Định lý bezout và chiều ngược lại

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - Pham Ke Quang бNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIEU NGƯeC LAI Chuyên ngành: Hình Mã so: 60460105 HQc tơpơ LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan: TS.Phó ĐÉc Tài Hà N®i - 2015 LèI CAM ƠN Trúc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói thay Phó Đúc Tài ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Hà N®i, ngày 23 tháng 12 năm 2015 HQc viên Pham Ke Quang Mnc lnc Chương Đưàng cong đai so .5 1.1 Đưàng cong phÉc C2 .5 1.2 Đưàng cong xa anh phÉc P2 10 1.2.1 Không gian xa anh phúc 11 1.2.2 Đưòng cong xa anh phúc P2 13 Chương Đ%nh lý Bézout 15 2.1 Ket thÉc .15 2.2 B®i giao 22 2.3 Đ%nh lý Bézout 26 Chương Chieu ngưac lai cua đ%nh lý Bézout .30 3.1 B®i giao cua hai đưàng cong tai m®t điem .30 3.2 M®t so trưàng hap riêng cua toán ngưac lai 32 3.3 Chieu ngưac lai cho m®t so trưàng hap cn the 35 3.3.1 Hai đưịng cong b¾c hai 35 3.3.2 Mđt ũng cong bắc hai v mđt ũng cong b¾c ba .40 3.3.3 Hai đưịng cong b¾c bon .45 LèI Me ĐAU Hình HQ c đai so m®t chun ngành cna tốn HQc su dung công cu đai so đe nghiên cúu tốn hình HQc Đoi tưong nhung đưịng cong, m¾t cong, hay tőng quát siêu m¾t đai so, chúng đưoc đ%nh nghĩa boi đa thúc Trong hình HQ c đai so, lý thuyet giao nghiên cúu phan giao cna hai hay nhieu siêu m¾t đai so Tìm phan giao cna hai siêu m¾t đai so tương đương vói vi¾c giai h¾ phương trình gom hai phương trình đa thúc Khoi đau boi m®t đ%nh lý rat cő đien, đ%nh lý Bézout (1779) phát bieu rang tőng so giao điem (đem ca b®i) cna hai đưịng cong xa anh phúc bang tích cna hai b¾c So b®i ve sau đưoc cu the hóa bang khỏi niắm so bđi giao (hay núi GQN hn, bđi giao) Trưịng hop riêng cna đ%nh lý Bézout đoi vói hai đưịng cong y = f (x) (vói f (x) l mđt a thỳc bắc m) v y = (đa thúc b¾c 1) Đ%nh lý ban cna Đai so HQc Muc đích cna lu¾n văn nham tìm hieu van đe giao điem cna hai đưịng cong m¾t phang xa anh phúc, cu the ve so giao điem, so b®i giao TRQNG tâm cna lu¾n văn Đ%nh lý Bezout chieu ngưoc lai: Cho trưác hai so nguyên dương m n Vái m®t b® k so ngun dương bat kì [s1, s2, , sk] cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n., li¾u có ton tai hay khơng hai đưàng cong xa anh b¾c m n P2 cho chúng giao tai k điem vái so b®i giao tương úng s1, s2, , sk Bo cuc cna lu¾n văn bao gom chng: ã Chng cna khúa luắn trình bày tóm tat ve lý thuyet đưịng cong đai so C2 không gian xa anh phúc P2 ã Chng tỡm hieu ve ket thỳc, bđi giao, tính chat cna ket thúc su dung nhung tính chat đe chúng minh đ%nh lý Bézout • Chương tìm hieu chieu ngưoc lai cna đ%nh lý Bézout Chúng minh m®t so trưịng hop riêng cho chieu ngưoc lai (muc 3.2), đưa m®t so ví du minh HQA (cu the trưòng hop cna hai đưịng cong b¾c hai đưịng cong b¾c hai vói đưịng cong b¾c ba đưoc trình bày chi tiet muc 3.3) Luắn ny l mđt nghiờn cỳu tiep noi cna khóa lu¾n đai HQ c cna HQ c viên So vói khóa lu¾n đai HQ c, chúng tơi có m®t so ket qua mói, bao gom m¾nh đe 3.1.1, 3.2.2, 3.2.3 3.2.4 Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Chúng tơi mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna quý thay cô ban ĐQ c Xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 23 tháng 12 năm 2015 HQc viên Pham Ke Quang Chương Đưàng cong đai so Cho f(x,y) l mđt a thỳc hai bien hắ so thnc Khi t¾p {(x,y)∈ R2 |f (x, y) = 0} đưoc GQI m®t đưịng cong đai so thnc B¾c cna đa thúc f b¾c cna đưịng cong đai so Bài tốn đ¾t tìm so giao điem cna hai đưòng cong đai so Do R khơng phai trưịng đóng đai so nên lịi giai cna tốn tìm giao điem có the khơng đn Do khóa lu¾n ta xét đưòng cong đai so trưòng so phúc C 1.1 Đưàng cong phÉc C2 Gia su f (x, y) m®t đa thúc hai bien, khác hang so, vói h¾ so phúc Ta nói f (x, y) khơng có thành phan b®i neu khơng ton tai khai trien: f (x, y) = g2(x, y)h(x, y), g(x, y),h(x, y) đa thúc g(x, y) khác hang so Đ%nh nghĩa 1.1.1 Gia su f (x, y) m®t đa thúc hai bien, khác hang so, vái h¾ so phúc khơng có thành phan b®i Khi đưàng cong đai so phúc C C2 (hay GQI đưàng cong affine) đ%nh nghĩa bái f (x, y) C = {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} Nh¾n xét 1.1.1 Trong Đ%nh nghĩa có gia thiet f (x, y) khơng có thành phan b®i theo đ%nh lý Hilbert ve khơng điem: Neu f (x, y) g(x, y) đa thúc vói h¾ so phúc {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 |g(x, y) = 0} neu chi neu ton tai so nguyên dương n m cho f chia het gnvà g chia het fm Nh¾n xét 1.1.2 M®t cách tőng quát đe đ%nh nghĩa m®t đưịng cong đai so phúc C2 m®t lóp tương đương đa thúc hai bien khác hang so, o hai đa thúc tương đương vói neu chi neu moi đa thúc bang tích cna đa thúc vói m®t vơ hưóng M®t đa thúc có thành phan b®i đưịng cong đưoc hieu gan thêm b®i Ví dn 1.1.1 Xét hai đa thúc f (x, y) = x4 + 4x3y2 + 4x2y4 = x2(x + 2y2)2, g(x, y) = x4 + 2x3y2 = x3(x + 2y2) Ta thay f chia het cho g g2 chia het cho f f g đ%nh nghĩa m®t đưịng cong đai so phúc theo nghĩa {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 |g(x, y) = 0} Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho f (x, y) đa thúc hai bien Σ c xiyj f (x, y) = i,j i,j B¾c d cua đưàng cong C = {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} b¾c cua đa thúc f (x, y) Túc là: d = max{i + j|ci,j ƒ= 0} Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho f (x, y) đa thúc hai bien C = {(x, y) ∈ C2 |f (x, y) = 0} M®t điem (a, b) ∈ Cđưac GQI m®t điem kì d% cua C neu ∂f (a, b) = ∂f (a, b) = ∂x ∂y T¾p hap điem kì d% cua C đưac kí hi¾u bái Sing(C) C đưac % neu Sing(C) = ∅ GQI khơng có kì d Ví dn 1.1.2 Đưịng cong C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = y3 − x2 + khơng có kì d% x = ∂f (x, y) =  , ↔  ∂x y= ∂f (x, y) = 0∂ y điem (0, 0) khơng thu®c đưòng cong C Còn đưòng cong đ%nh nghĩa boi g = y3 − x2 có m®t điem kì d% (0, 0) Đ%nh nghĩa 1.1.4 M®t đưàng cong đ%nh nghĩa bái m®t phương trình tuyen tính: ax + by + c = 0, a,b,c so phúc, a b khơng đong thài bang khơng, đưac m®t đưàng thang GQI Đ%nh nghĩa 1.1.5 M®t đa thúc n bien, khác không f (x1 , x2 , , xn ) đưac đa thúc thuan nhat b¾c d neu vái MQI λ ∈ C GQI f (λx1, λx2, , λxn) = λnf (x1, x2, , xn) M®t cách tương đương, f có dang · x r1xr2 xrn , Σ f (x1, x2, , xn) = cr ,r , ,r n n r1+r2+···+rn=d vái cr1,r2, ,rn so phúc M¾nh đe sau đơn gian lai rat quan TRQNG, đưoc dùng đen nhieu chương M¾nh đe 1.1.1 ([3], Bő đe 2.8, trang 31) Gia su f (x, y) m®t đa thúc hai bien, khác khơng, thuan nhat b¾c d vái h¾ so phúc có phân tích thành tích đa thúc tuyen tính n Y f (x, y) = (αix − βiy), i=1 vái α, β ∈ C Chúng minh Do f (x, y) đa thúc thuan nhat b¾c d nên: f (x, y) = Σdi =0 Σdi i d−i aix y d =0 =y i Σ x , y a1, a2, , an ∈ C khơng đong thịi bang khơng Gia su e so lón nhat {0, 1, , d} cho ae ƒ= Khi d Σ Σ x y i=0 i y l mđt a thỳc mđt bien bắc e, hắ so phúce nên có phân tích: d Σ = vói λi Σ ∈ C ae x − λ Σ, Vì v¾y:y i = f (x, y) = ae y d Yei x =1 Do ta có đieu phai chúng minh Yi =1 Σ= − λi aeyd−e y Yei =1 (x − λiy) Do f (x, y) m®t đa thúc nên có khai trien Taylor huu han i≥Σ0,j (x − a)i(y − ∂i+jf (a, b) b)j i!j! ∂xi∂yj f (x, y) = ≥0 tai điem (a,b) bat kỳ Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho đưàng cong C đ%nh nghĩa bái f (x, y) = Khi so b®i tai (a, b) ∈ C so nguyên dương m bé nhat cho: ∂mf (a, b) ƒ= 0, ∂xi ∂yj vái i ≥ 0, j ≥ i + j = m (a, b) đưac GQI điem b®i m Khi đa thúc : h(x, y) = i+Σj= m ∂mf ∂xi∂yj (a, b) (x − a)i(y b)j i!j! (1.1.1) đa thúc thuan nhat bâc m Theo m¾nh đe 1.1.1 h(x, y) có phân tích thành tích cua m đa thúc tuyen tính có dang t(x, y) = α(x − a) + β(y − b), vái (α, β) ∈ C2 \{(0, 0)} Các đưàng thang t(x, y) = đưac GQI tiep tuyen cua C tai (a, b) Nh¾n xét 1.1.3 Điem (a, b) khơng phai điem kì d% neu chs neu điem b®i m®t, tai điem (a, b) C chs có m®t tiep tuyen đưac đ%nh nghĩa bái : ∂f ∂f (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) = ∂x ∂y M®t điem kì d% (a, b) đưac GQi tam thưàng neu đa thúc (1.1.1) khơng có thành phan b®i, túc C có m tiep tuyen phân bi¾t tai (a, b) Ví dn 1.1.3 Cho hai đưịng cong f (x, y) = g(x, y) = vói: f (x, y) = x3 + y3 − 3xy, g(x, y) = y2 − x3 Hai đưịng cong đeu có m®t điem kì d% (0, 0) Hơn nua ∂2f ∂x∂y = −3 ƒ= ∂2g ∂y2 = ƒ= nên điem kì d% đeu điem b®i hai Vói đưịng f (x, y) = 0, xét đa thúc (1.1.1) i+Σj h1(x, y) = =2 ∂2f ∂xi∂yj 0) ta có (0, (x − 0)i(y − , 0)j i!j! ∂2f ∂2f ∂2f (0, 0) = 0, (0, 0) = 0, (0, 0) = −3 ∂x2 ∂y ∂x∂y h1(x, y) = ∂2 f ∂2 f (0, 0)xy + (0, 0)xy = −3xy − 3xy = −6xy ∂x∂y ∂y∂x Vì h1(x, y) khơng có thành phan b®i nên điem kì d% (0, 0) cna f = tam thưòng Hai tiep tuyen x = y = Vói đưịng g(x, y) = h2(x, y) = ta có i+Σj =2 ∂2f ∂xi∂yj 0) (0, (x − 0)i(y − , 0)j i!j! ∂2f ∂2f ∂2f (0, 0) = 0, (0, 0) = 2, (0, 0) = ∂x2 ∂y ∂x∂y Hình 1.1: đưịng cong f(x,y)=0 Hình 1.2: đưịng cong g(x,y)=0 • D đưòng cong đ%nh nghĩa boi 1 )(x + ) (x + ) + xn + yn − m+ Khi C D giao tai nm điem vói b®i giao eu bang mđt g(x, y) = (x + ã E đưòng cong đ%nh nghĩa boi h(x, y) = (x − 1)m + xn + yn − Khi C E giao tai m®t điem (1,0) vói Σ I(1,0) (C, E) = I(1,0) xn + y n − 1, (x − 1)m + xn + y n − Σn n =m= m.II(1,0)(xn + yn − x1, x+−y 1) = m.I(1,0)(yn, x − 1) = m.n.I(1,0)(y, x − 1) = m · n M¾nh đe 3.2.3 Ln ton tai hai đưàng cong b¾c n m (n ≤ m) cho chúng giao tai hai điem vái b®i giao [1, mn − 1], [2, mn − 2], , [n − 1, mn − n + 1] Chúng minh Cho a ∈ N cho ≤ a ≤ n − Lay C1 đ%nh nghĩa boi g(x, y) = ya(y − xn−a) Lay C2 đ%nh nghĩa boi h(x, y) = ym + y.xm−n+a − y.xm−n+a−1 − xm + xm−1 = ym + xm−n+a(y − xn−a) + xm−n+a−1(y − xn−a) Khi tai (1, 0) (0, 0) vói C1 C2 giao Σ a m m−1 I (C , C ) = I y (y xn−a), ym + y.xm−n+a y.xm−n+a−1 − − x +−x1 m−n+a−1 = I(1,0) ya, ym + y.xm−n+a − y.x(1,0) − xm + xm−1 m 2(1,0) m−1 = a.I(1,0) Σ (y, −x + x ) = a.I(1,0)(y, xm−1(1 − x)) = a.I(1,0)(y, − x) =a I (0,0)(C1, C2) = I(0,0) ya(y − xn−a), ym + xm−n+a(y − xn−a) + xm−n+a−1(y − xn−a) Σ Σ = I(0,0) y a , y m +y.xm−n+a −y.xm−n+a−1 −xm +xm−1 +I(0,0) y−xn−a , y m + + xm−n+a(y − xn−a) + xm−n+a−1(y − Σ = a.In−a (y, xm−1(1 − x)) + I(0,0)(y − xn−a, ym) x (0,0)) = a.I(0,0)(y, xm−1) + m.I(0,0)(y − xn−a, y) = a.(m − 1).I(0,0)(y, x) + m.I(0,0)(−xn−a, y) = a(m − 1) + m.(n − a) = mn − a M¾nh đe 3.2.4 Ln ton tai hai đưàng cong b¾c n m (n ≤ m) cho chúng giao tai k điem vái b®i giao tương úng m.i1, m.i2, , m.ik vái i1 + i2 + · · · + ik = n Chúng minh Lay C1 đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y − (x − x1)i1 (x − x2)i2 (x − xk)ik Lay C2 đ%nh nghĩa boi h(x, y) = ym − g(x, y) Khi C1, C2 giao tai k điem (x1, 0), (x2, 0) , (xk, 0) vói b®i giao tương úng i1, i2, , ik vói I(xt, 0)(C1, C2) = I(xt ,0)(g(x, y), h(x, y)) = I(xt ,0)(g(x, y), ym) = m.I(x ,0)(g(x, y), y) t = m.I(x t,0)((x − x1)i1 (x − x2)i2 (x − xk)ik , y) = m.I(x t,0)((x − xt)it, y) = m.it.I(x ,0)(x − xt, y) = m.it 3.3 Chieu ngưac lai cho m®t so trưàng hap cn the Ta kí hi¾u [s1, s2, , sk] b® so b®i giao cna hai đưịng cong tai k điem 3.3.1 Hai đưàng cong b¾c hai Hai đưịng cong b¾c hai C D giao tai bon điem tính ca b®i vói trưịng hop [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4] CHQN C đưòng cong đ%nh nghĩa boi f (x, y) = y − x2 Ta phai tìm đưịng cong D đưoc đ%nh nghĩa boi g(x, y) = a20x2 + a02y2 + a11xy + a10x + a01y + a00 • Trưịng hop 1: [1,1,1,1] CHQN bon điem (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (2, 4) thu®c C Đe D giao C tai bon điem vói b®i [1,1,1,1]  a00 =0   a20 + a02 + a11 + a10 + a01 + a00 =0  a20 + a02 − a11 − a10 + a01 + a00 =0   4a20 + 16a02 + 8a11 + 2a10 + 4a01 + a00 =0 CHQN m®t nghi¾m cna h¾ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, −1, 2, −2, 0, 0) Khi D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x2 − y2 + 2xy − 2x Hình 3.1: Trưịng hop [1,1,1,1] • Trưịng hop 2: [1,1,2] CHQN ba điem (1, 1), (−1, 1), (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so  Khi x = t y = t2 g(t, t2) = a02t4 + a11t3 + (a20 + a01)t2 + a10t + a00 Do đe D giao C tai ba điem (1,1), (-1,1), (0,0) vói so b®i [1,1,2] a20 + a02 + a11 + a10 + a01 +  a  00 = a + a02 − a11 − a10 + a01 + a00 =  20 a00 =  a10 = CHQN mđt nghiắm cna hắ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, 1, 0, 0, −2, 0) Khi D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x2 + y2 − 2y • Trưịng hop 3: [1,3] CHQN hai điem (1, 1), (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so Khi  x = t y = t2 g(t, t2) = a02t4 + a11t3 + (a20 + a01)t2 + a10t + a00 Hình 3.2: Trưịng hop [1,1,2] Do đe D giao C tai hai điem (1,1), (0,0) vói so b®i [1,3] a20 + a02 + a11 + a10 + a01 +  a 00  00a = = 00  a10 =  a20 + a01 = CHQN mđt nghiắm cna h¾ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, 1, −1, 0, −1, 0) Khi D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x2 + y2 − xy − y Hình 3.3: Trưịng hop [1,3] • Trưịng hop 4: [2,2] CHQN hai điem (1, 1), (0, 0) thu®c C Tai điem (0,0), f (x, y) có phương trình tham so x = t   y = t2 Khi g(t, t2) = a02t4 + a11t3 + (a20 + a01)t2 + a10t + a00 Do đe D giao C tai điem (0,0) vói so b®i a00 =  a = 10 Tai iem (1,1), ta chuyen hắ TQA đ e (1, 1) −→ (0, 0) Khi  x = X + y = Y + f −→ f1 = Y + − (X + 1)2, g −→ g1 =a20(X + 1)2 + a02(Y + 1)2 + a11(X + 1)(Y + 1)+ + a10(X + 1) + a01(Y + 1) + a00 Do f1 = có phương trình tham so X = t  Y = (t + 1)2 − , Σ g1 t, (t + 1)2 − =a02t4 + (a11 + 4a02)t3 + (a20 + 3a11 + a01 + 6a02)t2+ + (2a01 + 3a11 + 2a20 + a10 + 4a02)t + a20 + a01 + a02 + a00 + a11 + a10 Do đe D giao C tai điem (1,1) vói so b®i a20 + a01 + a02 + a00 + a11 + a10 =  2a + 3a + 2a + a + 4a = 01 11 20 10 02 Do đe D giao C tai hai điem (1,1), (0,0) vói so b®i [2,2]   =0  00  a  a10 = a20 + a01 + a02 + a00 + a11 + a10 = 2a01 + 3a11 + 2a20 + a10 + 4a02 = CHQN m®t nghi¾m cna h¾ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (2, 1, −2, 0, −1, 0) Khi D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = 2x2 + y2 − 2xy − y Hình 3.4: Trưịng hop [2,2] • Trưịng hop 5: [4] CHQN điem (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so x = t   y = t2 Khi g(t, t2) = a02t4 + a11t3 + (a20 + a01)t2 + a10t + a00 Do đe D giao C tai điem (0, 0) vói so b®i [4]  a   00 a=100=  a20 + a01 = a11 = CHQN mđt nghiắm cna h¾ (a20 , a02 , a11 , a10 , a01 , a00 ) = (1, 1, 0, −1, 0, 0) Khi D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x2 + y2 − y Hình 3.5: Trưịng hop [4] 3.3.2 Mđt ng cong bắc hai v mđt ng cong b¾c ba Tương tn hai đưịng cong b¾c hai Vói f (x, y) = y − x2, ta có 11 trưịng hop sau • Trưịng hop 1: [1,1,1,1,1,1] Vói g = x2 − y3 + 6y2 − 7y + Khi Res(f, g, x) = (y − 1)2(y2 − 5y + 1)2, Res(f, g, y) = −(x − 1)(x + 1)(x4 − 5x2 + 1) Hình 3.6: Trưịng hop [1,1,1,1,1,1] • Trưịng hop 2: [1,1,1,1,2] Vói g = x2 − y3 + 6y2 − 7y Khi Res(f, g, x) = y2(6 + y2 − 6y)2, Res(f, g, y) = −x2(6 − 6x2 + x4) Hình 3.7: Trưịng hop [1,1,1,1,2] • Trưịng hop 3: [1,1,1,3] Vói g = y3 − Res(f, g, x) = −y3(−4 + y3), xy − x3 Khi Res(f, g, y) = x3(−2 + x3) Hình 3.8: Trưịng hop [1,1,1,3] • Trưịng hop 4: [1,1,4] Vói g = y3 + x3 − xy − 2y2 Khi Res(f, g, x) = −y4(y − 2)2, Res(f, g, y) = x4(−2 + x2) Hình 3.9: Trưịng hop [1,1,4] • Trưịng hop 5: [1,5] Vói g = x3 − y2x + y3 − xy Khi Res(f, g, x) = −y5(−1 + y), Res(f, g, y) = x5(−1 + x) Hình 3.10: Trưịng hop [1,5] • Trưịng hop 6: [1,1,2,2] Vói g = x3 − yx2 + 5y3 − 7y2x + x2 + y2 Khi Res(f, g, x) = −y2(25y2 + y + 1)(−1 + y)2, Res(f, g, y) = x2(5x2 + 3x + 1)(−1 + x)2 Hình 3.11: Trưịng hop [1,1,2,2] • Trưịng hop 7, [1,2,3] Vói g = −2x3 − y3 + 3y2 Khi Res(f, g, x) = −y3(y − 4)(−1 + y)2, Res(f, g, y) = −x3(x + 2)(−1 + x)2 Hình 3.12: Trưịng hop [1,2,3] • Trưịng hop 8: [2,2,2] Vói g = x3 + 2y3 − 4y2 + 2x2 − xy Khi Res(f, g, x) = −4y2(−1 + y)4, Res(f, g, y) = 2x2(−1 + x)2(x + 1)2 Hình 3.13: Trưịng hop [2,2,2] • Trưịng hop 9: [2,4] Vói g = x3 + 2y3 − 4y2x + 2y2 − xy Khi Res(f, g, x) = −4y4(−1 + y)2, Res(f, g, y) = 2x4(−1 + x)2 Hình 3.14: Trưịng hop [2,4] • Trưịng hop 10: [3,3] Vói g = x3 − y3 + 3y2x + yx2 − 4y2 Khi Res(f, g, x) = −y3(−1 + y)3, Res(f, g, y) = −x3(−1 + x)3 Hình 3.15: Trưịng hop [3,3] • Trưịng hop 11: [6] Vói g = x3 + y3 − xy Khi Res(f, g, x) = −y , Res(f, g, y) = x6 Hình 3.16: Trưịng hop [6] 3.3.3 Hai đưàng cong b¾c bon Hai đưịng cong khơng thoa mãn m¾nh đe 3.2.1 Nhưng ta van có the tìm oc hai ũng cong bắc bon thoa mđt so trưịng hop sau: • [1, 1, , 1] v [16] ó núi mắnh e 3.2.2 ã [1, 15] nói o m¾nh đe 3.2.3, vói C đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y(y − x3) D đ%nh nghĩa boi h(x, y) = y4 + y.x − y − x4 + x3 Khi Res(f, g, x) = y16, Res(f, g, y) = −x15(x − 1) Hình 3.17: Trưịng hop [1,15] • [4, 4, 4, 4] Ta có the cHQN hai đưịng cong nói o m¾nh đe 3.2.4 ho¾c cHQN khác C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x4 + y4 − D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)(y − 1) + x4 + y4 − Khi Res(f, g, x) = y4(y − 1)4y4(y + 1)4, 4 4 Res(f, g, y) = (x − 1) x (x + 1) x Hình 3.18: Trưịng hop [4,4,4,4] Tương tn ta có trưịng hop • [4, 4, 8] vói C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x4 + y4 − D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)2 + x4 + y4 − • [8, 8] vói C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x4 + y4 − D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1)2(y + 1)2 + x4 + y4 − • [4, 12] vói C đ%nh nghĩa boi h = y − (x − 1)(x + 1)3 D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y4 − h(x, y) Nh¾n xét 3.2.1 Trong trưịng hop hai đưịng cong b¾c bon, chúng tơi có the đưa đưoc tat ca trưịng hop nhiên đe đưa đưoc het vào lu¾n văn q dài nên khơng trình bày tat ca Tù nhung ví du ta có the hi vQNG ton tai tồn b® trưịng hop cna tốn ngưoc đ%nh lý Bézout KET LU¾N Đóng góp cna lu¾n văn bao gom: 1ĐQc hieu trình bày lai ket qua ve ket thúc, đ%nh lý Bézout 2Chúng minh chieu ngưoc lai cna đ%nh lý Bézout cho m®t so trưịng hop riêng Ngồi ra, lu¾n văn cịn cho nhieu ví du minh HQA cho chieu ngưoc lai Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu cịn có nhung sai sót chúng tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQ c Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Huu Vi¾t Hưng, Đai so tuyen tính, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i (2000) [2] David Cox, John Little & Donal O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms - 3rd edition, Springer(2006) [3] Frances C.Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press (1992) [4] Serge Lang, Algebra - 3rd edition, Springer(2002) ... f (a, b, c) = g(a, b, c) = V¾y [a, b, c] ∈ C ∩ D Và ta có đieu phai chúng minh Đ%nh lý 2.3.2 ([3], Đ%nh lý 3.9, trang 54).(Dang yeu cna đ%nh lý Bézout) Neu hai đưàng cong xa anh C D P2 b¾c tương... qua khơng gian R2 ta thu đưoc m®t đ%nh lý ve hình HQ c Euclid thnc (xem hình 2.2) Hình 2.2: Luc giác Pascal Đ%nh lý 2.3.3 ([3], Đ%nh lý 3.1, trang 52).(Đ%nh lý Bézout) Gia su C D hai đưàng cong... 2) = 24 V¾y I(0,0)(C, D) = 24 Hình 2.1: Đo th% cna hai đưòng cong C D 2.3 Đ%nh lý Bézout Đ%nh lý 2.3.1 ([3], Đ%nh lý 3.8, trang 54) Hai đưàng cong xa anh C D bat kỳ P2 giao nhat tai m®t điem Chúng