Dạng cỡ tách được và các dòng cực tiểu toàn cục

.3 Chudng I PHUONG PHAP D&NG CO $ Cac dang va dsng .14 .- - - - - - - 15 S Nguyen lx dang ct va ludc ring dons .21 ChUong II CAC D&NG TACH DUQC 23 B Câc dang tâch dugc vâ câc hUdng cUc dli cua chung 23 4 Câc tinh chât cua câc dang tâch dudc 42 B Mot so ldp dung tâch JUdc dâc biét 54 Chuong III CAC DAflG CO TACH OUQC TIN DA TAP59 S Cac dona cñ teach dune tren da tap co Z-dang d6ng .59 $ Cac dang cfi Each duoc Wren da trap con4sace 84 S Cac dang Each disc Wren £—‹:1a cap 69 9 Câc dang cd tâch J0Oc tren da top hau tich 73 ^’ ‘ KET LUAN - - - - - .T6 TAI LIEU THAM KHAO 77 MO OAU Bâi toân Plat% co dién d0Oc phât trién tU câc thi nghiem bang bong bñng xa phsng cua Jo aeph P l arseau ( 1801— 1883 ) vao th% ky trudc: ” tim khong gian Euclide ba chieu câc mât cé dien tich cUc tiéu vdi bién lâ âUbng cong da cho ” 2U0c Dou8lass giai quyét (8J nâm 1939 Mot thdi gian dâi sau, cđng vdi eU phât trién cua tôn hoc hien dai, nhieu tâc gia da md rong bâi toân nây cho câc mien kha tich k-chieu khong gian n-chieu Vâo nh0ng nâm sâu mum H.Ferderer,W.H.Fleming,E.De câc két qua cua Giorgi,E.R.Reifenberg (xem [26]) da thu hut ngây câng nhieu nazi quan tâm tdi bâi toân nây vâ khao sât no lop • mét cc fang to pc t o ng quat hOn Nh6 lr thuyét dong De Rham, Federer vâ Fleming (12] da khao sât bâi toân Plato nhieu chieu ldp câc dong nguyén vâ dong chuân, lâ mâ1, Wrong dé câc doi tu0ng hinh hoc nh0 th% tich Oc xét tUong ung bdi câc doi tuQn8 giai tich:diém (dong), chub (khoi lu0ng) Câch ti%p cân nhu vay cho phép chung ta aU dung mot câch cé hiéu qua cong cu giai tich nén 2udc nhieu tâc 8ia Juan tâm Mot vân de guan trons dU0c dat lâ: d i vUi me t da tip Riemann da cho , Um the nao de xac d;inh d0oc nh0ng nan ( dñng ) , ', ' xcnieu co tne tich (khoi lUong) nho nhat lip cac me t, - dong co cung bién hoâc cung ldp dong dieu? Mot phuong phâp huu hieu dé giai quyét vân 8% nây goi lâ phfldng phap dung cO, co thé mo ta dOn gian nhu sau Gia sU cé met k- done vi phân déng tren 8a top # thoa man dieu kien *(*)11 (0.1 ) vai moi k-véc tO 2On dOn vi E Héu mot k-mat S cé tinh chât (0.2) vdi hau khâp xfs; a dây S» lâ k-véc td dOn dOn vi cua khong gian tiép xñ Lai x cua S, the nhd conB thuc Stockes de dâng #iém tra dfloc rang: (o.a) vola(S) ? vole(S’) car e oi met k-chieu S“ d'Sng luân vfi i S Dang vi phân dong n nhu tren dune ao1 la dang cd Tho0t tién, câc dung ca 2ugc sU dung riéng re dé xâc Minh câc met cfc ti%u tu0ng find Chan8 hon, Wirtinger (xem fllJ) da xét 2k-dong trén khong gian phoc C n ( dz x I dz x + + dzr› dzr ) vâ chung minh bât hang thHc noi tieng: n(t) ‹ k! v6i m , 2k-véc tO 8On vi t cua kh8ng gian 2k-chieu S tronB C , dang thUc xay vâ chi S lâ khong gian phuc Nh8 bât dane thuc nây H.Federer [llJ da ding ddnq CO Kahler O Mahler y vdi 2-dang cd ban %u toén cuc cua 2a UP w’ trén $a the de chung minh Minh cfc ti phUc tron8 câc âa tip Kahler Thong t0, M.Berger (1] da md ring bât dang thUc Wirtinger cho khong 8ian quaternion vâ chug minh t1nh cfc tiéu toân ccc cua câc da top quaternion câc da tap quaternion Kahler 0éo Trong Thi (2T,28,293 lân Bau tién trinh béy phUdng phâp ding cO tong quât trén mot da tap Riemann y vâ dñng no dé khao sât câc dong , mât ccc tiéu trén mot so ldp câc nhém Li va cac khfing gian doi xiing Harvey va Lawaon (16 ; 1982 â da dia vao act dung tliu3€ ngu ”dung c0” (calibration) vâ phât trién mOt câch co he thong phUong phâp nây Oac biet câc tâc gia dâ xâc Minh doi khoi lu0ng cua mot ao c8 véc tO cé dang Mac biut vâ xét dang co , zn tren Lagrangian Cac ring dung khac cua phDdng phap dang efi co Che Els thây câc cong trinh cua Dadok-Harvey-Horgan LSJ, L6 Hong Vân £32J,G1uc-Mackenzie-Morgan 514a Tasaki L24J va nhieu téc gia khâc Theo ph0onn phap , van de day nhu sau: 1) Vdi moi da tip Riemann N 2a cho, xâc Minh trsn no câc - dang vi phan dong ( dang cfi ) n 2) Xâc dinh doi khoi l0Ong cua n vâ phân khoi G(n) Cac véc td dOn dOn vi mâ O dat 8iâ tri ccc dli (huona n-cfc dli) 3) Xâc dinh câc dong vâ mat ccc tiéu nho tich phân phân phoi da b iet Trong khé khân chinh lâ xâc dinh doi khoi lu0ng cua d¥n8 0é tinh doi khoi luong MnM’ cua k-dane n R thUc chât ta phai giai bâi toân ccc try aau (0.4) MaxF(c): F(c)-n(eg fiex); ei= Z ci.ufu;{f»lu=i la cd , sO tr0c ' = chu a n cua R ; c: (ci :i‹k, o(n) Voi n(n+1)/2 dieu kien n (0.5) Z ci .c o , i;J?k Bâi toân nây cé hâm mcc tiéu (0.4) lâ da thuc bQc k cua ci.u voi dieu kien buoc (0.5) bâc hai nén néi chung khona giai dung do9c Mac dich cua cñung toi lâ tim cacñ mo r n8 lip k-c% véc tO R ma ta co thé xâc dinh 2fl0c €3p cac hucing cfc dat cua chung Sau d inh cfi ( Theo phudng phap dang cS ) doi khoi ludn8 vâ dfi ap dung vao h inh h‹f e de nghien edu cac dsng va mat cfc tiéu trén cac da tip Trong luan ân nay, chung toi xét câc k-dang cé bieu dien O : Or ( 6) k d a y eg la q—c S vec €o + e don dari v* apan ni vâ span nz chua V Oz; cua V ( d iaiV q * 2), (vé sau ta se 8oi lâ dang trén V ) Ap dung mot bo de cua Harvey-Lawson(16J v% biéu dien chinh tâc cua mot k-véc td 4On 80n vi doi voi khona gian V CR ch6ng toi nh§n du0c két qua sau Dinh ly 3.2 Gia R’: V W (dimV q ? 2) la mot thin tich truc giao cua R’ vâ O lâ k-dang cé biéu dien (0.6) thi céc dJnh can dung: a) b ) Neu c ) lieu Ilnall > llnsll th1 o(n ) G(n ) e) Néu M°iM’ MOzM’ va q-2 thi G(n) G(°i)U(ev G(nz)lUA(#) Trong dé e lâ met véc tO don don vi cua V vâ A(n) xâc d'nh nhu sau: A(n):((coe8ei + sin88i)A(cos0ez + sin88z) A t1;t£G(nz) vâ gi A gz A E £ G(°i): o