Dao động điều hoà tắt dần

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC Ninh Tien Nam DAO đNG IEU HềA TAT DAN LUắN VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC Ninh Tien Nam DAO Đ®NG ĐIEU HỊA TAT DAN Chun Ngành: Tốn Giai Tích Mã so: 8640101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưịi hưóng dan TS Tr%nh Viet Dưac Mnc lnc Lài cam ơn Lài ma đau Chương M®t so kien thÉc chuan b% .5 1.1 Các khái ni¾m ban cua lí thuyet on đ%nh 1.2 Tính on đ%nh cua h¾ vi phân tuyen tính .7 1.3 Đ¾c trưng tính on đ%nh cua h¾ vi phân tuyen tính thuan nhat 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov 1.5 Bo đe Gronwall-Bellman 10 Chương Dao đ®ng đieu hịa tat dan 11 2.1 Giái thi¾u tốn 11 2.2 SE on đ%nh ti¾m cắn cua dao đng ieu ho tat dan .14 2.2.1 Tính őn đ%nh 14 2.2.2 Tính őn đ%nh ti¾m c¾n 16 2.3 Xây dEng phan ví dn .26 Ket lu¾n 32 Tài li¾u tham khao 33 LèI CAM ƠN Trúc trỡnh by nđi dung chớnh cna khúa luắn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Tien Sĩ Tr%nh Viet Dưoc, ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p thnc hiắn luắn ny H Nđi, ngy 15 thỏng năm 2019 HQc viên Ninh Tien Nam LèI Me ĐAU Dao đng cna mđt lac n hoắc dao đng cna lị xo nam ngang đieu ki¾n lý tưong khơng có lnc ma sát dao đ®ng đieu hịa Ve mắt toỏn HQc, nghiắm cna dao đng ieu hũa hàm tuan hồn Do đó, dao đ®ng đieu hịa őn đ%nh theo nghĩa Lyapunov không őn đ%nh ti¾m c¾n Tuy nhiên, thnc te MQI chuyen đ®ng đeu ch%u tác đ®ng cna lnc ma sát Vì vắy, mụ hỡnh dao đng cna mđt lac n hoắc dao đng cna lũ xo nam ngang cú tớnh đen lnc ma sát tro thành dao đ®ng đieu hịa tat dan Đieu phù hop vói h¾ chuyen đ®ng thnc te, sau m®t thịi gian chuyen đ®ng khụng cú ngoai lnc tỏc đng vo hắ thỡ hắ se chuyen đng chắm dan theo thũi gian Ve mắt toỏn HQc, hắ chuyen đng nh vắy oc ỳng vói khái ni¾m őn đ%nh ti¾m c¾n lý thuyet őn đ%nh Lyapunov Trong lu¾n văn này, chúng tơi xét dao đ®ng đieu hịa tat dan đưoc mơ ta boi phương trình vi phân tuyen tính cap hai sau xJJ + h(t)xJ + ω x = 0, x ∈ R, hàm h : [0, ∞) → [0, ) l hắ so ma sỏt tỏc đng vo mơ hình theo thịi gian ω > chu k cna dao đng Khi hắ so ma sỏt h hàm hang nghi¾m tam thưịng cna phương trình dao đ®ng đieu hịa tat dan őn đ%nh ti¾m c¾n, khang đ%nh đưoc kiem tra trnc tiep thơng qua vi¾c giai phương trình vi phân tuyen tính cap hai h¾ so hang Ve m¾t logic, thay rang neu h¾ so ma sát h rat nho (theo nghĩa lnc ma sát tác đ®ng vào mơ hình khơng đáng ke) nghi¾m tam thưịng cna phương trình dao đ®ng đieu hịa tat dan khơng őn đ%nh ti¾m c¾n Do đó, tốn đ¾t tìm đieu ki¾n cna hàm h đe nghi¾m tam thưịng cna phương trình dao đ®ng đieu hịa tat dan őn đ%nh ti¾m c¾n Bài tốn thu hút đơng đao nhà tốn hieu nghiên cúu Có the ke HQc lĩnh vnc lý thuyet őn đ%nh tìm đen ket qua tiêu bieu đau tiên cna Levin Nohel năm 1960 xét hàm h có giá tr% b% ch¾n phan dương thnc sn cna đưịng thang thnc Sau đó, tốn tiep tuc đưoc nghiên cúu nham cai thi¾n đieu ki¾n cna hàm h Theo hưóng này, đieu ki¾n mói đ¾t lên h đưoc xây dnng vói nhung đóng góp cna m®t so nhà tốn HQ c tiêu bieu Smith, Artstein, Inftante, Pucci, Serrin, Sugie, Hatvani, Bên canh đó, m®t so nhà tốn HQc nghiên cúu tính őn đ%nh ti¾m c¾n đeu cna phương trình dao đng ieu hũa tat dan hoắc xem xột mụ hình o dang phương trình vi phân cap hai phi tuyen Trong khn khő cna lu¾n văn này, chúng tơi se trình bày chi tiet ket qua cna Hatvani năm 2018 H¾ so ma sát h báo cna Hatvani đưoc xem tőng quát nhat cho đen hi¾n tai theo hưóng nghiên cúu đ¾c trưng tính n %nh tiắm cắn cna phng trỡnh dao đng ieu hịa tat dan thơng qua đieu ki¾n đ¾t lên h¾ so ma sát h Vì v¾y, bo cuc lu¾n văn đưoc chia thành hai chương • Chương trình bày nhung kien thúc ban cna lý thuyet őn đ%nh ket qua ve tính őn đ%nh cna h¾ phương trình vi phân tuyen tính, phương pháp hm Lyapunov ã Chng l nđi dung bi bỏo cna Hatvani [2] Chúng tơi trình bày chi tiet chúng minh báo có nhung lịi bình, nh¾n xét đe ket noi ket qua lai vói nham tao m®t búc tranh tương đoi đay đn ve ket qua đat đưoc theo hưóng nghiên cúu bên Hà N®i, ngày 15 tháng năm 2019 HQc viên Ninh Tien Nam Chương Mđt so kien thẫc chuan b% 1.1 Cỏc khỏi niắm ban cua lí thuyet on đ%nh Xét h¾ phương trình vi phân thưịng f (t, y , y dyj = , , y j j = 1, n, ), (1.1.1) n dt t bien đc lắp (thũi gian) v y1, , yn l cỏc hàm can tìm, fj hàm xác đ%nh mđt bỏn tru T = I + tì Dy, I + t= {t0 < t < +∞}, Dy ⊂ Rn m®t mien mo t0 thịi điem ban đau H¾ phương trình vi phân (1.1.1) đưoc viet thu GQN thành phương trình vi phân nh¾n giá tr% Rn sau dY dt = F(t, Y), Y =  y1   , , y ],   ≡ colon[y n  yn  F (t, Y ) = colon [f1(t, Y ), , fn(t, Y )] , dY dy1 dy2 dyn = colon Σ , , , Σ d d d d t t t t (1.1.2) Đe toán Cauchy cna phương trình (1.1.2) ton tai nhat nghi¾m, ta gia thiet rang hàm vectơ F (t, Y ) đao hàm riêng cap m®t cna theo bien y1, , yn liên tuc mien T Tiep theo khái ni¾m őn đ%nh cna phương trình vi phân theo nghĩa Lyapunov Đ%nh nghĩa 1.1.1 Nghi¾m Z = Z(t) (a < t < ∞) cua phương trình (1.1.2) đưac GQI őn đ%nh theo Lyapunov (hay ngan GQN őn đ%nh) neu vái MQI s > t0 ∈ (a, ∞) ton tai δ = δ(s, t0 ) > cho MQI nghi¾m Y = Y (t) cua phương trình (1.1.2) thóa mãn đieu ki¾n ǁY (t0) − Z(t0)ǁ < δ (1.1.3) ǁY (t) − Z(t)ǁ < s (1.1.4) vái MQI t ≥ t0 Nói cách khác, nghi¾m Z(t) őn đ%nh neu nghi¾m Y (t) gan o thịi điem ban đau t0 bat kỳ se hoàn toàn nam ong s tùy ý dnng quanh nghi¾m Z(t) Tù bat thúc (1.1.3) (1.1.4), ve ý nghĩa ta có the cHQN δ ≤ s Trưịng hop đ¾c bi¾t, phương trình có nghi¾m tam thưịng (cịn GQI trang thái cân bang), túc F(t, 0) ≡ Nghi¾m tam thưịng Z(t) ≡ (a < t < ∞) őn đ%nh neu vói MQI s > t0 ∈ (a, ∞) ton tai δ = δ(s, t0 ) > cho neu ǁY (t0 )ǁ < δ ǁY (t)ǁ < s vói MQI t ≥ t0 Đ%nh nghĩa 1.1.2 Nghi¾m Z = Z(t) (a < t < ∞) đưac %nh theo Lyapunov neu vái s > 0, t0 ∈ (a, ∞) vái nghi¾m Yδ (t) thài điem t1 = t1 (δ) > t0 cho ǁYδ(t0) − Z(t0)ǁ < δ ǁYδ(t1) − Z(t1)ǁ ≥ s Đ%nh nghĩa 1.1.3 Nghi¾m Z = Z(t) (a < t < ∞) đưac neu i Z(t) őn đ%nh không őn đ MQI δ > ton tai GQI GQI őn đ%nh ti¾m c¾n ii Vái mői t0 ∈ (a, ∞), ton tai ∆ = ∆(t0) > cho MQI nghi¾m Y (t), t0 ≤ t < ∞ thóa mãn đieu ki¾n ǁY (t0) − Z(t0)ǁ < ∆ lim ǁY (t)− Z(t) = ǁ t→∞ Như v¾y, őn đ%nh ti¾m c¾n őn đ%nh có tai, túc őn đ%nh kèm theo đieu ki¾n Hình cau mo B(Z(t0 ), ∆(t0 )) vói t0 co đ%nh đưoc GQI mien hút cna nghi¾m Z(t) 1.2 Tính on đ%nh cua h¾ vi phân tuyen tính Trong phan này, chúng tơi trình bày khái ni¾m őn đ%nh, khơng őn đ%nh, őn đ%nh ti¾m c¾n cho h¾ phương trình vi phân tuyen tính đưa mđt so ket qua liờn hắ giua tớnh n đ%nh cna h¾ phương trình vi phân tuyen tính nghi¾m tam thưịng cna h¾ phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Xét h¾ vi phân tuyen tính dY dt = A(t)Y + F (t), (1.2.5) ma tr¾n A(t) vectơ F (t) liên tuc khoang (a, ∞) H¾ vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng d ˜ Y = A(t)Y ˜ d t Đ%nh nghĩa 1.2.1 H¾ vi phân tuyen tính (1.2.5) đưac GQI őn đ%nh (ho¾c khơng őn đ%nh) neu tat ca nghi¾m Y (t) cua tương úng őn đ%nh (ho¾c khơng őn đ%nh) theo Lyapunov Đ%nh nghĩa 1.2.2 H¾ vi phân tuyen tính (1.2.5) đưac GQI őn đ%nh ti¾m c¾n neu tat ca nghi¾m cua őn đ%nh ti¾m c¾n Chú ý rang khái ni¾m chi đưoc đ%nh nghĩa cho h¾ vi phân tuyen tính boi nghi¾m cna h¾ vi phân tuyen tính ho¾c đong thịi őn đ%nh ho¾c đong thịi khơng őn đ%nh, ket qua se đưoc phát bieu đ%nh lý dưói i/Neu ∞ µ(Tn) = ∞ vói n tù ưóc lưong cna µ(Tn) đieu ki¾n đn suy Σ a2 =i ∞ i=1 ii/Neu µ(Tn ) < ∞ vói n MQI Σi ) ≤ 2Σ∞ Σa ∞ ∞=I≤ Σ i= Σ e− (n−1) µ(Tn Σ i=1 2e e−(n−1) = e − ∞ Σi=1 i=1 ∞ ai2 ∞ i Do đó, i=1 a = ∞ Tù H¾ qua 2.2.3, ket qua cna Sugie yeu Đ%nh lý 2.2.1 Bên canh đó, m¾nh đe dưói cho thờm mđt so sỏnh giua ieu kiắn i Đ%nh lý 2.2.1 đieu ki¾n (a) H¾ qua 2.2.3 M¾nh đe 2.2.1 Đieu ki¾n (a) H¾ qua 2.2.3 suy đieu ki¾n (2.1.2) Chúng minh Boi Đ%nh lý 2.2.2, ta se chi rang (2.2.19) đưoc suy tù đieu ki¾n (a) H¾ qua 2.2.3 Th¾t v¾y, gia su ∞ Σ (si − si−1) < ∞, si = H−1(i) := min{t ∈ R+ : H(t) ≥ i} i=1 Khi đó, vói MQI α, ton tai N ∈ N cho N +p Σ Đ¾t, T := s N +p − sN , (si − si−1)2 < α, (p ≥ 1) i=N +1 T˜ : = Σ δ T Σ Ta có h(sN ) + (T˜ + 1)s0Σ δ0 sN p = ∫ h(t)dt ≤ (h(sN ) + s0) δ0 + ···+ = h(sN )(T˜ + 1)δ0 + + + · · · + (T˜ + 1)Σ s0 δ0 ˜ ˜ = )(T˜ + +(T + 1)(T + 2) s δ 1)δ h(s +p sN N 0 ≤ c1 (T˜)2 ≤ c2 (sN +p − sN )2 , vói c1, c2 khụng phu thuđc vo p Mắt khỏc, ỏp dung bat thúc Cauchy Schwarz ta có sN+p − sN = N +p (si − si−1) ≤ Σ √p MQI Σ 12 (si − si−1)2 Σ p ≤ c2(sN+p − sN )2 ≤ c2p(si − si−1)2 < c2pα Do đó, vói N +p p ≥ Đieu vơ lý α nho tùy ý M¾nh đe chi rang gia thiet (a) (b) cna H¾ qua 2.2.3 đieu ki¾n đn đe nghi¾m tam thưịng cna phương trình (2.1.1) őn đ%nh ti¾m c¾n Qua cho thay rang đieu ki¾n i Đ%nh lý 2.2.1 tőng qt khơng bao hàm đieu ki¾n (2.1.2) 2.3 Xây dEng phan ví dn Trong muc này, chúng tơi trình bày cách xây dnng hàm h thoa mãn gia thiet cna đieu ki¾n đn Đ%nh lý 2.2.1 ngoai trù đieu ki¾n i Vói hàm h v¾y, phương trình (2.1.1) khơng őn đ%nh ti¾m c¾n Tù đó, có the thay rang đieu ki¾n i Đ%nh lý 2.2.1 khơng the bo qua đưoc Vì v¾y, đieu ki¾n đưoc xem tőng quát nhat cho lóp hàm kha tích dương yeu nghiên cúu tính őn đ %nh tiắm cắn cna phng trỡnh dao đng ieu hũa tat dan Dưói cách xây dnng hàm h nham thu đưoc phan ví du Ví dn 2.3.1 Ta xây dnng hàm h : R+ → R+ có tính chat sau: a h kha tích dương yeu ∞ ∫ ∫ t ∫t h(τ )dτ b e−H(t) eH(s)dsdt = ∞,H(t) = c Phương trình (2.1.1) vái hm h nh trờn cú mđt nghiắm x cho x(t) ~ 0, xJ(t) ~ t → ∞ π Bang cách xét giá tr% lón nhat cna hàm sin 2ϕ− 2αϕ vói α = đoan [− π , 0] ket hop vói (2.2.7), ta có π ϕJ ≥ −ω − αh(t)ϕ đoan 4[− , 0] (2.3.20) Đ¾t, h(t) = M vói M hang so Xét ϕ∗ : [t∗, ∞) → R nghi¾m cna tốn giá tr% ban đau sau: ϕJ = −ω − M sin 2ϕ, ϕ(t ∗ ) ≡ (mod π) Áp dung Bő đe 1.5.1 cho (2.3.20), thu đưoc vói MQI ω Σ −αM(t−t∗) ϕ∗ (t) − ϕ ∗ (t ∗ ) ≥ − − e α M giá tr% cna t thoa mãn − ω αM − e−αM(t−t∗) Σ π ≥− (2.3.21) (2.3.22) Ta thay ve trái cna bat thúc tri¾t tiêu tai t∗ đơn đi¾u giam tói − αω = 2ωπ M − M t → ∞ Do đó, (2.3.21) (2.3.22) đưoc thoa mãn vói MQI t ≥ t∗ neu M ≥ 2ω Xét dãy {tn }∞n=1 đưoc xác đ%nh sau:  t0 π  = 0, t = , ω  tn+1 = tn + τn + σn , (2.3.23) τn > thoa mãn tn + τn ≤ ω (2.3.24) Sau cHQN τn , ta cHQN σn ≥ cho ϕ(tn + τn + σn) ≡ (mod π) Tiep theo, hàm h đưoc xây dnng sau   Mn neu tn ≤ t < tn + τ h(t) n , := (2.3.25)  tn + τn (2.3.26) neu tn + τn ≤ t < tn + τn + σn =: tn+1, n = 1, 2, Mn > 2ω vói n MQI (2.3.27) Ta có, ϕ(t) = −ω − vói MQI 2t tn + τn < t < tn+1 1 h(t) sin 2ϕ ≤ −ω + n+ τn ≤− ω (2.3.28) Tiep theo đây, se tìm đieu ki¾n đe hàm h đưoc xác đ%nh thoa mãn tính chat (a), (b), (c) Vì Mn > 2ω vói MQI n nên áp dung (2.3.21) vói ϕ∗ = ϕ, t∗ = tn , M = Mn [tn; tn + τn], ta thu đưoc ưóc lưong sau + Σ ω −αM (t−t∗) − e ; ϕ(tn τn ) − ≥ − ϕn αM r(t + τ tn∫ ) ω +τn ln =− n n r(tn) tn h(t) sin2 ϕ(t)dt ≥ −sin2 αM n ω 2τ ≥− r(t ln n+ r(tn + τn) Do đó, ) n α2M tn∫+τn h(t)dt tn n; tn +∫τn +σn r(t + τ + σ = ln ) ≥ n n n − r(tn + τn) ln Σ r(tn+1) tn+τ n r( t h(t)dt = − σn ω 2τ n σn tn + τn Σ α2 M n n ≥− ) Ta se chúng minh rang tính chat (c) neu Σi=1 ∞ τn Mn + t σn Σ ∞ + < tn + τn (2.3.29) Th¾y v¾y, neu (2.3.29) Σ ∞ ω2 τn n= + n σn Σ t α2 Do đó, ω2τ r(tn+1 ≥ − lim ln ) Σn=1 n→∞ r(t1) n ∞ α2M < ∞ + σn Σ tn + τn n Suy ra, lim r(t) = V¾y tính chat (c) neu (2.3.29) đưoc thoa mãn ƒ t→∞ Boi Đ%nh lý 2.2.2, tính chat (b) tương đương vói đieu ki¾n (2.2.19) Vì v¾y, ta can tìm đieu ki¾n cna τn , σn đe (2.2.19) Boi (2.3.29), ton tai N ∈ N cho vói MQI n > N tn + τn ≥ σn Vói moi n > N , ta xét trưòng hop sau (∗) (i)Ton tai m®t so j ∈ N cho sj ≤ tn + τn < tn + τn + σn ≤ sj+1 Suy ra, sj+1 − sj ≥ σn ≥ 2σn (ii) Ton tai i ≥ cho si−1 ≤ tn + τn ≤ si ≤ tn + τn + σn ≤ si+1 −  si si−1 Suy ra, σn ≥ , σn ≥  si+1 − si Do đó, ta có the cHQN j cho sj+1 − sj ≥ σn (iii) Ton tai j ∈ N cho tn + τn ≤ sj < sj+1 ≤ tn + τn + σn Do đó, sj+1 ∫ sj h(t)dt = (s tn + τn − s ) j+1 j M¾t khác, ta lai có sj ∫ h(t)dt = j, sj+1 ∫ h(t)dt = j + Suy ra, s j+1 − sj = t n + τn j+ Tù (∗) ta nh¾n đưoc − s sj ≥ σn V¾y vói moi n > N , ton tai j ∈ N cho s ∞ j+ − sj ≥ σn Vì v¾y, neu Σ σ2 = ∞ n (2.3.30) n = (2.2.19) đưoc thoa mãn Do đó, tính chat (b) Ta có đánh giá ve hàm h(t) sau Neu t1 ≤ k tk ≤ t ≤ tk − 1 + τk > ≥ h(t) = Mk > 2ω > t + τk−1 tk t k Neu tk + τk ≤ + τk t≤ tk+1 h(t) = ≥ 1 t t V¾y, f (t) ≥ vói MQI t ≥ t1 Dot đó, h kha tích dương yeu (tính chat (a) đúng) Cuoi cùng, đe hồn thành vi¾c xây dnng hàm h chi rang đieu ki¾n (2.3.24),(2.3.27), (2.3.29), (2.3.30) đưoc thoa mãn vói hàm mũ Chúng ta cHQN dãy sau Mn := n β, τn := nγ, σn := nκ + O(1) (n → ∞), β, γ, κ > O(1) ≥ so nho nhat cho ϕ(tn + τn + σn) ≡ (mod π) Các bat thúc (2.3.24), (2.3.27) đưoc thoa mãn vói n đn lón Đe (2.3.29) (2.3.30) đưoc thoa mãn, su dung bat thúc sau n Σ nN) nλ+1 (λ > 0; ≥ λ+1 i= ∈ iλ T a c ó , Σ = τ Σ nγ−β ; ∞ ∞ n n=1 M n=1n ∞ ∞ Σ σ Σ σ n = t n + τ n n − n n 1+ n=1 + σi) + τn (τi κ ∞i=1 ≤ n=1 Σ γ+1 ∞ Σ σ∞ n n=1 Σ t ≥ (nκ+1 − 1) n +1 O(1) + ; (n + 1)γ+1 κ+1 Σ n=1 n2κ Chúng ta cHQN β, γ, κ cho β > γ + < κ < γ đieu ki¾n (2.3.29), (2.3.30) đưoc thoa mãn V¾y hàm h ví du đưoc xây dnng hoàn chinh Chú ý 2.3.1 Trong ví dn hàm h đưac xây dnng khơng thóa mãn tính chat lim ∫ h(t)dt < ∞ Do đó, hàm h ví dn khơng đu tot đe tra lài câu T →∞ T T hói: Li¾u đ%nh lý Artstein - Infante có cịn neu h kha tích dương yeu thay kha tích dương? Câu hói se đưac em tiep tnc nghiên cúu KET LU¾N Trong khóa lu¾n chúng tơi trình bày đưoc khái ni¾m ban cna lý thuyet őn đ%nh sn őn đ%nh cna h¾ vi phân tuyen tính phương pháp hàm Lyapunov vi¾c xét tính őn đ%nh h¾ phương trình vi phân tuyen tính Bên canh làm rõ oc ieu kiắn nhe nhat e phng trỡnh dao đng đieu hịa tat dan őn đ%nh ti¾m c¾n Đieu có ý nghĩa quan TRQNG vi¾c nghiên cúu dao đ®ng đieu hịa tat dan thnc te Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu cịn có nhung sai sót rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna quý thay cô ban ĐQc Tài li¾u tham khao [1]Nguyen The Hồn - Pham Thu, “Cơ sá phương trình vi phân lý thuyet őn đ %nh”, NXBGD, 2000 [2]L Hatvani, On the damped harmonic oscillator with time dependent damping coefficient, J Dynam Differential Equations, 30 (2018), 25-37 [3]L Hatvani, On the stability of zero solution of certain second order non-linear differential equations, Acta Sci Math (Szeged), 32 (1971), 1-9 [4]L Hatvani, V Totik, Asymptotic stability of the equilibrium of the damped os- cillator, Differ Integral Equ., (1993), 835-848 [5]L Hatvani, V Totik, T Kritin, A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator, J Differential Equations, 119 (1995), 209-223 [6]R A Smith, Asymptotic stability of xJJ + a(t)xJ + x = 0, Q J Math Oxf Ser (2), 12 (1961), 123-126 ... LèI Me AU Dao đng cna mđt lac n hoắc dao đng cna lũ xo nam ngang ieu kiắn lý tưong khơng có lnc ma sát dao đ®ng đieu hũa Ve mắt toỏn HQc, nghiắm cna dao đng ieu hịa hàm tuan hồn Do đó, dao đ®ng... đ®ng đeu ch%u tác đ®ng cna lnc ma sát Vỡ vắy, mụ hỡnh dao đng cna mđt lac n hoắc dao đng cna lũ xo nam ngang cú tính đen lnc ma sát tro thành dao đ®ng đieu hịa tat dan Đieu phù hop vói h¾ chuyen... kỳ cna dao đ®ng Khi h(t) ≡ phương trình bên tro ve dao đ®ng đieu hịa quen thuđc ó biet tự bắc HQ c ph thụng Muc đích cna chương đ¾t đieu ki¾n nhe nhat có the cho hàm h(t) đe phương trình dao đng