Tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Tr ng Đ i h c Nông nghi p I PGS TS NGUY N H I THANH T i u hóa Giáo trình cho ngành Tin h c Cơng ngh thông tin Nhà xu t b n Bách khoa – Hà N i Mã số: 920 − 2006 / CBX / 01 − 130 / BKHN M CL C M Đ U CH NG I BÀI TOÁN T I U T NG QUÁT VÀ NG D NG BÀI TOÁN T I U T NG QUÁT VÀ PHÂN LO I 1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 1.2 Phân loại toán tối ưu 7 NG D NG BÀI TOÁN T I U GI I QUY T CÁC V N Đ TH C T 2.1 Phương pháp mơ hình hóa tốn học 2.2 Một số ng dụng c a toán tối ưu CH NG II PH NG PHÁP Đ N HÌNH GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH 9 10 MƠ HÌNH QUY HO CH TUY N TÍNH 1.1 Phát biểu mơ hình 1.2 Phương pháp đồ thị 16 16 17 NG PHÁP Đ N HÌNH 2.1 Tìm hiểu quy trình tính tốn 2.2 Khung thuật tốn đơn hình 19 19 23 2 PH C S TOÁN H C C A PH NG PHÁP Đ N HÌNH 3.1 Phát biểu tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 3.2 Cơng th c số gia hàm mục tiêu 3.3 Tiêu chuẩn tối ưu 3.4 Thuật tốn đơn hình cho tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 16 23 23 25 26 27 B SUNG THÊM V PH NG PHÁP Đ N HÌNH 4.1 Đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 4.2 Phương pháp đơn hình m rộng 4.3 Phương pháp đơn hình hai pha 4.4 Phương pháp đơn hình cải biên BÀI T P CH NG II CH NG III BÀI TOÁN Đ I NG U VÀ M T S NG D NG 29 29 31 33 35 41 44 PHÁT BI U BÀI TOÁN Đ I NG U 1.1 Phát biểu toán 1.2 Ý nghĩa c a toán đối ngẫu 1.3 Quy tắc viết tốn đối ngẫu 1.4 Các tính chất ý nghĩa kinh tế c a cặp toán đối ngẫu 44 44 45 46 48 CH NG MINH M T S TÍNH CH T C A C P BÀI TOÁN Đ I NG U 2.1 Định lý đối ngẫu yếu 2.2 Định lý đối ngẫu mạnh 2.3 Định lý độ lệch bù 53 54 54 56 THU T TỐN Đ N HÌNH Đ I NG U 57 3.1 Quy trình tính tốn phát biểu thuật tốn 3.2 Cơ s c a phương pháp đơn hình đối ngẫu BÀI TOÁN V N T I 4.1 Phát biểu tốn vận tải 4.2 Các tính chất c a toán vận tải 4.3 Phương pháp phân phối giải toán vận tải 4.4 Phương pháp vị giải toán vận tải 4.5 Cơ s c a phương pháp phân phối phương pháp vị BÀI T P CH NG III CH NG IV QUY HO CH NGUYÊN PH NG PHÁP C T GOMORY GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUN 1.1 Phát biểu tốn quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2 Minh họa phương pháp Gomory đồ thị 1.3 Giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun bảng 1.4 Khung thuật toán cắt Gomory PH NG PHÁP NHÁNH C N LAND – DOIG GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUN 2.1 Minh họa phương pháp nhánh cận đồ thị 2.2 Nội dung c a phương pháp nhánh cận 2.3 Khung thuật toán nhánh cận Land – Doig GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH NGUN B NG QUY HO CH Đ NG 3.1 Bài toán ngư i du lịch 3.2 Quy trình tính tốn tổng quát 3.3 Áp dụng quy hoạch động giải toán quy hoạch tuyến tính ngun 3.4 Bài tốn túi 3.5 Hợp hóa ràng buộc c a tốn quy hoạch tuyến tính ngun BÀI T P CH NG IV CH NG V M T S PH NG PHÁP QUY HO CH PHI TUY N CÁC KHÁI NI M C B N C A BÀI TOÁN T I U PHI TUY N 1.1 Phát biểu toán tối ưu phi tuyến 1.2 Phân loại toán tối ưu phi tuyến tồn cục 1.3 Bài tốn quy hoạch lồi 1.4 Hàm nhiều biến khả vi cấp cấp hai M T S PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN QUY HO CH PHI TUY N KHÔNG RÀNG BU C 2.1 Phương pháp đư ng dốc 2.2 Phương pháp Newton 2.3 Phương pháp hướng liên hợp THI T L P ĐI U KI N T I U KUHN – TUCKER CHO CÁC BÀI TOÁN QUY HO CH PHI TUY N CÓ RÀNG BU C 3.1 Hàm Lagrange 3.2 Thiết lập điều kiện Kuhn – Tucker M T S PH NG PHÁP GI I QUY HO CH TỒN PH NG 4.1 Bài tốn quy hoạch toàn phương 4.2 Phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho tốn quy hoạch tồn phương 57 61 62 62 66 68 72 74 78 81 81 81 82 84 86 87 87 88 88 90 90 91 93 95 100 103 105 105 105 106 107 108 109 109 111 113 116 116 117 120 120 121 4.3 Phương pháp Wolfe giải toán quy hoạch tồn phương 4.4 Giải tốn quy hoạch tồn phương toán bù QUY HO CH TÁCH VÀ QUY HO CH HÌNH H C 5.1 Quy hoạch tách 5.2 Quy hoạch hình học BÀI T P CH NG V CH NG VI M T S V N Đ C S C A LÝ THUY T QUY HO CH L I VÀ QUY HO CH PHI TUY N T P H P L I 1.1 Bao lồi 1.2 Bao đóng miền c a tập lồi 1.3 Siêu phẳng tách siêu phẳng tựa c a tập lồi 1.4 Nón lồi nón đối cực NG D NG GI I TÍCH L I VÀO BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH 2.1 Điểm cực biên hướng cực biên 2.2 Biểu diễn tập lồi đa diện qua điểm cực biên hướng cực biên 2.3 Điều kiện tối ưu phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính CÁC TÍNH CH T C A HÀM L I 3.1 Các định nghĩa tính chất 3.2 Dưới vi phân c a hàm lồi 3.3 Hàm lồi khả vi 3.4 Cực đại cực tiểu c a hàm lồi CÁC ĐI U KI N T I U FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 4.1 Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc 4.2 Bài tốn tối ưu có ràng buộc 4.3 Điều kiện tối ưu Fritz – John 4.4 Điều kiện tối ưu Kuhn – Tucker M T S PH NG PHÁP H NG CH P NH N GI I BÀI TOÁN QUY HO CH PHI TUY N 5.1 Phương pháp hướng chấp nhận 5.2 Thuật toán Frank – Wolfe giải tốn quy hoạch lồi có miền ràng buộc tập lồi đa diện 5.3 Phương pháp gradient rút gọn 5.4 Phương pháp đơn hình lồi Zangwill GI I THI U PH NG PHÁP ĐI M TRONG GI I BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH 6.1 Bài toán ellipsoid xấp xỉ 6.2 Một số thuật toán điểm BÀI T P CH NG VI TÀI LI U THAM KH O 121 123 126 126 129 133 136 136 136 138 139 144 145 145 148 150 152 152 153 155 158 162 162 164 166 166 170 170 172 172 174 177 177 181 183 186 M đ u Tối ưu hóa, khởi nguồn ngành Tốn học, có nhiều ứng dụng hiệu rộng rãi quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, việc tạo nên hệ hỗ trợ định quản lý phát triển hệ thống lớn Chính vậy, lĩnh vực Tối ưu hóa ngày trở nên đa dạng, mang nhiều tên gọi khác Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý thuyết trị chơi… Hiện nay, mơn học Tối ưu hóa đưa vào giảng dạy nhiều chương trình đào tạo đại học cho ngành khoa học bản, kỹ thuật – công nghệ, kinh tế – quản lý, sinh học – nông nghiệp, xã hội – nhân văn, sinh thái – môi trường … với thời lượng thông thường từ ba sáu học trình Đối với sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin Tốn – Tin ứng dụng, mơn học Tối ưu hóa môn học sở thiếu Giáo trình “Tối ưu hóa” biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên năm thứ hai ngành Tin học Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Nông nghiệp I, số kiến thức lĩnh vực quan trọng Tối ưu hóa Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm sở lý thuyết mức độ định, nắm thuật toán tối ưu để áp dụng việc xây dựng phần mềm tối ưu tính tốn giải tốn kinh tế, cơng nghệ, kỹ thuật quản lý Chương I giới thiệu tổng quan ngắn gọn toán tối ưu tổng quát phân loại toán tối ưu bản, giới thiệu số ví dụ mơ hình tối ưu phát sinh thực tế Phần đầu trình bày Quy hoạch tuyến tính bao gồm chương II, III IV Phần nhấn mạnh vào việc trình bày phương pháp thuật tốn cổ điển Quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình (bao gồm phương pháp hai pha phương pháp đơn hình cải biên dạng ma trận nghịch đảo), phương pháp đơn hình đối ngẫu, phương pháp vị giải toán vận tải, phương pháp cắt Gomory nhánh cận Land – Doig phương pháp quy hoạch động giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun Phần sau giáo trình bao gồm hai chương Quy hoạch phi tuyến Chương V trình bày số phương pháp thuật tốn tối ưu phi tuyến khơng có ràng buộc có ràng buộc, bao gồm phương pháp đường dốc nhất, phương pháp Newton, phương pháp hướng liên hợp, phương pháp giải quy hoạch toàn phương thông dụng, phương pháp quy hoạch tách quy hoạch hình học Chương VI giới thiệu sở lý thuyết quy hoạch lồi quy hoạch phi tuyến Phần giới thiệu lớp phương pháp điểm giải tốn quy hoạch tuyến tính cuối giáo trình mang tính chất tham khảo, dành cho sinh viên nghiên cứu theo nhóm thảo luận Việc chứng minh số định lý khó nên để sinh viên tự nghiên cứu, khơng có tính bắt buộc Khi biên soạn, chúng tơi ln có nguyện vọng việc trình bày phương pháp tối ưu đề cập tới giáo trình phải đáp ứng “tiêu chuẩn tối ưu”, sinh viên phải hiểu làm Chính vậy, phương pháp ln trình bày cách cụ thể thơng qua ví dụ mẫu từ dễ tới khó, mà ví dụ sử dụng nhiều lần để tiết kiệm thời gian Một số tài liệu người học tham khảo thêm Quy hoạch tuyến tính là: Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa, Nxb Giáo dục, 2002; Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, Nxb Giáo dục, 2003 Về Quy hoạch phi tuyến đọc thêm số chương liên quan sách tham khảo sau: Bazaraa M.S, Shetty C.M, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990; Horst R, Hoàng Tụy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; Bùi Thế Tâm – Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thơng vận tải, 1998 Người đọc sử dụng Internet để tìm kiếm tạp chí tài liệu liên quan Chương I Bài toán t i u t ng quát ng d ng Bài toán t i u t ng quát phân lo i 1.1 Bài toán t i u t ng quát Tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển c a tốn