THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± THUY TÍNH CHAT BĨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± THUY TÍNH CHAT BĨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 02 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Huy Tien Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài ma đau iii Điem bat đ®ng hyperbolic, đa tap on đ%nh, đa tap không on đ %nh cua vi phơi 1.1 Điem bat đ®ng hyperbolic cna vi phôi 1.2 Đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ%nh 1.3 Tính chat điem yên ngna 1.4 Tính trơn cna đa tap őn đ%nh đ%a phương 10 1.5 Vi phơi phu thu®c tham so 16 T¼p hyperbolic cua vi phơi 19 2.1 Đ%nh nghĩa t¾p hyperbolic .19 2.2 Tính b% ch¾n cna phép chieu 20 2.3 Tính liên tuc cna phép chieu .22 2.4 Nh% phân mũ cna phương trình sai phân 26 2.5 Tính chat cna t¾p hyperbolic 30 2.6 Tính vung cna t¾p hyperbolic .32 Đ%nh lý bóng cho t¼p hyperbolic cua vi phơi 35 3.1 Đ%nh lý bóng 35 3.2 Nói thêm ve tính vung cna t¾p hyperbolic 41 3.3 Khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic .45 Ket lu¼n 48 Tài li¼u tham khao 49 i LèI CAM ƠN Đe hoàn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình, thay ban bè Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói MQI ngưịi Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay Khoa, nhung ngưòi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phòng Sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn gia đình tơi, nhung ngưịi ln đ®ng viên nng h® tơi LèI Me ĐAU Tính chat bóng có nguon goc tù vi¾c giai so phương trình vi phân/sai phân Tính chat bóng có nghĩa ton tai m®t quy đao gan m®t gia quy đao cho trưóc Tính bóng đưoc nghiên cúu boi Anosov, Bowen, Sinai - nhung ngưịi đau tiên nh¾n rang liên quan đen tốn őn đ%nh tồn cuc cna hắ đng lnc Trúc õy, Anosov, Bowen, Sinai eu dùng phương pháp hình HQc đe nghiên cúu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiep c¾n giai tích cho tính bóng thơng qua lý thuyet nh% phân mũ cna phương trình vi phân Trong lu¾n văn này, chúng tụi nghiờn cỳu tớnh búng cna hắ đng lnc lân c¾n cna t¾p hyperbolic tù cuon sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" cna Ken Palmer năm 2000 Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương trình bày nhung khái ni¾m ve điem co đ%nh hyperbolic cna vi phôi; đa tap őn đ%nh đa tap không őn đ%nh; tính chat điem yên ngna; tính nhan cna đa tap őn đ%nh đ%a phương vi phôi phu thu®c tham so Chương trình bày đ%nh nghĩa cna t¾p hyperbolic; tính chat cna t¾p hyperbolic Ngồi ra, chương trình bày ve tính liên tuc tính b% ch¾n cna phép chieu; nh% phân mũ cna phương trình sai phân Tính co giãn t¾p bat bien cna vi phôi đưoc đ%nh nghĩa chi nú l mđt hắ qua cna tớnh hyperbolic Chng l nđi dung chớnh cna luắn Trong chng ny chúng tơi nêu chúng minh đ%nh lý bóng Sau áp dung đ%nh