CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Đây kiến thức thường áp dụng đến chương Hình Lớp D Phương pháp 1: (Hình 1) · · * Nếu ABD + DBC = 180 ba điểm A; B; C thẳng hàng Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo 180o góc bẹt C B A (hình 1) Phương pháp 2: ( Hình 2) Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng a Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình Phương pháp 3: ( Hình 3) C B A (hình 2) * Nếu AB ⊥ a ; AC ⊥ A ba điểm A; B; C thẳng hàng A Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước B C * Hoặc chứng minh A; B; C thuộc đường trung trực a đoạn thẳng (hình 3) Phương pháp 4: ( Hình 4) x * Nếu tia OA tia OB tia phân giác góc xOy ba điểm O; A; B thẳng hàng O Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc có tia A (hình 4) B y phân giác · · * Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA = xOB ba điểm O, A, B thẳng hàng Phương pháp 5: Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K ’ trung điểm BD K’ ≡ K A, K, C thẳng hàng Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh · · BMC + CMD = 1800 · · · · Do AMB + BMC = 180 nên cần chứng minh AMB = DMC Hướng dẫn Xét ∆ AMB ∆ CMD có: B AB = DC (gt) = · · BAM = DCM = 900 / A MA = MC (M trung điểm AC) Do đó: ∆ AMB = ∆ CMD / M C = hình · · (c.g.c) Suy ra: AMB = DMC D 0 · · · · Mà AMB + BMC = 180 (kề bù) nên BMC + CMD = 180 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng · · Gợi ý: Chứng minh CAM + CAN = 180 Từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng Hướng dẫn ∆ ABC = ∆ ADE (c.g.c) E // N D µ =E µ ⇒C A ∆ ACM = ∆ AEN (c.g.c) · · ⇒ MAC = NAE · · Mà EAN + CAN = 180 (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) · · => CAM + CAN = 180 Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm) B M hình // C BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng · Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có ABC = 60 Vẽ tia Cx ⊥ BC (tia Cx điểm A phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ Hai · · tia Ax By cho BAx = ABy Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm II/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Gợi ý: Ta chứng minh AD // BC AE // BC Hướng dẫn Xét ∆ BMC ∆ DMA có: A E = MC = MA (do M trung điểm AC) N · · BMC = DMA (hai góc đối đỉnh) MB = MD (do M trung điểm BD) M = / C B Vậy: ∆ BMC = ∆ DMA (c.g.c) · · Suy ra: ACB = DAC , hai góc vị trí so le nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) D / Hình Điểm A ngồi BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn Xét ∆ AOD ∆ COD có: A OA = OC (vì O trung điểm AC) x ·AOD = COB · (hai góc đối đỉnh) B OD = OB (vì O trung điểm BD) Vậy ∆ AOD = ∆ COB (c.g.c) · · Suy ra: DAO = OCB = X O / = X M · · Do đó: AD // BC Nên DAB = CBM (ở vị trí đồng vị) * / D * C Hình Xét ∆ DAB ∆ CBM có : · · AD = BC ( ∆ AOD = ∆ COB), DAB = CBM , AB = BM ( B trung điểm AM) · · Vậy ∆ DAB = ∆ CBM (c.g.c) Suy ABD = BMC Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng N BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài Cho tam giác ABC Vẽ cung trịn tâm C bán kính AB cung trịn tâm B bán kính AC Đường trịn tâm A bán kính BC cắt cung trịn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng III/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Vẽ hai đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC - AP, AQ tia phân giác góc BAC Hướng dẫn A Cách Xử dụng phương pháp a) Chứng minh AM ⊥ BC = = XétΔABM ΔACM có: AB =AC (gt) P B / M / C AM chung MB = MC (M trung điểm BC) Q Hình · · Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMB = AMC (hai góc tương ứng) 0 · · · · Mà AMB + AMC = 180 (hai góc kề bù) nên AMB = AMC = 90 Do đó: AM ⊥ BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) · · · · · · Suy ra: PMB = PMC (hai góc tương ứng), mà PMB + PMC = 180 nên PMB = PMC = 900 Do đó: PM ⊥ BC Lập luận tương tự QM ⊥ BC Từ điểm M BC có AM ⊥ BC,PM ⊥ BC, QM ⊥ BC => ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách Xử dụng phương pháp Chứng minh : · · · ΔBPA = ΔCPA ⇒ BAP = CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1) · · · ΔABQ = ΔACQ ⇒ BAQ = CAQ Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng IV/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy Hướng dẫn Xét ΔBOD ΔCOD có: OB = OC (gt) ; OD chung BD = CD (D giao điểm hai đường x tròn tâm B tâm C bán kính) B · · Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) => BOD = COD Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm = / O / = A D hai tia Ox Oy = = C y · Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác · xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng Hình 10 BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB ( M ∈ AC , N ∈ AB ), H giao điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng V/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp A Hướng dẫn Cách 1: Kẻ ME ⊥ BC ; NF ⊥ BC ( E ; F ∈ BC) M = B K' K E ∆BME ∆CNF vng E F có: F C = hình 11 N · · · BM = CN (gt), MBE = NCF ( ACB ) Do đó: ∆BME = ∆CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN ∆ MEK’ · · ' ' ∆ NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK = FNK ( soA le ME // FN) Vậy ∆ MEK’ = ∆ NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K ≡ K’ M Do ba điểm B,K,C thẳng hàng · · Cách Kẻ ME // AC (E ∈ BC) ⇒ ACB = MEB (hai góc đồng vị) = B · · · · = MEB Mà ACB = ABC nên MBE Vậy ΔMBE cân M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K’ giao điểm BC MN Xét ΔMEK’ ΔNCK’ có: E Hình 12 K' K C = N · ' ME = K · ' NC K (so le ME //AC) ME = CN (chứng minh trên) · · ' ' MEK = NCK (so le ME //AC) Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) ⇒ MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K ≡ K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai · Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC = 108 , Gọi O điểm nằm tia phân giác · góc C cho CBO = 12 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng · · Gợi ý: Chứng minh OCA = OCM từ suy tia CA tia CM trùng Hướng dẫn 0 ·ABC = ·ACB = 180 − 108 = 360 Tam giác ABC cân A nên (tính chất tam giác cân) 0 · · · · Mà CO tia phân giác ACB , nên ACO = BCO = 18 Do BOC = 150 · ΔBOM nên BOM = 60 0 0 · Vậy : MOC = 360 − (150 + 60 ) = 150 Xét ΔBOC ΔMOC có: M OB = OM ( ΔBOM đều) · · BOC = MOC = 1500 OC chung = = / B Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) 12° // A 108° O / C Hình 13 · · · · · · Suy ra: OCB = OCM mà OCB = OCA (gt) nên OCA = OCM · · Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA = OCM nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) ... cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng V/ PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B,... Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng. .. lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng