GIÁO TRÌNH phuong phap toi uu full

Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Tài liệu tham khảo Nguyễn Đức Nghĩa Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính rời rạc) NXB Giáo dục 1999 Bùi Minh Trí Quy hoạch tốn học NXB Khoa học kỹ thuật 1999 Bùi Minh Trí Tối ưu hóa.Tập 1,2 NXB Khoa học kỹ thuật 2005 Bùi Minh Trí Bài tập tối ưu hóa NXB Khoa học kỹ thuật 2005 Phí Mạnh Ban Quy hoạch tuyến tính NXB Đại học sƣ phạm 2005 Phí Mạnh Ban Bài tập quy hoạch tuyến tính NXB Đại học sƣ phạm 2004 Trần Vũ Thiệu Giáo trình Tối ưu tuyến tính NXB ĐHQG Hà Nội 2004 Phạm Trí Cao Tối ƣu hóa ĐH Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh 2005 Phạm Trí Cao Bài tập tối ƣu hóa ĐH Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh 2005 10 PGS TS Bùi Thế Tâm Giải toán tối ƣu Excel Phòng tối ƣu điều khiển Viện Tốn học 11 Hồng Tụy Lý thuyết tối ưu (Bài giảng lớp cao học) Viện toán học 2003 12 PGS.TS Nguyễn Nhật lệ Tối ưu hóa ứng dụng NXB Khoa học kỹ thuật 2001 13 Lê Mƣu Dũng Nhập môn phương pháp tối ưu NXB Khoa học kỹ thuật 1998 14 Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nƣơng Quy Hoạch Tuyến Tính Nhà xuất Giáo Dục 15 Đặng Văn Uyên Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục 1998 Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Mục lục Chƣơng Mơ hình tốn tối ƣu PHÂN LỚP BÀI TOÁN 1.1 Nghiên cứu ban đầu 1.2 Phân lớp toán 1.3 Phân lớp toán theo độ phức tạp thuật toán 1.3.1 Lớp toán P, NP 1.3.2 Lớp toán NP- Hard, NP- Complete 1.3.2.1 Các khái niệm 1.3.2.2 Bài toán NP- Hard 1.3.2.3 Bài toán NP- Complete GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN TỐI ƢU 2.1 Xây dựng mơ hình tốn học cho số vấn đề thực tế 2.2 Một số mơ hình thực tế 2.2.1 Bài toán vốn đầu tƣ 2.2.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 10 2.2.3 Bài toán vận tải 12 2.2.4 Bài toán cắt vật liệu 14 BÀI TOÁN TỐI ƢU DẠNG CHUẨN TẮC, DẠNG CHÍNH TẮC 15 3.1 Bài toán tối ƣu dạng tổng quát 15 3.1.1 Dạng tổng quát 15 3.1.2 Phân loại toán tối ƣu 16 3.2 Bài tốn tối ƣu dạng tắc chuẩn tắc 16 3.2.1 Bài tốn tối ƣu dạng tắc 16 3.2.2 Bài toán tối ƣu dạng chuẩn tắc 17 2.3.3 Biến đổi toán tối ƣu tổng quát dạng tắc chuẩn tắc 17 Bài tập chƣơng 20 Chƣơng Tập phƣơng án toán tối ƣu 22 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA 22 PHƢƠNG ÁN CƠ SỞ CHẤP NHẬN ĐƢỢC 23 2.1 Định nghĩa 23 2.2 Sự tồn phƣơng án sở chấp nhận đƣợc 24 2.3 Tiêu chuẩn tối ƣu 24 3.KHÁI NIỆM LỒI VÀ CÁC TÍNH CHẤT .24 3.1 Tổ hợp lồi 24 3.2 Tập hợp lồi 25 Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu 3.3 Ðiểm cực biên tập hợp lồi 25 3.4 Ða diện lồi tập lồi đa diện 26 3.4.1 Đa diện lồi 26 3.4.2 Siêu phẳng - Nửa không gian 26 3.4.3 Tập lồi đa diện 26 ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP PHƢƠNG ÁN 27 PHƢƠNG PHÁP HÌNH HỌC 28 5.1 Nội dung phƣơng pháp 28 5.2 Ví dụ 29 Bài tập chƣơng 32 Chƣơng Phƣơng pháp đơn hình 33 ĐƢỜNG LỐI CHUNG VÀ CƠ SỞ CỦA PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 33 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH DẠNG BẢNG .33 2.1 Bảng đơn hình 35 2.2 Ví dụ 36 TÍNH HỮU HẠN CỦA THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH 43 3.1 Tính hữu hạn thuật tốn đơn hình 43 3.2 Hiện tƣợng xoay vòng 44 3.3 Các biện pháp chống xoay vòng 45 3.3.1 Phƣơng pháp từ vựng 46 3.3.2 Qui tắc Bland 48 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH HAI PHA 48 4.1 Mơ tả thuật tốn 48 4.2 Ví dụ 51 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH HAI PHA CẢI BIÊN .52 5.1 Mơ tả thuật tốn 52 5.2 Ví dụ 53 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH THUẾ (M – PHƢƠNG PHÁP) 54 6.1 Mô tả thuật toán 55 6.2 Ví dụ 56 Chƣơng Lý thuyết đối ngẫu toán tối ƣu đối ngẫu BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 61 QUI TẮC CHUYỂN BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT SANG BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 61 2.1 Qui tắc chuyển đổi 61 2.2 Ví dụ 63 Trang Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu 2.3 Ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu 64 CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU 65 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 69 Chƣơng Bài toán vận tải 73 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN, SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM TỐI ƢU .73 1.1 Phát biểu toán 73 1.2 Sự tồn nghiệm tối ƣu 74 TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT PHƢƠNG ÁN CỰC BIÊN 75 2.1 Bảng vận tải 75 2.2 Các định nghĩa định lý 75 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM PHƢƠNG ÁN XUẤT PHÁT .76 3.1 Phƣơng pháp góc Tây Bắc 76 3.2 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí 77 3.2.1 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo dịng 77 3.2.2 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo cột 77 3.2.3 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí tồn bảng 78 3.3 Phƣơng pháp Fôghen 78 3.4 Phƣơng pháp Larson R.E 81 TIÊU CHUẨN TỐI ƢU VÀ THUẬT TOÁN THẾ VỊ 81 4.1 Tiêu chuẩn tối ƣu 81 4.2 Thuật toán vị 81 TRƢỜNG HỢP KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT .84 m 5.1 Tổng lƣợng phát lớn tổng lƣợng thu: n a  b i1 i j1 m 5.2 Tổng lƣợng phát nhỏ tổng lƣợng thu: n a  b i1 84 j i j1 j 84 MỘT SỐ VÍ DỤ 85 Chƣơng Giải tốn tối ƣu máy tính GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƢU 86 GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI 89 Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Chương Mơ hình tốn tối ưu PHÂN LỚP BÀI TỐN 1.1 Nghiên cứu ban đầu * Biểu diễn tốn: Input: Thơng tin đầu vào Output: Kết đầu 1.2 Phân lớp toán Tại phải phân lớp toán? Để liệu sức ! Lợi ích việc phân lớp ? Bài tốn chƣa có lời giải Các Bài tốn Bài tốn khơng giải đƣợc Bài tốn có lời giải Bài toán giải đƣợc Bài toán “dễ“ giải Bài tốn “khó” giải Bài tốn chia thành loại:  Bài tốn có lời giải:  Bài tốn chƣa có lời giải (Open Problem) Bài tốn có lời giải đƣợc chia thành loại  Bài toán khơng thể giải đƣợc  Bài tốn giải đƣợc Bài tốn giải đƣợc chia thành loại  Bài toán thực tế giải đƣợc: BT trị đƣợc, BT “dễ” (Easy)  Bài tốn thực tế khó giải đƣợc: BT bất trị đƣợc (Interactability), BT “khó” (Hard) Bài tốn thực tế khó giải đƣợc: loại  Bài tốn thực tế khó giải: “Khó vừa phải” (Binary