học có ảnh hư ng đến hầu hết lĩnh vực khoa học – công nghệ kinh tế – xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò hết s c quan trọng Phương án tối ưu phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu cao Ví d Tìm x ∈ D = [ −2,2, 1,8] ⊂ R1 cho f(x) = x3 – 3x + → Max Bài tốn tối ưu có dạng cực đại hố giải sau: Cho f’(x) = 3x2 – = 0, ta có điểm tới hạn x = –1 x = +1 Xét giá trị hàm số f(x) điểm tới hạn vừa tìm giá trị x = –2,2 x = 1,8 (các điểm đầu mút c a đoạn [–2,2, 1,8]), ta có f(–2,2) = –3,048 , f(– 1) = 3, f(1) = –1, f(1,8) = 1,432 Vậy giá trị x cần tìm x = –1 Kết c a tốn minh hoạ hình I.1 y 1,432 x –2,2 –1 1,18 –1 –3,048 Hình I.1 Đồ thị hàm f(x) Cho hàm số f: D ⊂ Rn → R Bài toán tối ưu tổng quát có dạng: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Như vậy, cần tìm điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ Rn cho hàm mục tiêu f(x) đạt giá trị lớn toán Max – cực đại hoá (giá trị bé toán Min – cực tiểu hoá) Điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ Rn gọi phương án khả thi (hay phương án chấp nhận phương án, nói vắn tắt) c a toán tối ưu: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Miền D gọi miền ràng buộc Các toạ độ thành phần c a điểm x gọi biến định, x gọi véc tơ định ( ) Xét toán cực đại hoá: Max f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Điểm x* = x1∗ , x ∗2 , , x ∗n ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≥ f(x), ∀x ∈ D Điểm x ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận Nε đ nhỏ c a điểm x cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Đối với toán cực tiểu hoá Min f(x), với x ∈ D ⊂ Rn, điểm x* ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D Điểm x ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận Nε đ nhỏ c a điểm x cho f( x ) ≤ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Dễ thấy, phương án tối ưu toàn cục phương án tối ưu địa phương, phương án tối ưu địa phương không thiết phương án tối ưu tồn cục Trên hình I.1, điểm x = phương án tối ưu địa phương xét tốn cực tiểu hố Ví d Xét toán tối ưu sau: Max f (x) = 8x1 + 6x , với điều kiện ràng buộc x ∈ D = { (x1, x2) ∈ R2: 4x1 + 2x2 ≤ 60; 2x1 + 4x2 ≤ 48, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Bài toán tối ưu cịn gọi tốn quy hoạch tuyến tính Ngư i ta ch ng minh phương án tối ưu địa phương c a tốn quy hoạch tuyến tính đồng th i phương án tối ưu toàn cục 1.2 Phân lo i toán t i u Các toán tối ưu, cịn gọi tốn quy hoạch toán học, chia thành lớp sau: – Bài tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), – Bài tốn tối ưu phi tuyến hay cịn gọi toán quy hoạch phi tuyến (BTQHPT), bao gồm toán quy hoạch lồi (BTQHL) toán quy hoạch tồn phương (BTQHTP), – Bài tốn tối ưu r i rạc, toán tối ưu nguyên hỗn hợp nguyên – Bài toán quy hoạch động, – Bài toán quy hoạch đa mục tiêu, – Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên / m Các phương pháp toán học giải lớp toán tối ưu tổng quát nêu gọi phương pháp tối ưu toán học (hay phương pháp quy hoạch toán học) Trong giáo trình này, trước hết nghiên c u phương pháp giải BTQHTT, bao gồm BTQHTT nguyên hỗn hợp nguyên Sau đó, xem xét phương pháp giải số dạng đặc biệt c a BTQHPT Các phương pháp xem xét ch yếu khía cạnh th tục tính tốn thơng qua ví dụ đơn giản, nhằm giúp cho sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin học giáo trình vào năm học th hai làm quen với tư lập trình tính tốn Phần cuối c a giáo trình đề cập tới số s lý thuyết c a giải tích lồi quy hoạch phi tuyến, vấn đề có tính chất tảng sinh viên quan tâm có hướng tiếp tục nghiên c u lĩnh vực Tối ưu hóa ng d ng toán t i u gi i quy t v n đ th c t 2.1 Ph ng pháp mơ hình hố tốn h c Nhiều vấn đề phát sinh thực tế giải cách áp dụng phương pháp tối ưu toán học Tuy nhiên, điểm mấu chốt từ toán thực tế cần xây dựng mơ hình tối ưu thích hợp dựa vào dạng tốn tối ưu biết Sau cần áp dụng phương pháp tối ưu tốn học quy trình tính tốn thích hợp để tìm l i giải cho mơ hình đặt Các bước cần thiết tiến hành áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học phát biểu cách khái quát sau: – Trước hết phải khảo sát toán thực tế phát vấn đề cần giải – Phát biểu điều kiện ràng buộc mục tiêu c a tốn dạng định tính Sau lựa chọn biến định / ẩn số xây dựng mơ hình định lượng cịn gọi mơ hình tốn học – Thu thập liệu lựa chọn phương pháp tốn học thích hợp để giải mơ hình Trong trư ng hợp mơ hình tốn học mơ hình tối ưu, cần lựa chọn phương pháp tối ưu thích hợp để giải mơ hình – Xác định quy trình giải / thuật tốn Có thể giải mơ hình cách tính tốn thơng thư ng giấy Đối với mơ hình lớn, bao gồm nhiều biến nhiều điều kiện ràng buộc cần tiến hành lập trình giải mơ hình máy tính để tìm phương án thỏa mãn mơ hình – Đánh giá kết tính tốn Trong trư ng hợp phát thấy có kết bất thư ng, cần xem xét nguyên nhân, kiểm tra chỉnh sửa lại mơ hình liệu đầu vào quy trình giải / thuật tốn / chương trình máy tính – Kiểm ch ng kết tính tốn thực tế Nếu kết thu được coi hợp lý, phù hợp với thực tế hay chuyên gia đánh giá có hiệu so với phương án trước cần tìm cách triển khai phương án tìm thực tế Rõ ràng để giải vấn đề phát sinh từ tốn thực tế cần có hợp tác chặt chẽ chuyên gia lĩnh vực chun mơn, chun gia Tốn, Tốn ng dụng chuyên gia Tin học, kỹ sư lập trình Điều đặc biệt cần thiết giải toán cho hệ thống lớn Việc thiết lập mơ hình hợp lý, phản ánh chất c a toán thực tế đồng th i khả thi phương diện tính tốn ln vừa mang tính khoa học túy, vừa có tính nghệ thuật Các thuật ngữ sau thư ng gặp áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học: – Tốn ng dụng (Applied Mathematics) – Vận trù học (Operations Research viết tắt OR) – Khoa học quản lý (Management Science viết tắt MS) – ng dụng máy tính (Computer Applications) – Mơ hình tối ưu (Optimization Models)… 2.2 M t s ng d ng c a toán t i u Những năm gần đây, nhiều tốn thực tế giải phương pháp mơ hình hóa tốn học thành cơng Trong số mơ hình tốn học áp dụng có nhiều mơ hình tối ưu, giải thơng qua toán tối ưu kinh điển Trong trư ng hợp hàm mục tiêu tất ràng buộc hàm tuyến tính, tốn tối ưu BTQHTT BTQHTT giải số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên hay phương pháp điểm trong) BTQHTT sử dụng rộng rãi quy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất nhiều lĩnh vực c a quản lý, kinh tế quản trị kinh doanh Trong trư ng hợp hàm mục tiêu số ràng buộc phi tuyến, có BTQHPT Trong mơ hình tối ưu dựa BTQHPT nói chung, mơ hình tối ưu lĩnh vực nơng nghiệp nói riêng, l i giải tối ưu tồn cục có ý nghĩa quan trọng Chẳng hạn thiết kế máy nông nghiệp, sau dùng phương pháp phân tích hồi quy nhiều chiều, ta thư ng thu hàm mục tiêu có dạng phi tuyến Các tốn tối ưu tồn cục nảy sinh quy hoạch kinh tế – sinh thái vùng, hay xác định cấu đất canh tác – trồng Bài tốn đặt phải tìm l i giải tối ưu tồn cục Có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến riêng biệt, chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt cho toán với số hay tất biến định nhận giá trị nguyên Sau ví dụ minh hoạ số ng dụng c a toán tối ưu Ví d Bài tốn quy ho ch sử d ng đ t (Mơ hình tối ưu tuyến tính giải toán quy hoạch sử dụng đất địa bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội) Chúng ta xét mơ hình tối ưu với mục tiêu cần cực đại hoá hiệu kinh tế Để thiết lập mơ hình, trước hết chọn biến định Dựa vào kết liệu thu được, ta chọn biến định sau: xj với j = 1, 2, …, 18 diện tích loại trồng, đơn vị tính (theo th tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị, đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xuân, cà chua đông), x19 diện tích ao hồ thả cá, xj với j = 20, …, 23 số đầu vật nuôi năm (trâu, bò, lợn, gia cầm) Còn x24 số cơng lao động th ngồi, x25 lượng tiền vốn vay ngân hàng, đơn vị tính nghìn đồng Lúc có BTQHTT sau với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không âm c a biến) Hiệu kinh tế cần cực đại hóa là: f(x) = 4306,14x1 + 4168,73x2 + 3115,21x3 + 3013,11x4 + 4158,68x5 + 4860,91x6 + 4295,31x7 + 3706,11x8 + 3788,25x9 + 12747,31x10 + 12752,96x11 + 12064,81x12 + 79228,88x13 + 35961,31x14 + 10823,91x15 + 7950,16x16 + 7928,06x17 + 5738,46x18 + 11129,50x19 + 429,00x20 + 674,00x21 + 219,50x22 + 11,10x23 – 15,50x24 – 0,12x25 → Max Các ràng buộc hay điều kiện hạn chế định lượng sau: x1 ≤ 80,88; x2 ≤ 75,78; x3 ≤ 64,89; x4 ≤ 64,89; x5 ≤ 10,50; x6 ≤ 64,89; x7 ≤ 64,89; x8 ≤ 16,50; x9 ≤ 45,30; x10 ≤ 5,50; x11 ≤ 8,50; x12 ≤ 6,80; x13 ≤ 13,70; x14 ≤ 14,50; x15 ≤ 4,80; x16 ≤ 4,50; x17 ≤ 4,20; x18 ≤ 10,20; x19 ≤ 33,11; x20 ≤ 40,00; x21 ≤ 180,00; x22 ≤ 4280; x23 ≤ 18800; 10 ∇f (x)T d = ∇N f (x)T d N + ∇ B f (x)T d B = [ ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N ]d N = rNT d N (6.33) Để xây dựng hướng cải thiện d, cần chọn dN cho rNT d N < dj ≥ xj = 0, sau chọn dB = – B–1NdN Vậy có quy tắc xây dựng hướng cải thiện sau: “với tọa độ j ng với biến xj s