Giải tích malliavn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Mnc lnc Lài nói đau .iii Cơng thÉc tích phân tÈng phan trÈu tưang 1.1 Trưịng hop m®t chieu 1.1.1 Van đe đ® nhay .3 1.1.2 Mắt đ cna phân bo 1.1.3 Kỳ vQNG có đieu ki¾n 1.2 Trưòng hop nhieu chieu Giai tích Malliavin Brown 12 2.1 Trưòng hop huu han chieu 12 2.1.1 Các đ%nh nghĩa tính chat 12 2.1.2 Các toán tu vi phân Các tính chat ban 14 2.2 Trưịng hop vơ han chieu 18 2.2.1 Mien xác đ%nh t¾p Domp(D) = D1,p 19 2.2.2 Mien xác đ%nh t¾p Domp(δ) .20 2.2.3 Các tính chat 20 2.2.4 Các ví du 25 2.2.5 Công thúc Clark - Ocone 30 2.2.6 Mien xác đ%nh t¾p Domp(L) .31 2.2.7 Cơng thúc tích phân tùng phan 33 2.3 Chuyen đ®ng Brown nhieu chieu 34 2.4 Các đao hàm b¾c cao cơng thúc tích phân tùng phan 41 2.5 Quá trình khuech tán .44 i 2.6 Phu luc Phân tích hon đ®n Wiener (Wiener chaos decomposition) Áp dnng vào Tài 48 53 3.1 Công thúc Clark - Ocone danh muc đau tư tái tao 53 3.2 Tính tốn đ® nhay 57 3.2.1 T¾p Delta 59 3.2.2 M®t so ví du khác 63 3.3 Kỳ vQNG có đieu ki¾n 69 3.3.1 Thn tuc đưịng chéo cơng thúc ban 69 3.3.2 Công thúc đ%a phương 74 ii LèI NĨI ĐAU Giai tích Malliavin đưoc hình thành tù nhung năm 70 cna the ky XX đen nhung nm 80, 90 mđt long khng lo cỏc cụng viắc đưoc thnc hi¾n lĩnh vnc Lý thuyet phan lón đưoc xây dnng tính tốn ngau nhiên Itơ nham muc đích nghiên cúu cau trúc phân bo cna không gian hàm Wiener Đau tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chuan liên tuc tuy¾t đoi đe chúng minh rang dưói đieu ki¾n Hormander phân bo cna quỏ trỡnh khuech tỏn cú mắt đ m%n vói cách ơng chúng minh đưoc đ%nh lý xác suat Hormander Sau ngưịi ta dùng phương pháp giai tích nhieu tốn khác có liên quan tói q trình ngau nhiên Cuoi ngưịi ta tìm úng dung cna giai tích Malliavin phương pháp so xác suat, chn yeu lĩnh vnc tốn tài Nhung úng dung khác nhung phương pháp trưóc boi cơng thúc tích phân tùng phan giai tích Malliavin đưoc dùng đe giai thích m®t cách chac chan van đe thu¾t tốn phi tuyen Bo cuc lu¾n văn gom ba chương : Chương 1: “Cơng thÉc tích phân tÈng phan trÈu tưang ” Chương nham giói thi¾u cơng thúc tích phân tùng phan trùu tưong Tù ta đưa đưoc nhung ket qua quan TRQNG : van e đ nhay, mắt đ cna phõn bo kỳ vQNG có đieu ki¾n Chương 2: “Giai tích Malliavin Brown” Chương đưa khái ni¾m ve hàm đơn gian, trình đơn gian, tù khái ni¾m ngưịi ta mói đưa đ%nh nghĩa đao hàm Malliavin Tiep theo đưa đ%nh nghĩa tích phân Skorohod, moi quan h¾ giua tích phân Skorohod vói tích phân Itơ, tù moi quan h¾ ta thay đưoc tích phân Skorohod mo r®ng cna tích phân Itơ the Áp dung cơng thúc tích phân tùng phan trùu tưong đe suy đưoc tính chat quan TRQNG cna tích phân : công thúc đoi ngau, quy tac chuoi, công thúc Clark – Ocone cơng thúc tích phân tùng phan Malliavin Ngồi chương cịn giói thi¾u q trình khuech tỏn v phõn tớch hon đn Wiener, cỏc Domp (D), Domp (δ), Domp (L) Chương 3: “Áp dnng vào tài chính” Ta áp dung ket qua cna chương chương vào chương Trưóc tiên áp dung cơng thúc Clark – Ocone đe tìm danh muc đau tư tái tao, túc tìm đưoc nhung cő phieu φi đe lna chQn vi¾c đau tư t tái tao; tìm giá cna tùy cHQN (H, T ) kieu châu âu tai thòi điem t, nghĩa tai kỳ han tốn T tương úng vói chi tra ngau nhiờn H p dung viắc tớnh toỏn đ nhay o chương cơng thúc tích phân tùng phan Malliavin e tớnh toỏn đ nhay Viắc tớnh toỏn đ® nhay cho ta biet phương án đau tư có an tồn hay khơng, đ® nhay thap phương án đau tư an tồn ngưoc lai đ® nhay cao can tính đen vi¾c thay đői phương án đau tư khác M®t áp dung nua tính kỳ vQNG có đieu ki¾n, tính kỳ vQNG có đieu ki¾n giúp ta quyet đ%nh có bán cő phieu theo giá bao hiem hay khơng Lu¾n văn đưoc dna so tài li¾u "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" cna tác gia : Vlad Bally trưòng đai HQc Paris - Est Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trưòng đai hQc Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trưịng đai HQc L’Aquila Tơi xin to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac đen thay trưịng đai HQ c Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i thay vi¾n Tốn thúc, dìu dat tao đieu ki¾n cho tơi thịi gian HQ c HQc trang b% kien t¾p tai đây, đ¾c bi¾t thay TS Nguyen Th%nh t¾n tình hưóng dan, giúp đõ, chi bao tụi hon thnh luắn ny H Nđi, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cưàng Chương Cơng thÉc tích phân tÈng phan trÈu tưang Trong chương này, ta se nghiên cúu m®t phép tính Malliavin trùu tưong, cơng thúc tích phân tùng phan ta nhan manh vài ket qua quan TRQNG :tớnh toỏn đ nhay, mắt đ cna phõn bo v k vQNG cú ieu kiắn 1.1 Trng hap mđt chieu Cho (Ω, F, P) m®t khơng gian xác suat E kỳ vQNG chuan P c B® C k (Rbd ) C k (Rd ) không gian hàm f : Rd → R kha vi liên tuc b¾c k, compact đao hàm đưoc han che t¾p tương úng Khi hàm kha vi vơ han, ta có t¾p tương úng Cc∞ (Rd ) Cb∞ (Rd ) Đ%nh nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R bien ngau nhiên kha tích Ta nói rang cơng thúc tích phân tùng phan IP (F ; G) neu ton tai bien ngau nhiên kha tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φJ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.1) Hơn nua, ta có cơng thúc tích phân tùng phan IPk(F ; G) neu ton tai bien ngau nhiên kha tích Hk(F ; G) cho: IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.2) Nh¾n xét 1.1.2: - Bang cách su dung ket qua tiêu chuan quy, có the kiem tra hàm Cc∞ (R) IPk(F ; G) có the chuyen thành Ck(R) ho¾c C∞(R), Ck(R) c b b - Rõ ràng IP1(F ; G) IP (F ; G) H1(F ; G) H(F ; G) Hơn nua, neu ta có công thúc IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta se suy cơng thúc IP 2(F ; G) vói H2(F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương tn v¾y cho đao hàm b¾c cao Ví dn: Trong IP k(F ; 1) cho xác đ%nh Hk(F ; 1) ≡ Hk(F ) bang cách xác đ%nh lai: H0(F ) = 1, Hk(F ) = H(F ; Hk−1(F )), k ≥ - Neu có cơng thúc IP (F ; G) tù E(H(F ; G)) = suy G = o (1.1) Hơn nua, H(F ; G) IP (F ; G) không phai nhat : Vói bat kỳ bien ngau nhiên R thoa mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = ) ta có the su dung H(F ; G) + R ( thnc te E(H(F ; G) |F )) nhat ) Trong so HQ c đieu đóng vai trị quan TRQNG boi neu ta muon tính E(φ(F )H(F ; G)) su dung phương pháp Monte Carlo có the cho ta phương sai toi thieu Cũng lưu ý rang đe thnc hi¾n thu¾t tốn Monte Carlo ta có mơ phong F H(F ; G) Trong m®t so trưịng hop, H(F ; G) có the tính tốn trnc tiep Nhưng giai tớch Malliavin cho ta mđt hắ thong phộp toỏn e tính tốn đieu Thưịng úng dung F lịi giai cna phương trình ngau nhiên H(F ; G) xuat hiắn nh mđt sn tng hop cna toán tu vi phân F Nhung đieu có liên quan tói phương trình ngau nhiờn v vỡ vắy ta cú the su dung mđt so xap xi cna phương trình đe tao thu¾t tốn cu the Ví dn: Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm kha vi ∆ bien ngau nhiên Gauss có kỳ vQNG cna phương sai σ Khi đó: ∆ E(f J (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆) − g J (∆)]Σ (1.3) σ ∆ v¾y ta có cơng thúc IP (F ; G) vói H(F ; G) = g(∆) − g J (∆) Tù úng dung trnc σ tiep cna cơng thúc tích phân tùng phan vúi sn cú mắt cna mắt đ Gauss x2 p(x) = √ exp(− ) ta có : 2σ 2πσ2 ∫ E(f J (∆)g(∆)) = f J (x)g(x)p(x)dx =− = ∫ f (x)(g J (x)p(x) + g(x)pJ (x))dx p (x) f (x)[g J (x) + g(x) j ]p(x)dx − p(x) ∫ ∆ = E(f (∆)[g(∆) − g J (∆)]) σ Giai tích Malliavin tao H(F ; G) cho m®t lóp lón bien ngau nhiên - (1.3) đai di¾n cho ví du đơn gian kieu này, khơng phai muc tiêu cna phan e ta chi a mđt vi hắ qua cna tớnh chat 1.1.1 Van đe đ® nhay Trong nhieu úng dung ta xem xét đen nhung so có dang E(φ(Fx)) F x m®t loai bien ngau nhiên chi so tham so huu han x M®t ví du đien hình F x = Xtx m®t trình khuech tán bat đau tù x Đe nghiên cúu đ® nhay cna yeu to vói tham so x, ta chúng minh rang x ›→ E(φ(Fx)) kha vi tìm bieu thúc đao hàm cna Có hai cách đe giai quyet van đe này, : cách tiep c¾n theo tùng quy đao ho¾c cách tiep c¾n theo phân bo Cách tiep c¾n theo tÈng quy đao : gia su rang x ›→ Fx(ω) kha vi hau khap nơi ω ( trưàng hap x ›→ Xt x(ω) ví dn) φ kha vi Khi : ∂x E(φ(F x )) = E (φJ (F x )∂x F x ) cách tiep c¾n khơng thnc hi¾n đưoc neu φ khơng kha vi Cách tiep c¾n theo phân bo : vưot qua tro ngai nhò su dung sn uyen chuyen mắt đ cna phõn bo cna F x Vì v¾y cách tiep c¾n ta gia thiet rang F x ∼ px(y)dy x ›→ px(y) kha vi vói moi y Khi đó: ∂xE(φ(Fx)) = ∫ φ(y)∂xpx(y)dy = ∫ φ(y)∂x ln px(y)px(y)dy = E (φ(Fx)∂x ln px(F )) n ˜ ˜ Φ(X m®t tő hop tuyen tính cna hàm tách bien t) L thoa mãn moi Φ ˜n, bang cách chuyen qua giói o˜trên Vì cơng thúc đai di¾n (3.35) vói bat kỳ Φ han ta có cho Φ˜ Ta có đieu can chúng minh 3.3.2 Cơng thÉc đ%a phương Bây giị ta thao lu¾n ve cơng thúc liên quan đen hàm đ%a phương Neu ta han che nhung đieu ta quan tâm tói hàm đ%a phương dang tích, trưóc tiên ta có the nêu cơng thúc đ%a phương cho tốn tu Ts,t[f ](α) ∫ Σ Đ¾t L1 = ψ : R → [0, +∞) ; ψ ∈ C (R), ψ(+∞) = 0, R ψ(t)dt = Rd Ld = {ψ : d Q → [0, +∞) ; ψ(x) ψi(xi), ψi ∈ L1, ∀i} Ta có i=1 = Đ%nh lý 3.3.4 [Công thÉc II : đ%a phương ] Cho bat kỳ ≤ s < t, Φ ∈ εb, α +∈ Rd cho bat kỳ ψ ∈ Ld ta có Tψ [Φ] (α) E (Φ(X )|X s,t t s = α) = T ψ [1] (α) s,t vói  Y d  (H − Ψi ) X˜ i − α˜i Σ s, s s, t Tψ [f ] (α) = E f (Xt) i=1 ψi(Xs − α) + σii ss(t s − s)X˜ i ∆Wi  ∫y Ψi bieu th% hàm phân bo xác suat liên quan đen ψi : Ψi(y) = −∞ ψi(ξ)dξ ChÉng minh Chúng minh dưói tù so thnc te : trưòng hop so chieu d = 1, Bő đe 3.3.2 cho ta E (f (Xt )g J (Xs − α)) = E (f (Xt )(g − Ψ)J (Xs − α)) + E (f (Xt )ψ(Xs − α)) ∆Ws,t = E f (X )(g − Ψ)(X − α) Σ + E (f (X )ψ(X − α)) t s σs(t − s)Xs t v¾y E (f (Xt)gJ (Xs ΣΣ− − α)) = E