Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HĨA Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trịnh Viết Dược Hà Nôi - Năm 2019 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.1.3 Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2 Họ tiến hóa khơng gian Banach Chương Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa 11 2.1 Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn 11 2.2 Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa sinh họ toán 2.3 2.4 tử liên tục mạnh 13 Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa tổng quát 28 Nhị phân mũ mạnh không 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến Sỹ Trinh Viết Dược người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận van Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dip em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận van Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh LỜI MỞ ĐẦU Tính hyperbolic tốn tử tuyến tính bi chặn xác đinh qua phổ toán tử, phổ toán tử không cắt trục ảo Perron vào nam 1930 đặc trưng tính hyperbolic tốn tử tuyến tính bi chặn thông qua lớp ánh xạ liên tục bi chặn, phưìng pháp Perron sau cịn gọi phưìng pháp “input-output” (đầu vào-đầu ra) Về mặt hình học, dáng điệu nghiệm phưìng trình trình vi phân gắn với tốn tử hyperbolic (cịn gọi hệ hyperbolic) giống với mặt phẳng pha điểm yên ngựa Không gian ban đầu phân tách thành tổng trực tiếp hai khơng gian đóng mà nghiệm bi co lại có giá tri ban đầu thuộc hai không gian (ứng với khơng gian ổn đinh) giãn có giá tri ban đầu thuộc khơng gian cịn lại (ứng với khơng gian khơng ổn đinh) Tính chất xem tính cốt lõi hệ hyperbolic, mở rộng khái niệm hyperbolic cho phưìng trình trình vi phân gắn với tốn tử tuyến tính khơng bi chặn phưìng trình trình vi phân gắn với tốn tử tuyến tính phụ thuộc thời gian (cịn gọi hệ khơng ơtơnơm - “non autonomous”) tính chất ln bảo toản Tuy nhiên, có điều chỉnh mặt khái niệm nên hệ khơng ơtơnơm có tính chất hyperbolic thường gọi hệ có nhi phân mũ Sau này, khái niệm hyperbolic tổng qt hóa Pesin thơng qua khái niệm hyperbolic không (hay nhi phân mũ không đều) Xét không gian hữu hạn chiều không gian Banach, khái niệm hyperbolic không cho phép hệ số giãn co quỹ đạo không bi chặn mà phụ thuộc vào thời điểm ban đầu Do đó, hệ hyperbolic khơng dáng điệu nghiệm với điều kiện ban đầu nằm không gian ổn đinh không gian không ổn đinh bi xấu mà khơng có kiểm soát dáng điệu Tuy nhiên, khái niệm hyperbolic khơng đưa Pesin có hệ số giãn co tang không hàm mũ Chi tiết lý thuyết hyperbolic không Pesin mối liên hệ lý thuyết với số mũ Lyapunov, giới thiệu người đọc tài liệu [4, 3] Khái niệm nhi phân mũ mạnh theo họ chuẩn cho trước đưa phát triển Luis Barreira Claudia Valls Trong luận van này, chúng tơi trình bày chi tiết kết báo [5] Luis Barreira Claudia Valls xuất nam 2017 Trong báo này, tác giả đưa đặc trưng tính nhi phân mũ mạnh họ tiến hóa theo họ chuẩn hai trường hợp: họ tiến hóa sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục mạnh họ tiến hóa tổng qt, kết phát biểu chứng minh theo phương pháp Perron mà đề cập trên; tính tương đương họ tiến hóa có nhi phân mũ mạnh không (theo nghĩa Pesin) họ tiến hóa có nhi phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn Vì vậy, bố cục luận van chia thành hai chương • Chương trình bày kiến thức giải tích hàm khơng gian tuyến tính đinh chuẩn, tốn tử tuyến tính bi chặn, khơng gian tốn tử tuyến tính bi chặn họ tiến hóa khơng gian Banach • Chương nội dung luận van Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh báo [5] Luis Barreira Claudia Valls, đồng thời xây dựng ví dụ minh họa cho khái niệm nhi phân mũ mạnh theo họ chuẩn cho trước với mục đích hiểu rõ khái niệm Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh Chương Một •• 1.1 số kiến thức chuẩn bị Khơng gian tuyến tính định chuẩn Trong mục này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức giải tích hàm mà sử dụng chương sau Các kiến thức tham khảo hai sách [1, 2] 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Tập X = ; gọi không gian véctơ trường số K X xác định hai phép toán: cộng véctơ + : X X X ! X nhãn số vô hướng với véctơ ■ : K X X ! X thỏa mãn tiên đề sau a) x + (y + z) = (x + y) + z với x,y, z X b) Tồn X cho x + = + x = x với x X c) Với x X tồn (—x) X cho x + (—x) = (—x) + x = d) x + y = y + x với x,y X e) a(fix) = (afi)x với x X a,fi K f) Với x,y X a,fi K thỉ (n + fi )x = ax + fix, a(x + y) = ax + ay g) 1x = x với x X Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ trường K (K = R C) X gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn với x X xác định số gọi chuẩn x, kí hiệu ||x||, thỏa mãn ba tiên đề sau: a) ||x|| > với x X Dẳng thức xảy x = ỡ b) ||Ax|| = |A|||x|| với x X A K c) ||x + y|| < ||x|| + ||y|| với x,y X Định nghĩa 1.1.3 Dãy {x } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới n x X lim ||x — x|| = 0, ký hiệu x ! x n n nu Định nghĩa 1.1.4 Dãy {x } không gian định chuẩn X gọi dãy n (hay dãy Cauchy) lim ||x — x || = n,mn n m Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ đến véctơ X 1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.6 Cho X Y hai không gian véctơ trường K Ánh xạ A : X ! Y gọi tuyến tính i) A(x + x ) = Ax + Ax với x,x' X 0 ii) A(ax) = aAx với x X a K Định nghĩa 1.1.7 Cho X Y hai không gian định chuẩn Ánh xạ A : X ! Y gọi liên tục x X với dãy {x } c X cho x ! x n A(xn) ! A(x ) Chú ý 1.1.1 Nếu A liên tục điểm x X A gọi liên tục X n Định nghĩa 1.1.8 Cho X Y hai không gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính A : X ! Y gọi bị chặn tồn số C > cho ||Ax|| < C||x||; 8x X Khi đó, M := inf{C > : ||Ax|| < C||x||} gọi chuẩn toán tử A kí hiệu IIA|| Định lý 1.1.1 Cho X; Y hai không gian định chuẩn A : X ! Y tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, ||A|| = sup ||Ax|| = sup ||Ax|| ||X||