lý bóng đe chúng minh ket qua ve tính vung cna t¾p hyperbolic khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic Do thịi gian có han, lu¾n văn có the khơng tránh khoi thieu sót Chúng tơi mong nh¾n đưoc ý kien đóng gúp e luắn hon thiắn hn H Nđi, ngy 03 tháng 12 năm 2014 HQC viên Pham Th% Thuy Chương Điem bat đ®ng hyperbolic, đa tap on đ%nh, đa tap không on đ%nh cua vi phôi 1.1 Điem bat đ®ng hyperbolic cua vi phơi Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Đ%nh ngha vi phụi) n n l ton mđttai tắpf movàtrong Rn xa Ánh đưoc GQI C r −1 f : U ⊂ R r→ R - vi Cho phơi Uneu ánh f, fxa thu®c lóp C Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đ%nh nghĩa điem bat đ®ng hyperbolic cua vi phôi, không gian on đ%nh không gian khụng on %nh) Cho U l mđt mo Rn , f : U → Rn C - vi phôi Điem x ∈ U đưoc GQI điem bat đ®ng hyperbolic cna f neu f (x0 ) = x0 giá tr% 0riêng cna ma tr¾n Df (x0 ) khơng nam đưịng trịn đơn v% Khi tőng cna khơng gian riêng suy r®ng úng vói giá tr% riêng nam (ngồi) đưịng trịn đơn v% tương úng GQI khơng gian őn đ%nh (khơng őn đ%nh) đưoc ký hi¾u E s (E u ) 1.2 Đa tap on đ%nh đa tap khơng on đ%nh n t¾pmuc 1.1.2, mo Rn,rang f : UE s→ bat C bien - vi phôi Tù đ%nh cnaCho E s , EUu ta biet , ERu dưói Df (x0) nghĩa so dương cho < λtrong < vói tat ca giá tr% riêng λ cna Df (x0 )hang mà Hơn nua, bang ket|λ| qua đai so tuyen tính, neu ta GQI λ1 λ2 − |λ| < < λ < |λ| vói tat ca giá tr% riêng λ cna Df (x0 ) mà |λ| > Khi ton tai hang so dương k1, k2 cho vói ∀k ≥ 0, k ∈ Z ǁ[Df (x0)]kξǁ ≤ k1λkǁξǁ vói ∀ξ ∈ Es Như v¾y ǁ[Df (x0)]−kηǁ ≤ k2λkǁηǁ vói ∀η ∈ Eu [Df (x0)]kξ → k → ∞ neu chi neu ξ ∈ Es [Df (x0)]kξ → k → −∞ neu chi neu ξ ∈ Eu Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Đ%nh nghĩa đa tap on đ%nh, đa tap khơng on đ%nh) x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic cna C - vi phơi f : U → Rn Khi đó, Cho t¾p hop W s (x ) = {x ∈ U : f k (x) → x0, k → ∞} đưoc GQI đa tap őn đ%nh cua x0 T¾p hop W u (x ) = {x ∈ U : f k (x) → x0, k → −∞} đưoc GQI đa tap không őn đ%nh cua x0 Chúng ta se chi rang đa tap őn đ%nh, m¾c dù tên cna v¾y, có the khơng m®t đa tap cna Rn Tuy nhiên có the mơ ta bang h¾ đa tap őn đ%nh đ%a phương mà chúng đa tap cna Rn Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Đ%nh nghĩa đa tap on đ%nh đ%a phương) n Cho điem U m®t t¾p mo Vói Rn , εf >: U m®t C - vinghĩa phơi đa vóitap x0 m®t bat đ®ng hyperbolic → choRtrưóc, ta đ%nh őn đ%nh đ%a phương cna x0 Ws,ε(x0) = {x ∈ U : fk(x) → x0 k → ∞ ǁfk(x) − x0ǁ < ε, ∀k ≥ 0} Ta de dàng thay rang vói moi ε > Ws(x0) = ∪ k≥0 f −k (W s,ε (x0 )) Ngồi ra, ta cịn thay tính chat bat bien f (W s(x0)) = W s (x0 ), f (Ws,ε(x0)) ⊂ Ws,ε(x0) phanx tieplàtheo, chúnggian ta chicon rang vóiđ%nh, ε > đn nho t¾p Ws,ε s,ε s 0) Ws,εTrong (x0) tai không őn T W (x ) = E(x x 0 n m®t đa tap trơn