ%nh 1.3 Tính chat điem yên ngna 1.4 Tính trơn cna đa tap őn đ%nh đ%a phương 10 1.5 Vi phơi phu thu®c tham so 16 T¼p hyperbolic cua vi phơi 19 2.1 Đ%nh nghĩa t¾p hyperbolic .19 2.2 Tính b% ch¾n cna phép chieu 20 2.3 Tính liên tuc cna phép chieu .22 2.4 Nh% phân mũ cna phương trình sai phân 26 2.5 Tính chat cna t¾p hyperbolic 30 2.6 Tính vung cna t¾p hyperbolic .32 Đ%nh lý bóng cho t¼p hyperbolic cua vi phơi 35 3.1 Đ%nh lý bóng 35 3.2 Nói thêm ve tính vung cna t¾p hyperbolic 41 3.3 Khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic .45 Ket lu¼n 48 Tài li¼u tham khao 49 i LèI CAM ƠN Đe hoàn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình, thay ban bè Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói MQI ngưịi Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay Khoa, nhung ngưòi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phòng Sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn gia đình tơi, nhung ngưịi ln đ®ng viên nng h® tơi LèI Me ĐAU Tính chat bóng có nguon goc tù vi¾c giai so phương trình vi phân/sai phân Tính chat bóng có nghĩa ton tai m®t quy đao gan m®t gia quy đao cho trưóc Tính bóng đưoc nghiên cúu boi Anosov, Bowen, Sinai - nhung ngưịi đau tiên nh¾n rang liên quan đen tốn őn đ%nh tồn cuc cna hắ đng lnc Trúc õy, Anosov, Bowen, Sinai eu dùng phương pháp hình HQc đe nghiên cúu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiep c¾n giai tích cho tính bóng thơng qua lý thuyet nh% phân mũ cna phương trình vi phân Trong lu¾n văn này, chúng tụi nghiờn cỳu tớnh búng cna hắ đng lnc lân c¾n cna t¾p hyperbolic tù cuon sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" cna Ken Palmer năm 2000 Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương trình bày nhung khái ni¾m ve điem co đ%nh hyperbolic cna vi phôi; đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ%nh; tính chat điem yên ngna; tính nhan cna đa tap őn đ%nh đ%a phương vi phôi phu thu®c tham so Chương trình bày đ%nh nghĩa cna t¾p hyperbolic; tính chat cna t¾p hyperbolic Ngồi ra, chương trình bày ve tính liên tuc tính b% ch¾n cna phép chieu; nh% phân mũ cna phương trình sai phân Tính co giãn t¾p bat bien cna vi phôi đưoc đ%nh nghĩa chi nú l mđt hắ qua cna tớnh hyperbolic Chng l nđi dung chớnh cna luắn Trong chng ny chúng tơi nêu chúng minh đ%nh lý bóng Sau áp dung đ%nh lý bóng đe chúng minh ket qua ve tính vung cna t¾p hyperbolic khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic Do thịi gian có han, lu¾n văn có the khơng tránh khoi thieu sót Chúng tơi mong nh¾n đưoc ý kien đóng gúp e luắn hon thiắn hn H Nđi, ngy 03 tháng 12 năm 2014 HQC viên Pham Th% Thuy Chương Điem bat đ®ng hyperbolic, đa tap on đ%nh, đa tap không on đ%nh cua vi phôi 1.1 Điem bat đ®ng hyperbolic cua vi phơi Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Đ%nh ngha vi phụi) n n l ton mđttai tắpf movàtrong Rn xa Ánh đưoc GQI C r −1 f : U ⊂ R r→ R - vi Cho phơi Uneu ánh f, fxa thu®c lóp C Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đ%nh nghĩa điem bat đ®ng hyperbolic cua vi phôi, không gian on đ%nh không gian khụng on %nh) Cho U l mđt mo Rn , f : U → Rn C - vi phôi Điem x ∈ U đưoc GQI điem bat đ®ng hyperbolic cna f neu f (x0 ) = x0 giá tr% 0riêng cna ma tr¾n Df (x0 ) khơng nam đưịng trịn đơn v% Khi tőng cna khơng gian riêng suy r®ng úng vói giá tr% riêng nam (ngồi) đưịng trịn đơn v% tương úng GQI khơng gian őn đ%nh (khơng őn đ%nh) đưoc ký hi¾u E s (E u ) 1.2 Đa tap on đ%nh đa tap khơng on đ%nh n t¾pmuc 1.1.2, mo Rn,rang f : UE s→ bat C bien - vi phôi Tù đ%nh cnaCho E s , EUu ta biet , ERu dưói Df (x0) nghĩa so dương cho < λtrong < vói tat ca giá tr% riêng λ cna Df (x0 )hang mà Hơn nua, bang ket|λ| qua đai so tuyen tính, neu ta GQI λ1 λ2 − |λ| < < λ < |λ| vói tat ca giá tr% riêng λ cna Df (x0 ) mà |λ| > Khi ton tai hang so dương k1, k2 cho vói ∀k ≥ 0, k ∈ Z ǁ[Df (x0)]kξǁ ≤ k1λkǁξǁ vói ∀ξ ∈ Es Như v¾y ǁ[Df (x0)]−kηǁ ≤ k2λkǁηǁ vói ∀η ∈ Eu [Df (x0)]kξ → k → ∞ neu chi neu ξ ∈ Es [Df (x0)]kξ → k → −∞ neu chi neu ξ ∈ Eu Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Đ%nh nghĩa đa tap on đ%nh, đa tap khơng on đ%nh) x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic cna C - vi phơi f : U → Rn Khi đó, Cho t¾p hop W s (x ) = {x ∈ U : f k (x) → x0, k → ∞} đưoc GQI đa tap őn đ%nh cua x0 T¾p hop W u (x ) = {x ∈ U : f k (x) → x0, k → −∞} đưoc GQI đa tap không őn đ%nh cua x0 Chúng ta se chi rang đa tap őn đ%nh, m¾c dù tên cna v¾y, có the khơng m®t đa tap cna Rn Tuy nhiên có the mơ ta bang h¾ đa tap őn đ%nh đ%a phương mà chúng đa tap cna Rn Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Đ%nh nghĩa đa tap on đ%nh đ%a phương) n Cho điem U m®t t¾p mo Vói Rn , εf >: U m®t C - vinghĩa phơi đa vóitap x0 m®t bat đ®ng hyperbolic → choRtrưóc, ta đ%nh őn đ%nh đ%a phương cna x0 Ws,ε(x0) = {x ∈ U : fk(x) → x0 k → ∞ ǁfk(x) − x0ǁ < ε, ∀k ≥ 0} Ta de dàng thay rang vói moi ε > Ws(x0) = ∪ k≥0 f −k (W s,ε (x0 )) Ngồi ra, ta cịn thay tính chat bat bien f (W s(x0)) = W s (x0 ), f (Ws,ε(x0)) ⊂ Ws,ε(x0) phanx tieplàtheo, chúnggian ta chicon rang vóiđ%nh, ε > đn nho t¾p Ws,ε s,ε s 0) Ws,εTrong (x0) tai không őn T W (x ) = E(x x 0 n m®t đa tap trơn thnc sn cna R chúa x0 cho khơng gian tiep xúc vói 1.3 Tính chat điem n ngEa Đ%nh nghĩa 1.3.1 (Khái ni¼m ve tính chat điem yên ngEa) tính chat yênđiem ngnabatneu ton hyperbolic tai hang socna dương ∆ mà bat kỳ điem x Cho x0 điem m®t đ®ng k k vi phơi f , x0 đưoc GQI có thoa mãn ǁf (x) − x0 ǁ ≤ ∆ vói MQI k ≥ f (x) → x0 k → ∞ Đ¾c bi¾t nua, có m¾nh đe sau Mẳnh e 1.3.2 Cho U Rn l mỏ f : U → Rn C - vi phơi vái x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic tương úng vái không gian őn đ%nh, không őn đ%nh Es, Eu cho bat thúc sau đưac thóa mãn ǁ[Df (x0)]kξǁ ≤ k1λ1kǁξǁ vái ξ ∈ E s , (1.1) k u −k ǁ[Df (x )] ηǁ ≤ k λ ǁηǁ vái η ∈ E (1.2) GQI P ánh xa chieu 0cua Rn lên2 E s DQc theo E u đ¾t M s = ǁP ǁ, M u = ǁI − P ǁ Gia sus∆ hang−1so dươngu2 đu nhó (ta−1ln tìm đưac) thóa mãn σ = [k1 M (1 − λ1 ) + k2 M λ2 (1 − λ2 ) ]w(∆) < 1, (1.3) ω(∆) = sup{ǁDf (x) − Df (x0)ǁ : ǁx − x0ǁ ≤ ∆} Khi neu x ∈ U ǁf k(x) − x0ǁ ≤ ∆ vái ∀k ≥ bat thúc ǁf k(x) − x0ǁ ≤ k M s (1 − σ)−1[λ1 + k M s (1 − σ)−1ω(∆)]kǁx − x0ǁ thóa mãn vái ∀k ≥ Như v¾y neu có thêm đieu ki¾n k1Msω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1) suy rang f k (x) → x0 k → ∞, túc x0 có tính chat cua điem yên ngna Chúng minh Đ¾t yk = f k (x) − x0 Khi f k (x) = yk + x0 Vói k ≥ 0: Như v¾y, k+1 y=k+1f = − xx0., yk+1 (x0f + (x) yk) − yk+1 = Ayk + g(yk), A = Df (x0), g(yk) = f (x0 + yk) − f (x0) − Df (x0)yk Đ¾t g(y) = f (x0 + y) − f (x0) − Df Ta biet rang (x0)y f (x0 + y) − f (x0) = Df (ξ)y (vói ξ mà ξ = λx0 + (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) v¾y g(y) = Df (ξ)y − Df (x0)y Vói gia thiet ω(∆) = sup{ǁDf (x) − Df (x0)ǁ, vói ǁx − x0ǁ ≤ ∆} ǁg(y)ǁ ≤ ω(∆) · ǁyǁ neu ǁyǁ < ∆ Tiep theo, đ¾t uk = Pyk, vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk (1.4) Tù A giao hốn vói P , túc AP = PA, nhân (1.4) vói P , ta đưoc Py k+1 = uuk+1 ==P (Ay )) AP k + (ykg(y ) k+ k+1 Pg(y k ) uk+1 = Auk + Pg(y k) Theo tính chat cna dãy truy hoi, vói k ≥ 0, ta có ket qua Σ k uk = A u0 + kk−1 m m=0 − A − Pg(ym ) (1.5) Tương tn, nhân (1.4) vói (I − P ) ta đưoc (I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk)) vk+1 = A(I − P )(yk) + (I − P )g(yk) vk+1 = A(vk) + (I − P )g(yk) Nhân hai ve vói A−1, bien đői, ta thu đưoc vk = A−1vk+1 − A−1(I − P )g(yk) Truy hoi vk theo vm, vói ≤ k ≤ m ta thu đưoc Σ (m k) vk = A− k+1) − vm − Ta se xét vk m → ∞ Ta có (l m−1 l=k A− (I − P )g(yl) − (1.6) ǁA−(m−k)vmǁ = ǁA−(m−k)(I − P )(ym)ǁ 2 ≤ k λm−k Muǁy ǁ ≤ k λm−k Mu∆ (Theo gia thiet ǁf (x) − x20ǁ ≤ ∆ vóim k ≥ 02 mà yk = f k (x) − x0 ⇒ ǁykǁ ≤ ∆ k vói ∀k ≥ 0) Ngoài ra, ⇒ ǁA−(m−k)vmǁ → m → ∞ ∞ ǁ Σ l=k Như v¾y, ∞ A−(l−k+1)(I − P )g(yl)ǁ ≤ Σ k22 λl−k+1Muω(∆)∆ l=k = k Mu λ2 (1 − λ2)−1ω(∆)∆ 2 hang so chi phu thu®c vào f S Su dung (3.12) áp dung Bő đe 2.4.3 neu σ đn nho phu thu®c vào f, S phương trình (3.11) có m®t nh% phân mũ (−∞, ∞) vói so mũ α1 = + λ1 3+ , v , l2 α = c c h a n g s o l1 λ chi phu thu®c vào f S Như v¾y theo Bő đe 3.1.4 L có L−1 ǁL−1ǁ ≤ l1(1 − α1)−1 + l2α2(1 − α2)−1 Cho {yk }∞k=−∞ m®t δ - gia quy đao cna f S g : U → Rn C vi phôi thoa mãn (3.1) ánhσ xathoa G : mãn O → X đ%nh (3.2) đ%nh nghĩa cna L δ -Ta giaxem quy đao Gia Csu δ- đieu nghĩa ki¾n o đe có Tù ngh%ch đao cna xét bat thúc ǁG(y)ǁ ≤ δ + σ thoa mãn vói y = {yk }∞k=−∞ Ta chi L = DG(y) có ngh%ch đao ǁL−1ǁ ≤ M/2 vói M = 2l1(1 − α1)−1 + 2l2(1 − α2)−1 (3.13) Tiep theo neu ǁx − yǁ ≤ M (δ + σ) vói x = {xk }∞k=−∞ , ta có ưóc lưong ǁDG(x) − DG(y)ǁ ≤ sup k∈ ǁDf (x k) − Df (yk)ǁ + 2σ Z ≤ ω(M (δ + σ)) + 2σ, o ω(ε) = sup{ǁDf (x) − Df (y)ǁ : y ∈ S, ǁx − yǁ ≤ ε} Vì v¾y neu M (σ + δ) < dist (S, ∂U ), M [ω(σ + δ) + 2σ] < đ%nh lý đưoc chúng minh xong vói M đưoc cho boi (3.13) σ0, δ0 so dương thoa mãn M (σ0 + δ0) < dist (S, ∂U ), M [ω(M (σ0 + δ0)) + 2σ0] < 1, đieu ki¾n cna σ, δ đn đam bao có ngh%ch đao cna L 3.2 Nói thêm ve tính vEng cua t¾p hyperbolic Cho S t¾p compact hyperbolic cna C - vi phôi f : U → Rn Như đã1 biet o muc 2.6 rang 1neu O lân c¾n đn nho cna S g : U → Rn C - vi phôi đn đóng C - tơpơ cna f t¾p bat bien lón nhat S0 cna g O hyperbolic mđt lắp ta batsebien cna ftớnh thỡ chat S0 đe chúng l¾p minh đongrang phơineu f : SS → Trong muccơnày su dung bóng S g : S0 → S0 liên hop tôpô Đ%nh 3.2.1 Cho không f : đong X → X, g :hY: → Y nghĩa ánh xa Ta nóiX,f Y vàlàg liên hop gian tơpơ metric neu cóvà m®t phơi X → Y cho h ◦ f = g ◦ h Đ%nh lý 3.2.2 Cho U t¾p loi má 1Rn, f : U → Rn C - vi phôi vái S g : U → Rn C vi phơi thóa mãn S t¾p compact hyperbolic l¾p Khi ú neu O l mđt lõn cắn mỏ u bé cua ǁf (x) − g(x)ǁ + ǁDf (x) − Dg(x)ǁ ≤ σ, x ∈ U, (3.14) vái σ đu nhó, t¾p bat bien lán nhat SO cua g O t¾p hyperbolic l¾p Ngồi phơimãn f : S → S, g : SO → SO liên hap tôpô vái ánh xa liên hap h : ra, S →đong SO thóa ǁh(x) − xǁ ≤ Mσ, M hang so Đ%nh lý 3.1.2 Chúng cót¾p bat so d > 0, σ0 > cho neu dist (x, minh S) ≤ d0Áp vóidung ∀x ∈Đ%nh O lý σ ≤2.6.2 σ0 bien lón nhat S0 cna g O hyperbolic hang so k1, k2 ch¾n M s , M u cna phép chieu có the cHQN khơng phu thu®c vào O g Gia su δ0, M, σ0 thoa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý 3.1.2 cho f S Cho x ∈ S {xk }∞k=−∞ = {f k (x)}∞k=0 m®t δ - gia quy đao cna f S vói J = Theo Đ%nh lý 3.1.2 neu σ ≤ σ0 , ton tai quy đao th¾t {zk }∞k=−∞ cna f cho ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ∀k ∈ Z (3.15) Hơn nua, quy đao nhat cna g thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z Khi ta đ¾t h(x) = z0 Neu σ đn nho cho {x : dist (x, S) ≤ Mσ} ⊂ O, suy rang h l mđt ỏnh xa tự S vo bat bien lón nhat SO cna g O Cũng tù (3.15) suy rang ǁh(x) − xǁ ≤ Mσ vói x ∈ S Hơn nua, {xk+1 }∞k=−∞ quy đao cna f tương úng vói f (x) = x1 ǁzk+1 − xk+1ǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z, suy rang (theo tính nhat) h(f (x)) = h(x1) = z1 = g(z0) = g(h(x)) Túc h ◦ f = g ◦ h Vì v¾y ta chi cịn phai chi rang h m®t đong phơi tù S lên SO SO l¾p Rõ ràng vói đieu ki¾n 2Mσ khơng vưot q hang so co giãn cna f S h ánh xa m®t - m®t Đe chúng minh h toàn ánh, gia su z ∈ SO đ¾t zk = gk (z) vói k ∈ Z CHQN yk ∈ S cho ǁyk − zk ǁ ≤ d0 Khi ǁyk+1 − f (yk)ǁ ≤ ǁyk+1 − zk+1ǁ + ǁg(zk) − f (zk)ǁ + ǁf (zk) − f (yk)ǁ ≤ d0 + σ + M1d0, o M1 = supǁ Df (x) (3.16) x∈U Neu (1 + M1 )d0 + σ ≤ δ0 , ton tai nhat m®t quy đao {xk }∞k=−∞ cna f cho ǁxk − ykǁ ≤ M [(1 + M1)d0 + σ] Khi neu d0 σ đn nho đe S t¾p bat bien lón nhat đoi vói f {x ∈ Rn : dist (x, S) ≤ M [(1 + M1)d0 + σ]}, suy rang xk thuđc S vúi mQi k Hn nua, ta nhắn thay rang ǁzk − xkǁ ≤ ǁzk − ykǁ + ǁyk − xkǁ ≤ d0 + M [(1 + M1)d0 + σ] = [1 + M (1 + M1)]d0 + Mσ Vì v¾y neu d0 σ đn nho cho [1 + M (1 + M1)]d0 + Mσ ≤ Mσ0, tù tính nhat minh suy Sra rang z = h(x0) Do v¾y h tồn ánh Do phan h ánhđau xa Scna vàochúng O, suy rang O ⊂ O l¾p k Tiep minh tuc Gia x, x ∈ S đ¾t ∞ ∞ xk = f (x), xk = f k (x) vóitheo, k ∈ ta Z.chúng Các quy đaoh liên tương úng {zsu k } k=−∞ , {z k } k=−∞ cna g thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z e z0 = h(x), z = h(x) {zk }k∞=−∞ , {z k }∞k=−∞ quy đao cna g t¾p hyperbolic SO Lay β = + λ1 , β = + λ2 (3.17) đeu 2.5.2 cho(như g vàđã SO,xác neuđ%nh σ ∆ đn nho chi phu thu®c vào K1, Áp K2,dung λ1, λ2M¾nh , Ms, M ω(·) s utrong (??)), ton tai hang so L1, L2 chi phu thu®c vào K1, K2, λ1, λ2, M , M cho neu ǁzk − z k ǁ ≤ ∆ vói |k| ≤ N, ]∆ ǁzk − z k ǁ ≤ [L1βk+N + L2βN−k vói |k| ≤ N (Chú ý rang chúng minh cna M¾nh đe 2.5.2 đưoc áp dung cho g, ω(·) đưoc thay the boi ω(∆) + 2σ, ǁDg(x) − Dg(y)ǁ ≤ ǁDg(x) − Df (x)ǁ + ǁDf (x) − Df (y)ǁ + ǁDf (y) − Dg(y)ǁ.) Cho trưóc ε > 0, cHQN N > cho [L1βN + L2βN ]∆ < ε (3.18) Tiep theo ý rang vói |k| ≤ N ǁzk − zkǁ ≤ ǁzk − xkǁ + ǁxk − xkǁ + ǁxk − zkǁ ≤ 2Mσ + ǁxk − xkǁ vói đieu ki¾n ≤ ∆, ǁx − xǁ đn nho cho 4Mσ ≤ ∆ ǁxk − xkǁ ≤ ∆/2 Khi tù M¾nh đe 2.5.2 suy rang vói |k| ≤ N N N ǁh(x) − h(x)ǁ = ǁz0 − z0ǁ ≤ [L1β1 + L2β2 ]∆ < ε Vì v¾y h liên tuc Cuoi cùng, ta chúng minh rang h−1 liên tuc (Thnc đieu suy đưoc tù tính liên tuc cna h tính compact cna S Chúng minh dưói có m®t ưu điem có the su dung đưoc trưịng hop t¾p S khơng compact) Gia su z, z thuđc SO v zk = gk(z), zk = gk(z) vói k ∈ Z Các quy đao tương úng {xk }∞k=−∞ {xk }∞k=−∞ cna f S thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói e = 2.5 h(x20 ),cho z f= h(xS, ) CHQN β1 , β2 (3.17) Khi k ∈ápZ.dung M¾nhz đe ton tai m®t so dương ∆ chi phu u thu®c vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , Ms s , M ω(·) hang so L1 , L2 chi phu thu®c vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M , M u cho neu ǁxk − xkǁ ≤ ∆ vói |k| ≤ N, N−k + L β ]∆ ǁxk − xkǁ ≤ [L1βk+N vói |k| ≤ N Cho trưóc ε > 0, ta cHQN N (3.18) Chú ý rang vói |k| ≤ N ǁxk − xkǁ ≤ ǁxk − zkǁ + ǁzk − zkǁ + ǁzk − xkǁ ≤ 2Mσ + ǁzk − zkǁ ≤ ∆, vói đieu ki¾n ǁz − zǁ đn nho cho 4Mσ ≤ ∆ ǁzk − z k ǁ ≤ ∆/2 Khi suy rang vói |k| ≤ N ǁh−1(z) − h−1(z)ǁ = ǁx0 − x0ǁ ≤ [L1β1N + L2βN2]∆ < ε V¾y ta chúng minh rang h h−1 liên tuc Đ%nh lý 3.2.2 đưoc chúng minh xong 3.3 Khơng gian ti¾m c¾n cua t¾p hyperbolic Cho f : U → Rn C - vi phơi S t¾p compact hyperbolic cna f Chúng ta có the xác đ%nh đa tap őn đ%nh cna S : W s (S) = {x ∈ U : dist (fk(x), S) → k → ∞} đa tap không őn đ%nh cna S Wu(S) = {x ∈ U : dist (fk(x), S) → k → −∞} Chúng ta có the xác đ%nh đa tap őn đ%nh không őn đ%nh cna điem S sau s k k W k W u(x) (x) = = {y {y ∈ ∈U U :: ǁf ǁf(y) (y) − −ffk(x)ǁ (x)ǁ → → 00 khikk→ →∞}, −∞} Rõ ràng rang s ∪ x ∈S u W (x) ⊂ W (S), ∪ x ∈S W (x) ⊂ W (S) Khi S t¾p bat bien l¾p, se su dung tính chat búng e chỳng minh rang mđt quy ao thắt tiắm cắn S thỡ phai tiắm cắn mđt quy đao S Đ%nh lý 3.3.1 Cho S t¾p compact hyperbolic l¾p cua C - vi phơi f : U → Rn Khi s u ∪ W (x) = W (S), ∪ W (x) = W (S) Chúng minh xTa ∈S chi can chúng minh x thúc ∈S đau tiên boi vi¾c chúng minh thúc thú hai đưoc tien hành tương tn Ta chi can chi rang W s (S) ⊂ ∪ x ∈S Ws(x) chieu ngưoc lai hien nhiên Gia su z ∈ Ws(S) đ¾t zk = fk(z) Khi dist (zk, S) → k → ∞ Tiep theo cho β = + λ1 , β 2 + λ2 , = ocna λ λ2 so mũ cna S, gia su ∆ m®t hang so cna sn co giãn S (chính xác hơn, ∆ có tính chat d M¾nh đe 2.5.2 vói β , β đưoc cHQN) gia su ∆ có tính chat cho S t¾p bat bien lón nhat 1đoi2 vói f {x ∈ U : dist (x, S) ≤ ∆/2} CHQN m®t so dương δ cho δ ≤ δ0 2M δ ≤ ∆, o δ0 , M hang so Đ%nh lý 3.1.2 Tiep theo chQn m®t so dương d cho (1 + M1)d ≤ δ, 2d ≤ ∆, o M1 đưoc xác đ%nh (3.16) (thông thưòng, đe đơn gian ta gia su rang U loi) Tiep theo ton tai k0 cho vói k ≥ k0 dist (zk, S) ≤ d v¾y vói k ≥ k0 ton tai yk ∈ S cho ǁzk − ykǁ ≤ d Chú ý rang neu k ≥ k0 ǁyk+1 − f (yk)ǁ ≤ ǁyk+1 − zk+1ǁ + ǁf (zk) − f (yk)ǁ ≤ d + M1d ≤ δ Vì v¾y neu ta đ¾t yk = f k−k0 (yk0 ) vói k < k0 , ta thay rang {yk }∞k=−∞ m®t δ - gia quy đao cna f S Vì v¾y, theo Đ%nh lý 3.1.2, ton tai nhat mđt quy ao thắt {xk }∞k=−∞ cna f cho vói MQI k ǁxk − ykǁ ≤ Mδ Do M δ ≤ ∆/2 nên suy rang xk ∈ S vói MQI k Neu k ≥ k0 , ǁf k (z) − f k (x0 )ǁ ≤ ǁzk − yk ǁ + ǁyk − xk ǁ ≤ d + M δ ≤ ∆ Khi theo M¾nh đe 2.5.2 suy rang ǁf k (z) − f k (x0 )ǁ → k → ∞ Vì v¾y z ∈ Ws(x0) đ%nh lý đưoc chúng minh xong KET LU¾N Chúng ta chúng minh rang khơng gian Rn, t¾p bat bien hyperbolic cna C vi phơi có tính bóng tính co giãn Đ%nh lý bóng đưoc áp dung đe chúng minh hai ket qua ve tính vung cna t¾p hyperbolic khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic Trong lu¾n văn gia thiet cna tốn hàm f xác đ%nh t¾p loi, mo U van cũn l mđt gia thiet khỏ chắt v cú the mo r®ng đưoc Chúng tơi se nghiên cúu phan mo rđng ny thũi gian túi Ti liắu tham khao [1] Aoki, N (1983), On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property Tokyo Math 6, 329-334 [2] Aoki, N (1989), Topological dynamics, in Topics in General Topology, K.Morita and J.Nagata ed., North Holland, Amsterdam, 625-740 [3] Aoki, N and Hiraide, N (1994), Topological Theory of Dynamical Systems Recent Advances, North-Holland, Amsterdam [4] Chen, L and Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc.Amer.Math.Soc 115, 573-580 [5] Coomes, B.A (1997), Shadowing orbits of ordinary differential equations in invariant submanifolds Trans.Amer.Math.Soc 349, 203216 [6] Coomes, B.A., Kocak, H and Palmer, K.J (1994), Shadowing orbits of ordinary differential equations J Comp Appl Math 52, 35-43 [7] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1995), A shadowing theorem for ordinary differential equations, Z Angew Math Phys 46, 85-106 [8] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1996), Shadowing in discrete dynamical systems, in Six Lectures on Dynamical Systems, B.Aulbach and F.Colonius ed., World Scientific, Singapore, 163-211 [9] Coppel, W A (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D C Heath, Boston [10] Coppel, W A (1978), Dichotomies in stability theory, Lecture note in mathematics 629, Springer - Verlag, Berlin [11] Feckan, M (1991), A remark on the shadowing lemma, Funk Ekvac 34, 391402 [12] Fenichel, N (1996), Hyperbolicity and exponential dichotomy, Dynamics Reported 5, 1-25 [13] Henry, D (1981), Geometric theory of similinear parabolic equation, Lec- ture notes in mathemmatics 840, Springer - Verlag, New York [14] Henry, D (1994), Exponential dichotomies, the shadowing lemma, and homo clinic orbits in Banach spaces, Resenhas IME-USP 1, 381-40l [15] Hisch, M W and Smale, S (1974), Differential equation, Dynamical systems and Linear algebra, Academic Press, New York [16] Landford, O E (1985), Introduction to hyperbolic sets, in Regular and Chaotic motion in dynamic systems, Vol 118, Plenum Press, New York, 73 - 102 [17] Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc Amer.Math.Soc 115, 573-580 [18] Ombach, J (1986), Equivalent conditions for hyperbolic coordinates, Topology and applications, 23, 87 - 90 [19] Palmer, K (2000), Shadowing in dynamic systems theory and applications, Kluer Academic Publishers [20] Sawada, K (1980), Extended f -orbits are approximated by orbits, Nagoya Math J 79, 33-45 ... hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay Khoa, nhung ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban... cna t¾p hyperbolic .45 Ket lu¼n 48 Tài li¼u tham khao 49 i LèI CAM ƠN Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q... Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phịng Sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn