Dao động điều hòa tắt dần​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN KHOA TOÁN - CO - TIN HOC Ninh Tiến Nam Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN KHOA TOÁN - CO - TIN HOC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TAT DAN LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN KHOA TOÁN - CO - TIN HOC Ninh Tiến Nam DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TAT DAN Chun Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8640101.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC Người hướng dẫn Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN KHOA TOÁN - CO - TIN HOC TS Trịnh Viết Dược Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị Các khái niệm lí thuyết ổn định Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Đặc trưng tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Phương pháp hàm Lyapunov 1.5.Bổ đề Gronwall-Belhnan 10 Chương Dao động điều hịa tắt dần 11 Giới thiệu tốn Sự ổn định tiệm cận dao động điều hoà tắt dần Tính ốn định ọ Tính ơn định tiệm cận ••• 2.3.Xây dựng phản ví dụ Kết luận Tài liệu tham khảo 14 32 33 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến Sĩ Trịnh Viết DiỉỢc, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận ván Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận ván Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2019 Học viên Ninh Tiến Nam LỜI MỞ ĐẦU Dao động lắc đơn dao động lò xo nằm ngang điều kiện lý tưởng khơng có lực ma sát dao động điều hịa mặt tốn học, nghiệm dao động điều hịa hàm tuần hồn Do đó, dao động điều hịa ln ổn định theo nghĩa Lyapunov không ổn định tiệm cận Tuy nhiên, thực tế chuyển động chịu tác động lực ma sát Vì vậy, mơ hình dao động lắc đơn dao động lò xo nằm ngang có tính đến lực ma sát trở thành dao động điều hòa tắt dần Điều phù hợp với hệ chuyển động thực tế, sau thời gian chuyển động khơng có ngoại lực tác động vào hệ hệ chuyển động chậm dần theo thời gian, mặt toán học, hệ chuyển động ứng với khái niệm ổn định tiệm cận lý thuyết ổn định Lyapunov Trong luận văn này, chúng tơi xét dao động điều hịa tắt dần điíỢc mơ tả phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau hàm h : [0, 00) —> [0, 00) hệ số ma sát tác động vào mơ hình theo thời gian CƯ > chu kỳ dao động Khi hệ số ma sát h hàm nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần ổn định tiệm cận, khẳng định kiểm tra trực tiếp thơng qua việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng, mặt logic, thấy hệ số ma sát h nhỏ (theo nghĩa lực ma sát tác động vào mơ hình khơng đáng kể) nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần khơng ổn định tiệm cận Do đó, tốn đặt tìm điều kiện hàm h để nghiệm tầm thường phương trình dao động điều hịa tắt dần ổn định tiệm cận Bài toán thu hút dơng đảo nhà tốn học lĩnh vực lý thuyết ổn định tìm hiểu nghiên cứu Có thể kể đến kết tiêu biểu Levin Nohel năm 1960 xét hàm h có giá trị bị chặn phần dương thực đường thẳng thực Sau đó, tốn tiếp tục nghiên cứu nhằm cải thiện điều kiện hàm h Theo hướng này, điều kiện đặt lên h xây dựng với đóng góp số nhà tốn học tiêu biểu Smith, Artstein, Inítante, Pucci, Serrin, Sugie, Hatvani, Bên cạnh đó, số nhà tốn học nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hịa tắt dần xem xét mơ hình ỏ dạng phương trình vi phân cấp hai phi tuyến x" + h(t)x' + CƯ X = 0, X e R, Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết kết Hatvani năm 2018 Hệ số ma sát h báo Hatvani xem tổng quát theo hướng nghiên cứu đặc trưng tính ổn định tiệm cận phương trình dao động điều hịa tắt dần thơng qua điều kiện đặt lên hệ số ma sát h Vì vậy, bố cục luận văn chia thành hai chương • Chương trình bày kiến thức lý thuyết ổn định kết tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov • Chương nội dung báo Hatvani Ị2] Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh báo có lời bình, nhận xét để kết nối kết lại với nhằm tạo tranh tương đối đầy đủ kết đạt theo hướng nghiên cứu bên Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2019 Học viên Ninh Tiến Nam với n từ ước lượng id(Tn) điều kiện đủ suy ư2 ỉ/ ii/ Nếu //(Tn) < 00 với n DC Do đó, = 00 2=1 Từ Hệ 2.2.3) kết Sugie yếu Định lý 2.2.1 Bên cạnh đó, mệnh đề cho thêm so sánh điều kiện ỉ Định lý 2.2.1 điều kiện (a) Hệ 2.2.3 Mệnh đề 2.2.1 Diều kiện (ữ) Hệ 2.2.3 suy điều kiện (2.1.2) Chứng minh Bỏi Định lý 2.2.2, ta (2.2.19) suy từ điều kiện (ư) Hệ 2.2.3 Thật vậy, giả sử oo -1 (Sị — Sị-1) < 00, Si = H (z) : = min{t e R+ : H(t) > i} 2=1 Khi đó, với ơ, tồn N e N cho N+p i=N+l Ta có p = / h(t)dt < (h(sN) + €0) H F (h(sN) + (T + l)eoj ỏo J SN = /z(syy)(T + l)ốQ + (1 + + • • • + (T + 1)) CQỐQ = h(sN)(Ỹ + l)ổo + +1 ữ )ữ + )eoốo < Clữ) Điều vơ lý a nhỏ tùy ý Mệnh đề giả thiết (ữ) (ò) Hệ 2.2.3 điều kiện đủ để nghiệm tầm thường phương trình (2.1.1) ổn định tiệm cận Qua cho thấy điều kiện ỉ Dịnh lý 2.2.1 tổng qt khơng bao hàm điều kiện (2.1.2 2.3 Xây dựng phản ví dụ Trong mục này, chúng tơi trình bày cách xây dựng hàm h thỏa mãn giả thiết điều kiện đủ Định lý 2.2.1 ngoại trừ điều kiện ỉ Với hàm h vậy, phương trình (2.1.1) khơng ổn định tiệm cận Từ đó, thấy điều kiện i Định lý 2.2.1 bỏ qua Vì vậy, điều kiện xem tổng quát cho lớp hàm khả tích dương yếu nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình dao động’ điều hịa tắt dần Dưới cách xây dựng hàm h nhằm thu phản ví dụ Ví dụ 2.3.1 Ta xây dựng hàm h : R+ R+ có tính chất sau: a h khả tích dương yếu oo t H t H b Ị e~ ^ Ị e ^dsdt = oo, H(t) = Ị h(r)dr 0 Phương trĩnh (2.1.1) với hàm h có nghiệm X cho 0, t CXD Bằng cách xét giá trị lớn hàm sin 2ự? — 2cap với a = — đoạn [—-7, 7T kết hợp với (|2.2.7h, ta có —cư — Oíh(t)(p đoạn (2.3.20) Đặt, /z(í) = M với M số Xét 99* : [í*, 00) —> IR nghiệm tốn giá trị ban đầu sau: ự = —cư — M sin 292, ự?(f*) — (mod 7r) Áp dụng Bổ đề 1.5.1 cho (|2.3.20h, thu 777 (1 - e aM(t ‘y (2.3.21) aM với giá trị t thỏa mãn dí' >- 4' (2.3.22) Ta thấy vế trái bất đang’ thức triệt tiêu í* đơn điệu giảm tới — 7^7 — ~2M Xét dãy {ín}^Li xác định sau: > 2cư (2.3.23) theo, T > 0hàm thỏahmãn Tiếp xây dựng sau n (2.3.24) Mn > với n (2.3.27) Ta có, (2.3.28) với tn + Tn < t < tn+1 Tiếp theo đây, tìm điều kiện để hàm h xác định thỏa mãn tính chất (n), (ị), (c) Vì Mn > CƯ với n nên áp dụng (2.3.21) với = ự?, t* = tn, M = Mn tn’) tn + Tn], ta thu ước lượng sau aM 71 i 71 In — SĨTL Do đó, aMn tn n In I~ I r(t ) “n \a Mn aM Ta chứng minh tính chất (c) r(tn+1) 11 ln n 71 (2.3.29) Do đó, lim In Suy ra, lim r(t) Vậy tính chất (c) (2.3.29) thỏa mãn Bởi Định lý 2.2.2, tính chất (ị) tương đương với điều kiện (2.2.19) Vì vậy, ta cần tìm điều kiện Tn, để (|2.2.19h Bởi (|2.3.29h, tồn N e N cho với n n>N Với n > V, ta xét trường hợp sau (i) Tồn số j G N cho Suy ra, Sj+1 (ii) Tồn i > cho Suy ra, Do đó, ta chọn j cho Sj+1 — Sj (iii) Tồn j e N cho Do đó, S j+1 h dt / ^ = (gj+l - Sj) Suy ra, — Sj = + Tn Từ (*) ta nhận Sj+1 — Sj > Vậy với môi n > V, tồn j N cho 5j+i — Sj Vì vậy, (2.3.30) /Jn n=l (2.2.19) thỏa mãn Do đó, tính chất (ị) Ta có đánh giá hàm h(t) sau Nếu t Vậy, f(t) > -7ị với t > tỵ Do đó, h khả tích dương yếu (tính chất (ư) đúng) Cuối cùng, để hồn thành việc xây dựng hàm h điều kiện (2.3.24),(2.3.27), (2.3.29), (2.3.30) thỏa mãn với hàm mũ Chúng ta chọn dãy sau Mn := Tỉ /3,7, K > 0(1) > số nhỏ cho 99(tn + Tn + ơn) = (mod 7r) Các bất đẳng thức (2.3.24), (2.3.27) thỏa mãn với n đủ lớn Để (2.3.29) (2.3.30) điíỢc thỏa mãn, sử dụng bất đẳng thức sau Ta có, \ "2 /Jơn n=l n n' M~n 2K n=l n=l Chúng ta chọn /3,7,/í cho /3 (12.3.30D thỏa mãn Vậy n h n=lhàm điều kiện (2.3.29) K ví dụn xây dựng hồn chỉnh + 0(1) Chú ý 2.3.1 Trong ví dụ hàm h xây dựng khơng thỏa mãn tính chất h dt < 00 T* Ị ^ • Do hàm h ’ ví dụ khơng đủ tốt để trả lời câu hỏi: Liệu định lý Artstein - InỊante có cịn h khả tích dương yếu thay khả tích dương? Câu hỏi em tiếp tục nghiên cứu KET LUẠN Trong khóa luận chúng tơi trình bày khái niệm lý thuyết ổn định ổn định hệ vi phân tuyến tính phương pháp hàm Lyapunov việc xét tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Bên cạnh làm rõ điíỢc điều kiện nhẹ để phương trình dao động điều hòa tắt dần ổn định tiệm cận Điều có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu dao động điều hòa tắt dần thực tế Tuy nhiên thịi gian thực khóa luận khơng nhiều cịn có sai sót mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Tài liêu tham khảo 1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu, “Cơ sở phương trĩnh vi phân lý thuyết ồn đỉnh”, NXBGD, 2000 2] L Hatvani, On the damped harmonic oscillator with time dependent damping coefficient, J Dynam Differential Equations, 30 (2018), 25-37 3] L Hatvani, On the stability of zero solution of certain second order non-linear differential equations, Acta Sci Math (Szeged), 32 (1971), 1-9 4] L Hatvani, V Totik, Asymptotic stability of the equilibrium of the damped oscillator, Differ Integral Equ., (1993), 835-848 5] L Hatvani, V Totik, T Kritin, A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator, J Differential Equations, 119 (1995), 209-223 6] R A Smith, Asymptotic stability of x" + a(t)x' + X = 0, Q J Math Oxf Ser (2), 12 (1961), 123-126 ... Vì vậy, mơ hình dao động lắc đơn dao động lị xo nằm ngang có tính đến lực ma sát trở thành dao động điều hòa tắt dần Điều phù hợp với hệ chuyển động thực tế, sau thời gian chuyển động khơng có... sát dao động điều hịa mặt tốn học, nghiệm dao động điều hịa hàm tuần hồn Do đó, dao động điều hịa ln ổn định theo nghĩa Lyapunov không ổn định tiệm cận Tuy nhiên, thực tế chuyển động chịu tác động. .. (1.5.9) Chương Dao động điều hòa tắt dần Trong chương này, nghiên cứu dao động điều hịa tắt dần mơ tả phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau x" + h(í)x' + CƠ X = 0, hệ số tắt dần h : [0,