Dạng cỡ tách được và các dòng cực tiểu toàn cục

MUC LUC MO DAU ChUòng I PHUONG PHAP DANG CO 14 § Càc dang va dịng 15 § Nguyèn ly dang ed va lUOc ùng dung 21 ChMóng II CÀC DANG TACH DUOC 23 § Càc dang tàch dUcSc va càc hilóng cUc dai cùa chùng 23 § 4- Càc tinh chat cùa càc dang tàch dudc 42 § Mot so lóp dang tàch diiOc dàc bièt 54 Chiiòng III CAC DANG CO TACH DUOC TREN DA TAP 59 § Càc dang ed tàch dude trèn da tap 2-dang dóng., 59 § Càc dang ed tàch dudc trèn da tap contact 64 § Càc dang co tàch dudc trèn f-da tap 69 § Càc dang ed tàch d-dOc trèn da tap bau tich 73 KET LUAN, ! 76 TAI LIEU THAM KHAO 77 - - MỊ Bài tồn Plato bang bong co dièn dildc bóng xà thè ky trc: DAU phịng cùa '* tim mat dién tich phàt trièn tu càc thi nghiém Joseph Plateau (1801-1883) vào khóng gian Euclide cUe tièu vói bién diiịng ba chiéu càc cong da cho diidc Douglass giài quyèt [8] nàm 1939 Mot thòi giaui dai sau, hoc hièn dai, mién kha nàm sàu nhieu tao già dà md rong toàn cho càc tich k-chiéu mUdi vói sU phàt trièn cua tồn càc khóng kèt qua gian n-chiéu, Vào nhUng cùa H.Ferderer,W.H.Fleming,E,De Giorgi,E.R-Reifenberg.-.(xem [26]) dà thu hùt ngày nhiéu ngi quan tàm tói tồn va khào sàt no lóp mat co dang tó pị tịng qt hdn Nhị ly thut dịng De Rham, Federer va Fleming [12] dà khào sàt tồn Plato nhiéu dịng chn, chiéu lóp càc dịng nguyèn va dò càc dòi tudng hinh hoc nhu mat, tich d\lOc xét tUdng ùng bdi càc doi tUOng (dòng), chuan (khoi lUdng) chùng ta sU dung giài tichidiém Càch tiep càn nhU vày cho phép mot càch co hiéu qua cóng dUdc nhiéu tàc già quan the cu giài tich nén tàm Mot van de quan dUdc dàt là: doi vói mot da tap Riemann dà cho, làm thè de xàc dinh dUdc nhUng mat (dòng) k-chiéu co the tich (khoi lUdng) nhò nhat lóp càc mat, dịng co bièn hồc lóp dong diéu? Mot phUdng phàp hùu hièu de giài quyet van de gol phUdng phàp dang ed, co the mo tà ddn gian nhU sau Già su mot k-dang vi phàn dịng n trèn da tap W thoà man dièu kièn < o{t) (0.1) vói moi k-véc td ddn ddn vi t , Nèu mot k-mat S eó tinh chat (0.2) n(Sx)=l d day Sx k-vée td ddn ddn vi cùa khóng vói bau khap x^S; gian tièp xuc tai x cùa S, thi nhị cóng thùc Stockes de dàng kièm tra dUdc ràng: (0-3) volk(S) ^ volic(S') vói moi mat k-chiéu S' dong luàn vói S Dang vi phàn dóng o nhu trèn dude goi dang e3 • Thoat tièn, dinh càc mat eUc càc dang ed tièu tUdng dudc su dung rièng re ùng Chàng han, de xàc Wirtinger (xem [11]) dà xét 2k-dang trèn khóng gian phùc C Q = (dzi A dzi + + dzn A dzn) va chùng minh bàt dàng thùc noi tièng: ^{^) ^ k! vói moi - - 2k-véc td ddn vi t cùa khóng gian 2k-chièu S C , dàng thùc xày va ehi S khóng gian phùe Nhị bàt dàng Kahler = » thùc H.Federer [11] dà dùng dang ed trèn da tap Kahler y vói 2-dang ed bàn w de chùng minh tinh cUc tièu toàn cuc cùa da tap phùe càc da tap Kahler TUdng tU, M.Berger [1] dà md rong bàt dàng thùc Wirtinger cho khóng gian quaternion va chùng cUc tièu toàn cuc cua ckc da tap minh tinh quaternion eàc da tap quaternion Kahler Dào Trong Thi [27,28,29] lan dau tièn trình bay phUdng phàp dang ed tịng quàt trèn mot da tap Riemann y va dùng nò de khao sàt càc dòng , màt cUc tièu trèn mot so lóp ềc nhóm Li va càc khóng gian dòi xùng Harvey va Lawson [16;1982] dà dua vào su dung thuàt ngU "dang Cd" (calibration) phUdng phàp lUdng cùa mot va phàt trièn Dàc biét càc tàc so co vée td mot càch eó he thong già dà xàc dinh doi khoi eó dang d^c bièt va xét dang ed Lagrangian tren R • Càc ùng dung thày ềc cóng khàc cùa phUdng phàp dang ed the tim trình cùa Dadok-Harvey-Morgan [5], Le Hong Vàn [32],Gluc-Mackenzie-Morgan [14] Tasaki [24] va nhiéu tàc già khàc Theo phUdng phàp này, van de dàt nhu sau; 1) Vói moi da tap Riemann M da cho, xàc dinh trèn nị càc - dang vi phàn dóng (dang ed) fl 2) Xàc dinh doi khoi lUOng cùa n va phàn phoi G{^) càc véc td ddn ddn vi ma Q dat già tri cue dai (huóng Q-c^c dai)3) Xàc dinh ềc dịng va màt cUc tieu nhị tich phàn phàn phịi dà bièt- Trong dị khó khan chinh xàc dinh dòi khoi lUOng cùa dang Cd Q va tàp càc huóng cUe dai cùa no De tinh dịi khoi lUdng linil cua k-dang « R thuc chat ta phài giài toàn cUe tri sau n/ (0.4) ru MaxF(e); F(c )=o (eiA Aeic) ; ei= Z ci, jf j ; {f j }o = i ed sd trUc chuàn cùa R ; e = (ci,j:i$k, ị$n) Vói n(n4-l)/2 diéu kièn n (0.5) • ci.t.c-G.j = Oj , i;j$k t=l Bài toàn co hàm muc tièu (0.4) vói diéu kien bc (0.5) bàc hai nén da thùc bàc k cùa ci.j nói chung khóng giài dùng duoe Muc dlch cua chùng tói tim càch md rgng lóp k-cị véc - td R ma ta eó thè' xàc dinh duoe tàp ềc hng eUe dai cùa chùng Sau dinh Cd (theo phUdng phàp dang ed) de doi khoi lUOng va dị àp dung vào hinh hoc nghién éu ckc dịng va màt eUe tièu trèn ềc da tap Trong ln àn này, chùng tói xét ềc k-dang co bièu dien (0.6) d day e ^ n = ni + e* A " ; q-có vée td span ni va span ddn ddn vi cùa V (dimV = q ? ) , X 02 ehùa V (ve sau ta sé goi dang i trèn V ) Ap dung mot bó de cùa Harvey-Lawson[16] ve biéu dien chinh tàc cua mot k-vée td ddn ddn vi dịi vói khóng gian V CR chùng tói nhàn dUdc kèt qua sau Dinh ly 3.2 Già tich trUc giao cùa R su R'* = V @ W (dimV = q ? 2) mot phàn va o k-dang eó biéu dien (0.6) thi càc khàng* dinh sau dùng: a) llfill* = max (llOiir,lln2ll*) b ) Neu IlOiII*' > IlOsir t h i G(o) = G ( O i ) e ) Nèu llQiil* < 110211* t h i G(o) = {ev A G ( Q ) } - d) Neu iinill = !lf22ll - v a q^ t h i G(n) = G ( n i ) U { e v A G ( n ) } e ) Neu llnili* = IlOall* v a q=2 t h i G(o) = G(Oi)U{ev A G(n2)}UA(fi) Trong dò ev mot véc td don ddn vi cùa V va A(fl ) xàc dinh \ nhu sau: A(0 )=:{(coseei + sinegi)A(eosee2 + sineg2) A t};Z^G{Qiz) gx A g2 A e € G(Oi); o IMuHMiuaAbKbie nobetvxHocTu % Kc^MnakTHbiv ipyhntax Au , Y IMH J9TS ,T 33 , 1V3> L2>0l Dao MoHzTxw MHoicMef Ha^ ^ajQ^a [òi] b a p u a L^UOHH a^ & cuMMeipuiecKux npoci[3aHcT^a)^ , 9uHk;4 B A J ) L J '5'bol)UH C n H o ^ U K o t , A T QotM£HKO, [ i ] /^£ XoH2 Ban, OjHOpOjHbU NuHM waAbHbU no^«p.XHocTu -S n p o c T p Q H C T ^ a x , U^^ / Ì H CCCP, fUaT^Wq [33] A n LUu poKO^, CTptjkTijpbi Hq ^ucpcpepeH^u pi^ciMbix MHo2oo5'toa^u;«)c , AAre ^po , TonoA6ru/i, Heo- tueTipu;\ , U-Tbrw HayKW B U H | / f T l / l , Mocx^a , i j e7,-\x ^ J)AH A.T 9oMeHKO, MuHUMaAkHbK Pu Mano-obi x MVHbzoo^'pa^u^ix , CCCP ^917 , T Z23, Ni , i]^pa [mi J)ao MoMi Txu y MuHUMaAÒHbix -èeu^ecTtìeHHbix noTO K a x HQ KOMnaKTMblx PuMQHcSblX iMHOOiSba^U/ìX, U^^ AH CCCP, NoT^MaTMK^, 1977, A-i ,^/ii,§53-§G? u s i X)(\o MoHZ T x u , lMuHWMaAl>Kbie no&epHOCTU ^ KoiunakTHbix ipynnax Au , Y IMH -iS'T? ,T 33 ^ fV3, [Jol «JOQO HoHi IxM MHoiofuafHa^ bapuat^uoHH^^ ^a^Qia & cuMMeipUiecKux npQCT[DaHcTl>aA > [3-!] ^UHIC^ B A J)lj Tpo^UH , C n , Hc^UKO^ A T ^OtM^MKÒ, a u\-ot)per\^eHH a>^ zeoruCTpu^, rMoc