thnc sn cna R chúa x0 cho khơng gian tiep xúc vói 1.3 Tính chat điem n ngEa Đ%nh nghĩa 1.3.1 (Khái ni¼m ve tính chat điem yên ngEa) tính chat yênđiem ngnabatneu ton hyperbolic tai hang socna dương ∆ mà bat kỳ điem x Cho x0 điem m®t đ®ng k k vi phơi f , x0 đưoc GQI có thoa mãn ǁf (x) − x0 ǁ ≤ ∆ vói MQI k ≥ f (x) → x0 k → ∞ Đ¾c bi¾t nua, có m¾nh đe sau Mẳnh e 1.3.2 Cho U Rn l mỏ f : U → Rn C - vi phơi vái x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic tương úng vái không gian őn đ%nh, không őn đ%nh Es, Eu cho bat thúc sau đưac thóa mãn ǁ[Df (x0)]kξǁ ≤ k1λ1kǁξǁ vái ξ ∈ E s , (1.1) k u −k ǁ[Df (x )] ηǁ ≤ k λ ǁηǁ vái η ∈ E (1.2) GQI P ánh xa chieu 0cua Rn lên2 E s DQc theo E u đ¾t M s = ǁP ǁ, M u = ǁI − P ǁ Gia sus∆ hang−1so dươngu2 đu nhó (ta−1ln tìm đưac) thóa mãn σ = [k1 M (1 − λ1 ) + k2 M λ2 (1 − λ2 ) ]w(∆) < 1, (1.3) ω(∆) = sup{ǁDf (x) − Df (x0)ǁ : ǁx − x0ǁ ≤ ∆} Khi neu x ∈ U ǁf k(x) − x0ǁ ≤ ∆ vái ∀k ≥ bat thúc ǁf k(x) − x0ǁ ≤ k M s (1 − σ)−1[λ1 + k M s (1 − σ)−1ω(∆)]kǁx − x0ǁ thóa mãn vái ∀k ≥ Như v¾y neu có thêm đieu ki¾n k1Msω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1) suy rang f k (x) → x0 k → ∞, túc x0 có tính chat cua điem yên ngna Chúng minh Đ¾t yk = f k (x) − x0 Khi f k (x) = yk + x0 Vói k ≥ 0: Như v¾y, k+1 y=k+1f = − xx0., yk+1 (x0f + (x) yk) − yk+1 = Ayk + g(yk), A = Df (x0), g(yk) = f (x0 + yk) − f (x0) − Df (x0)yk Đ¾t g(y) = f (x0 + y) − f (x0) − Df Ta biet rang (x0)y f (x0 + y) − f (x0) = Df (ξ)y (vói ξ mà ξ = λx0 + (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) v¾y g(y) = Df (ξ)y − Df (x0)y Vói gia thiet ω(∆) = sup{ǁDf (x) − Df (x0)ǁ, vói ǁx − x0ǁ ≤ ∆} ǁg(y)ǁ ≤ ω(∆) · ǁyǁ neu ǁyǁ < ∆ Tiep theo, đ¾t uk = Pyk, vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk (1.4) Tù A giao hốn vói P , túc AP = PA, nhân (1.4) vói P , ta đưoc Py k+1 = uuk+1 ==P (Ay )) AP k + (ykg(y ) k+ k+1 Pg(y k ) uk+1 = Auk + Pg(y k) Theo tính chat cna dãy truy hoi, vói k ≥ 0, ta có ket qua Σ k uk = A u0 + kk−1 m m=0 − A − Pg(ym ) (1.5) Tương tn, nhân (1.4) vói (I − P ) ta đưoc (I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk)) vk+1 = A(I − P )(yk) + (I − P )g(yk) vk+1 = A(vk) + (I − P )g(yk) Nhân hai ve vói A−1, bien đői, ta thu đưoc vk = A−1vk+1 − A−1(I − P )g(yk) Truy hoi vk theo vm, vói ≤ k ≤ m ta thu đưoc Σ (m k) vk = A− k+1) − vm − Ta se xét vk m → ∞ Ta có (l m−1 l=k A− (I − P )g(yl) − (1.6) ǁA−(m−k)vmǁ = ǁA−(m−k)(I − P )(ym)ǁ 2 ≤ k λm−k Muǁy ǁ ≤ k λm−k Mu∆ (Theo gia thiet ǁf (x) − x20ǁ ≤ ∆ vóim k ≥ 02 mà yk = f k (x) − x0 ⇒ ǁykǁ ≤ ∆ k vói ∀k ≥ 0) Ngoài ra, ⇒ ǁA−(m−k)vmǁ → m → ∞ ∞ ǁ Σ l=k Như v¾y, ∞ A−(l−k+1)(I − P )g(yl)ǁ ≤ Σ k22 λl−k+1Muω(∆)∆ l=k = k Mu λ2 (1 − λ2)−1ω(∆)∆ 2 hang so chi phu thu®c vào f S Su dung (3.12) áp dung Bő đe 2.4.3 neu σ đn nho phu thu®c vào f, S phương trình (3.11) có m®t nh% phân mũ (−∞, ∞) vói so mũ α1 = + λ1 3+ , v , l2 α = c c h a n g s o l1 λ chi phu thu®c vào f S Như v¾y theo Bő đe 3.1.4 L có L−1 ǁL−1ǁ ≤ l1(1 − α1)−1 + l2α2(1 − α2)−1 Cho {yk }∞k=−∞ m®t δ - gia quy đao cna f S g : U → Rn C vi phôi thoa mãn (3.1) ánhσ xathoa G : mãn O → X đ%nh (3.2) đ%nh nghĩa cna L δ -Ta giaxem quy đao Gia Csu δ- đieu nghĩa ki¾n o đe có Tù ngh%ch đao cna xét bat thúc ǁG(y)ǁ ≤ δ + σ thoa mãn vói y = {yk }∞k=−∞ Ta chi L = DG(y) có ngh%ch đao ǁL−1ǁ ≤ M/2 vói M = 2l1(1 − α1)−1 + 2l2(1 − α2)−1 (3.13) Tiep theo neu ǁx − yǁ ≤ M (δ + σ) vói x = {xk }∞k=−∞ , ta có ưóc lưong ǁDG(x) − DG(y)ǁ ≤ sup k∈ ǁDf (x k) − Df (yk)ǁ + 2σ Z ≤ ω(M (δ + σ)) + 2σ, o ω(ε) = sup{ǁDf (x) − Df (y)ǁ : y ∈ S, ǁx − yǁ ≤ ε} Vì v¾y neu M (σ + δ) < dist (S, ∂U ), M [ω(σ + δ) + 2σ] < đ%nh lý đưoc chúng minh xong vói M đưoc cho boi (3.13) σ0, δ0 so dương thoa mãn M (σ0 + δ0) < dist (S, ∂U ), M [ω(M (σ0 + δ0)) + 2σ0] < 1, đieu ki¾n cna σ, δ đn đam bao có ngh%ch đao cna L 3.2 Nói thêm ve tính vEng cua t¾p hyperbolic Cho S t¾p compact hyperbolic cna C - vi phôi f : U → Rn Như đã1 biet o muc 2.6 rang 1neu O lân c¾n đn nho cna S g : U → Rn C - vi phôi đn đóng C - tơpơ cna f t¾p bat bien lón nhat S0 cna g O hyperbolic mđt lắp ta batsebien cna ftớnh thỡ chat S0 đe chúng l¾p minh đongrang phơineu f : SS → Trong muccơnày su dung bóng S g : S0 → S0 liên hop tôpô Đ%nh 3.2.1 Cho không f : đong X → X, g :hY: → Y nghĩa ánh xa Ta nóiX,f Y vàlàg liên hop gian tơpơ metric neu cóvà m®t phơi X → Y cho h ◦ f = g ◦ h Đ%nh lý 3.2.2 Cho U t¾p loi má 1Rn, f : U → Rn C - vi phôi vái S g : U → Rn C vi phơi thóa mãn S t¾p compact hyperbolic l¾p Khi ú neu O l mđt lõn cắn mỏ u bé cua ǁf (x) − g(x)ǁ + ǁDf (x) − Dg(x)ǁ ≤ σ, x ∈ U, (3.14) vái σ đu nhó, t¾p bat bien lán nhat SO cua g O t¾p hyperbolic l¾p Ngồi phơimãn f : S → S, g : SO → SO liên hap tôpô vái ánh xa liên hap h : ra, S →đong SO thóa ǁh(x) − xǁ ≤ Mσ, M hang so Đ%nh lý 3.1.2 Chúng cót¾p bat so d > 0, σ0 > cho neu dist (x, minh S) ≤ d0Áp vóidung ∀x ∈Đ%nh O lý σ ≤2.6.2 σ0 bien lón nhat S0 cna g O hyperbolic hang so k1, k2 ch¾n M s , M u cna phép chieu có the cHQN khơng phu thu®c vào O g Gia su δ0, M, σ0 thoa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý 3.1.2 cho f S Cho x ∈ S {xk }∞k=−∞ = {f k (x)}∞k=0 m®t δ - gia quy đao cna f S vói J = Theo Đ%nh lý 3.1.2 neu σ ≤ σ0 , ton tai quy đao th¾t {zk }∞k=−∞ cna f cho ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ∀k ∈ Z (3.15) Hơn nua, quy đao nhat cna g thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z Khi ta đ¾t h(x) = z0 Neu σ đn nho cho {x : dist (x, S) ≤ Mσ} ⊂ O, suy rang h l mđt ỏnh xa tự S vo bat bien lón nhat SO cna g O Cũng tù (3.15) suy rang ǁh(x) − xǁ ≤ Mσ vói x ∈ S Hơn nua, {xk+1 }∞k=−∞ quy đao cna f tương úng vói f (x) = x1 ǁzk+1 − xk+1ǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z, suy