f (Xt ) − α) + (g − Ψ) (Xs ∆Ws,t α)σs(t − s)X Σψ(Xs s Bây giị su dung thúc này, vi¾c chúng minh cna Đ%nh lý 3.3.3 có the đưoc l¾p l¾p lai ta có đieu can chúng minh Nh¾n xét 3.3.5 Chú ý rang ve nguyên tac hàm có the đ%a phương hóa khác cho moi tốn tu, Tψ1 [Φ] (α) E (Φ(Xt)| = α) = s,t Tψs,2 [1] (α) Xs t Ta thêm vào m®t so chi tiet ve hàm đ%a phương Đau tiên ta phai xem xét boi thnc hành (ví dn giá tốn ngau nhiên kieu My) cơng thúc khơng đ%a phương khơng làm vi¾c ( thnc te, thu¾t tốn thői giá) Sau đó, câu hoi đ¾t : lna cHQN the ? Chúng ta thao lu¾n ve đieu Ta bo qua vi¾c chúng minh có the xem Bally, Caramellino, zanette [7] Ta bat đau tù ket qua cna Đ%nh lý 3.3.4 : Đe tính E(Φ(Xt)|Xs = α) ta đánh giá    i i ˜ (H − Ψi ) X − α˜s Σ Y d s ψ i i i ∆Ws,t ˜   Ts,t [f ] (α) = E f s i=1ψi (X s − σ ii s(t −  (Xt) α˜s ) + i ˜ s)X  vói f = Φ f = Mđt k vQNG nh vắy l ỏnh giỏ thơng qua kinh nghi¾m thnc te, nghĩa tù nhieu úng dung Muc tiêu bây giò cHQN hàm đ%a phương ψ cho phép giam phương sai Đe đat đưoc muc đích này, ta có the đưa toi ưu hóa trưịng hop m®t chieu bang Kohatsu - Higa Petterson [15] Nó xu lý vi¾c tìm kiem hàm đ%a phương ψ mà làm cnc tieu hóa phương sai tích hop, cho boi :  d (H − Ψ ) X˜ i − ∫ α˜iΣ  i t d R d i =1 I f (ψ) = 2    E f (X ) Y i ˜i ψ (X i − α˜ ) + i i ∆Wi s s  ˜ (3.37) s, t s σ lên đen hang so ( đoi vái hàm ψ) so hang tù Tψ s(t − s)X˜ i s, [f ] (α) = t T s, t [f ] (α) Khi ta có ket qua sau Đ%nh lý 3.3.6 ∫ Σ Cho L1 = ψ : R → [0, +∞) ; ψ ∈ C (R), ψ(+∞) = 0, R ψ(t)dt = Ld = {ψ : Rd Khi ta có ∗ ψ (x) = d Q → [0, +∞) ; ψ(x) ψi(xi), ψi ∈ L1, ∀i} i=1 = inf I f (ψ) = I f (ψ∗) ψ∈Ld d d Qd ∗ j ψj (x ) vói ψj (ξ) = ∗ λe j j=1 ||/2 j l mđt hm mắt đ xác suat Laplace R λ∗j = λ∗j [f ] có h¾ phương trình tuyen tính sau : E f (Xt )Θ2 s,t; Σ Q Σ j∗2 λ + Θi Σ ∗2 λj = E f (Xt) s,t; j i:Qi =ƒ j i: iƒ=j Σ λ∗j ) + Θ2 s,t; i Σ , j = 1, , d Σ (3.38) s,t;i = Θ i ∆Ws,t ˜i , i = 1, , d σiis(t − s)Xs Trong trưịng hop f = 1, giá tr% toi ưu có the viet mđt cỏch rừ rng Hắ qua 3.3.7 Ta có e−hjs+σ2 s j‚ t + σjj2 s(t − s) j , , j−= s) 1, λ j [1] , d σ2 s(t x j j Muc đích thnc sn, = dau hi¾u so chi rangj cHQN λ∗ = đn thnc hi¾n tot cơng √ t− ∗ s vi¾c, v¾y tránh đưoc súc n¾ng cho thu¾t tốn vói vi¾c phai tính tốn thêm kỳ vQNG Khi f = 1, rõ ràng đieu đưoc suy tù H¾ qua 3.3.7 Trong trưịng hop tőng quát, sn giai thích lý thuyet đưoc cho sau Đ%nh lý 3.3.8 , √ Cho bat kỳ j = 1, , d, ta có λj∗ [f ] = O t − s t → s Hơn nua, neu Σ f liên tuc lim lim λ∗j [f ] =1 ∗ σ→0 t→s λj [1] Ket lu¾n : Lu¾n văn trình bày đưac van đe sau: 1) Nêu đưoc công thúc tích phân tùng phan trùu tưong cho ca trưịng hop m®t chieu, nhieu chieu Áp dung cơng thúc tích phân tùng phan trùu tưong đe nghiên cúu : van e đ nhay, mắt đ cna phõn bo, k vQNG có đieu ki¾n 2) Giai tích Malliavin ca trưịng hop huu han chieu, vơ han chieu hay chuyen đ®ng Brown nhieu chieu đeu đưa đưoc đ%nh nghĩa : Đao hàm Malliavin cna bien ngau nhiên, tích phân Skorohod tính chat Cơng thúc tích phân tùng phan Malliavin ca trưòng hop riêng trưòng hop tőng quát Nghiên cúu đưoc trình khuech tán phân tích hon đ®n Wiener 3) Áp dung kien thúc Chương Chương vào nghiên cúu đe tìm Danh muc đau tư tái tao giúp cho ngưòi đau tư biet phai mua vào nhung cő phieu bán nhung cő phieu Nghiên cúu đưoc đ® nhay cna giá cő phieu, nghiên cúu đưoc kỳ vQNg có đieu ki¾n Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien: Cơ sá lý thuyet Xác suat, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, 2004 [2] Tran Hùng Thao: Nh¾p mơn Tốn HQc Tài chính, NXB Khoa HQc ky thu¾t, 2004 [3] Đ¾ng Hùng Thang: Xác suat nâng cao, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, 2013 [4] V Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus Rapport de recherche 4718 INRIA, 2003 [5] V Bally, M.P Bavouzet, M Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007 [6] V Bally, L Caramellino, L Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010 [7] V Bally, L Caramellino, A Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005 [8] M.P Bavouzet-Morel, M Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s calculus in jump type market models Electronic Journal of Probability, 11, 276300, 2006 [9] K Bichteler, J.-B Gravereaux, J Jacod Malliavin calculus for processes with jumps Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987 [10] B Bouchard, I Ekeland, N Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45-71, 2004 [11] N Chen, P Glasserman Malliavin Greeks without Malliavin calculus Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007 [12] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions, N Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance Finance and Stochastics, 3, 391 - 412, 1999 [13] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II Finance and Stochastics, 5, 201 236, 2001 [14] P.E Kloeden, E Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991 [15] A Kohatsu-Higa, R Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002 [16] S Kusuoka, D Strook: Applications of the Malliavin calculus II J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 32, 1–76, 1985 [17] N Ikeda, S Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes North Holland, second ed 1989 [18] D Lamberton, B Lapevre Introduction to stochastic calculus applied to finance Chapman and Hall, London, 1996 [19] P-L Lions, H Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo Preprint, 2000 [20] P Malliavin: Stochastic analysis Springer, 1997 [21] P Malliavin, A Thalmaier: Stochastic calculus of variations in mathematical finance Springer-Verlag, Berlin, 2006 [22] D Nualart: The Malliavin calculus and related topics Springer-Verlag, 1995 [23] M Sanz-Sol’e: Malliavin calculus, with applications to stochastic partial differen- tial equations EPFL Press, 2005 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Mnc lnc Lài nói đau .iii Cơng thÉc tích phân tÈng phan trÈu tưang 1.1 Trưịng hop... đ%nh nghĩa tích phân Skorohod, moi quan h¾ giua tích phân Skorohod vói tích phân Itơ, tù moi quan h¾ ta thay đưoc tích phân Skorohod mo r®ng cna tích phân Itơ the Áp dung cơng thúc tích phân tùng... boi cơng thúc tích phân tùng phan giai tích Malliavin đưoc dùng đe giai thích m®t cách chac chan van đe thu¾t tốn phi tuyen Bo cuc lu¾n văn gom ba chương : Chương 1: “Cơng thÉc tích phân tÈng