Hard) Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng  Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Bài tốn thực tế khó giải: “Rất khó” (Unary Hard)  Chú ý: Cần phân biệt “không thể giải” “khó giải” (“bất trị”) 1.3 Phân lớp tốn theo độ phức tạp thuật toán 1.3.1 Lớp toán P, NP 1) Với tốn, có hai khả xảy ra: Đã có lời giải Chƣa có lời giải 2) Với tốn có lời giải, có hai trƣờng hợp xảy ra: - Giải đƣợc thuật tốn - Khơng giải đƣợc thuật tốn 3) Với toán giải đƣợc thuật toán chia thành hai loại: + Thực tế giải đƣợc: “Dễ giải” Đƣợc hiểu thuật toán đƣợc xử lý thời gian đủ nhanh, thực tế cho phép, thuật tốn có độ phức tạp thời gian đa thức + Thực tế khó giải: “Khó giải” Đƣợc hiểu thuật tốn phải xử lý nhiều thời gian, thực tế khó chấp nhận, thuật tốn có độ phức tạp thời gian đa thức (hàm mũ) P : lớp toán giải đƣợc thuật toán đơn định, đa thức (Polynomial) NP : lớp toán giải đƣợc thuật tốn khơng đơn định, đa thức  P  NP  Chú ý: Hiện ngƣời ta chƣa biết P ≠ NP 1.3.2 Lớp toán NP- Hard, NP- Complete 1.3.2.1 Các khái niệm a Khái niệm "Dẫn được" Bài toán B đƣợc gọi "Dẫn được” toán A cách đa thức, ký hiệu: B  A Nếu có thuật tốn đơn định đa thức để giải tốn A  có thuật tốn đơn định đa thức để giải tốn B Nghĩa là: Bài tốn A "khó hơn" toán B, hay B "dễ” A - B đƣợc diễn đạt ngơn ngữ tốn A (Tức là: B trƣờng hợp riêng A) - Giải đƣợc A  Giải đƣợc B  Chú ý: Quan hệ  có tính chất bắc cầu, tl: C  B B  A  C  A b Khái niệm "Khó tương đương" Bài tốn A gọi “khó tƣơng đƣơng” tốn B, ký hiệu A ~ B, : A  B B  A Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu 1.3.2.2 Bài toán NP- Hard * Bài toán A đƣợc gọi NP - hard (NP- khó)  L  NP L  A * Lớp toán NP - hard bao gồm tất toán NP - hard Bài tốn NP – hard nằm ngồi lớp NP 1.3.2.3 Bài tốn NP- Complete a Khái niệm Bài toán NP- Complete * Bài toán A đƣợc gọi NP - Complete (NP- đầy đủ) A NP – Hard A NP Tóm lại: Bài toán NP – Complete toán NP - hard nằm lớp NP * Lớp toán NP - Complete bao gồm tất toán NP - Complete Lớp NP – Complete có thực, Cook Karp BT thuộc lớp Đó tốn “thỏa đƣợc”: SATISFYABILITY b Chứng minh toán NP – Hard Cách 1: Theo định nghĩa * Bài toán A đƣợc gọi NP - hard (NP- khó)  L  NP L  A + Chứng minh theo định nghĩa gặp nhiều khó khăn phải chứng minh: Mọi toán NP “dễ hơn” A + Theo cách 1, năm 1971 Cook Karp BT thuộc lớp NP - hard Đó toán “thoả đƣợc” (Satisfyability) Cách + Để chứng minh toán A NP – hard, thực tế ngƣời ta thƣờng dựa vào toán B đƣợc biết NP - Hard chứng minh B  A Theo tính chất bắc cầu quan hệ “dẫn về”, A thoả mãn định nghĩa NP – hard Theo cách hiểu trực quan: B “khó” A “khó” GIỚI THIỆU VỀ BÀI TỐN TỐI ƢU Bài tốn tối ƣu bắt nguồn từ nghiên cứu nhà toán học Nga tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V loạt công trình tốn lập kế hoạch sản xuất đƣợc cơng bố năm 1938 Năm 1947 nhà tốn học Mỹ Dantzig nghiên cứu đề xuất phƣơng pháp đơn hình (Simplex Method) để giải tốn tối ƣu tuyến tính Năm 1952 phƣơng pháp đơn hình đƣợc cài đặt chạy máy tính điện tử Mỹ Có thể tạm định nghĩa tối ƣu hóa lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ƣu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phƣơng trình bất phƣơng trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, tốn quy hoạch tuyến tính đƣợc xác định rõ ràng thơng qua mơ hình ví dụ Trang Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu 2.1 Xây dựng mơ hình tốn học cho số vấn đề thực tế Các bƣớc nghiên cứu ứng dụng tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) điển hình nhƣ sau: Bƣớc 1: Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu Xây dựng mơ hình định tính cho vấn đề đặt ra, tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập qui luật mà chúng phải tuân theo Thông thƣờng bƣớc nằm ngồi phạm vi tốn học Bƣớc 2: Lập mơ hình tốn học Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dƣới dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính Nhƣ vậy, mơ hình tốn học trừu tƣợng hóa dƣới dạng ngơn ngữ tốn học tƣợng thực tế, cần phải đƣợc xây dựng cho việc phân tích cho phép ta hiểu đƣợc chất tƣợng Mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ biến số tham số điều khiển tƣợng Trong bƣớc này, việc quan trọng cần phải xác định hàm mục tiêu, tức đặc trƣng số mà giá trị lớn (càng nhỏ) tƣơng ứng với tình tốt ngƣời cần nhận định Bƣớc thứ bắt đầu đòi hỏi kiến thức toán học định Nhƣ vậy, sau hai bƣớc đầu ta phát biểu đƣợc toán cần giải Bƣớc 3: Xây dựng thuật toán để giải tốn mơ hình hố ngơn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính Các thuật tốn tối ƣu hóa cơng cụ đắc lực để giải tốn đặt Cần nhấn mạnh rằng, thông thƣờng tốn thực tế có kích thƣớc lớn, thế, để giải chúng cần phải sử dụng đến máy tính điện tử Bƣớc 4: Tính tốn thử điều chỉnh mơ hình cần Trong bƣớc cần kiểm chứng lại kết tính tốn thu đƣợc bƣớc Trong bƣớc cần phải xác lập mức độ phù hợp mơ hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà mơ tả Để thực bƣớc này, làm thực nghiệm áp dụng phƣơng pháp phân tích chun gia Ở có khả năng: Khả 1: Các kết tính tốn phù hợp với thực tế Khi áp dụng vào việc giải vấn đề thực tế đặt Trong trƣờng hợp mơ hình cần đƣợc sử dụng nhiều lần, xuất vấn đề xây dựng hệ thống phần mềm đảm bảo giao diện thuận tiện ngƣời sử dụng máy tính, khơng địi hỏi ngƣời sử dụng phải có trình độ chun mơn cao tốn học Khả 2: Các kết tính tốn không phù hợp với thực tế Trong trƣờng hợp cần phải xem xét nguyên nhân Nguyên nhân kết tính tốn Trang Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu bƣớc chƣa có đủ độ xác cần thiết Khi cần phải xem lại thuật tốn nhƣ chƣơng trình tính tốn bƣớc Một ngun nhân khác mơ hình xây dựng chƣa phản ảnh đƣợc đầy đủ tƣợng thực tế Nếu cần phải rà soát lại bƣớc 1, việc xây dựng mơ hình định tính có yếu tố quy luật bị bỏ sót khơng? Cuối cần phải xem xét xây dựng lại mơ hình tốn học bƣớc Nhƣ vậy, trƣờng hợp kết tính tốn khơng phù hợp với thực tế cần phải quay lại kiểm tra tất bƣớc thực trƣớc đó, phải lặp lặp lại nhiều lần kết tính tốn phù hợp với thực tế Bƣớc 5: Áp dụng giải toán thực tế 2.2 Một số mơ hình thực tế Mơ hình hóa lính vực nghiên cứu lí thuyết riêng, đòi hỏi trƣớc tiên hiểu biết kiến thức lĩnh vực đối tƣợng cần mô Trong mục ta xét vài mơ hình truyền thống tối ƣu hóa để minh họa cho việc xây dựng mơ hình tốn học cho tốn có nội dung kinh tế, kỹ thuật 2.2.1 Bài tốn vốn đầu tƣ Ngƣời ta cần có lƣợng (tối thiểu) chất dinh dƣỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử :  a số lƣợng chất dinh dƣỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j ij (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n)  b nhu cầu tối thiểu loại dinh dƣỡng i i  c giá mua đơn vị thức ăn loại j j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn nhƣ để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng đƣợc yêu cầu dinh dƣỡng Vấn đề đƣợc giải theo mơ hình sau đây:  Gọi x ≥ (j= 1,2, ,n) số lƣợng thức ăn thứ j cần mua j Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là: Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần đƣợc thỏa mãn là: Lƣợng dinh dƣỡng i thu đƣợc từ thức ăn : a x (i=1→m) i1 Trang Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Lƣợng dinh dƣỡng i thu đƣợc từ thức ăn : a x i2 Lƣợng dinh dƣỡng i thu đƣợc từ thức ăn n : a x in n Vậy lƣợng dinh dƣỡng thứ i thu đƣợc từ loại thức ăn là: a x +a x + +a x i1 i2 in n (i=1→m) Khi theo u cầu tốn ta có mơ hình tốn sau đây: 2.2.2 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất 2.2.2.1 Ví dụ Một sở sản xuất dự định sản xuất loại sản phẩm A B Các sản phẩm đƣợc chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III Số lƣợng đơn vị dự trữ loại nguyên liệu số lƣợng đơn vị loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm loại đƣợc cho bảng dƣới đây: Loại nguyên liệu Nguyên liệu dự trữ I II III 18 30 25 Số lƣợng đơn vị nguyên liệu cần cùngcho việc sản xuất đơn vị sản phẩm A B Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức tính xem cần sản xuất đơn vị sản phẩm loại để tiền lãi thu đƣợc lớn nhất, biết bán đơn vị sản phẩm A thu lãi trăm nghìn đồng, bán đơn vị sản phẩm B thi lãi trăm nghìn đồng Ta xây dựng mơ hình tốn học cho toán trên: Gọi x y theo thứ tự số lƣợng đơn vị sản phầm A B cần sản xuất theo kế hoạch Khi tiền lãi thu đƣợc là: z = 3x + 2y Do nguyên liệu dự trữ có hạn nên x y phải chịu ràng buộc đó, cụ thể là: 2x  3y  18 (ràng buộc nguyên liệu I) Trang 10 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng bj Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu 30 60 30 50 46 25 20 40 70 12 30 16 41 25 Giá trị hàm mục tiêu thu đƣợc là: f(X) = 4*30 + 7*20 + 9*40 + 6*30 + 1*25 = 969 3.2 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí Trong phƣơng pháp góc Tây bắc, tiến hành phân phối lƣợng hàng vận chuyển ta chọn góc Tây bắc mà khơng ý đến cƣớc phí vận chuyển Vì vậy, đề xuất phƣơng pháp khác có ý đến cƣớc phí vận chuyển với hy vọng tìm đƣợc phƣơng án với chi phí vận chuyển nhỏ Các phƣơng pháp dựa ý tƣởng gọi phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí 3.2.1 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo dịng Q trình phân phối đƣợc thực giống nhƣ phƣơng pháp góc tây bắc, khác ô đƣợc chọn để phân phối góc tây bắc mà có cƣớc phí nhỏ dịng bảng Ví dụ 2: Xây dựng phƣơng án cho tốn vận tải theo phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo dòng với số liệu cho bảng sau: bj 30 50 60 30 41 25 20 70 46 12 45 40 25 1 Giá trị hàm mục tiêu thu đƣợc là: f(X) = 4*30 + 7*20 + 1*25 + 6*45 + 9*1+ 2*40 = 644 3.2.2 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo cột Q trình phân phối đƣợc thực giống nhƣ phƣơng pháp góc tây bắc, khác ô đƣợc chọn để phân phối góc tây bắc mà có cƣớc phí nhỏ cột bảng Trang 77 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Ví dụ 3: Xây dựng phƣơng án cho toán vận tải theo phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí theo dịng với số liệu cho bảng (nhƣ ví dụ 2) Tiến hành làm tƣơng tự Giá trị hàm mục tiêu thu đƣợc là: f(X) = 4*30 + 2*41 + 7*19 + 6*46 + 1*24+ 7*1 = 642 bj 30 60 30 50 46 25 19 12 46 70 24 9 41 41 3.2.3 Phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí tồn bảng Q trình phân phối biến đổi bảng tƣơng tự phƣơng pháp trên, khác ô đƣợc chọn để phân phối có cƣớc phí nhỏ tồn bảng Ví dụ 4: Xây dựng phƣơng án cho toán vận tải theo phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí tồn bảng với số liệu cho bảng sau: bj 30 50 60 30 19 70 41 46 25 12 45 25 9 41 Giá trị hàm mục tiêu thu đƣợc là: f(X) = 1*25 + 2*41 + 4*30 + 6*45 + 7*19+ 1*12 = 652 3.3 Phƣơng pháp Fôghen Phƣơng pháp cho phƣơng án cực biên tốt theo nghĩa gần với phƣơng án tối ƣu giá trị hàm mục tiêu cần sau số bƣớc lặp thuật tốn vị tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu   Giả sử C  c ij m*n ma trận cƣớc phí toán vận tải Ta tiến hành nhƣ sau: i) Đối với hàng cột C ta tính hiệu số hai giá trị cƣớc phí nhỏ hàng (cột) Hiệu số biểu thị lƣợng phạt tối thiểu phải chịu ta phân sai lƣợng hàng vào có cƣớc phí nhỏ hàng (cột) Trang 78 Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu ii) Chọn hàng hay cột có hiệu số lớn Nếu có nhiều hàng (cột) nhƣ chọn hàng (cột) số iii) Phân lƣợng hàng tối đa vào có cƣớc phí nhỏ hàng (cột) chọn Giả sử (r, s) Giảm lƣợng cung hàng r lƣợng cầu cột s số lƣợng hàng phân phối Việc thỏa mãn ràng buộc cung hay ràng buộc cầu hai Loại bỏ (khơng cần xét tiếp) ràng buộc thỏa mãn cách đánh dấu chéo vào hàng hau cột tƣơng ứng ma trận cƣớc phí Nếu hai ràng buộc cung, cầu thỏa mãn đồng thời loại bỏ hàng (cột) mà Trong trƣờng hợp lƣợng cung cầu cịn lại hàng (cột) trở thành iv) Lặp lại thao tác lại hàng hay cột Và lƣợng hàng đƣợc xác định nhờ lƣợng hàng phân trƣớc Ví dụ 5: Xây dựng phƣơng án cho toán vận tải theo phƣơng pháp Fôghen với số liệu cho bảng sau: bj 30 50 60 30 46 25 19 12 46 24 70 9 41 41 Lập bảng bj 30 60 46 25 Hiệu số 50 12 70 41 1 Hiệu số Phân lƣợng hàng tối đa cho có cƣớc phí nhỏ cột Min {7, 9, 2} = lƣợng hàng Min{41, 60}=41 Loại dòng phân hết hàng Lập bảng bj 30 19 46 25 Hiệu số 50 12 70 Trang 79 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Hiệu số 6 x Phân lƣợng hàng tối đa cho có cƣớc phí nhỏ cột {46, 70} = 46 với chi phí {6, 12} = Loại bỏ cột bj 30 19 25 Hiệu số 50 12 24 9 x Hiệu số x Phân lƣợng hàng tối đa cho ô có cƣớc phí nhỏ cột {24, 25} = 24 với chi phí {1, 7} = Loại bỏ dòng bj 30 19 Hiệu số 50 12 x x Hiệu số x Phân lƣợng hàng tối đa cho có cƣớc phí nhỏ cột {19, 50} = 19 với chi phí Loại bỏ cột bj 30 0 Hiệu số 31 12 x x Hiệu số x x Phân lƣợng hàng tối đa cho có cƣớc phí nhỏ cột {30, 30} = 30 với chi phí Loại bỏ dịng 1, cột bj 30 0 Hiệu số 30 12 x Trang 80 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Hiệu số x x x x Kết quả: f(X) = 2*41 + 6*46 + 1*24 + 7*19 + 7*1 + 4*30 = 642 3.4 Phƣơng pháp Larson R.E Đây phƣơng pháp cải tiến phƣơng pháp Fôghen đƣợc đƣa năm 1972 phức tạp so với tính tốn tay nhƣng tính tốn nhanh chóng máy tính Thay dùng cƣớc phí c ij cho ta dùng cƣớc phí đƣợc chuẩn hóa xác định nhƣ sau: c ij '  c ij  m 1n c  c iq  pj n  m p1 q1 Điều có nghĩa phần tử c ij bị trừ lƣợng trung bình cƣớc phí hàng cột Sau ta áp dụng phƣơng pháp Fôghen ma trận C’ TIÊU CHUẨN TỐI ƢU VÀ THUẬT TOÁN THẾ VỊ 4.1 Tiêu chuẩn tối ƣu Định lý 5.4: Phương án X toán vận tải tối ưu  tồn số u i (i=1 n) v j (j=1 m) cho: 1) u i  v j  cij  i, j  T 2) u i  v j  cij xij  Các số u i (i=1 n) v j (j=1 m) đƣợc gọi vị tƣơng ứng với điểm phát điểm thu 4.2 Thuật toán vị Bƣớc 1: Xác định phƣơng án ban đầu  Kiểm tra điều kiện cân thu phát, không thực biến đổi  Tìm phƣơng án xuất phát theo phƣơng pháp trình bày Bƣớc 2: Tìm vị  Nếu sử dụng G lập thành chu trình ta sử dụng Định lý 5.3 để phá vỡ chu trình, chuyển phƣơng án xuất phát phƣơng án cực biên  Xác định hệ thống vị u i (i=1 n) v j (j=1 m) theo Định lý 5.4 Vì giả   thiết tốn khơng thối hóa nên tập ô sử dụng G  i, j | xij  có m + n -1 ơ, có m + n -1 phƣơng trình: u i  v j  cij với xij  Trang 81 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu v  Để xác định m + n ẩn u i (i=1 n) j (j=1 m), nhƣ có u i vj đƣợc xác định tùy ý m + n -1 ẩn lại xác định từ m + n -1 phƣơng trình Qui tắc:  Đầu tiên cho ui0 = ( i0 thƣờng dịng dịng chứa sử dụng)  Sau xác định v j  cij  ui cho cột cắt dòng i0 số sử dụng  Tiếp xác định ui  cij  v j cho dòng i cắt cột phân rã số ô sử dụng  Với qui tắc xác định tất dịng cột thuộc G Bƣớc 3: Tính ƣớc lƣợng  Với i, j G ta xác định ƣớc lƣợng  ij sau đây:   ij  ui  v j  cij  Nếu ij  0,  i, j phƣơng án có phƣơng án tối ƣu  Nếu ij  với (i,j) phƣơng án có chƣa tối ƣu, ta điều chỉnh để hạ giá trị hàm mục tiêu Bƣớc 4: Điều chỉnh phƣơng án  Giả sử ô vi phạm tiêu chuẩn tối ƣu (i*, j*) tức i*j*  (nếu có nhiều ô vi phạm ta chọn ô ứng với Max { ij  } với hy vọng hàm mục tiêu giảm nhanh nhất)  Ô i*, j *  G ta thêm ô (i*, j*) vào tập G, thảy gồm m + n sử dụng Ơ (i*, j*) lập với G chu trình K  Chia K thành phần K  (tập ô chẵn) K  (tập ô lẻ) Coi ô (i*, j*) ô chẵn, tức i*, j *   K  Bƣớc 5: Chuyển sang phƣơng án    Xác định số   xij | i, j   K   xis js   xij  , nêu i, j   K   xij '   xij  , nêu i, j   K    xij , nêu i,j   K Trang 82 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng  Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu xis js '  xis js     is ,js  bị loại, xi* j*   (i*, j*) trở thành sử dụng  G'  G \ is , js  i*, j *  gồm m+ n – ô sử dụng khơng tạo thành chu trình Quay lại bƣớc Ta xác định hệ thống vị ứng với phƣơng án X’ G’ Tiếp tục trình đến xảy tình ij  0,  i, j nhận đƣợc phƣơng án tối ƣu Nếu tốn khơng thối hóa sau số hữu hạn bƣớc biến đổi có lời giải Chú ý: Nếu số ô sử dụng N < m + n -1 thêm vào (m+n-1) – N ô với xij  cho không tạo thành chu trình Sơ đồ khối Tìm X Tính u i ,v j False ij  0,  i, j  True   i* j*  max ij | ij    xij | i, j  K   xis js  Tìm X’   Xopt Ví dụ 6: Giải tốn vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 180 220 230 270 250 10 15 350 20 19 14 300 18 Trang 83 Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu TRƢỜNG HỢP KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT 5.1 Tổng lƣợng phát lớn tổng lƣợng thu: m n i1 j1    b j Hàng thừa đƣợc thêm vào điểm thu “ảo” thứ n+1 với lƣợng yêu cầu là: m n i1 j1 bn1     b j với cƣớc phí ci,n1  0, i  m Ta có tốn tƣơng ứng là:  c x ij ij m x i1 ij  b j , j 1 n  ij  , i 1 m n 1 x j 1 xij  0, i  m, j  n  a  b i j 5.2 Tổng lƣợng phát nhỏ tổng lƣợng thu: m n i1 j1    b j Hàng thừa đƣợc thêm vào điểm phát “ảo” thứ m+1 với lƣợng hàng bị thiếu là: n m j1 i1 an1   b j   với cƣớc phí cm1,j  0, j  n Ta có toán tƣơng ứng là:  c x ij ij m 1 x i1 ij  b j , j 1 n ij  , i 1 m  n x j 1 xij  0, i  m  1, j  n a  b i j Trang 84 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 7: Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 250 340 300 185 195 200 310 12 14 16 17 13 14 7 13 F = 195*6 + 55*7 + 185*14 + 155*7 + 45*5 + 255*8 = 7495 Ví dụ 8: Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 10 15 25 11 28 10 9 20 10 15 F = 8*6 + 9*3 + 10*1 + 0*11 + 8*4 + 5*25 = 242 Ví dụ 9: Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 15 25 45 20 20 30 15 5 3 4 F= 1*5+4*10+2*20+7*5+3*15+4*30=285 Ví dụ 10: Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 10 25 15 15 20 10 1 4 2 F= 2*5 + 1*5 + 0*10 + 5*15 + 8*5 + 2*10 =150 Ví dụ 11: Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: bj 40 20 35 25 40 20 10 3 8 F=340 Trang 85 Đại học Hải Phịng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Chương Giải toán tối ưu máy tính GIẢI BÀI TỐN TỐI ƢU Xét tốn tối ƣu: Q phép toán quan hệ ≥, ≤, = thứ tự phép toán quan hệ ràng buộc tuỳ ý Nhƣ tốn (1) tốn tối ƣu thơng thƣờng, tối ƣu ngun hay tối ƣu boolean Cách bố trí liệu cho bảng tính: Hàng cuối giá trị ban đầu biến để công thức Excel hoạt động, lấy giá trị tất biến Xét toán: Các bƣớc thực để giải toán: Bước Nhập liệu tốn vào bảng tính dƣới dạng sau: Trang 86 Đại học Hải Phòng Giảng viên: Lê Đắc Nhƣờng Giáo trình Phƣơng pháp tối ƣu Phƣơng án ban đầu X = (1, 1, 1), khơng chấp nhận đƣợc Bước Tính giá trị hàm mục tiêu ô E2 công thức = SUMPRODOCT($B$7:$D$7, B2:D2) Hàm Sumproduct cho tích vơ hƣớng hai dãy Copy cơng thức từ ô E2 sang dãy ô E3:E6 nhằm tính giá trị vế trái bốn ràng buộc toán (1) Bước Dùng lệnh Tools / Solver, xuất hộp thoại Solver Parameters Mục Set Target Cell: chọn đích (chứa giá trị hàm mục tiêu), nháy vào biểu tƣợng Excel bên phải hộp văn để xác định ơ, ví dụ chọn E2 Mục Equal To: chọn Max cực đại hàm mục tiêu, chọn Min cực tiểu hàm mục tiêu, chọn Value of nhập giá trị muốn ô đích giá trị định, ví dụ chọn Min Mục By Changing cells: chọn ô chứa biến tốn, ta chọn khối B7:D7 Nháy nút Add để nhập tất ràng buộc vào khung Subject to the Constraints (dòng đầu khung ứng với ràng buộc khơng âm biến, dịng thứ hai ứng với hai ràng buộc đầu toán, dòng cuối ứng với ràng buộc cuối Khi nháy nút Add, hộp thoại: để chọn loại ràng buộc (>= =