chọn dj = – rj rj ≤ 0, chọn dj = – xjrj rj > 0” Quy tắc đảm bảo dj ≥ xj = ∇f (x)T d ≤ (nếu dN ≠ dấu bất đẳng th c nghiêm ngặt) Nhận xét Nếu d ≠ d hướng cải thiện hàm mục tiêu Cịn d = x điểm thỏa mãn điều kiện Kuhn – Tucker Thật vậy, x điểm Kuhn – Tucker tồn véc tơ u v cho: ⎧u T = (u BT ,u NT ) ≥ (0,0) ⎪ T T T T T ⎨[ ∇B f (x) , ∇ N f (x) ] + v (B,N ) − (u B ,u N ) = (0,0) ⎪ T T ⎩u B x B = 0,u N x N = (6.34) Do xB > 0, u BT ≥ nên u BT x B = u BT = Từ (6.34) suy v T = −∇ B f (x)T B −1 u NT = ∇N f (x)T + v T N = ∇N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N Do uN = rN Vậy điều kiện Kuhn – Tucker tr thành rN ≥ rNT x N = Như vậy, x điểm Kuhn – Tucker d = Sau trình bày thuật tốn gradient rút gọn Việc ch ng minh tính hội tụ c a thuật tốn tới điểm Kuhn – Tucker khơng dễ dàng khơng q khó, xin dành cho bạn đọc tự tìm hiểu Thuật tốn gradient rút gọn Bước khởi tạo Chọn điểm x1 thỏa mãn Ax1 = b, x1 ≥ Đặt k := Các bước lặp (bước lặp th k) Bước 1: Đặt Ik tập m tọa độ lớn c a xk, B = {aj: j ∈ Ik} N = {aj: j ∉ Ik}, r T = ∇f (x k )T − ∇ B f (x k )T B −1 A , k ⎧⎪ −r j , ∀j ∉ I ,r j ≤ dj = ⎨ k ⎪⎩ −x j r j , ∀j ∉ I ,r j > Nếu ∀j ∉ Ik, dj = dừng Nếu trái lại, đặt (d k )T = [d NT ,d BT ] , với dN xác định dB = – B–1NdN 173 Bước 2: Giải tốn tìm kiếm hướng Min f(xk + λdk) với ≤ λ ≤ λmax, λ max k ⎧ ⎪⎧ −x j ⎪⎫ ⎪M in ⎨ k : d kj < ⎬ =⎨ ⎪⎭ ⎩⎪ d j ⎪ ⎩∞ d k ≥ d k ≥ Đặt xk+1 = xk + λkxk với λk phương án tối ưu c a toán k := k+1, sau chuyển bước Ví d 14 Giải toán sau phương pháp gradient rút gọn Min f(x) = 2x12 + 2x 22 − 2x1 x − 4x1 − 6x , với điều kiện ràng buộc ⎧x1 + x + x = ⎪ ⎨x1 + 5x + x = ⎪x , x , x , x ≥ ⎩ Quá trình giải tóm tắt bảng VI.1 Bảng VI.1 Tóm tắt bước lặp phương pháp gradient rút gọn Bước lặp k xk f(xk) Ik (0,0,2,5) (10/17, 15/17, 9/17,0) (35/31, 24/31,3/31,0) Hướng tìm kiếm k d {3, 4} (–4,–6,0,0) –6,436 {1, 2} (0,0,57/17, 4/17) –7,16 {1, 2} (0,0,0,1) (4,6,–10, –34) (2565/1156, –513/1156, –513/289,0) (0,0,0,0) r k Tìm kiếm hướng λk 5/34 68/279 xk+1 (10/17, 15/17, 9/17,0) (35/31, 24/31,3/31,0) Phương pháp gradient rút gọn Wolfe đề xuất Sau này, Abadie Carpentier đưa phương pháp gradient tổng quát để giải BTQHPT với ràng buộc phi tuyến 5.4 Ph ng pháp đ n hình l i Zangwill Phương pháp sau Zangwill đề xuất, ban đầu để giải BTQHPT với hàm mục tiêu lồi ràng buộc tuyến tính Phương pháp giống với phương pháp gradient rút gọn, khác điểm: bước lặp có biến ngồi s thay đổi giá trị, biến s khác giữ nguyên giá trị Các giá trị c a biến s thay đổi tương tự phương pháp đơn hình Tên c a phương pháp “phương pháp đơn hình lồi” Giả sử x phương án cực biên c a toán Min f(x) với x ∈ D = {x ∈ Rn: Ax = b, x≥ 0}, A ma trận cấp m×n, f(x) hàm khả vi liên tục Ngoài ra, phương pháp gradient rút gọn, giả sử điều kiện không suy biến đúng, t c m véc tơ cột c a A độc lập tuyến tính điểm cực biên c a D có m tọa độ dương (do đó, 174 phương án x c a tốn có m tọa độ dương) Bằng cách phân rã ma trận A x cách thích hợp, được: ∑r d nhận [ ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N ]d N = rNT d N = j∉I j j ∇f (x)T d = ∇N f (x)T d N + ∇B f (x)T d B = với I tập số c a biến s (I ≡ JB) Để xây dựng hướng cải thiện d, cần chọn rN dN cho rNT d N < dj ≥ xj = 0, sau chọn dB = – B–1NdN Vậy có quy tắc xây dựng hướng cải thiện sau: “Trước hết tính α = Max {–rj: rj ≤ 0} β = Max {xjrj: rj ≥ 0} Nếu α = β = x điểm Kuhn – Tucker Nếu trái lại, t c có hai số α , β dương cho α = – rv, dv = dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v, α ≥ β, cho β = xvrv, dv = –1 dj = ∀j ∉I j ≠ v, α < β Lúc hướng d hướng cải thiện” Nhận xét Trong trư ng hợp α ≥ β có biến ngồi s xv có giá trị tăng lên, biến ngồi s khác khơng thay đổi giá trị Cịn α < β có biến ngồi s xv có giá trị giảm đi, biến ngồi s khác khơng thay đổi giá trị Trong hai trư ng hợp, biến s có giá trị thay đổi hướng dB= – B–1NdN Như α ≥ β, dv = dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v, nên dB= – B–1av với av véc tơ cột c a A tương ng với xv Cịn α < β dB = B–1av dv = –1 dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v Ta ch ng minh α = β = x điểm Kuhn – Tucker Thật vậy, x điểm Kuhn – Tucker tồn véc tơ u v cho: ⎧u T = (u BT ,u NT ) ≥ (0,0) ⎪ T T T T T ⎨[ ∇B f (x) , ∇N f (x) ] + v (B,N ) − (u B ,u N ) = (0,0) ⎪ T T ⎩u B x B = 0,u N x N = mục 5.3 Do xB > 0, u BT ≥ nên u BT x B = Đây điều kiện (6.34) biết u BT = Từ (6.34) suy v T = −∇ B f (x)T B −1 u NT = ∇N f (x)T + v T N = ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N Do uN = rN Vậy điều kiện Kuhn – Tucker tr thành rN ≥ rNT x N = Điều α = β = Sau trình bày thuật tốn đơn hình lồi Zangwill Việc ch ng minh tính hội tụ c a thuật toán tới điểm Kuhn – Tucker khơng dễ dàng khơng q khó, xin dành cho bạn đọc tự tìm hiểu Thuật giải phương pháp đơn hình lồi Bước khởi tạo Chọn điểm x1 thỏa mãn Ax1 = b, x1 ≥ Đặt k := Các bước lặp (bước lặp th k) 175 Bước 1: Đặt Ik tập m tọa độ lớn c a xk, B = {aj: j ∈ Ik} N = {aj: j ∉ Ik}, r T = ∇f (x k )T − ∇B f (x k )T B −1 A Tính α = Max {–rj: rj ≤ 0} β = Max {xjrj: rj ≥ 0}: – Nếu α = β = 0, dừng – Nếu α ≥ β, α = – rv đặt dv = dj = 0, ∀j ∉ Ik j ≠ v, – Còn α < β, β = xvrv đặt dv = –1 dj = 0, ∀j ∉ Ik j ≠ v (trong Ik tập số biến s ) Đặt (d k )T = [d NT ,d BT ] , với dN xác định dB = – B–1NdN Bước 2: Giải tốn tìm kiếm hướng Min f(xk + λdk) với ≤ λ ≤ λmax, λ max ⎧ ⎧⎪ −x kj ⎫⎪ k ⎪M in ⎨ k : d j < ⎬ =⎨ ⎩⎪ d j ⎭⎪ ⎪ ⎩∞ d k ≥ d k ≥ Đặt xk+1 = xk + λkxk với λk phương án tối ưu c a toán trên, thay k := k+1, sau chuyển bước Ví d 15 Giải tốn sau phương pháp đơn hình lồi Min f(x) = 2x 12 + 2x 22 − 2x x − 4x − 6x , với điều kiện ràng buộc ⎧x1 + x + x = ⎪ ⎨x1 + 5x + x = ⎪x , x , x , x ≥ ⎩ Quá trình giải tóm tắt bảng VI.2 Bảng VI.2 Tóm tắt bước lặp phương pháp đơn hình lồi Bước lặp k xk f(xk) Ik (0,0,2,5) (0,1,1,0) –4,0 176 (35/31,24/31, 3/31,0) –7,16 Hướng tìm kiếm Tìm kiếm hướng rk dk λk xk+1 {3, 4} (–4,–6,0,0) (0,1,–1,–5) (0,1,1,0) {2, 3} (–28/5,0,0, (1,–1/5, 35/31 2/5) –4/5,0) (35/31 24/31,3/31,0) {1, 2} (0,0,0,1) ng pháp m gi i toán quy ho ch n tính Gi i thi u ph Phương pháp đơn nghiên c u chương II coi đ i vào năm 1947, Dantzig cơng bố phương pháp đơn hình giải tốn lập kế hoạch cho khơng qn Mỹ Trước đó, vào năm 1939, nhà tốn học ngư i Nga Kantorovich (được giải thư ng Nobel khoa học kinh tế năm 1975), đề cập tới thuật toán giải BTQHTT “Các phương pháp toán học tổ ch c kế hoạch hóa sản xuất” in Nhà xuất Đại học quốc gia Leningrad Tuy công cụ tuyệt v i việc giải toán thực tế nhiều lĩnh vực, thuật tốn đơn hình lại khơng thuật tốn đa th c Năm 1984, Karmarkar cơng bố phương pháp điểm giải BTQHTT có độ phức tạp đa thức Khác hẳn phương pháp đơn hình, xây dựng dãy điểm biên tốt dần lên giá trị hàm mục tiêu, phương pháp điểm xây dựng dãy điểm hội tụ điểm biên phương án tối ưu Đây phương pháp có s tốn học tương đối ph c tạp Để trình bày vấn đề cách dễ hiểu, tóm lược phương pháp điểm theo kiểu phương pháp hướng chấp nhận minh họa ví dụ cụ thể 6.1 Bài tốn ellipsoid x p xỉ Đ nh nghĩa 12 Xét BTQHTT (gốc): Min f(x) = cTx, với x ∈ D ⊂ Rn, D xác định b i điều kiện ràng buộc ⎧ Ax = b ⎨ ⎩ x ≥ ( (6.35) (6.36) ) Một phương án khả thi x k = x1k , x 2k , , x nk ∈ D gọi nghiệm c a BTQHTT xk > 0, t c x ki > 0, ∀i = 1,n Để cho đơn giản, ta gọi nghiệm xk điểm tương đối, hay ngắn gọn hơn, điểm c a D (do xk ln nằm đa tạp tuyến tính {x ∈ Rn: Ax = b}) Nếu thay điều kiện (6.36) BTQHTT b i điều kiện sau đây: n ⎧⎪ ⎫⎪ ⎛ xi − xik ⎞ n x ∈ E = ⎨x ∈ R : ∑⎜ , ≤ ρ ρ ≤ , 0< víi ⎬ ⎟ xik ⎠ i =1 ⎝ ⎪⎩ ⎪⎭ k (6.37) có tốn elloipsoid xấp xỉ c a BTQHTT cho Bài toán ellipsoid xấp xỉ: Min f(x) = cTx với ràng buộc Ax = b (1) n ⎛ x i − x ik ⎞ ⎪⎧ ⎪⎫ n , víi ≤ ρ ρ ≤ x ∈ E = ⎨x ∈ R : ∑ ⎜ ⎬ ⎟ x ki ⎠ i =1 ⎝ ⎪⎩ ⎪⎭ k Ek ellipsoid có tâm xk = (x k , x 2k , , x nk ) với bán trục ρx 1k , ρx 2k , , ρx nk Trong trư ng hợp x 1k = x 2k = = x nk Ek tr thành hình cầu Ví d 16 Xét BTQHTT: Min z = – x1 – 2x2 + 0x3 + 0x4 với ràng buộc 177 x1 + x2 + x3 – x1 + x2 = + x4 = ≥0 x1, x2, x3, x4 x2 B(1, 2) –x1 + x2 ≤ A x 2↓Ox1x x1↓Ox x x1 + x2 ≤ C O C x1 Hình VI.14 Minh họa phương pháp điểm giải BTQHTT Trên hình VI.14, hình chiếu c a miền D mặt phẳng Ox1x2 miền giới hạn b i t giác OABC (bạn đọc tự ch ng minh điều này) Điểm x1 = (1, 1, 1, 1) điểm c a D, cịn hình chiếu c a mặt phẳng toạ độ Ox1x2 điểm x 1↓Ox1 x = (1, 1) Đư ng trịn C có tâm (1, 1) hình chiếu c a ellipsoid E1 (lúc hình cầu (x1–1)2 + (x2–1)2 +(x3–1)2 + (x4–1)2 = ρ2) mặt phẳng Ox1x2: ⎧⎪ ⎫ ⎛ xi − ⎞ 2⎪ E = ⎨x ∈ R : ∑ ⎜ ≤ ρ ⎬ ⎟⎠ i =1 ⎝ ⎩⎪ ⎭⎪ Lúc đó, toán ellipsoid xấp xỉ (gọi vắn tắt toán xấp xỉ) có dạng sau: Min z = – x1 – 2x2 + 0x3 + 0x4, với ràng buộc = x1 + x2 + x3 – x1 + x2 + x4 = 4 ⎧⎪ ⎫ ⎛ xi − ⎞ 2 2⎪ (x 1) ≤ ρ ⇔ − ≤ ρ x ∈ ⎨x ∈ R : ∑ ⎜ ⎬ ∑ i ⎟⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎩⎪ ⎭⎪ Có thể thấy ρ < ∀x ∈ E1 ta ln có x > 0, cịn ρ ≤ ∀x ∈ E1 ta ln có x ≥ Nhìn hình VI.14, ta thấy miền ràng buộc c a toán xấp xỉ miền Sk = D ∩ Ek miền c a miền D Ta giải toán xấp xỉ (bài toán xấp xỉ bước 1) để nhận điểm x2 tốt điểm x1 Theo phương pháp hướng chấp nhận biết, để xây dựng x2 = x1 + λd1 vậy, trước hết cần xác định hướng cải thiện (tốt có thể) d1 sau cần xác định bước dịch chuyển λ 178 Xác định hướng cải thiện bước dịch chuyển Trường hợp 1: Trước hết, ta tìm hướng cải thiện cho trư ng hợp E1 có dạng cầu có tâm x1 với tất tọa độ (như trư ng hợp xét c a ví dụ 16) Theo kết biết c a đại số tuyến tính, A = [aij]m×n có hạng r khơng gian nhân Ker A khơng gian (n – r) chiều, cịn khơng gian hàng R(AT) = {x ∈Rn: x = ATy, y ∈Rm} khơng gian r chiều Ngồi ra, Ker A R(AT) phần bù trực giao c a Sau xét trư ng hợp r = m Ta ch ng minh phép chiếu phần tử x ∈ Rn lên Ker A xác định b i: P(x) = (I– AT(AAT)–1A)x Thật vậy, xét phép chiếu Q lên R(AT): Q(x) = hàm Ar g x − A T u , Arg hiểu “điểm đạt c a …” u∈Rm Vậy cần giải toán M in(x − A T u )T (x − A T u ) sau: hay toán M in(x x − 2x A u + u AA u ) với u ∈R Nghiệm c a tốn điểm dừng u* = (AAT)– T T T T m T Ax Vậy Q(x) = ATu* (bạn đọc chọn ví dụ đơn giản kiểm nghiệm kết luận cách cụ thể) Do P(x) = x – Q(x) = (I – AT(AAT)–1A)x (xem minh họa hình VI.15) P = I– AT(AAT)–1A gọi ma trận chiếu lên KerA Ker A P(x) x Q(x) T R(A ) Hình VI.15 Minh họa phép chiếu P Q Do x2 = x1 + λd1 nên Ax2 =Ax1 + λAd1 Do d1 ∈ Ker A nên d1 có dạng Pv, với v ∈ Rn Ta giả sử d1 = Để hàm mục tiêu z = cTx = cT(x1 + λd1) = cTx1 + λcTd1 giảm nhanh hướng d1 dịch chuyển từ x1 tới Pc P( −c) Pc =− d1 = Lúc cTd1 = – cT Pc P( −c) Pc x2, phải chọn hướng cải thiện số âm với trị tuyệt đối lớn đạt Trên hình VI.16, cTd1 = – OB, với OB lớn đạt (do AB ngắn nhất) A R(AT) c O Ker A –d1 Pc B Hình VI.16 Xác định hướng cải thiện 179 Vậy ta có x2 = x1 – λ Min f( x1 – λ A(x1 – λ ) Pc Pc ) = cT (x1 – λ ), với ràng buộc Pc Pc Pc )=b Pc x2 = x1 – λ ( n Pc Cần chọn ∑ (x 2i − 1)2 ≤ ρ2 λ cho đạt Pc i =1 Pc ∈ E1 = Pc (6.38) n n ⎧⎪ ⎫⎪ ⎛ xi − ⎞ n x R : (x i − 1)2 ≤ ρ2 ⎬ ∈ ≤ ρ ⇔ ⎨ ∑ ∑ ⎜ ⎟ ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎩⎪ ⎭⎪ (6.39) Ràng buộc (6.38) thỏa mãn cách chọn d1 Để thỏa mãn (6.39) phải có 2 ∑ xi − ≤ ρ n i =1 Do x1i = 1, ∀i = 1,n , nên có λ2 Pc Pc ≤ ρ2, hay λ ≤ ρ Vậy chọn λ = ρ Bằng cách làm trên, xây dựng điểm là: x2 = x1 – ρ Pc với ρ 0} Dễ i thấy, γ(u) ≤ u ∞ ≤ u Lúc đó, thay cơng th c (6.46) thuật tốn tỷ lệ affine bước ngắn hai công th c (6.47) (6.48) sau ta có thuật toán tỷ lệ affine bước dài loại loại 2: xk+1 = xk – ρ xk+1 = xk – ρ (X k )2 sk , X k sk (6.47) (X k )2 sk γ(X k sk ) (6.48) ∞ Các thuật tốn bước dài nhìn chung có tốc độ hội tụ nhanh thuật tốn bước ngắn Hơn nữa, với điều kiện hạn chế ρ ∈ (0, 2/3), thuật toán bước dài loại hội tụ điều kiện “tất phương án cực biên c a BTQHTT không suy biến” không thỏa mãn Cần ý rằng, ba thuật toán điểm đây, hướng cải thiện hướng giảm nhanh c a hàm mục tiêu, xác định thông qua phép chiếu lên Ker A Trong thuật toán bước ngắn dừng lại điểm nằm ellipsoid xấp xỉ, thuật toán bước dài, để xây dựng điểm xk+1 tiếp biên c a ellipsoid nằm phần c a góc tọa độ dương Bài t p ch ng VI Bài Ch ng minh tập hợp sau tập lồi, sau mơ tả bao đóng, miền biên c a chúng: a S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 = 3, x1 + x2 + x3 ≤ 6}, b S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12+ x22 + x32 ≤ 4, x1 + x2 =1} Bài Cho S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12 + x22 + x32 ≤ 1, x12 – x2 ≤ 0} y = (1, 0, 2)T Tìm khoảng cách từ y đến S điểm cực tiểu tương ng x* ∈ S ng với khoảng cách Viết phương trình c a siêu phẳng tách Bài Cho S1 S2 tập lồi r i Rn Ch ng minh tồn véc tơ p1 p2 khác véc tơ cho p1Tx1 + p2Tx2 ≥ với x1 ∈ S1 x2 ∈ S2 Hãy suy kết tổng quát cho trư ng hợp nhiều tập lồi r i Bài Tìm điểm cực biên hướng cực biên c a tập lồi đa diện sau: a S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 + x3 ≤ 10, –x1 + 2x2 = 4, x1, x2, x3 ≥ 0} b S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + 2x2 ≥ 2, –x1 + x2 = 4, x1, x2 ≥ 0} 183 c S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: –x1 + 2x2 ≤ 3, x1 + x2 ≤ 2, x2 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0}, sau biểu thị điểm (1, 1/2) thành tổ hợp lồi c a điểm cực biên hướng cực biên Bài Nếu f: Rn → R hàm khả vi cấp ta gọi xấp xỉ tuyến tính c a biểu th c f (x) + ∇f (x)T (x − x) Tương tự, f hàm khả vi cấp hai ta gọi xấp xỉ tồn phương c a f (x) = f (x) + ∇f (x)T (x − x) + (x − x)T H(x)(x − x) Cho f(x) = exp(x12 + x22) – 5x1 + 10x2, tìm biểu th c xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ toàn phương c a f(x) cho biết chúng hàm lồi hay hàm lõm hay không lồi khơng lõm, sao? Bài Xét tốn tối ưu: Max f(x) = 3x1 – x2 + x32, với ràng buộc x1 + x2 + x3 ≤ – x1 + 2x2 + x32 = Hãy phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho toán dựa vào tìm phương án tối ưu c a Bài Xét tốn tối ưu: Min f(x) = (x1 – 9/4)2 + (x2 – 2)2, với ràng buộc – x12 + x2 ≥ x1 + x2 ≤ x1, x2 ≥ Hãy phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho toán ch ng tỏ điều kiện thỏa mãn x = (3/2, 9/4)T a Minh họa điều kiện Kuhn – Tucker x đồ thị b Ch ng tỏ x điểm tối ưu toàn cục Bài Dùng phương pháp Frank – Wolfe giải toán quy hoạch lồi sau: a Min f(x) = –2x1 – 6x2 + x12 + x22, với ràng buộc x1 + 2x2 ≤ x + x2 ≤ x1, x2 ≥ b Min f(x) = (x1 – 5/3)2 + x22 + (x3 –1/3)2, với ràng buộc x1 + x2 – x3 ≤ x1 + x2 ≤ 12 2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ x1, x2, x3 ≥ 184 Bài Hãy tìm hiểu s lý thuyết phát biểu chi tiết thuật tốn Frank – Wolfe Sau lập chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal C chạy kiểm thử cho tập Bài 10 Xét toán tối ưu a Min f(x) = – 6x1 – 2x2 – 12x3 + x12 + 2x22 + x1x2, với ràng buộc x1 + x2 + x3 = – x1 + 2x2 x1, x2, x3 ≥ ≤3 b Min f(x) = x1 – 2x2 – x12 + x13 + 2x23, với ràng buộc x1 + 2x2 ≤ – x1 + 2x2 ≤ x1 , x2 ≥ Hãy giải toán phương pháp gradient rút gọn phương pháp đơn hình lồi Zangwill Bài 11 Hãy sửa chỉnh phương pháp đơn hình lồi Zangwill để giải trực tiếp toán Min f(x) với điều kiện ràng buộc Ax = b a ≤ x ≤ b Sau áp dụng để giải tốn: Min f(x) = 4x1 – 6x2 + x12 – x1x2 – 3x22 + exp (–x1) với ràng buộc 2x1 + x2 ≤ – x1 + x2 ≤ ≤ x1, x2 ≤ Bài 12 Hãy lập chương trình máy tính cho thuật tốn gradient rút gọn đơn hình lồi Zangwill (có chỉnh sửa), sau chạy kiểm thử cho tập Bài 13 Thực ba bước lặp c a thuật toán tỷ lệ affine gốc bước ngắn cho BTQHTT sau: Max f(x) = –4x1 + 0x2 + x3 – x4, với ràng buộc –2x1 + 2x2 + x3 – x4 = x1 + x2 + x3 + x4 = x1, x2, x3, x4 ≥ Bài 14 Sử dụng ngôn ngữ Pascal hay C lập trình máy tính thuật tốn affine gốc bước ngắn bước dài, sau chạy kiểm thử BTQHTT giải phương pháp đơn hình 185 Tài li u tham kh o С А А M S Bazaraa, C M Shetty, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990 D P Bertsekas, Dynamic programming: Deterministic and stochastic models, Prentice Hall, London, 1987 B E Gillett, Introduction to operations research: A computer–oriented algorithmic approach, McGraw–Hill, New York, 1990 R Horst, Hoàng Tụy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer, Berlin, 1993 Hồng Xn Huấn, Giáo trình phương pháp số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 а а а , , а а а , а а, а а, 1981 , а а, а, 1986 N Karmarkar, “A new polynomial time algorithm for linear programming”, Combinatorica, Vol 4, 373–395, 1984 Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, Nxb Giáo dục, 2003 10 C Mohan and Nguyen Hai Thanh, “A controlled random search technique incorporating the simulated annealing concept for solving integer and mixed integer global optimization problems”, Computational Optimization and Applications, Vol 14, 103–132, 1999 11 Nguyễn Đ c Nghĩa, Tối ưu hóa, Nxb Giáo dục, 2002 12 A Osyczka, Multicriterion Optimization in Engineering with Fortran Programs, Ellis Horwood Limited, New York, 1984 13 H A Taha, Operations research, MacMillan, New York, 1989 14 Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thông vận tải, 1998 15 Nguyễn Hải Thanh, Lý thuyết định mờ hệ chuyên gia, Bài giảng cho Cao học, ngành Toán – Tin ng dụng, Trư ng Đại học Bách khoa, Hà Nội, 2005 16 Nguyễn Hải Thanh (ch biên) tác giả khác, Tin học ứng dụng ngành nông nghiệp, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 2005 17 Nguyễn Hải Thanh, Toán ứng dụng, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, 2005 18 Bùi Minh Trí, Quy hoạch tốn học, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 1999 19 Hoàng Tụy, “Lý thuyết tối ưu phi tuyến”, Tạp chí Vận trù học Nghiên cứu hệ thống, Viện Toán học, Viện khoa học Việt Nam, Số 39, 1–63, 1985 20 Ф П Васи ьев, Ч ос ва, 1980 186 я а х а а , ау а, T i u hóa Giáo trình cho ngành Tin h c Công ngh thông tin Số xác nhận đăng ký KHXB c a CXB là: 547-2006/CXB/01-68/BKHN, ngày 14/7/2006 Quyết định XB c a GĐ số: 134/QĐ-NXBBKHN, ngày 11/12/2006 In xong nộp lưu chiểu tháng 12/2006 187