rang (theo tính nhat) h(f (x)) = h(x1) = z1 = g(z0) = g(h(x)) Túc h ◦ f = g ◦ h Vì v¾y ta chi cịn phai chi rang h m®t đong phơi tù S lên SO SO l¾p Rõ ràng vói đieu ki¾n 2Mσ khơng vưot q hang so co giãn cna f S h ánh xa m®t - m®t Đe chúng minh h toàn ánh, gia su z ∈ SO đ¾t zk = gk (z) vói k ∈ Z CHQN yk ∈ S cho ǁyk − zk ǁ ≤ d0 Khi ǁyk+1 − f (yk)ǁ ≤ ǁyk+1 − zk+1ǁ + ǁg(zk) − f (zk)ǁ + ǁf (zk) − f (yk)ǁ ≤ d0 + σ + M1d0, o M1 = supǁ Df (x) (3.16) x∈U Neu (1 + M1 )d0 + σ ≤ δ0 , ton tai nhat m®t quy đao {xk }∞k=−∞ cna f cho ǁxk − ykǁ ≤ M [(1 + M1)d0 + σ] Khi neu d0 σ đn nho đe S t¾p bat bien lón nhat đoi vói f {x ∈ Rn : dist (x, S) ≤ M [(1 + M1)d0 + σ]}, suy rang xk thuđc S vúi mQi k Hn nua, ta nhắn thay rang ǁzk − xkǁ ≤ ǁzk − ykǁ + ǁyk − xkǁ ≤ d0 + M [(1 + M1)d0 + σ] = [1 + M (1 + M1)]d0 + Mσ Vì v¾y neu d0 σ đn nho cho [1 + M (1 + M1)]d0 + Mσ ≤ Mσ0, tù tính nhat minh suy Sra rang z = h(x0) Do v¾y h tồn ánh Do phan h ánhđau xa Scna vàochúng O, suy rang O ⊂ O l¾p k Tiep minh tuc Gia x, x ∈ S đ¾t ∞ ∞ xk = f (x), xk = f k (x) vóitheo, k ∈ ta Z.chúng Các quy đaoh liên tương úng {zsu k } k=−∞ , {z k } k=−∞ cna g thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói k ∈ Z e z0 = h(x), z = h(x) {zk }k∞=−∞ , {z k }∞k=−∞ quy đao cna g t¾p hyperbolic SO Lay β = + λ1 , β = + λ2 (3.17) đeu 2.5.2 cho(như g vàđã SO,xác neuđ%nh σ ∆ đn nho chi phu thu®c vào K1, Áp K2,dung λ1, λ2M¾nh , Ms, M ω(·) s utrong (??)), ton tai hang so L1, L2 chi phu thu®c vào K1, K2, λ1, λ2, M , M cho neu ǁzk − z k ǁ ≤ ∆ vói |k| ≤ N, ]∆ ǁzk − z k ǁ ≤ [L1βk+N + L2βN−k vói |k| ≤ N (Chú ý rang chúng minh cna M¾nh đe 2.5.2 đưoc áp dung cho g, ω(·) đưoc thay the boi ω(∆) + 2σ, ǁDg(x) − Dg(y)ǁ ≤ ǁDg(x) − Df (x)ǁ + ǁDf (x) − Df (y)ǁ + ǁDf (y) − Dg(y)ǁ.) Cho trưóc ε > 0, cHQN N > cho [L1βN + L2βN ]∆ < ε (3.18) Tiep theo ý rang vói |k| ≤ N ǁzk − zkǁ ≤ ǁzk − xkǁ + ǁxk − xkǁ + ǁxk − zkǁ ≤ 2Mσ + ǁxk − xkǁ vói đieu ki¾n ≤ ∆, ǁx − xǁ đn nho cho 4Mσ ≤ ∆ ǁxk − xkǁ ≤ ∆/2 Khi tù M¾nh đe 2.5.2 suy rang vói |k| ≤ N N N ǁh(x) − h(x)ǁ = ǁz0 − z0ǁ ≤ [L1β1 + L2β2 ]∆ < ε Vì v¾y h liên tuc Cuoi cùng, ta chúng minh rang h−1 liên tuc (Thnc đieu suy đưoc tù tính liên tuc cna h tính compact cna S Chúng minh dưói có m®t ưu điem có the su dung đưoc trưịng hop t¾p S khơng compact) Gia su z, z thuđc SO v zk = gk(z), zk = gk(z) vói k ∈ Z Các quy đao tương úng {xk }∞k=−∞ {xk }∞k=−∞ cna f S thoa mãn ǁzk − xkǁ ≤ Mσ, ǁzk − xkǁ ≤ Mσ vói e = 2.5 h(x20 ),cho z f= h(xS, ) CHQN β1 , β2 (3.17) Khi k ∈ápZ.dung M¾nhz đe ton tai m®t so dương ∆ chi phu u thu®c vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , Ms s , M ω(·) hang so L1 , L2 chi phu thu®c vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M , M u cho neu ǁxk − xkǁ ≤ ∆ vói |k| ≤ N, N−k + L β ]∆ ǁxk − xkǁ ≤ [L1βk+N vói |k| ≤ N Cho trưóc ε > 0, ta cHQN N (3.18) Chú ý rang vói |k| ≤ N ǁxk − xkǁ ≤ ǁxk − zkǁ + ǁzk − zkǁ + ǁzk − xkǁ ≤ 2Mσ + ǁzk − zkǁ ≤ ∆, vói đieu ki¾n ǁz − zǁ đn nho cho 4Mσ ≤ ∆ ǁzk − z k ǁ ≤ ∆/2 Khi suy rang vói |k| ≤ N ǁh−1(z) − h−1(z)ǁ = ǁx0 − x0ǁ ≤ [L1β1N + L2βN2]∆ < ε V¾y ta chúng minh rang h h−1 liên tuc Đ%nh lý 3.2.2 đưoc chúng minh xong 3.3 Khơng gian ti¾m c¾n cua t¾p hyperbolic Cho f : U → Rn C - vi phơi S t¾p compact hyperbolic cna f Chúng ta có the xác đ%nh đa tap őn đ%nh cna S : W s (S) = {x ∈ U : dist (fk(x), S) → k → ∞} đa tap không őn đ%nh cna S Wu(S) = {x ∈ U : dist (fk(x), S) → k → −∞} Chúng ta có the xác đ%nh đa tap őn đ%nh không őn đ%nh cna điem S sau s k k W k W u(x) (x) = = {y {y ∈ ∈U U :: ǁf ǁf(y) (y) − −ffk(x)ǁ (x)ǁ → → 00 khikk→ →∞}, −∞} Rõ ràng rang s ∪ x ∈S u W (x) ⊂ W (S), ∪ x ∈S W (x) ⊂ W (S) Khi S t¾p bat bien l¾p, se su dung tính chat búng e chỳng minh rang mđt quy ao thắt tiắm cắn S thỡ phai tiắm cắn mđt quy đao S Đ%nh lý 3.3.1 Cho S t¾p compact hyperbolic l¾p cua C - vi phơi f : U → Rn Khi s u ∪ W (x) = W (S), ∪ W (x) = W (S) Chúng minh xTa ∈S chi can chúng minh x thúc ∈S đau tiên boi vi¾c chúng minh thúc thú hai đưoc tien hành tương tn Ta chi can chi rang W s (S) ⊂ ∪ x ∈S Ws(x) chieu ngưoc lai hien nhiên Gia su z ∈ Ws(S) đ¾t zk = fk(z) Khi dist (zk, S) → k → ∞ Tiep theo cho β = + λ1 , β 2 + λ2 , = ocna λ λ2 so mũ cna S, gia su ∆ m®t hang so cna sn co giãn S (chính xác hơn, ∆ có tính chat d M¾nh đe 2.5.2 vói β , β đưoc cHQN) gia su ∆ có tính chat cho S t¾p bat bien lón nhat 1đoi2 vói f {x ∈ U : dist (x, S) ≤ ∆/2} CHQN m®t so dương δ cho δ ≤ δ0 2M δ ≤ ∆, o δ0 , M hang so Đ%nh lý 3.1.2 Tiep theo chQn m®t so dương d cho (1 + M1)d ≤ δ, 2d ≤ ∆, o M1 đưoc xác đ%nh (3.16) (thông thưòng, đe đơn gian ta gia su rang U loi) Tiep theo ton tai k0 cho vói k ≥ k0 dist (zk, S) ≤ d v¾y vói k ≥ k0 ton tai yk ∈ S cho ǁzk − ykǁ ≤ d Chú ý rang neu k ≥ k0 ǁyk+1 − f (yk)ǁ ≤ ǁyk+1 − zk+1ǁ + ǁf (zk) − f (yk)ǁ ≤ d + M1d ≤ δ Vì v¾y neu ta đ¾t yk = f k−k0 (yk0 ) vói k < k0 , ta thay rang {yk }∞k=−∞ m®t δ - gia quy đao cna f S Vì v¾y, theo Đ%nh lý 3.1.2, ton tai nhat mđt quy ao thắt {xk }∞k=−∞ cna f cho vói MQI k ǁxk − ykǁ ≤ Mδ Do M δ ≤ ∆/2 nên suy rang xk ∈ S vói MQI k Neu k ≥ k0 , ǁf k (z) − f k (x0 )ǁ ≤ ǁzk − yk ǁ + ǁyk − xk ǁ ≤ d + M δ ≤ ∆ Khi theo M¾nh đe 2.5.2 suy rang ǁf k (z) − f k (x0 )ǁ → k → ∞ Vì v¾y z ∈ Ws(x0) đ%nh lý đưoc chúng minh xong KET LU¾N Chúng ta chúng minh rang khơng gian Rn, t¾p bat bien hyperbolic cna C vi phơi có tính bóng tính co giãn Đ%nh lý bóng đưoc áp dung đe chúng minh hai ket qua ve tính vung cna t¾p hyperbolic khơng gian ti¾m c¾n cna t¾p hyperbolic Trong lu¾n văn gia thiet cna tốn hàm f xác đ%nh t¾p loi, mo U van cũn l mđt gia thiet khỏ chắt v cú the mo r®ng đưoc Chúng tơi se nghiên cúu phan mo rđng ny thũi gian túi Ti liắu tham khao [1] Aoki, N (1983), On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property Tokyo Math 6, 329-334 [2] Aoki, N (1989), Topological dynamics, in Topics in General Topology, K.Morita and J.Nagata ed., North Holland, Amsterdam, 625-740 [3] Aoki, N and Hiraide, N (1994), Topological Theory of Dynamical Systems Recent Advances, North-Holland, Amsterdam [4] Chen, L and Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc.Amer.Math.Soc 115, 573-580 [5] Coomes, B.A (1997), Shadowing orbits of ordinary differential equations in invariant submanifolds Trans.Amer.Math.Soc 349, 203216 [6] Coomes, B.A., Kocak, H and Palmer, K.J (1994), Shadowing orbits of ordinary differential equations J Comp Appl Math 52, 35-43 [7] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1995), A shadowing theorem for ordinary differential equations, Z Angew Math Phys 46, 85-106 [8] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1996), Shadowing in discrete dynamical systems, in Six Lectures on Dynamical Systems, B.Aulbach and F.Colonius ed., World Scientific, Singapore, 163-211 [9] Coppel, W A (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D C Heath, Boston [10] Coppel, W A (1978), Dichotomies in stability theory, Lecture note in mathematics 629, Springer - Verlag, Berlin [11] Feckan, M (1991), A remark on the shadowing lemma, Funk Ekvac 34, 391402 [12] Fenichel, N (1996), Hyperbolicity and exponential dichotomy, Dynamics Reported 5, 1-25 [13] Henry, D (1981), Geometric theory of similinear parabolic equation, Lec- ture notes in mathemmatics 840, Springer - Verlag, New York [14] Henry, D (1994), Exponential dichotomies, the shadowing lemma, and homo clinic orbits in Banach spaces, Resenhas IME-USP 1, 381-40l [15] Hisch, M W and Smale, S (1974), Differential equation, Dynamical systems and Linear algebra, Academic Press, New York [16] Landford, O E (1985), Introduction to hyperbolic sets, in Regular and Chaotic motion in dynamic systems, Vol 118, Plenum Press, New York, 73 - 102 [17] Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc Amer.Math.Soc 115, 573-580 [18] Ombach, J (1986), Equivalent conditions for hyperbolic coordinates, Topology and applications, 23, 87 - 90 [19] Palmer, K (2000), Shadowing in dynamic systems theory and applications, Kluer Academic Publishers [20] Sawada, K (1980), Extended f -orbits are approximated by orbits, Nagoya Math J 79, 33-45 ... hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay Khoa, nhung ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban... cna t¾p hyperbolic .45 Ket lu¼n 48 Tài li¼u tham khao 49 i LèI CAM ƠN Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q... Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phịng Sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn
Ngày đăng: 23/12/2021, 20:05
Xem thêm: