Các dạng phương trình lượng giác

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGÔ TH± THÚY ĐE TÀI CÁC DANG PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Đình Đ%nh HÀ N®I - 2015 Ma đau Lưong giác chun đe quan TRQNG chương trình tốn phő thơng Các tốn lưong giác thưịng xun xuat hi¾n đe thi tuyen sinh vào Đai HQc, Cao Vi¾c giang day lưong giác đưoc đưa vào chương trình tù lóp 10 b¾c trung HQ c phő thơng, phan kien thúc ve phương trình lưong giác chiem vai trò TRQNG tâm Tuy nhiên, thòi gian han hep cna chương trình phő thơng, khơng nêu đưoc đay đn chi tiet tat ca dang toán ve phương trình lưong giác Vì v¾y HQ c sinh thưịng g¾p nhieu khó khăn giai tốn nâng cao ve phương trình lưong giác đe thi tuyen sinh Đai HQ c, Cao M¾c dù có nhieu tài li¾u tham khao ve lưong giác vói n®i dung khác nhau, chưa có chun đe riêng khao sát ve phương trình lưong giác m®t cách h¾ thong Đ¾c bi¾t, nhieu dang tốn ve đai so lưong giác có quan h¾ ch¾t che, khăng khít vói , khơng the tách rịi đưoc Nhieu tốn lưong giác can có sn tro giúp cna đai so, giai tích ngưoc lai, ta có the dùng lưong giác đe giai m®t so tốn ve phương trình, bat phương trình h¾ phương trình đai so thơng qua cách đ¾t an phu nhung hàm lưong giác Do đó, đe đáp úng nhu cau ve giang day, HQc t¾p góp phan nho bé vào sn nghi¾p giáo duc, lu¾n văn “ Các dang phương trình lưong giác” nham h¾ thong kien thúc ban ve phương trình lưong giác, đong thịi ket hop vói kien thúc đai so, giai tích đe tőng hop, cHQN LQc phân loai phương pháp giai phương trình xây dnng m®t so lóp tốn mói Lu¾n văn đưoc chia làm chương Chương I Các dang phương trình lưang giác - H¾ thong lai dang phương trình lưong giác ban - Đưa m®t so meo đe giai phương trình lưong giác - Đưa cách giai m®t so phương trình lưong giác không mau mnc Chương II Úng dnng - Trình bày m®t so úng dung cna lưong giác m®t so dang tốn đai so - Nêu ví du minh HQA đoi vói tùng dang tốn - Nêu mđt so bi ỳng dung Luắn oc hon thành vói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna TS Lê Đình Đ%nh, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - ĐHQGHN Tù đáy lịng mình, tơi xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac đoi vói sn quan tâm, đ®ng viên sn chi bao hưóng dan nhi¾t tình, chu đáo cna thay suot thịi gian tơi thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành cna đen q Thay Cơ giáo khoa Tốn – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tao Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên – ĐHQGHN, đ¾c bi¾t nhung Thay Cơ giáo tùng giang day o lóp PPTSC, khóa HQc 2013 – 2015 Cam ơn Thay Cô truyen cho kien thúc giúp đõ suot trình HQc t¾p tai khoa Đong thịi, tơi xin gui lịi cam ơn tói t¾p the lóp Cao HQc Tốn PPTSC, khóa HQ c 2013 - 2015 đ®ng viên, giỳp tụi cú c hđi thao luắn v trỡnh by ve mđt so van e luắn cna mỡnh Cuoi cùng, tơi xin gui lịi cam ơn đen nhung ngưịi thân gia đình ban bè ln nng hđ v nhiắt tỡnh giỳp tụi thũi gian vùa qua Tuy nhiên, sn hieu biet cna ban thân khn khő cna lu¾n văn thac sĩ, nên chac rang q trình nghiên cúu khơng tránh khoi nhung thieu sót, tơi rat mong đưoc sn chi day đóng góp ý kien cna Thay Cơ đc gia quan tõm túi luắn ny H Nđi, ngày 18 tháng 11 năm 2015 HQc viên Ngô Th% Thúy Mnc lnc CÁC DANG PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC 1.1 Các phương trình lưong giác ban 1.1.1 Dang phương trình 1.1.2 Cách giai bi¾n lu¾n 1.1.3 Các công thúc lưong giác 1.1.4 Các ví du 1.1.5 Bài t¾p 1.2 Phương trình b¾c b¾c 1.2.1 Dang phương trình 1.2.2 Cách giai bi¾n lu¾n 1.2.3 Các ví du 1.2.4 Bài t¾p 1.3 Phương trình b¾c nhat dang a cos x + b sin x = c 1.3.1 Dang phương trình 1.3.2 Cách giai bi¾n lu¾n 1.3.3 Các ví du 1.3.4 Bài t¾p 1.4 Phương trình b¾c hai dang a(f (x))2 + bf (x) + c = 1.4.1 Dang phương trình 1.4.2 Cách giai 1.4.3 Các ví du 1.4.4 Bài t¾p 1.5 Phương trình cap theo sin x cos x 1.5.1 Dang phương trình 1.5.2 Cách giai 1.5.3 Các ví du 1.5.4 Bài t¾p 1.6 Phương trình đoi xúng theo sin x cos x 1.6.1 Cách giai 1.6.2 Các kien thúc can nhó 1.6.3 Các ví du 1.6.4 Bài t¾p 1.7 M®t meo lưong giác so x 1.7.1t =Đői 1.7.3 Đői bien tanbien cos 2x = t ho¾c sin 2x = t 5 5 10 12 13 13 13 13 15 17 17 17 17 21 23 23 23 23 25 27 27 27 27 29 31 31 31 31 33 33 33 .37 1.7.4 Bài t¾p .39 b 1.7.5 Đői bien t = af (x) ± vói ab > 0, f (x) hàm f (x) lưong giác ho¾c bieu thúc lưong giác .40 1.7.6 Bài t¾p .43 1.8 Phương trình lưong giác b¾c cao .44 1.8.1 Dang phương trình 44 1.8.2 Cách giai 44 1.8.3 Các ví du 44 1.8.4 Bài t¾p .47 1.9 Phương trình tích 49 1.9.1 Dang phương trình 49 1.9.2 Cách giai 49 1.9.3 Các ví du 49 1.9.4 Bài t¾p .52 1.10 Các dang phương trình khơng tac 53 1.10.1 Phương pháp ưóc lưong ve 53 1.10.2 Bien đői ve trái cna phương trình f (x) = ve tőng hang tu dau 56 1.10.3 Dùng bat thúc đe giai phương trình lưong giác 57 1.10.4 Dùng hàm so đe giai phương trình lưong giác 61 ÚNG DUNG 65 2.1 Úng dung lưong giác đe chúng minh thúc, bat thúc 65 2.1.1 Ví du 65 2.1.2 Bài 72 t¾p 2.2 Úng dung lưong giác đe giai phương trình đai so, bat phương trình đai so.74 2.2.1 Ví du 75 2.2.2 Bài 81 t¾p 2.3 Úng dung lưong giác đe giai h¾ phương trình 82 2.3.1 Ví du 82 2.3.2 Bài 85 2.4 Úng dung lưong giác toán cnc tr% .86 2.4.1 Ví du 86 2.4.2 Bài t¾p .88 2.5 Nh¾n dang tam giác .90 2.5.1 Ví du 90 2.5.2 Bài 94 t¾p 2.6 Cnc tr% tam giác 95 2.6.1 Ví du 95 2.6.2 Bài 100 Ket lu¾n 102 Tài li¾u tham khao 103 Chương CÁC DANG PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC 1.1 1.1.1 Các phương trình lưang giác ban Dang phương trình Ve nguyên tac, neu phương trình lưong giác giai đưoc phai dan đưoc m®t ba dang phương trình lưong giác ban sau: sin x = m; cos x = m; tan x = m Phương trình cot x = m ↔ tan x = (m =ƒ0) Nhưng phương trình hay g¾p nên m ta viet ln nghi¾m cna đe ti¾n su dung 1.1.2 Cách giai bi¾n lu¾n Phương trình sin x = m Neu |m| > phương trình vơ nghi¾m Neu |m| ≤ phương trình có nghi¾m Σ là: (k ∈ Z) x = arcsin m + 2kπ y = (π − arcsin m) + 2kπ Hay gđp nghiắm ta oc x = (1)k arcsin m + kπ, k ∈ Z π π Trong arcsin m cung α ∈ Σ− ; Σ mà sin = m 2 ắc biắt: ã Neu m = x = kπ π • Neu m = x = + 2kπ π • Neu m = −1 x = − + 2kπ (k ∈ Z) Ví dn Giai phương trình: sin 3x = Giai nên πta Vì arcsi có: 5π n 3x = = + π   3x 5π π = + 2kπ sin x 3x = (k ∈ Z)   ⇔ 2kπ = π ⇔ sin + Phương trình cos x = m • Neu |m| > thỡ phng trỡnh vụ nghiắm ã Neu |m| ≤ phương trình có nghi¾m x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z) Trong arccos m cung α ∈ [0; π] mà cos = m ắc biắt: ã Neu + kπ m= x = • Neu m = x = 2kπ (k ∈ Z) • Neu m = −1 x = π + 2kπ √ trình: cos x = Ví dn Giai phương √ π cos π Giai Vì = nên x =có: 24cos ar ta c c o s π ⇔x=± + 2kπ (k ∈ Z) Phương trình tan x = m (cos x ƒ= 0) ππ Phương trình có nghi¾m x = arctan + (− kπ Trong cung m α∈ ; ) arctan m 2 mà tan α = m Ví dn Giai phương trình tan 5x √ = √ Vì ar = ct π a n n ê n ta có : π Gia i π kπ π t + kπ a3 , (k ∈ = n ⇔ x+ 5 15 x Z) = t a n ⇔ x = Phương trình cot x = m (sin x ƒ= 0) Phương trình có nghi¾m x = arccot m + kπ Trong arccot m cung ∈α π) mà cot α = m (0; Ví dn Giai phương trình: cot 4x = π Vì arccot = nên ta có: Giai π π kπ π cot 4x = cot ⇔ 4x = + + kπ ⇔ x = 16 Chú ý: (k ∈ Z) • Neu sin x = sin a nghi¾m x = a + k2π ho¾c x = (π − a) + k2π (k ∈ Z) • Neu cos x = cos a nghi¾m x = ±a + k2π (k ∈ Z) • Neu tan x = tan a nghi¾m x = a + kπ (k ∈ Z) ã Neu cot x = cot a thỡ nghiắm x = a + kπ (k ∈ Z) Ví dn Giai phương trình cos 2x = sin 3x Giai Ta có: π cos 2x = cos( − 3x) π 2x = − 3x + k2π ⇔ π  2x = π 2π 3x − + k2π ⇔x= +k 10 π ⇔x= 1.1.3 − 2kπ (k ∈ Z) Các công thÉc lưang giác Giai phương trình lưong giác dùng cơng thúc lưong giác đe bien đői tương đương phương trình ve dang phương trình ban Chú ý lưong giác có cơng thúc ban sau: (1) sin2 x + cos2 x = 1∀x (2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b sin x (3) tan x =x (cos xƒ = 0) cos Các công thúc khác đeu suy đưoc tù công thúc Chang han nên lưu ý cơng thúc sau: (4) Cơng thúc góc nhân đôi Trong (2) cho a = b = x ta đưoc: sin 2x = sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x Lai lưu ý (1) (3) ta đưoc: cos 2x = cos2 x − = − sin2 x sin sin x cos x tan x 2x = − sin2 x = tan 2x = cos 2x cos2 − tan2 x x (chia ca tu so mau so cho cos2 x) (5) Công thúc chia đôi x Trong (4) thay x = ta đưoc: x x sin x = 2 cos sin x x x x cos x = cos2 − sin2 = cos2 − = − sin2 2 2 x 2t x tan x = tan2 = x t = tan −2 − tan2 2 t (6) Công thúc b¾c Trong (4) giai cos2 x, sin2 x theo cos x ta đưoc: + cos 2x − cos 2x sin2 x = cos2 x = (7) Công thúc nhân ba Trong (2), cho a = 2x, b = x dùng công thúc (4) ta đưoc: sin 3x = −4 sin3 x + sin x cos 3x = cos3 x − cos x (8) Bien đői tőng thành tích Trong (2) đ¾t a + b = x; a − b = y, a = −y x+y ;b= x ta đưoc: 2 s i n x + s i n y = s i n x + y c o s x − y 2 sin x − sin y = cos cos x + cos y = cos x+ y x+y cos x − cos y = −2 sin y sin x−y x2− y 2 x− sin cos x+ y 2 (9) Bi en đő i tíc h th àn h tő ng Tù cô ng th úc (2 ) su y đ oc : sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] (10) Tù cơng thúc (2) có the suy cơng thúc l¾ch pha sau: π sin( − x) = cos x 2π cos( − x) = sin x π tan ( −2 x) = cot π x cot( − 2= x) tan x sin(π + x)x= 2cos π cos( + sin x) = − x π tan( + = x) − cot x π cot( + x)2 =− tan x sin(x + = sin x c + 2π) = x tan(x + = tan cot(x + π cot x sin[x + (2k + 1)π] =− sin x cos[x + (2k + 1)π] =− cos x tan[x + (2k + 1)π] = tan x cot[x + (2k + 1)π] = cot x Ket lu¾n Muc tiêu cna lu¾n văn “các dang phương trình lưong giác“ nham h¾ thong kien thúc ban cna lưong giác ve phương trình, ket hop kien thúc đai so, giai tích đe tőng hop, cHQN LQc phân loai phương pháp giai phương trình lưong giác Lu¾n văn đat đưoc m®t so ket qua sau: - H¾ thong dang phương trình lưong giác ban nêu phương pháp giai - Đưa phương pháp giai m®t so phương trình lưong giác khơng mau mnc - Đưa m®t so úng dung cna lưong giác viắc giai quyet mđt so bi toỏn ve a thúc b¾c cao, phương trình vơ ti, chúng minh thúc, bat thúc Phan cuoi cna lu¾n văn, tác gia đưa m®t so dang tốn cna đai so giai tích đưoc giai bang phương pháp lưong giác hóa đưoc minh HQA boi ví du cu the đưoc cHQN LQc đe thi, tap chí tốn HQ c 16 Tài li¾u tham khao [1] Lê Đình Th%nh-Lê Đình Đ%nh (2011), Ơn luy¾n Tốn sơ cap T¾p hai: Lưang giác, hình HQc, tích phân, tő hap, xác suat so phúc, Nhà xuat ban giáo duc Vi¾t Nam [2] Nguyen Văn M¾u (Chn biên),Tran Nam Dũng, Nguyen Vũ Lương, Nguyen Minh Tuan (2008)), Chuyên đe CHQN LQc: Lưang giác áp dnng, Nhà xuat ban giáo duc Vi¾t Nam [3] Nguyen Vũ Lương (Chn biên), Nguyen Huu Đ®, Pham Văn Hùng, Nguyen NGQc Thang (2008), Lưang giác, Nhà xuat ban giáo duc Vi¾t Nam [4] Phan Huy Khai (2009), Lưang giác, Nhà xuat ban giáo duc Vi¾t Nam [5]Tap chí Tốn HQc tuői tre  ... Chương CÁC DANG PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC 1.1 1.1.1 Các phương trình lưang giác ban Dang phương trình Ve nguyên tac, neu phương trình lưong giác giai đưoc phai dan đưoc m®t ba dang phương trình. .. CÁC DANG PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC 1.1 Các phương trình lưong giác ban 1.1.1 Dang phương trình 1.1.2 Cách giai bi¾n lu¾n 1.1.3 Các. .. phương trình xây dnng mđt so lúp bi toỏn múi Luắn oc chia làm chương Chương I Các dang phương trình lưang giác - H¾ thong lai dang phương trình lưong giác ban - Đưa m®t so meo đe giai phương trình