Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyen Th% Hong Hanh Đ¾C TRƯNG TÍNH NH± PHÂN MŨ MANH CUA HO TIEN HĨA LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyen Th% Hong Hanh Đ¾C TRƯNG TÍNH NH± PHÂN MŨ MANH CUA HO TIEN HĨA Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS Tr%nh Viet Dưac Mnc lnc Lài cam ơn Lài ma đau Chương M®t so kien thÉc chuan b% .5 1.1 Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan .5 1.1.1 C ác đ%nh nghĩa 1.1.2 To án tu tuyen tính b% ch¾n .6 1.1.3 K hơng gian tốn tu tuyen tính b% ch¾n 1.2 HQ tien hóa khơng gian Banach Chương Đ¾c trưng tính nh% phân mũ manh cua hQ tien hóa 11 2.1 Khỏi niắm nh% phõn m manh theo mđt HQ Chuan 11 2.2 Đ¾c trưng tính nh% phân mũ manh cua HQ tien hóa sinh bai HQ toán tE liên tnc manh 13 2.3 Đ¾c trưng tính nh% phân mũ manh cua HQ tien hóa tong quát 28 2.4.Nh% phân mũ manh không đeu 36 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 42 LèI CAM ƠN Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna khúa luắn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Tien Sy Tr%nh Viet Dưoc ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQ c t¾p thnc hi¾n luắn ny H Nđi, ngy 19 thỏng 10 nm 2019 HQc viên Nguyen Th% Hong Hanh LèI Me ĐAU Tính hyperbolic cna tốn tu tuyen tính b% ch¾n đưoc xác đ%nh qua phő cna toán tu, phő cna toán tu không cat truc ao Perron vào năm 1930 đ¾c trưng tính hyperbolic cna tốn tu tuyen tính b% ch¾n thơng qua lóp ánh xa liên tuc b% ch¾n, phương pháp cna Perron sau cịn đưoc GQI phương pháp “input-output” (đau vào-đau ra) Ve m¾t hình hQc, dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình trình vi phân gan vói tốn tu hyperbolic (cịn đưoc GQI h¾ hyperbolic) giong vói m¾t phang pha cna điem n ngna Không gian ban đau đưoc phân tách thành tőng trnc tiep cna hai khơng gian đóng mà nghi¾m se b% co lai có giá tr% ban đau thu®c m®t hai khơng gian (úng vói khơng gian őn đ%nh) giãn có giá tr% ban đau thu®c khơng gian cịn lai (úng vói khơng gian khơng őn đ %nh) Tính chat đưoc xem tính cot lõi cna hắ hyperbolic, vỡ vắy mo rđng khỏi niắm hyperbolic cho phương trình trình vi phân gan vói tốn tu tuyen tính khơng b% ch¾n ho¾c phương trình trình vi phân gan vói tốn tu tuyen tính phu thu®c thịi gian (cịn đưoc GQI h¾ khơng ơtơnơm - “non autonomous”) tính chat ln đưoc bao toan Tuy nhiên, có sn đieu chinh ve m¾t khái ni¾m nên h¾ khơng ơtơnơm có tính chat hyperbolic thưịng đưoc GQI h¾ có nh% phân mũ Sau này, khái ni¾m hyperbolic đưoc tőng qt hóa boi Pesin thơng qua khái ni¾m hyperbolic khơng đeu (hay nh% phân mũ không đeu) Xét không gian huu han chieu ho¾c khơng gian Banach, khái ni¾m hyperbolic khơng đeu cho phép h¾ so giãn co cna quy đao khụng b% chắn eu m phu thuđc vo thũi iem ban đau Do đó, đoi vói h¾ hyperbolic khơng đeu dáng đi¾u nghi¾m vói đieu ki¾n ban đau nam khơng gian őn đ%nh ho¾c khơng gian khơng őn đ%nh se b% xau mà khơng có sn kiem sốt ve dáng đi¾u Tuy nhiên, khái ni¾m hyperbolic khơng đeu đưoc đưa boi Pesin có h¾ so giãn co tăng không hàm mũ Chi tiet ve lý thuyet hyperbolic không đeu cna Pesin moi liên h¾ cna lý thuyet vói so mũ Lyapunov, chúng tơi giói thi¾u ngưịi ĐQc tài li¾u [4, 3] Khỏi niắm nh% phõn m manh theo mđt hQ chuan cho trưóc đưoc đưa phát trien boi Luis Barreira Claudia Valls Trong lu¾n văn này, chúng tơi se trình bày chi tiet ket qua báo [5] cna Luis Barreira Claudia Valls xuat ban năm 2017 Trong báo này, tác gia đưa đ¾c trưng tính nh% phân mũ manh cna HQ tien hóa theo m®t HQ HQ chuan hai trưịng hop: tốn tu tuyen tính liên tuc manh HQ HQ tien hóa sinh boi tien hóa tőng quát, ket qua đưoc phát bieu chúng minh theo phương pháp cna Perron mà đe c¾p o trên; tính tương đương giua HQ HQ tien hóa có nh% phân mũ manh khơng đeu (theo nghĩa Pesin) tien hóa có nh% phân mũ manh úng vói HQ chuan Vì v¾y, bo cuc lu¾n văn đưoc chia thành hai chương • Chương trình bày nhung kien thúc ban cna giai tích hàm khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, tốn tu tuyen tính b% ch¾n, khơng gian tốn tu tuyen tính b% ch¾n HQ tien hóa khơng gian Banach ã Chng l nđi dung chớnh cna luắn văn Chúng tơi trình bày chi tiet chúng minh báo [5] cna Luis Barreira Claudia Valls, đong thịi xây dnng m®t ví du minh HQA cho khỏi niắm nh% phõn m manh theo mđt HQ chuan cho trưóc vói muc đích hieu rõ khái ni¾m Hà N®i, ngày 19 tháng 10 năm 2019 HQc viên Nguyen Th% Hong Hanh Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Trong muc này, chúng tơi trình bày lai m®t so kien thúc ban ve giai tích hàm mà se đưoc su dung chương sau Các kien thúc đưoc tham khao hai cuon sách [1, 2] 1.1.1 Các đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 T¾p X ƒ= ∅ đưac GQI không gian véctơ trưàng so K neu X xác đ%nh hai phép tốn: c®ng véctơ + : X ì X X v nhõn mđt so vơ hưáng vái véctơ · : K × X → X thóa mãn tiên đe sau a) x + (y + z) = (x + y) + z vái MQI x, y, z ∈ X b)Ton tai θ ∈ X cho x + θ = θ + x = x vái MQI x ∈ X c)Vái mői x ∈ X ton tai (−x) ∈ X cho x + (−x) = (−x) + x = θ d) x + y = y + x vái MQI x, y ∈ X e) α(βx) = (αβ)x vái MQI x ∈ X α, β ∈ K f) Vái MQi x, y ∈ X α, β ∈ K (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy g) 1x = x vái MQI x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho X m®t khơng gian véctơ trưàng K (K = R ho¾c C) X đưac GQI khơng gian tuyen tính đ%nh chuan neu vái MQI x ∈ X xác đ%nh m®t so GQI chuan cua x, kí hi¾u ǁxǁ, thóa mãn ba tiên đe sau: a) ǁxǁ ≥ vái MQI x ∈ X Đang thúc xay chs x = θ b) ǁλxǁ = |λ|ǁxǁ vái MQI x ∈ X λ ∈ K c) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ vái MQI x, y ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.3 Dãy {xn } không gian đ%nh chuan X đưac GQI h®i tn tái x ∈ X neu lim ǁxn − xǁ = 0, ký hi¾u xn → x n→ ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } không gian đ%nh chuan X đưac (hay dãy Cauchy) neu GQI dãy ban lim ǁxn − xmǁ = n,m→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.5 Không gian đ%nh chuan X đưac GQi không gian Banach neu MQI dãy ban X đeu h®i tn đen m®t véctơ X 1.1.2 Tốn tE tuyen tính b% ch¾n Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho X Y hai không gian véctơ trưàng K Ánh xa A : X → Y đưac GQI tuyen tính neu i) A(x + xJ) = Ax + AxJ vái MQI x, xJ ∈ X ii) A(αx) = αAx vái MQI x ∈ X α ∈ K Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho X Y hai không gian đ%nh chuan Ánh xa A : X → Y đưac GQI liên tnc tai x0 ∈ X neu vái MQI dãy {xn } ⊂ X cho xn → x0 A(xn ) → A(x0 ) Chú ý 1.1.1 Neu A liên tnc tai MQI điem x0 ∈ X A đưac GQI liên tnc X Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho X Y hai không gian đ%nh chuan Tốn tu tuyen tính A : X → Y đưac GQI b% ch¾n neu ton tai hang so C > cho ǁAxǁ ≤ Cǁxǁ, ∀x ∈ X Khi đó, M := inf{C > : ǁAxǁ ≤ Cǁxǁ} đưac GQI chuan cua toán tu A kí hi¾u ǁAǁ Đ%nh lý 1.1.1 Cho X, Y hai không gian đ%nh chuan A : X → Y tốn tu tuyen tính b% ch¾n Khi đó, ǁA ǁ = sup ǁAx = sup ǁAxǁ ǁxǁ≤1 ǁxǁ= Đ%nh lý 1.1.2 Cho X, Y hai không gian đ%nh chuan A : X → Y tốn tu tuyen tính Khi đó, khang đ%nh sau tương đương i) A liên tnc X ii) A liên tnc tai điem x0 no ú thuđc X iii) A l b% chắn Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho X, Y không gian tuyen tính đ%nh chuan D(A) khơng gian cua X Tốn tu tuyen tính A : D(A) → Y đưac GQI tốn tu đóng neu vái MQI dãy {xn } ⊂ D(A) thóa mãn xn → x, Axn → y x ∈ D(A) Ax = y Đ%nh lý 1.1.3 (Đ%nh lí đo th% đóng) Cho X, Y không gian Banach A : X → Y tốn tu tuyen tính Khi đó, A liên tnc chs A tốn tu đóng Đ%nh nghĩa 1.1.10 Cho HQ (At )t∈T gom tốn tu tuyen tính At tù khơng gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y HQ (At )t∈T đưac GQI b% ch¾n tùng điem neu vái mői x ∈ X t¾p {At x : t ∈ T } b% ch¾n HQ (At )t∈T đưac GQI b% ch¾n đeu neu t¾p {ǁAt ǁ : t ∈ T } b% ch¾n Đ%nh lý 1.1.4 (Nguyên lý b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus) Neu HQ (At )t∈T gom tốn tu tuyen tính liên tnc tù không gian Banach X vào không gian đ%nh chuan Y b% ch¾n tùng điem HQ b% ch¾n đeu 1.1.3 Khơng gian tốn tE tuyen tính b% ch¾n Cho hai khơng gian đ%nh chuan X Y Kí hi¾u B(X, Y ) t¾p hop tat ca tốn tu tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y , đưoc trang b% hai phép toán sau: tőng cna hai toán tu A, B ∈ B(X, Y ) m®t tốn tu, kí hi¾u A + B xác đ%nh boi (A + B)(x) = Ax + Bx, ∀ x ∈ X; tích cna m®t so vơ hưóng α ∈ K vói tốn tu A ∈ B(X, Y ) m®t tốn tu, kí hi¾u αA xác đ%nh boi (αA)(x) = α(Ax) T¾p B(X, Y ) vói hai phép tốn bên tro thành m®t khơng gian véctơ trưòng K Trong trưòng hop X = Y , B(X, Y ) đưoc ký hi¾u B(X) M¾t khác, vói moi A ∈ B(X, Y ) so ǁA ǁ = sup ǁAxǁ ǁxǁ=1 tao thành m®t chuan khơng gian véctơ B(X, Y ) Do đó, B(X, Y ) không gian đ%nh chuan Đ%nh lý 1.1.5 Neu Y khơng gian Banach B(X, Y ) không gian Banach Đ%nh lý 1.1.6 Cho không gian Banach X A ∈ B(X) Neu ǁAǁ < toán tu I − A kha ngh%ch (I − A) −1 = ∞ Σ Ak k=0 1.2 HQ tien hóa khơng gian Banach Trong phan này, chúng tơi nhac lai khái ni¾m HQ tien hóa sinh boi m®t phương trình vi phân khơng gian Banach Vói gia thiet liên tuc manh, HQ HQ toán tu tuyen tính tien hóa sinh boi m®t phương trình vi phân không gian Banach se ton tai N®i dung cna phan đưoc viet theo sách chuyên khao cna Daleckii-Krein [6] ∫ Ψ(s)ds t τ ∫ ≥ ǁu(t)ǁt t0−s Ψ(s)ds τ +s ≤ C ǁ Gǁ = (t0 − τ − 2s)ǁu(t)ǁt ǁx ǁ Do đó, ǁu(t)ǁ τ vói MQI s > t ≥ t0 t t0 − τ − s ǁu(t) Cho s → ta đưoc ǁ + ≤ CǁGǁ ǁxǁ τ , t ≥ t t t0 − τ Lay t0 = τ + 2CǁGǁ N ∈ N cho N ≥ t0 − τ = 2CǁGǁ Vói t ∈ R thoa mãn t − τ ≥ N t ≥ t0 Do đó, ǁu(t)ǁ CǁGǁ = ǁxǁ ǁxǁ t τ τ t0 − τ Vói t ≥ τ , ton tai k ∈ N r ∈ [0, N ) cho t − τ = kN + r Boi tính bat bien cna khơng gian őn đ%nh vói HQ tien hóa tù (2.3.21), (2.3.22), (2.3.19), ta có ≤ ǁT (t, τ )P (τ )xǁt = ǁT (t, τ + kN )T (τ + kN, τ )P (τ )xǁt ≤ CǁT (τ + kN, τ )P (τ )xǁτ+kN C ≤ ǁT (τ + (k − 1)N, τ )P (τ )xǁτ+(k−1)N C CM ǁxǁτ ≤ k ǁP (τ )xǁτ 2k ≤2 ln = CMe t−τ−r N 21 ǁxǁ τ ≤ 2CMe− Đ¾t D = 2CM, λ = ln N ln N (t−τ ) ǁxǁτ , ta đưoc (2.3.20) Tương tn, hQ tien hóa giam cap mũ khơng gian khơng őn đ%nh theo hưóng âm cna thịi gian Bo đe 2.3.4 Ton tai hang so λ, D > cho ǁT (t, τ )Q(τ )xǁt ≤ De−λ(τ−t)ǁxǁτ , vái MQI x ∈ X t ≤ τ L¾p lu¾n tương tn phan cuoi cna chúng minh cho Đ%nh lý 2.2.2, ta kiem tra đưoc HQ tien hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R thoa mãn đieu ki¾n nh% phân mũ manh theo HQ chuan ǁ · ǁt Tiep theo, ta chi rang tính nh% phân mũ manh cna HQ tien hóa bat bien dưói nhieu đn nho Đ%nh lý 2.3.3 Gia su HQ (T (t, τ ))t,τ ∈R có nh% phân mũ manh vái B : R → B(X) hàm liên tnc manh cho ǁB(t)ǁ ≤ ce−s|t|, HQ chuan ǁ · ǁt t ∈ R tien hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R xác đ%nh bái ∫ t U (t, τ )x = T (t, τ )x T (t, s)B(s)U (s, τ )xds, t, τ ∈ τ + R có nh% phân mũ manh vái HQ chuan ǁ · ǁt Neu c đu nhó HQ Chúng minh Xét tốn tu tuyen tính L : D(L) → Y xác đ%nh sau: D(L) t¾p tat ca x ∈ Y cho ton tai y ∈ Y thoa mãn ∫ t x(t) = U (t, τ )x(τ ) U (t, s)y(s)ds, t ≥ τ τ, + Lx = y Tương tn toán tu H chúng minh cna Đ%nh lý 2.3.2, L đưoc xác đ %nh tốn tu đóng Vói moi x, y ∈ Y cho Lx = y, ta có ∫ x(t) = U (t, τ )x(τ ) + t U (t, s)y(s)ds τ ∫ t = T (t, τ )x(τ ) + T (t, s)B(s)U (s, τ )x(τ )ds τ + + ∫ t T (t, s)y(s) τ ∫ t ∫ T (t, w)B(w)U (w, s)y(s)dwds t τ s ∫ t τ = T (t, τ )x(τ ) + T (t, w)B(w)U (w, τ )x(τ )dw ∫ t ∫ t∫ w τ τ τ T (t, w)B(w)U (w, s)y(s)dsdw + T (t, s)y(s) + ∫ t = T (t, τ )x(τ ) T (t, Σ ∫ w ττ +∫ t ∫ s)y(s) U (w, s)y(s)ds dw U (w, τ )x(τ ) + T (t, τ + w)B(w) = T (t, τ )x(τ ) + vói MQI t T (t, w)(y(w) + B(w)x(w))dw τ t ≥ τ Suy ra, D(H) = D(L) Đ%nh nghĩa toán tu P : Y → Y xác đ%nh boi (Px)(t) = B(t)x(t) Ta có, ǁB(t)x(t)ǁt ≤ Ces|t|ǁB(t)x(t)ǁ ≤ cCǁx(t)ǁ ≤ cCǁx(t)ǁt t ∈ R Do đó, P tốn tu tuyen tính b% ch¾n vói ǁP ǁ ≤ cC H = L + P V¾y, L = H − P = [I − P H −1 ]H : D(H) → Y Khi c đn nho ǁP H −1 ǁ ≤ ǁP ǁǁGǁ ≤ cCǁGǁ < 1, vói G = H −1 Do đó, I − P H −1 : Y → Y song ánh Suy vói MQI ra, L : D(H) = D(L) → Y song ánh Tiep theo, ta chi rang ton tai so K J , aJ > cho ǁU (t, τ )xǁt ≤ K J eaj|t−τ | ǁxǁτ vói MQI t, τ ∈ R Các l¾p lu¾n cho ưóc lưong khơng đői so vói chúng minh cna ưóc lưong tưóng úng Đ%nh lý 2.2.3, the chúng minh đưoc lưoc bo o Boi v¾y, theo Đ%nh lý 2.3.2 HQ tien hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R có nh% phân mũ manh vói HQ chuan ǁ · ǁt 2.4 Nh% phân mũ manh không đeu Trong muc này, chúng tơi trình bày ket qua ket noi tính nh% phân mũ manh khơng đeu vói nh% phân mũ manh theo m®t HQ chuan Trưóc het, chúng tơi nhac lai khái ni¾m nh% phân mũ manh khơng đeu cna m®t HQ tien hóa Đ%nh nghĩa 2.4.1 HQ tien hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R đưac GQI có nh% phân mũ manh không đeu neu ton tai HQ phép chieu (P (t))t∈R gom tốn tu tuyen tính b% ch¾n thóa mãn đieu ki¾n sau (i) P (t)T (t, τ ) = T (t, τ )P (τ ),t, τ ∈ R (ii) Ton tai hang so λ ≤ λ¯ < < µ ≤ µ¯, s ≥ D > cho ¯ ǁT (t, τ )P (τ )xǁ ≤ Deλ (t−τ )+s|τ | ǁxǁ, ǁT (τ, t)Q(t)xǁ ≤ De−µ(t−τ)+s|t|ǁxǁ vái t≥τ MQI ǁT (t, τ )P (τ )xǁ ≤ Deλ(t−τ)+s|τ|ǁxǁ, ǁT (τ, t)Q(t)xǁ ≤ De−µ¯(t−τ )+s|t| ǁxǁ vái MQI t ≤ τ , Q(t) = Id − P (t) Đ%nh lý dưói chi sn tương đương giua tính nh% phân mũ manh khơng đeu tính nh% phân mũ manh theo m®t chuan cna HQ HQ tien hóa Đ%nh lý 2.4.1 Các khang đ%nh sau tương đương (T (t, τ ))t,τ∈R có nh% phân mũ manh khơng đeu (T (t, τ ))t,τ∈R có nh% phân mũ manh theo HQ chuan ǁ · ǁt thóa mãn (2.1.1) t ›→ ǁxǁt đo đưac vái mői x ∈ X Chúng minh Gia su rang T (t, τ ) có nh% phân mũ manh khơng đeu Vói x ∈ X τ ∈ R, đ¾t y = P (τ )x z = Q(τ )x, xét chuan ǁ · ǁτ sau: ǁxǁτ = ǁyǁτ + ǁzǁτ , ǁyǁ τ Σ Σ ¯ = sup ǁT (t, τ )yǁe−λ (t−τ ) + sup ǁT (t, τ )yǁe−λ(t−τ ) , t≥τ Σ t