BÀI-GIẢNG-NHẬP-MÔN-TOÁN-CC (1) Sjsisjsisjsjdjsisjdjsjxjejsjsudjeujxusjsjdjdjxjxjdie
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP NHẬP MƠN TỐN CAO CẤP MỤC LỤC Lời mở đầu Bảng kí hiệu Chương LÝ THUYẾT TẬP HỢP 1.1 Khái niệm tập hợp 1.2 Quan hệ 11 1.3 Ánh xạ 14 1.4 Giải tích tổ hợp 22 Bài tập chương 25 Chương 31 LOGIC 2.1 Logic mệnh đề 31 2.2 Vị từ 40 2.3 Các phép toán logic hàm mệnh đề 44 2.4 Áp dụng mệnh đề vào suy luận chứng minh 47 Bài tập chương 56 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 63 Tài liệu tham khảo 71 Bảng kí hiệu BẢNG KÍ HIỆU BẢNG KÍ HIỆU Ký hiệu N N∗ Q R Z Gf Imf , imf P P ∨Q P ∧Q P ⇒Q P ⇔Q X, Y, Z {x, y, z, } X⊆Y X ∪Y X ∩Y X \Y X∆Y X ×Y P(X) ∅ x∈X a b Ý nghĩa Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên không âm Trường số hữu tỉ Trường số thực Tập số nguyên Đồ thị hàm f Ảnh hàm f Phủ định mệnh đề P Tuyển hai mệnh đề P Q Hội hai mệnh đề P Q Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q Mệnh đề P tương đương mệnh đề Q Các tập hợp Tập hợp gồm phần tử x, y, z Tập hợp X tập hợp Y Hợp hai tập hợp X Y Giao hai tập hợp X Y Hiệu hai tập hợp X Y Hiệu đối xứng hai tập hợp X Y Tích Descartes hai tập hợp X Y Tập tất tập X Tập hợp rỗng Phần tử x thuộc tập hợp X a|b a chia hết cho b a ước b f −1 x∼y x e, [x] Ánh xạ ngược song ánh f x tương đương y Lớp tương đương phần tử x 1X , idX Ánh xạ đồng X Chương LÝ THUYẾT TẬP HỢP Mục tiêu chương: Về Kiến thức: Sinh viên cần nắm vững kiến thức tập hợp, quan hệ, ánh xạ, giải tích tổ hợp Xác định mối liên hệ nội dung kiến thức Về kĩ năng: Giải tập liên quan chủ đề kiến thức chương, bước đầu biết vận dụng đời sống thực tế Về thái độ : Nghiêm túc, có tinh thần hợp tác học tập 1.1 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm tập hợp phần tử Tất đối tượng xác định hợp lại tạo thành tập hợp, đối tượng gọi phần tử tập hợp Ví dụ a) Tập hợp người Việt Nam giới tạo thành tập hợp người Việt Nam Mỗi người Việt Nam phần tử tập hợp b) Tập hợp tất điểm không gian tạo thành tập hợp điểm không gian Mỗi điểm phần tử tập hợp 1.1.2 Khái niệm thuộc kí hiệu ∈ Nếu a phần tử tập hợp E ta nói "a thuộc E" viết a ∈ E Nếu a khơng phần tử tập hợp E ta nói "a không thuộc E" viết a∈E, a ∈ / E Ví dụ ∈ N; ∈ / N 1.1.3 Cách mô tả tập hợp Ta xác định (mơ tả) tập hợp cách liệt kê phần tử nó, hai dấu {} cách dấu phẩy (hoặc dấu chấm phẩy) Ví dụ Để xác định tập hợp A gồm có phần tử x, y, z, t ta viết A = {x, y, z, t} Nêu tính chất đặc trưng phần tử tạo thành tập hợp Nếu tập hợp E gồm phần tử x có tính chất P ta viết: 1.1 Khái niệm tập hợp Chương Lý thuyết tập hợp E = {x | x có tính chất P} Ví dụ Cho P tập hợp số ngun chẵn Ta mơ tả P theo cách sau: P = {m | m = 2k, k ∈ Z} 1.1.4 Một số tập hợp số thường gặp Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, · · · } Tập hợp N∗ = {1, 2, 3, · · · } = N\{0} Tập hợp số nguyên Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } p Tập hợp số hữu tỉ Q = { |q 6= 0, p ∈ Z, q ∈ Z} q Tập hợp số thực: R = {các số thực} Định nghĩa : Tập rỗng tập hợp phần tử nào, kí hiệu ∅ Ví dụ: {x ∈ R|x2 + = 0} = ∅ Định nghĩa : Ta nói tập hợp A tập hợp B A B trùng nhau, ký hiệu A = B, nghĩa phần tử A phần tử B ngược lại 1.1.5 Quan hệ bao hàm - Tập Định nghĩa : Nếu phần tử A phần tử B, ta nói: • A bao hàm B, • B bao hàm A, • A tập B ta viết A ⊆ B hay B ⊇ A Từ định nghĩa suy tính chất sau: Cho A, B, C tập hợp Ta có: (i) ∅ ⊆ A (ii) A ⊆ A (iii) Nếu A ⊆ B B ⊆ C A ⊆ C (iv) A = B A ⊆ B B ⊆ A 1.1 Khái niệm tập hợp Chương Lý thuyết tập hợp 1.1.6 Các phép toán tập hợp Định nghĩa (Phép hợp): Hợp tập hợp A B, kí hiệu A ∪ B, tập hợp tạo thành tất phần tử thuộc A thuộc B Định nghĩa (Phép Giao): Giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B, tập hợp tạo tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Định nghĩa : Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B rời 1.1.7 Tính chất • A∪B =B∪A • A∩B =B∩A • A∪A=A • A∩A=A • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) • (A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • (A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Định nghĩa (Hiệu hai tập hợp): Hiệu hai tập hợp A B, kí hiệu A \ B, tập tạo tất phần tử thuộc A mà khơng thuộc B Nói cách khác, A\B = {x ∈ A ∧ x∈B} / Định nghĩa (Tập bù): Xét tập hợp E A tập E, nghĩa A ⊆ E Lúc đó, E\A gọi tập bù A E Định luật De Morgan Với A ⊆ E, B ⊆ E ta có A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B Định nghĩa (Hiệu đối xứng) Cho hai tập hợp A B Ta gọi hiệu đối xứng A B, kí hiệu A B, tập gồm phần tử thuộc A thuộc B, không thuộc đồng thời A B Nói cách khác, A B = (A \ B) ∪ (B \ A) 1.1 Khái niệm tập hợp Chương Lý thuyết tập hợp Chú ý: Người ta thường minh họa tâp đường cong kín, phần tử biểu diễn dấu gạch chéo dấu chấm, gọi mô tả theo "lược đồ Venn" Chẳng hạn, tập A có phần tử a, b, c minh họa sau Ví dụ a/Cho A = {0, 1, 2, 4, 5}, B = {0, 3, 5, 6} A ∪ B = {0, 1, 2, 4, 5, 6} A \ B = {1, 2, 4} B \ A = {3, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 6} Các tập xác định theo lươc đồ Venn hình b/Cho A = {x ∈ N| x có chữ số tận bên phải 0} B = {x ∈ N| x có chữ số tận bên phải 5} Khi A ∪ B = {x ∈ N | x 5} c/ Cho A = {x ∈ N | x 2} B = {x ∈ N | x 3} Khi A ∩ B = {x ∈ N | x x 3} = {x ∈ N|x 6} 1.1.8 Mở rộng phép toán tập hợp Cho A1 , A2 , , An tập hợp Ta định nghĩa ∪ni=1 Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An−1 ) ∪ An 10 1.2 Quan hệ Chương Lý thuyết tập hợp ∩ni=1 Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ) ∩ An Định lý Cho X A1 , A2 , · · · , An tập hợp Khi đó, khẳng định sau đúng: S S (i) X ∩ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (X ∩ Ai ) T T (ii) X ∪ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (X ∪ Ai ) S T (iii) X \ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (X \ Ai ) T S (iv) X \ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (X \ Ai ) 1.1.9 Tập hợp tập tập hợp Cho X tập hợp Nếu coi tập X phần tử ta có tập P(X) có phần tử tập X Nói cách khác, P(X) = {A|A ⊆ X} Ví dụ a) X = ∅ P(∅) = {∅}; P({∅}) = {∅, {∅}} b) X = {a, b} P(X) = {∅, {a}, {b}, X} 1.2 QUAN HỆ 1.2.1 Tích Descartes Định nghĩa : Tích Descartes hai tập hợp A B, kí hiệu A × B, tập hợp tất cặp (a, b), a trước b sau, tạo nên lấy a ∈ A, b ∈ B cách Nói cách khác A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} Cho A1 , A2 , , An tập hợp Tích Descartes tập hợp A1 , A2 , , An , kí hiệu A1 × A2 × × An , xác định sau: A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , , an ) | ∈ Ai , i = 1, n} Đặc biệt, A1 = A2 = = An = A tích A1 × A2 × · · · × An kí hiệu lại An 1.2.2 Quan hệ 2-ngôi Ta gọi quan hệ m-ngôi tập X tập S lũy thừa Descartes X m Nếu S quan hệ m-ngơi X (a1 , a2 , · · · , am ) ∈ S ta nói a1 , a2 , · · · , am có S-quan hệ với Quan hệ 2-ngơi gọi vắn tắt quan hệ Như quan hệ 2-ngôi S X tập S X Ví dụ a) X tập hợp cơng dân nước Việt Nam S tập tất ba (x, y, z) đóx chồng củay z x y Khi S ⊆ X quan hệ 3-ngôi X 11 1.2 Quan hệ Chương Lý thuyết tập hợp b) X tập hợp sinh viên lớp, S tập cặp (x, y) x, y tuổi, S ⊆ X quan hệ X 1.2.3 Tính chất quan hệ 2-ngôi Cho quan hệ S X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x có S-quan hệ với y, viết xSy 1) Quan hệ S gọi có tính phản xạ với x ∈ X ta có xSx 2) Quan hệ S gọi có tính đối xứng với x, y ∈ X, xSy ySx 3) Quan hệ S gọi có tính chất phản đối xứng hay phản xứng với x, y ∈ X, xSy ySx x = y 4) Quan hệ S gọi có tính bắc cầu với x, y ∈ X, xSy ySz xSz Ví dụ a) Trong lớp học, quan hệ xSy x, y tuổi có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu b) Trong tập số tự nhiên N, quan hệ xSy x ≤ y có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu c) Trong tập tam giác, quan hệ "đồng dạng" có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu 1.2.4 Quan hệ tương đương Một quan hệ S tập X gọi quan hệ tương đương S có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Khi lý luận tổng quát, quan hệ tương đương thường kí hiệu ∼ Cụ thể hơn, S quan hệ tương đương tập hợp X, xSy kí hiệu lại x ∼ y (đọc x tương đương với y) Ví dụ a) Cho X tập hợp sinh viên lớp Ta định nghĩa quan hệ hai X sau: x ∼ y ⇐⇒ x ngồi bàn với y Khi đó, ∼ quan hệ tương đương X b) Trên tập hợp số nguyên Z, xét quan hệ hai ∼ sau: n∼m ⇐⇒ | n − m Khi đó, ∼ quan hệ tương đương Z c) Trên tập hợp số nguyên Z, xét quan hệ hai ∼ sau: n∼m ⇐⇒ n − m số lẻ Khi đó, ∼ khơng phải quan hệ tương đương Z khơng có tính phản xạ 12 1.2 Quan hệ Chương Lý thuyết tập hợp 1.2.5 Lớp tương đương Cho tập X quan hệ ∼ quan hệ tương đương X Với x ∈ X, tập hợp [x] = {y ∈ X | y ∼ x} gọi lớp tương đương x theo quan hệ tương ∼ Định lý Các lớp tương đương khác rỗng, nhau, rời Chứng minh Xét lớp tương đương [x] Vì x ∼ x nên x ∈ [x], tức [x] 6= ∅ Để chứng minh phần lại ta giả sử [x] ∩ [y] 6= ∅, ta cần chứng minh [x]=[y] Thật vậy, chọn z ∈ [x] ∩ [y] Ta có z ∈ [x] z ∈ [y] Khi đó, z ∈ [x] nên x ∼ z, z ∈ [y] nên z ∼ y Từ ta t ∈ [x] ⇔ t ∼ x ⇔ t ∼ z ⇔ t ∼ y ⇔ t ∈ [y] Vậy [x] = [y] Do đó, định lý chứng minh Chú ý: Từ Định lí suy y ∈ [x] [x] = [y] x ∼ y [x] = [y] Các lớp tương đương chia X thành tập rời (một cách chia gọi phân hoạch tập X) Tập hợp mà phần tử lớp tương đương tập X theo quan hệ tương đương ∼ gọi tập thương X theo quan hệ ∼, kí hiệu X\∼ Vậy X\∼ = {[x] | x ∈ X} Ví dụ a) Cho X tập hợp sinh viên lớp học ∼ quan hệ tương X xác định bởi: x ∼ y x y ngồi bàn Khi đó, lớp tương đương theo quan hệ ∼ sinh viên ngồi bàn Do đó, tập X\∼ có phần tử tập sinh viên ngồi bàn b) Trên tập Z số nguyên xét quan hệ tương đương a ∼ b a − b Xét lớp tương đương theo quan hệ Ta có a ∼ b ⇔ a − b ⇔ a b chia cho có số dư Nhưng chia số nguyên túy ý cho số dư nhận 0;1; 2, ta có lớp tương đương là: = {3k|k ∈ Z}, số chia hết cho 3; = {3k + 1|k ∈ Z}, số chia cho dư 1; = {3k + 2|k ∈ Z}, số chia cho dư Vậy Z\∼ = {0, 1, 2} có phần tử 1.2.6 Quan hệ thứ tự a) Định nghĩa Một quan hệ S tập X gọi quan hệ thứ tự S có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu 13 ... 7−→ ruột x 17 Cho ánh xạ f : R −→ R, x 7−→ x2 − 3x + Hãy tìm a) f (0), f (1), f (−1) b) f ([−1, 2]) c) Imf = f (R) d) f −1 (1), f −1 (−1) e) f −1 ([−1, 1]) Dùng đồ thị để minh họa 18 Hãy xét xem... Từ khẳng định gf = 1R Định lý 3.5.3, ta thu f đơn ánh Mặt khác, dễ thấy f đơn ánh f (−1) = = f (1) −1 6= Như vậy, ta có mâu thuẫn Điều mâu thuẫn chứng tỏ f khơng có ánh xạ ngược Định lý cho biết